四边形辅导讲义(1)

四边形考点分析及复习研究（1）

【考点链接】

1、中心对称：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这一点对称。也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。注意：①中心对称是旋转的一种特例，因此，

成中心对称的两个图形具有旋转图形的一切性质。

②成中心对称的2个图形，对称点的连线都经过对称中心，

并且被对称中心平分。

2、中心对称图形：

把一个平面图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

3、中心对称与中心对称图形之间的关系：

区别：

（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。

联系：

若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形 .

4、对比轴对称图形与中心对称图形：

轴对称图形中心对称图形

有一条对称轴——直线有一个对称中心——点

沿对称轴对折绕对称中心旋转180O

对折后与原图形重合旋转后与原图形重合

【例题讲解】

例1．如图,作△ABC关于点O的中心对称图形△DEF.

分析:作△ABC关于点O的中心对称图形关键是找出对称点.

解:如图1-7-3,连结AO并延长到D,使OD=OA,于是得到点A的对称点D;

(2)同样画出点B和点C的对称点E和F.

(3)顺次连结DE、EF、FD,则△DEF即为所求的三角形.

C

B

A

F

E

O

D

C

B

A

【当堂反馈】

1.如图,观察下列图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是

( ).

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.下列图形中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( ). A.等腰三角形 B.正方形 C.角 D.直角三角形

3.下列命题中正确的是( ).

A.两个全等的三角形是中心对称的

B.对角线互相平分的四边形是中心对称图形

C.对角线互相垂直的四边形是中心对称图形

D.如果两个三角形的对应点连线都经过一点,那么这两个三角形成中心对称 4.正六边形是轴对称图形,它有________条对称轴.

5.成中心对称的两个图形,对称点的连线都经过_____,并且被________平分.

6.线段的对称中心是_____,直线的对称中心是________.

7．已知,如图△ABC,画出△ABC 关于点B 对称的中心对称图形.

8、如图，在四边形ABCD 中AB ∥CD 、AD ∥BC ，这个四边形是中心对称图形吗？如果是，找出它的对称中心，并说明理由。

9、如图，已知ΔABC 是直角三角形，BC 为斜边。若AP=3，将ΔABP 绕点A 逆时针旋转后，能与ΔACP ′

重合，求PP ′的长。

10、如图AC ＝BD ，∠A ＝∠B ，点E 、F 在AB 上，且DE ∥CF

，试说明此图是中心对称图形的理由。

课题：四边形考点分析及复习研究（2）

【考点链接】

1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。

2、平行四边形的性质定理： 平行四边形对边相等。 平行四边形对角相等。

平行四边形对角线互相平分。

3、平行四边形的判定定理：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

【例题讲解】

例1．如图,已知E 、F 分别为平行四边形ABCD 的边CD 、AB 上一点,AE//CF, BE 、DF 分别交CF 、AE 于H 、G. 证明:EG = FH

分析:要说明EG=FH,从位置上看只要说明四边形EGFH 是平行四边形即可.由于EG//FH,而EG=FH 是

要说明的结果,所以首选的方法应是说明DF//BE. 思路:AECF 是平行四边形→AF=CE →DE=BF →DEBF 是平行四边形→DF//BE. 说明: ∵ AE//CF, AF//CE

∴ 四边形AECF 是平行四边形 ∴ AF = CE ∵ AB = CD

∴ BF = DE

∴ 四边形BFDE 是平行四边形 ∴ DF//BE

P ′

P

C B A

H G

A

D

E F

∵ AE//CF

∴ 四边形GFHE 是平行四边形

∴ EG=FH

评析:当要说明相等的两条线段是四边形的一组对边时,常常说明它是平行四边形.

例2．.如图,在平行四边形ABCD 中,延长AB 至E,延长CD 至F,使BE=DF. 说明:AC 与EF 互相平分

说明:连结AF 、CE

∵ 四边形ABCD 是平行四边形

∴ AB//CD AB=CD

∵ BE = DF

∴ AB + BE = CD + DF ∴ AE = CF

∴ 四边形AECF 是平行四边形 ∴ AC 与EF 互相平分

评析:说明两线段互相平分,只要说明两线段四端点构成的四边形是平行四边形.

例3．如图,平行四边形ABCD 中,AE ⊥BC 于E,AF ⊥CD 于F,AE=4,AF=6,

周长等于24.

求:平行四边形ABCD 的边长.

分析:完成该题的关键是如何发挥已知AE 与AF 的长的作用,利用同一四边形的面积相等可以把AE 、

AF 联系起来. 解:∵ S ABCD =AE ·BC

S ABCD =AF ·CD ∴ AE ·BC=AF ·CD ∴ 4BC=6CD ∵ 2(BC+CD)=24 ∴ BC=

536

CD=

5

24

评析:高多面积来搭桥

4.如图，已知:D 、E 分别是△ABC 中AB 、AC 的中点, 试说明:⑴ DE//BC ⑵ DE =2

1BC.

