2013年全国高中数学联赛试题及详细解析

2013年全国高中数学联合竞赛一试试题

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．

1. 设集合{2,0,1,3}A ，集合2{|,2}B x x A x A ．则集合B 中所有元素的和为．

2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线2

4y x 上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFB S S ．

3. 在ABC 中，已知sin 10sin sin ,A B C cos 10cos cos ,A B C 则tan A 的值为．

4. 已知正三棱锥P ABC 底面边长为1，

高为，则其内切球半径为．

5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b 满足：对任意[0,1]x ，有()1f x . 则ab 的最大值为．

6. 从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为．

7. 若实数,x y

满足x ，则x 的取值范围是．

8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ，且对每个{1,2,,8}i ，均有112,1,2i i a a

，则这样的数列的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n ?≥= ，这里1n n S x x =++ ．证明：存在常数0C >，使得

2,1,2,n n x C n ≥?= ．

10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22

1(0)x y a b a b ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ，22QA PA ，11RF PF ，22RF PF ，试确定线段QR 的长度与b 的大小

关系，并给出证明．

11. （本题满分20分）设函数2()f x ax b ，求所有的正实数对(,)a b ，使得对任意实数,x y ，有 ()()()()f xy f x y f x f y ．

2013年全国高中数学联合竞赛加试试题

一、（本题满分40分）如图，AB 是圆ω的一条弦，P 为弧AB 内一点，E 、F 为线段AB 上两点，满足AE EF FB ==．连接PE 、PF 并延长，与圆ω分别相交于点C 、D ．求证：

EF CD AC BD ?=?．

（解题时请将图画在答卷纸上）

二、（本题满分40分）给定正整数u ，v ．数列{}n a 定义如下：1a u v =+，对整数1m ≥，

221,.m m m m a a u a a v +=+ =

+ 记()121,2,m m S a a a m =+++= ．证明：数列{}n S 中有无穷多项是完全平方数．

三、（本题满分50分）一次考试共有m 道试题，n 个学生参加，其中,2m n 为给定的整数．每道题的得分规则是：若该题恰有x 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x 分，未答对的学生得零分．每个学生的总分为其m 道题的得分总和．将所有学生总分从高到低排列为12n p p p ，求1n p p 的最大可能值．

四、（本题满分50分）设,n k 为大于1的整数，2k n <．证明：存在2 k 个不被n 整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被 n 整除．

P F E D

C B