离散型随机变量的分布列教学设计

教学设计：《离散型随机变量的分布列》

一、教学内容分析

概率是对随机现象统计规律演绎的研究，而统计是对随机现象统计规律归纳的研究，两者是相互渗透、相互联系的。离散型随机变量的分布列是普通高中课程标准实验教科书数学(选修2-3)人民教育出版社B版第二章《概率》的第二节，它是一个必然事件分解成有限个互斥事件的概率的另一种表现形式，整体地反映了离散型随机变量所有可能的取值及其相应值的概率, 全面描述了随机变量的统计规律,并为定义随机变量两种最重要的特征数即数学期望和方差奠定了基础。

因此，“离散型随机变量的分布列”作为概率与统计的桥梁与纽带，它既是必修3概率知识的延伸，也是统计学的理论基础，能起到承上启下的作用。同时，它是培养学生学会用数学思维来解决问题的好的素材，能够提升学生数学抽象、数学建模和数据分析的核心素养。

二、教学目标分析

本节课依据教材分析和课标要求, 可确定如下的三维教学目标:

【知识与技能】理解离散型随机变量的分布列及二点分布模型, 掌握分布列的性质, 会求简单的离散型随机变量的分布列。

【过程与方法】在对具体问题的分析中, 经历数学建模过程, 理解离散型随机变量的分布列及其性质的导出，启发引导学生思考、讨论、表述，展现思维过程；让学生体会由具体到抽象的思想方法，感知从特殊到一般的认知过程。

【情感态度与价值观】在具体情境中, 认识分布列对于刻画随机现象的重要性, 体会数学来源于生活, 又应用于生活的事实; 设计抽奖活动，外化数学学习的兴趣，体会学习的成功与喜悦，培养严谨的科学态度。

根据以上目标的确定，教学上力求体现：两个意识（创新意识、应用意识）和四种能力（探究能力、建模能力、交流能力、实践能力）。

三、学生学情分析

根据本人以往的教学经验和学生思维的最近发展区理论，从以下两方面对学生学习本节课内容的情况加以分析，便于找到学生的认知规律，帮助学生跨越学习障碍。

1、认知基础：学生在必修3概率初步中已学习过随机事件和简单的概率模型，会用古典概型、几何概型求解随机事件的概率；在选修2-3第一章计数原理中学习了利用排列组合知识求某些随机事件的概率，具备一定的知识基础。但是，学生对上节课学习的随机变量和离散型随机变量的概念，理解不够深刻。

2、能力储备：学生能够用概率统计学知识解决简单的实际问题，具备一定的分析问题和探究问题的能力，思维尽管活跃，但思考问题容易片面、不够严谨，有待提高数学抽象和数学建模的核心素养。。

离散型随机变量的分布列的性质是概念的外延，而离散型随机变量的分布列的内涵是一个必然事件分解成有限个互斥事件的概率的另一种表示形式，应在概念的生成中形成解决问题的思维方法。因此，确立这节课的重难点为：

【教学重点】掌握离散型随机变量的分布列的概念和性质。

【教学难点】理解离散型随机变量的分布列的性质。

突破重点难点的策略:

(1)整节课都伴随着实例教学,注重学生的动手动脑能力与主动参与；

(2)通过设置问题情境，启发引导学生思考、讨论、表述，展现思维过程；

(3)通过辨析问题的设置,构筑思维冲突，提升理解层次。

四、教学策略分析

新课程标准要求通过实际问题学习概率统计知识，强调让学生通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集、处理、分析与决策的全过程。结合以上分析，确定这节课的教法和学法分别如下：

1、教法分析：理解离散型随机变量的分布列是培养学生学会用数学思维来解决问题的关键。本人将贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、知识为基础、应用为目标”的教学原则，在学生已有知识基础上，采用启发探究式教学方法，设置问题情境，让学生充分参与知识的发现与问题的解决过程，引导学生思考、讨论、表述，充分体现数学核心概念、思想方法,突出课堂教学的实验性和探究性，培养学生的数学应用意识，真正体现素质教育的精神。

