第5章 微分方程模型
第5章 微分方程模型
一、讨论题
1. 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？
2. 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。
3. 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。
4. 两棵不同类别的植物种在一起，按比例吸取养料，试建立它们的生长模型。
二、思考题
1、具有什么样特征的数学建模问题需要用微分方程方法建立模型？
2、用微分方程方法建立数学模型的基本步骤是什么？应注意哪些问题？
3、某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌？
三、习题
1. 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型
)(003.0)
(t p dt
t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速
率是)(001.02
t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平
均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。
（1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数
)(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？
2. 用具有放射性的14
C 测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子
与氮结合产生14C 。植物吸收二氧化碳时吸收了14C ，动物食用植物从植物中得到14
C 。在
活组织中14C 的吸收速率恰好与14
C 的衰变速率平衡。但一旦动植物死亡，它就停止吸收14C ，于是14C 的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚
死亡时14
C 的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生
物标本现在14C 的衰变速率，由于14
C 的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建
立用14C 测古生物年代的模型（14
C 的半衰期为5568年）。
3. 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代：
（1）1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数（min ?g ），而活树木样本测得的计数为6.68计数（min ?g ），试确定该洞中绘画的年代；
（2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数（min ?g ），活数标本为6.68计数（min ?g ），试估计该建筑的年代。
4. 一容器用一薄膜分成容积为A V 和B V 的两部分，分别装入同一物质不同浓度的溶液。
设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩散，扩散速度与两部分浓度差成正比，比例系数称为扩散系数。试建立描述容器中溶液浓度变化的数学模型。设0A B V V V ==，每隔100s 测量其中一部分溶液的浓度共10次，具体数据为454，499，535，565，590，610，626，650，659，单位为3/m mol 。试建立扩散系数，并决定2h 后两部分中溶液的浓度各为多少。
5. 根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对它拥有量的增加，其销售量)(t s 的下降速度与)(t s 成正比。广告宣传可给销售量添加一个增长速度，它与广告费)(t a 成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M ）。建立销量)(t s 的模型。若广告宣传只进行有限时间t ，且广告费为常数a ，问)(t s 如何变化？
6. 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型
（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。
（2）总人数有限，因而推广速度随着尚未采用的新技术人数的减少而降低。 （3）在（2）的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。
7. 假设某生物种群的增长率不是常数，它以某种的方式依赖于环境的温度。如果已知温度是时间的函数，试给出初始为0N 的生物种群的增长模型。证明种群以指数增长系数
)(t R E 而增长或衰减，即t t R E e t N )()(μ，这个增长系数等于时间依赖增长的平均值。
8. 一群体的增长受自限规律制约。设在一定环境下该群体的生存极限数为8
105?，当
群体中生物很少时，每40mm 增加一倍。若开始时动物分别为710和8
10，求2h 后群体中动
物的总数。
9. 某地有一池塘，其水面面积约为2
100100m ?，用来养殖某种鱼类。在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。
（1）鱼的存活空间为2/1m kg ；
（2）每kg 1鱼每需要的饲料为kg 05.0，市场上鱼饲料的价格为kg /2.0元； （3）鱼苗的价格忽略不计，每kg 1鱼苗大约有500条鱼；
（4）鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长成为鱼，成鱼的重量为kg 2；
（5）池内鱼的繁殖与死亡均忽略；
（6）若q 为鱼重，则此种鱼的售价为 ?????íì￡￡<￡<￡<=25.1/105.175.0/875.02.0/62.0/0q kg q kg q kg q kg Q ???a
???a??
?a???a
（7）该池内只能投放鱼苗。
10. 人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通．如下图，人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾．
设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比。人工肾总长l ．建立单位时间内人工肾带走废物数量的模型．
11. 在鱼塘中投放0n 尾负苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加. （1）设尾数)(t n 的(相对)减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比．分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解．
（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T 才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少
量n n
表示，记作E ，即单位时间捕获量是)(t En ．问如何选择T 和E ，使从T 开始的捕获量最大.
