2014-2015学年点拨高中数学必修2(R-A版)过关测试：第一章 空间几何体 过关测试卷]

第一章过关测试卷 （100分，45分钟）

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 圆台的上、下底面的面积分别为π、4π ，侧面积为6π，这个圆台的体积为 ( )

A.33

2π B.23π C.367π D.337π 2.〈辽宁·理〉某几何体三视图如图1所示，则该几何体的体积为 ( )

图1

A.8－2π

B.8－π

C.28π-

D.48π-

3.〈广州调研〉已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图2所示，则四棱锥P －ABCD 的

四个侧面中面积最大的是( )

A ．3

B ．25

C ．6

D ．8

图2 4. 如图3，在正四棱柱ABCD －1111D C B A 中，AB =1，AA 1=3，点E 为AB 上的动点，则E D 1+CE 的最小值为( )

A.22

B.10

C.15+

D.22+ 5.〈长春调研〉已知空间4个球，它们的半径均为2，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为( )

A.26-

B.26-

C.310-

D.222-

6.〈青岛模拟〉一个几何体的三视图如图4所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是( )

A．16π B．14π C．12π D．8π

图4

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

7. 某几何体的三视图如图5所示，则这个几何体的体积为.

图5

8. 给出下列命题：①在正方体中任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；

③若一个四棱柱中有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．其中正确命题的序号是．

9.〈临沂检测〉具有如图6所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为.

图6

10. 用一张正方形纸把一个棱长为1的正方体形礼品盒完全包好，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是．

三、解答题（11题16分，其余每题14分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

11.〈杭州模拟〉如图7，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，

2，AD＝2，求四边形ABCD绕直线AD旋转一周所形成的几何体的表面积CD＝2

及体积．

图7

12. 把直径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铜球熔制成一个较大的铜球，再把球削成一个棱长最大的正方体，求此正方体的体积．

13. 某人有一容积为V，高为a且装满了油的直三棱柱形容器，不小心将该容器掉在地上，有两处破损并发生渗漏，其位置分别在两条侧棱上且距下底面高度分别为b、c的地方，且容器盖也被摔开了(盖为上底面)，为减少油的损失，此人采用破口朝上，倾斜容器的方式拿回家，估计容器内的油最理想的剩余量是多少.（容器壁的厚度忽略不计）

参考答案及点拨

一、1. D 点拨：由题意易得，圆台的上底面半径r =1，下底面半径R =2，由S 侧=6 π，设母线长为l ，则可得 π(1+2)l =6π，∴l =2，∴高h =3)(22=--r R l .∴圆

台的体积V =31π ×(21+1×2+22)×3=

33

7

π. 2. B 点拨：根据俯视图可得这是一个切割后的几何体，再结合另外两个视图，得

到几何体，这是一个正方体切掉两个4

1

圆柱后得到的几何体，如答图1，几何体的

高为2，V =32－4

1

×π×21×2×2=8－π.

3. C 点拨：四棱锥如答图2所示，过点P 作PN ⊥DC 于点N ，取AB 的中点M ，

连接PM ，MN .易知MN ⊥PN ，PN =52322=-，MN =2，∴PM =22MN PN + =3，

于是易得PDC S △=525421=??，PAD PBC S S △△==21×2×3=3，PAB S △ =2

1

×4×3=6.

答图1 答图2 答图3

4. B 点拨：如答图3，将正方形ABCD 沿AB 向下翻折到对角面11D ABC 内成为正方形22D ABC ，在矩形2211C D D C 中，连接21C D ，与AB 的交点即为符合条件的点E ，此时211C D CE E D =+.由题意易知，1BC =2，2BC =1，11C D =1，∴21C C =3，故

1031222

212

1121=+=+=C C C D C D .

5. A 点拨：由题意可知，以4个球的球心为顶点的几何体是正四面体，且小球球心O 为正四面体的中心，正四面体的棱长为4，易得中心到顶点的距离为6，从而易得所求小球的半径为6－2.

6. A 点拨：由三视图可知，该几何体是一个球挖去4

1

后剩下的部分.其中两个半圆面的面积和为π×22=4π，

43个球的球面面积为4

3

×4π×22=12π，所以这个几何体的表面积是12π+4π=16π .

二、7. 3

20

点拨：由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥，如

答图4所示，则3

20

22221314223121=????+???=+=V V V .

答图4 答图5 ① ②

答图6

8. ①⑤ 点拨：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD －1111D C B A 中的四面体A －11D CB ；②错误，如答图5所示，底面△ABC 为等边三角形，可令AB ＝VB ＝VC ＝BC ＝AC ，则△VBC 为等边三角形，△VAB 和△VCA 均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面；④错误，如果有两条侧棱和底面垂直，则它们平行，不可能；⑤正确，当两个侧面的交线垂直于底面时成立；⑥错误，当底面是菱形时，此命题不成立，所以应填①⑤.

9. 14 点拨：由正视图和俯视图可知，该几何体是直四棱柱或水平放置的直三棱柱或水平放置的圆柱.易知直四棱柱的体积最大.直四棱柱的高为1，底面矩形相邻两边长分别为1，3，所以表面积为 2(1×3+1×1+3×1)=14．

10. 8 点拨：如答图6①为棱长是1的正方体形礼品盒，先把正方体的表面按答图②方式展成平面图形，再把平面图形尽可能补成面积较小的正方形，由答图②知，补成的正方形的边长为22，其面积为8.

三、11. 解：过点C 作CE ⊥AD 于点E ，易知CE ＝DE ＝2，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，则易知CM =AE =2+2=4，BM =AB －AM =AB －CE =5－2=3，∴CB ＝5.形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥，其中圆锥的底面是圆台的上底面.∴表S ＝圆台侧S ＋

圆台下底S ＋圆锥侧S ＝π×(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋24)π，V ＝圆台V －圆锥V ＝

31π(2252+＋2×5)×4－31π×22×2＝3

148π. 12. 解：设熔制后的铜球的半径为r ，则有

34π(333543++)=33

4

r π，∴r ＝6(cm).由题意可知，正方体为球的内接正方体，球的直径即为正方体对角线的长，故正方

体的棱长为

343

123

2==

r (cm)．∴）

（）（正方体33

cm 319234==V ． 13. 解：如答图7所示，设破损处为D 、E ，且AD ＝b ，CE ＝c ，a BB =1， 则容器内所剩油的体积的最大值等于多面体ABC －E DB 1的体积.连接BD ，CD ，易知

111BCEB A BCEB D V V --=棱锥棱锥，而

a

c

a V V B BCC A BCEB D 21

111+=

--棱锥棱锥，由三棱 柱的几何性质知，，棱锥棱锥3321111V

V V V ABC A B BCC A ==--所以

V a c a V BCEB D 31+=

-棱锥，又因为a

b

V V ABC A ABC D =--1棱锥棱锥，所以 答图7 a bV V a b V ABC D 33=?=

-棱锥，所以V a

c b a V V V ABC D BCEB D E DB ABC 311++=+=---棱锥棱锥多面体.故油最理想的剩余量为

V a

c

b a 3++.