数学中考经典题分析5

数学中考经典题分析5

1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD 为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠BCE＝β.

(1)求证：△DAB≌△EAC；

(2)当点D在线段BC上运动时，

①若α＝50°，则β＝__130__度；

②猜想α与β之间的数量关系？并对你的结论给出证明；

(3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时，上题②中的结论是否仍然成立？若成立，试加以证明；若不成立，请你给出正确的数量关系，并说明理由．

[解](1)∵∠BAC＝∠DAE＝α，

∴∠BAD＝∠CAE＝α－∠DAC.

又AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE.

(2)②∵△ABD≌△ACE，∠BAC＝α.

∴∠B＝∠ACE.

∴∠B＋∠ACB＝β.

∵∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°，

∴α＋β＝180°.

(3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时，上题②中的结论不能成立，此时α＝β成立．

其理由如下：

类似(1)可证△DAB≌△EAC，

∴∠DBA＝∠ECA.

又由三角形外角性质有∠DBA＝α＋∠DCA，

∴∠ACE＝α＋∠DCA，

∴∠BCE＝∠ACE－∠ACB＝α＋∠ACB－∠ACB＝β.

∴α＝β.

2．如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象过点A(2，0)和B(4，3)，l为过点(0，－2)且与x轴平行的直线，P(m，n)是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．

(1)求二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的解析式；

【特例探究】

(2)填空：当m＝0时，OP＝__1__，PH＝__1__ ；当m＝4时，OP＝__5__，PH＝__5__；

【证明】

(3)对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．

[解] (1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx －1(a ≠0)的图象过点A(2，0)和B(4，3)，

∴?

????4a ＋2b －1＝0，16a ＋4b －1＝3， 解得?????a ＝14，b ＝0，

∴二次函数的解析式为y ＝14

x 2－1. (3)猜想：OP ＝PH.

证明：过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，

∵P 在二次函数y ＝14

x 2－1的图象上， ∴设P ???

?m ，14m 2－1， 则PQ ＝????14m 2－1，OQ ＝|m|，

∵△OPQ 为直角三角形，

∴OP ＝PQ 2＋OQ 2＝????14m 2－12＋m 2＝????14m 2＋12＝14

m 2＋1， PH ＝y P －(－2)＝????14m 2－1－(－2)＝14

m 2＋1， ∴OP ＝PH.

3．已知：点P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点(点P 不与点A 、C 重合)，分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ，点O 为AC 的中点．

(1)当点P 与点O 重合时如图1，易证OE ＝OF(不需证明)；

(2)直线BP 绕点B 逆时针方向旋转，当∠OFE ＝30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF 、AE 、OE 之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

[解] (1)∵AE ⊥PB ，CF ⊥BP ，

∴∠AEO ＝∠CFO ＝90°，

在△AEO 和△CFO 中，

?????∠AEO ＝∠CFO ，∠AOE ＝∠COF ，AO ＝CO ，

∴△AOE ≌△COF ，

∴OE ＝OF.

(2)图2中的结论为：CF ＝OE ＋AE.

图3中的结论为：CF ＝OE －AE.

选图2中的结论证明如下：

延长EO 交CF 于点G ，

∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ，

∴AE ∥CF ，

∴∠EAO ＝∠GCO ，

在△EOA 和△GOC 中，

?????∠EAO ＝∠GCO ，AO ＝CO ，∠AOE ＝∠COG ，

∴△EOA ≌△GOC ，

∴EO ＝GO ，AE ＝CG ，

在Rt △EFG 中，∵EO ＝OG ，

∴OE ＝OF ＝GO ，

∵∠OFE ＝30°，

∴∠OFG ＝90°－30°＝60°，

∴△OFG 是等边三角形，

∴OF ＝GF ，

∵OE ＝OF ，

∴OE ＝FG ，

∵CF ＝FG ＋CG ，

∴CF ＝OE ＋AE.

选图3中的结论证明如下：

延长EO 交FC 的延长线于点G ，

∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ，

∴AE ∥CF ，

∴∠AEO ＝∠G ，

在△AOE 和△COG 中，

?????∠AEO ＝∠G ，∠AOE ＝∠COG ，AO ＝CO ，

∴△AOE ≌△COG ，

∴OE ＝OG ，AE ＝CG ，

在Rt △EFG 中，∵OE ＝OG ，

∴OE ＝OF ＝OG ，

∵∠OFE ＝30°，

∴∠OFG ＝90°－30°＝60°，

∴△OFG 是等边三角形，

∴OF ＝FG ，

∵OE ＝OF ，∴OE ＝FG ，

∵CF ＝FG －CG ，

∴CF ＝OE －AE.

4．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E 、F 分别在正方形的边CB 、CD 上，连接AF.取AF 中点M ，EF 的中点N ，连接MD 、MN.