12. 建立肿瘤生长模型．通过大量医疗实践发现肿瘤细胞的生长有以下现象：1)当肿瘤
细胞数目超过1011
时才是临床可观察的；2)在肿瘤生长初期，几乎每经过一定时间肿瘤细胞就增加一倍；3)由于各种生理条件限制，在肿瘤生长后期肿瘤细胞数目趋向某个稳定值．
(1)比较Logistic 模型与Gompertz 模型：N
n
n dt dn ln λ-=，其中)(t n 、N 、λ分别是细胞数、极限值，、参数．
(2)说明上述两个模型是Usher 模型：
))(1(a a λN
n n dt dn -=的特例． 13. 药物动力学中的 Michaelis-Menton 模型为=dt
dx x a kx +-（0,>a k ），)(t x 表
示人体内药物在时刻t 的浓度．研究这个方程的解的性质.
（1）对于很多药物(如可卡因)，a 比)(t x 大得多，Michadis-Menton 方程及其解如何简化．
（2）对于另一些药物(如酒精)，)(t x 比a 大得多，Michaeli-Menton 方程及其解如何简化．
四、补充题
14. 考虑一个受某种物质污染的湖水，假设这个湖的湖水体积V （以立方米计）不变，且污染物质均匀地混合于湖水中。以)(t x 记在任一时刻t 每立方米湖水所含污染物的克数，这是污染程度的一种合适量度，习惯称它为污染浓度。令r 记每天流出的湖水立方米数，由假设，这也等于每天流入湖里的水量。我们的问题是：如果某时刻污染物质突然停止进入湖水，那么需要经过多长时间才能使湖水的污染浓度下降到开始时污染的5%？
15. 构造一个在接种疫苗成为有效防疫手段之前一种传染病蔓延如麻疹的模型。麻疹的潜伏期为0.5周，在这段时间内一个被感染的孩子表面上看来是正常的，但却会传染给别人。过了这段时间后，患病的孩子一直隔离到病愈为止。病愈后的孩子是免疫的。粗略地说，麻疹流行隔年更为严重。
（1）构造一个适用于三种情况的简单的微分方程模型：容易感染的、传染的以及被隔离（或痊愈）
。也适用于由于出生而大量增加易感染者的情况。假设每个感染者随机地与居
液体流动方向
薄膜
血管
血液流动方向
人工肾
民接触，并以概率P 传染给被感染者。
（2）证明你的模型有某种周期性质。如果它不是，就加以修改，因为麻疹流行肯定是趋于周期式地出现的。
（3）估计你的模型中的参数以拟合0.5周期的潜伏期及2年的周期流行的观察结果。估计出的参数值是否实际？
16. 用放射性同位素测量大脑局部血流量的方法如下：由受试者吸入含有某种放射性同位素的气体，然后将探测器置于受试者头部某固定处，定时测量该处的放射性记数率（简称记数率）同时测量他呼出气的记数率。
由于动脉血将肺部的放射性同位素输送到大脑，使脑部同位素增加，而脑血流量又将同位素带离，使同位素减少。实验证明脑血流引起局部地区记数率下降的速度与当时该处的记数率成正比。其比例系数反映该处的脑血流量，被称为血流量系数。只要确定该系数即可推算出脑血流量。动脉血从肺部输送同位素至大脑引起脑部记数率上升的速度与当时呼出的记数率成正比。
17. 给狗一次快速静脉注射常咯啉kg mg /20，
测得血药浓度的动态数据
如右。利用这些数据估计有关二室模型的参数。
18. 多数药物是口服或静脉注射的，并且被血液吸收需要时间。同时药物将由肾排除出。给出这种情况的药物动力学模型。下列是一些关于药物动态的数据。第一种药物
是磺胺嘧啶，第二种药物是水扬酸钠。用O 表示口服，I 表示静脉注射，第2列中的“克”表示原服用量，其余的表示用药后各时刻的血药浓度。检验你的模型拟合的程度？对于不一致的现象你能怎样解释？
19. 本世纪初，在伦敦观察到一种现象，大约每两年发生一次麻疹病流行，生物学家
H.F.Soper试图解释这一现象，他认为，易感人数有新成员不断地补充，根据这一假设，试建立数学模型并解释这一现象。
20. 在北美的五大湖中，安大略湖处于伊利湖的下游，但安大略湖不仅接受伊利湖来的水，还要接受非伊利湖流入
的污染情况。如果流入安大
略的水有5/6是伊利湖流出
的，对它们的污染情况给出
进一步的分析。
假设除去控制不了由
伊利湖自安大略湖的流动
外，流入伊利湖和安大略湖
的所有污染都暂时被停止
了。试计算把安大略净化到
50%以及5%所需要的时间。
21.右表给出了五大湖
中四个湖的观测数据，使用这些数据建模对其中的一个或两个湖的污染给出进一步的分析。
22. 一家环境保护示范餐厅用微生物将剩余的食物变成肥料，餐厅每天将剩余的食物制成浆状并与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料，加入真菌菌种后放入容器内。真菌消化这些混合原料，变成肥料。由于原料充足，肥料需求旺盛，餐厅希望增加肥料产量。由于无力添加
新设备，餐厅希望用增加真菌活力的办法来加速肥料生产。试通过分析以前肥料生产记录
第二章动力学系统的微分方程模型
第二章：动力学系统的微分方程模型 利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。 在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。 §2.1 动力学系统统基本元件 任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。 1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。 惯量（质量）= ） 加速度（力（2 /) s m N 惯量（转动惯量）= ） 角加速度（力矩（2/) s rad m N ? 2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。 对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度k 。 x k F ?= 这里k 称为弹簧刚度，x ?是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹 簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。 3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。阻尼力通常表示为： α x c R = 阻尼力的方向总是速度方向相反。当1=α，为线性阻尼模型。否则为非线性阻 尼模型。应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼力表示为： ||1--=αx x c R 这里的“-”表示与速度方向相反