2、学法分析：学生学习概念的过程应该是：具体——抽象——具体，即由感性认识上升到理性认识，形成抽象思维，然后用归纳的结论去指导具体问题的解决。本节课借助实际问题和提问给学生营造一个思维情境，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会，让学生有意识地逐渐培养学生“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会总结”的能力，使学生在和谐愉悦的教学氛围中获取新知识、提高能力，充分发挥学生的抽象思维、逻辑思维和创造思维，很好地达成了教学目标。

五、教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，借助PPT、Excel图表、视频等展现丰富的实例和问题，增强直观性，增大课堂容量，同时留给学生更多的时间思考和交流。六、教学过程设计

（一）引入阶段——复习回顾，启动学生思维

1、回顾概率旧知渗透思想方法

复习:什么是随机变量？什么是离散型随机变量？

活动1:学生回顾上节课所学内容，并回答问题。

活动2:教师引导学生结合具体问题，弄清离散型随机变量的概念。

抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示骰子向上一面的点数，那么随机变量X 的值域是什么？X取各个不同值的概率为多少？

随机变量X的取值及其相应值的概率列表如下：

活动3:引导学生从函数的观点来认识具体表格，进而引出离散型随机变量的分布列，引入课题。

延伸：从函数的观点来看，随机变量的每一个取值与它所对应的概率值建立一种函数关系, 而函数的表示方法有表格法、解析法和图象法。对离散型随机变量的取值及其相应值的概率，一般通过列表形式来具体体现它的概率分布情况。

（二）认知阶段——新旧知识作用，搭建新知结构

1、结合抽奖表格 归纳核心概念

发现：上面规则中总结的表格在策划活动过程中起着重要的作用。

引出：学生对表中的数据和特征进行分析、思考,第一行为各种可能的结果，第二行为相应的概率，体现了离散型随机变量的概率分布情况。

【问题1】尝试给出一般离散型随机变量的分布列的定义？

活动：学生思考问题后，口答问题，教师恰当引导。

抽象：一般地，若离散型随机变量X 可能取的值为1x 、2x 、…、n x ，X 取每一个值i x ),,3,2,1(n i ???=的概率为i i p x X P ==)(，则称表

为离散型随机变量X 的概率分布，简称X 的分布列。

教师强调：要掌握一个离散型随机变量X 的取值规律，必须知道（1）X 所有取值，（2）X 取每一个值的概率，（3）列出表格。

2、剖析性质本质 加深概念理解

【问题2】离散型随机变量的分布列具有哪些性质？并阐述理由.

活动4：教师引导学生通过观察实例中分布列的特征猜想性质，学生回答。 教师进一步追问：猜想正确吗？这是由两个具体实例的表格得出的结论。是否所有的离散型随机变量的分布列都具有这些性质？引导学生阐述理由。

活动5：以小组为单位讨论交流，小组派代表分析本组的成果，教师总结。 为降低学生的思维难度，设置如下思考问题链：

（1）分布列中随机变量对应的概率的取值范围是多少？

（2）分布列中随机变量对应的随机事件之间是什么关系？

（3）所有随机事件构成的和事件又表示什么事件？

总结：离散型随机变量的分布列具有下面两个性质：

()1i p ≥0，1,2,i =…；

()

212p p ++…1=即.

1=∑i i p

剖析：根据概率的性质得出分布列的第一条性质。分析分布列的第二条性质：

因为基本事件空间是一个必然事件，随机变量取值对应的随机事件彼此互斥，根据互斥事件的概率加法公式可得随机变量取值对应的概率之和为1，即符号语言表示为：

()()()()

n i x X x X x X x X =???=???===Ω 21

()()(()()n i x X P x X P x X P x X P P =???+=+???=+==Ω21

n i p p p p +???++???++=211 （三）操作阶段——巩固认知结构，培养应用意识

题型一 求离散型随机变量的分布列

例1 ：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球

2个红球，从中摸出2个球．

(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；

(2)有X 表示摸出的2个球中的白球个数，求X 的分布列．

活动1：学生在学案上写出解答过程；学生回答，教师板书解题过程。 解 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2

个球，有C 2

5＝10(种)情况．

(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A ，P (A )＝C 13·C 1210＝35

.即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为35

. (2)用X 表示摸出的2个球中的白球个数，X 的所有可能取值为0,1,2.

P (X ＝0)＝C 2210＝110，P (X ＝1)＝C 13C 1210＝35

， P (X ＝2)＝C 2310＝310

. 故X 的分布列为

跟踪训练1 袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的

球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列.