í?12 -A

B C

D

E

F

O

15

í?12 -1

A

B

C

D

E F

E

D

C

B

A

í?12 -23

5、如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别在AD 、BC 上，AE=CF ，AF 与BE 交于点G ，CE 与DF 交于点H ，求证：EF 与GH

互相平分。

课题：四边形考点分析及复习研究（3）

【考点链接】 l ．菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质． 2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形．

3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．

4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形． 5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 【例题评析】

例1．如图，矩形ABCD 中 ，E 在 AD 上，且EF ⊥EC ，EF=EC ，DE=2，矩形的周长为16，则 AE 的长是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．7

解：A 点拨：△AEF ≌△DCE ， 所以 AE=DC ，所以AE+ ED+DC=

16

2

?2AE+2=8 ?AE=3． 例2． 如图,在矩形ABCD 中,E 在BC 上,AE=AD,DF ⊥AE 于F, 说明:CE=FE 分析:要注意DF ⊥AE,CD ⊥BC 的条件,它可以体现出点 E 到DF 、DC 的距离. 说明:连结DE

∵ 四边形ABCD 是矩形

∴ ∠ADC=900

,∠C=900

∴ ∠CDE+∠ADE=900

F

E

D

C

B

A

í?12 -24

A

D

∵ DF ⊥AE ∴ ∠EDF+∠AED=900 ∵ AE =AD ∴ ∠CDE=∠EDF ∵ DF ⊥AE,CD ⊥BC ∴ CE=FE

例3．. 如图1，四边形ABCD 中，AC =6，BD =8且AC ⊥BD 顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……如此进行下去得到四边形A n B n C n D n . （1）证明：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；

（2）写出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积； （3）写出四边形A n B n C n D n 的面积； （4）求四边形A 5B 5C 5D 5的周长. （1）证明∵点A 1，D 1 分 别是AB 、AD 的中点， ∴A 1D 1是△ABD 的中 位线 ∴A 1D 1∥BD ，

1112A D B D

=

，

同理B 1C 1∥BD ，11

12B C B D

= ∴11A D ∥11B C ，

11A D =11B C ，∴四边形1111A B C D 是平行四边形

∵AC ⊥BD ，AC ∥A 1B 1，BD ∥11A D ，∴A 1B 1⊥1

1

A D 即∠

B 1A 1D 1=90°

∴四边形1111A B C D 是矩形

（2）四边形1111A B C D 的面积为12；四边形2222A B C D 的面积为6； （3）四边形n n n n A B C D 的面积为1

242n

?；

（4）方法一：由（1）得矩形1111A B C D 的长为4，宽为3； ∵矩形5

5

5

5

A B C

D ∽矩形1111A B C D ；∴可设矩形5555A B C D 的长为4x ,宽为3x ，则5

14324,

2

x x =

?

解得1

4x =；∴3

41,34x x ==； ∴矩形5

5

5

5

A B C

D 的周长=37

2(1)42+= .

9．如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点 O ，且CA ：BD=l ： 3 ,若AB=2，求菱形ABCD 的面积．

10、已知如图，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G，则PF＋PG=AB成立吗？为什么？

课题：四边形考点分析及复习研究（4）

【考点链接】

1．定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．

2、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的对角线相等．

3．等腰梯形的判定：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．②对角线相邻的梯形是等腰梯形．4．等腰梯形常见的作辅助线的方法．

（1）作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形，如图l－4－26 （2）平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形．如图l－4－27．

（3）平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形，如图l－4－28．

（4）如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点，如图1－4－29．

【例题评析】

例1．如图l，请写出等腰梯形ABCD（AB∥CD）特有而一般梯形不具有的三个特征：

解：∠A＝∠B；∠C=∠D；AD=BC等

点拨：主要考查等腰梯形的性质，要把等腰梯形和一般梯形的性质区分开．

例2．如图2，有一直角梯形零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为 10cm，∠D=120o，则该零件另一腰AB的长为__________（结果不取近似值）

解：5 3 点拨：平移腰AB，可以得到含30o角的直角三角形，再根据勾股定理，可得AB=5 3

图1 图2 图3

例3．如图3，在等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，则梯形的高是_________cm．

解：5 点拨：通过平移对角线构造出等腰直角三角形，等腰直角三角形的高就是梯形的高．

例4．同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形吗？如果是，请给出证明（要求画出图形，写出已知、求证、证明）；如果不是，请给出反例（

只需画图说明）.

已知：梯形ABCD，AD∥BC且∠B=∠C（或∠A=∠D）

求证：梯形ABCD是等腰梯形

证明：过点A作AE∥DC，交BC于E

∵AD∥BC AE∥DC

∴四边形AECD是平行四边形，∴∠AEB=∠C，AE=DC∵∠B=∠C ∴∠AEB=∠B∴AB=AE

∴AB=DC ∴梯形ABCD是等腰梯形

例5．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图10-1）

⑴他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/2

m，当△AMD地带种满花后（图10-1中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用。

⑵若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供

选择，单价分别为12元/2

m和10元/2

m，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？

⑶若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图10-2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一

点P，使得△APB≌△DPC且S

△APD =S

△BPC

，并说出你的理由。

4、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB =CD，∠ DBC＝45○ ,翻折梯形使点B重合于点 D，折痕

分别交边 AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8，求BE的长．

5、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC=900，AB=2DC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为F ，过点F 作EF ∥AB ，交AD 于点E ，CF=4㎝。 （1）、求证：四边形ABFE 是等腰梯形； （2）、求AB 的长。

F

E

D

C

B

A