第三章-微分方程模型
微分方程模型 1.1微分方程模型简介 对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或者变化速度、加速度以 及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。 所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、 化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。微分方程建模是数学 建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色 色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步： 1?、根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系； 2?、找出这些量所满足的基本规律（物理的、几何的、化学的或生物学的等等）； 3?、运用这些规律列出方程和定解条件。 2.1微分方程模型运用实例 例1:发射卫星为什么用三级火箭 采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级 火箭系统？ 下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。 火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析， 并且假设引擎是足够强大的。 首先解决第一个问题：为什么不能用一级火箭发射人造卫星，下面用三个数学模型回答 这个问题： （1 ）卫星进入600km高空轨道时，火箭必须的最低速度。 首先将问题理想化，假设： （i）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动； （ii ）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心； iii）其它星球对卫星的引力忽略不计。 建模与求解：设地球半径为R，质量为M ;卫星轨道半径为r，卫星质量为m。 根据假设（"）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为 GMm F— (1) r 其中G为引力常数。 为消去常数G，把卫星放在地球表面，则由（1）式得 GMm 亠m2 mg 2 或GM 二R g R 再代入（1）式，得
第五章微分方程模型
第五章 微分方程模型 、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化 解： 设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立： 1046750386941868 w dw dt --= 经化简有： 232313956139565429()41868t t w e t e c - =-?+ 假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下： 2323139561395605429()41868t t w e t e w - =-?+ 、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况 解：
（1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下： 2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt =-- （2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题 2()0.003()0.001()0.002(0)1000000 dp t p t p t dt p ?=--???=? 解得 0.0010.0012999998()11000001t t ae p t a ae --+==-其中 当t →∞ 时，2p →。 、 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。 解： 假设初始时刻该放射性物质的原子数位0N ，在时间t 时，该放射性物质的原子个数为N ，设衰变系数为k ，则有下列微分方程： 0,(0)dN kN N N dt =-= 解得 0()kt N t N e =
微分方程模型
数学建模学习辅导 第三章 微分方程模型 本章重点： 车间空气清洁问题、减肥问题、单种群增长问题与多物种相互作用问题等数学模型的建立过程与所使用的方法 复习要求： 1．进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法． 所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样. 微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的． 例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定? 解：模型建立 设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度, 则依平衡原理时间间隔],[t t t ?+内, 酒精浓度的改变量 t t x x ??∝?)(, 即 t t kx t x t t x ?-=-?+)()()( 其中k >0为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 遍除以t ?, 并令0→?t , 则得到 ,d d kx t x -= 且满足40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =. 模型求解 容易求得通解为kt c t x -=e )(, 代入0)0(x x =,得到 kt x t x -=e )(0 则)0(0x x =为所求. 又由,40)5(,56)3(==x x 代入0)0(x x =可得 17.04056e 40e 56e 25030=?=????==--k x x k k k 将17.0=k 代入得 25.93e 5656e 17.03017 .030≈?=?=??-x x >80