(1)连接AE ，求证：△AEF 是等腰三角形；

猜想与发现：

(2)在(1)的条件下，请判断MD 、MN 的数量关系和位置关系，得出结论．

结论1：DM 、MN 的数量关系是__相等__；

结论2：DM 、MN 的位置关系是__垂直__；

拓展与探究：

(3)如图2，将图1中的直角三角板ECF 绕点C 顺时针旋转180°，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

[解] (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠B ＝∠ADF ＝90°，

∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，

∴CE ＝CF ，∴BC －CE ＝CD －CF ，即BE ＝DF ，

∴△ABE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，△ABE ≌△ADF ，

∴△AEF 是等腰三角形．

(3)(2)中的两个结论还成立，

证明：连接AE ，交MD 于点G ，

∵点M 为AF 的中点，点N 为EF 的中点，

∴MN ∥AE ，MN ＝12

AE ， 由(1)同理可得，AE ＝AF ，△ABE ≌△ADF ，

在Rt △ADF 中，∵点M 为AF 的中点，

∴DM ＝12

AF ，∴DM ＝MN ， ∵△ABE ≌△ADF ，∴∠1＝∠2，

∵AB ∥DF ，∴∠1＝∠3，

∵AD ∥BE ，∴∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，

∵DM ＝AM ，∴∠MAD ＝∠5，

∴∠DGE ＝∠5＋∠4＝∠MAD ＋∠3＝90°，

∵MN ∥AE ，∴∠DMN ＝∠DGE ＝90°，

∴DM ⊥MN.

5．情境观察

将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D ，如图1所示，将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A(A′)、B 在同一条直线上，如图2所示，观察图2可知：与BC 相等的线段是__AD(或A′D)__，∠CAC ′＝__90__°.

问题探究

如图3，在△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为

P 、Q ，试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展延伸

如图4，在△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H ，若AB ＝kAE ，AC ＝kAF ，试探究HE 与HF 之间的数量关系，并说明理由．

[解] 问题探究结论：EP ＝FQ ，

证明：∵△ABE 是等腰直角三角形，∴AB ＝AE ，∠BAE ＝90°，∴∠BAG ＋∠EAP ＝90°，

∵AG ⊥BC ，∴∠BAG ＋∠ABG ＝90°，

∴∠ABG ＝∠EAP ，

∵EP ⊥AG ，∴∠AGB ＝∠EPA ＝90°，

∴Rt △ABG ≌Rt △EAP ，∴AG ＝EP ，

同理AG ＝FQ ，∴EP ＝FQ ，

拓展延伸结论：HE ＝HF ，

理由：过点E 作EP ⊥GA ，FQ ⊥GA ，垂足分别为P 、Q ，

∵四边形ABME 是矩形，∴∠BAE ＝90°，

∴∠BAG ＋∠EAP ＝90°，AG ⊥BC ，

∴∠BAG ＋∠ABG ＝90°，∴∠ABG ＝∠EAP ，

∵∠AGB ＝∠EPA ＝90°，∴△ABG ∽△EAP ，

∴AG EP ＝AB EA

， 同理△ACG ∽△FAQ ，∴AG FQ ＝AC FA

， ∵AB ＝kAE ，AC ＝kAF ，∴AB EA ＝AC FA

＝k ， ∴AG EP ＝AG FQ

，∴EP ＝FQ ， ∵∠EHP ＝∠FHQ ，∴Rt △EPH ≌Rt △FQH ，

∴HE ＝HF.

6．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2∠DAE ＝2α.

(1)如图1，若点D 关于直线AE 的对称点为F ，求证：△ADF ∽△ABC ；

(2)如图2，在(1)的条件下，若α＝45°，求证：DE 2＝BD 2＋CE 2；

(3)如图3，若α＝45°，点E 在BC 的延长线上，则等式DE 2＝BD 2＋CE 2还能成立吗？请说明理由．

[解] (1)证明：∵点D 关于直线AE 的对称点为F ，

∴∠EAF ＝∠DAE ，AD ＝AF ，

又∵∠BAC ＝2∠DAE ，

∴∠BAC ＝∠DAF ，

∵AB ＝AC ，

∴

AB AD ＝AC AF

， ∴△ADF ∽△ABC.

(2)证明：∵点D 关于直线AE 的对称点为F ，

∴EF ＝DE ，AF ＝AD ，

∵α＝45°，∴∠BAD ＝90°－∠CAD ，

∠CAF ＝∠DAE ＋∠EAF －∠CAD ＝45°＋45°－∠CAD ＝90°－∠CAD ， ∴∠BAD ＝∠CAF ，

在△ABD 和△ACF 中，????

?AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAF ，AD ＝AF ，

∴△ABD ≌△ACF(SAS)，

∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B ，

∵AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，α＝45°，

∴△ABC 是等腰直角三角形，

∴∠ACF ＝∠B ＝∠ACB ＝45°，

∴∠ECF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝45°＋45°＝90°，

在Rt △CEF 中，由勾股定理得EF 2＝CF 2＋CE 2.

∴DE 2＝BD 2＋CE 2.

(3)DE 2＝BD 2＋CE 2还能成立．

理由如下：如图，作点D 关于AE 的对称点F ，连接EF 、CF ，

由轴对称的性质得EF ＝DE ，AF ＝AD ，

∵α＝45°，

∴∠BAD ＝90°－∠CAD ，

∠CAF ＝∠DAE ＋∠EAF －∠CAD ＝45°＋45°－∠CAD ＝90°－∠CAD ， ∴∠BAD ＝∠CAF ，

在△ABD 和△ACF 中，?????AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAF ，AD ＝AF ，

∴△ABD ≌△ACF(SAS)，

∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B ，

∵AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，α＝45°，

∴△ABC 是等腰直角三角形，

∴∠B ＝∠ACB ＝45°，

∴∠ECF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝45°＋45°＝90°，

在Rt △CEF 中，由勾股定理得EF 2＝CF 2＋CE 2，

∴DE 2＝BD 2＋CE 2.