活动2：学生独立完成，个别同学到黑板板书解题过程，师生共同评价。解：X的可能取值为1,2,3,4,5，则

第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝1 5，

第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝4

5

×

1

4

＝

1

5

，

第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝4

5

×

3

4

×

1

3

＝

1

5

，

第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝4

5

×

3

4

×

2

3

×

1

2

＝

1

5

，

第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝4

5

×

3

4

×

2

3

×

1

2

×

1

1

＝

1

5

.

所以X的分布列是

题型二分布列的性质及应用

例2 设随机变量X的分布列P(X＝k

5

)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．

(1)求常数a的值；

(2)求P(X≥3

5 )；

(3)求P(

1

10

＜X＜

7

10

)．

解由题意，所给分布列为

(1)由分布列的性质得

a＝1

15 .

(2)P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝55

) ＝315＋415＋515＝45

， 或P (X ≥35)＝1－P (X ≤25)＝1－(115＋215)＝45

. (3)∵110＜X ＜710，∴X ＝15，25，35

. ∴P (110＜X ＜710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝25

. 【问题3】规律：

1、根据互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

2、当正面分析问题比较复杂时，往往采取补集思想求某些事件的概率，可大大减少讨论情况。

跟踪训练2 若离散型随机变量X 的分布列为：

试求出离散型随机变量解 由已知可得9c 2－c ＋3－8c ＝1，

∴9c 2－9c ＋2＝0，∴c ＝13或23

. 检验：当c ＝13时，9c 2－c ＝9×(13)2－13＝23＞0,3－8c ＝3－83＝13

＞0； 当c ＝23时，9c 2－c ＝9×(23)2－23＞0,3－8c ＝3－163

＜0(不适合，舍去)． 故c ＝13

. 故所求分布列为

题型三

例3 为了搞好世界大学生夏季运动会的接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)：

若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．

(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？

(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．

解 (1)根据茎叶图，“高个子”有12人，“非高个子”有18人．用

分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16

，所以选中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16

＝3人． 用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A

表示“没有‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710

.因此，

至少有1人是“高个子”的概率是710

. (2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则

P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855

， P (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155

. 因此，ξ的分布列为

【问题4】请归纳出求解离散型随机变量的分布列的步骤。

活动：学生归纳总结，师生共同同评价。

提炼：求解离散型随机变量的分布列的方法和步骤：

（1）明确随机变量的含义，确定随机变量的取值；

（2）判定随机事件的关系，计算每个取值的概率；

（3）规范列表给出分布列，检验是否满足两性质。

评析：求离散型随机变量X 的分布列的关键是要确认随机变量的取值，强调列表后利用分布列的性质进行检验是否正确。

3、归纳概括提升 课后巩固延伸

【问题5】通过本节课的学习，你从知识内容和思想方法有什么收获？ 活动：学生总结，教师补充。

知识内容：离散型随机变量的分布列概念及其性质，两点分布模型。 思想方法：具体到抽象、特殊到一般、数据分析等。

【作业】

基础训练： 课本43P 练习A 、B ；46P 习题2-1A2，B5；

发展训练：一个盒子中放有大小相同的4个黄球和2个白球，其中4个黄球标号为1-4，2个白球标号为5和6.

规则1: 每次从盒中摸出一球, 记下号码后放回，若摸球两次，用得到两数

和的情况进行设奖.

规则2:每次从盒中摸出一球，记下颜色后放回，若摸球两次，用得到白球数的情况进行设奖.

规则3:若摸出1个黄球得1分，摸出1个白球得3分，从盒中任意摸出三个球，用得分和的情况进行设奖.

（I）探求上述三个规则中相关随机变量的分布列，并给出设奖方案；

（II）自主设计新的摸球游戏规则，并求相关随机变量的分布列，小组交流。[设计意图]通过分层作业将问题由课内延伸到课外，可以使大部分同学巩固本节所学知识。探究题可激励学生大胆提出问题，用自己己有的概率统计知识去解决问题，同时使教师下节课的教学有的放矢。

结束语：今天这节课，我们学习了离散型随机变量分布列的知识，它既是必修3概率知识的延伸，也是统计学的理论基础。学会用所学的概率知识正确分析某些随机现象，也是学习本章的意义所在。