常微分课后答案解析第二章
第一章 绪论 §1、1 微分方程:某些物理过程的数学模型 §1、2 基本概念 习题1、2 1.指出下面微分方程的阶数,并回答方程就是否线性的: (1) y x dx dy -=24; (2)0122 2 2=+??? ??-xy dx dy dx y d ; (3)0322 =-+?? ? ??y dx dy x dx dy ; (4)x xy dx dy dx y d x sin 352 2=+-; (5) 02cos =++x y dx dy ; (6)x e dx y d y =+??? ? ??22sin . 解 (1)一阶线性微分方程; (2)二阶非线性微分方程; (3)一阶非线性微分方程; (4)二阶线性微分方程; (5)一阶非线性微分方程; (6)二阶非线性微分方程. 2.试验证下面函数均为方程022 2=+y dx y d ω的解,这里0>ω就是常数. (1)x y ωcos =; (2)11(cos C x C y ω=就是任意常数); (3)x y ωsin =; (4)22(sin C x C y ω=就是任意常数); (5)2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=就是任意常数); (6)B A B x A y ,()sin(+=ω就是任意常数). 解 (1)y x dx y d x dx dy 2 222cos ,sin ωωωωω-=-=-=,所以022 2=+y dx y d ω,故
x y ωcos =为方程的解. (2)y x C y x C y 2 2 11cos , sin ωωωωω-=-=''-=',所以022 2=+y dx y d ω,故x C y ωcos 1=为方程的解. (3)y x dx y d x dx dy 2222sin ,cos ωωωωω-=-==,所以02 2 2=+y dx y d ω,故x y ωsin =为方程的解. (4)y x C y x C y 2 2 22sin , cos ωωωωω-=-=''=',所以022 2=+y dx y d ω,故x C y ωsin 2=为方程的解. (5)y x C x C y x C x C y 2222121sin cos , cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-=',所 以02 2 2=+y dx y d ω,故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解. (6)y B x A y B x A y 2 2 )sin(, )cos(ωωωωω-=+-=''+=',故0222=+y dx y d ω,因 此)sin(B x A y +=ω为方程的解. 3.验证下列各函数就是相应微分方程的解: (1)x x y sin = ,x y y x cos =+'; (2)212x C y -+=,x xy y x 2)1(2 =+'-(C 就是任意常数); (3)x Ce y =,02=+'-''y y y (C 就是任意常数); (4)x e y =,x x x e ye y e y 2212-=-+'-; (5)x y sin =,0cos sin sin 22 2 =-+-+'x x x y y y ; (6)x y 1- =,12 22++='xy y x y x ; (7)12 +=x y ,x y x y y 2)1(2 2 ++-='; (8))()(x f x g y = ,) () ()()(2x f x g y x g x f y '-'='.
常微分课后答案解析第二章
第一章 绪论 §1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型 §1.2 基本概念 习题1.2 1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的： （1） y x dx dy -=24； （2）0122 2 2=+??? ??-xy dx dy dx y d ； （3）0322 =-+? ? ? ??y dx dy x dx dy ； （4）x xy dx dy dx y d x sin 352 2=+-； （5） 02cos =++x y dx dy ； （6）x e dx y d y =+??? ? ??22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程． 2．试验证下面函数均为方程02 2 2=+y dx y d ω的解，这里0>ω是常数． （1）x y ωcos =； （2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =； （4）22(sin C x C y ω=是任意常数)； （5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．
解 （1）y x dx y d x dx dy 2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以02 2 2=+y dx y d ω，故x y ωcos =为方程的解． （2）y x C y x C y 2 2 11cos , sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dx y d ω，故 x C y ωcos 1=为方程的解． （3）y x dx y d x dx dy 2 222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以022 2=+y dx y d ω，故x y ωsin =为方程的解． （4）y x C y x C y 2 2 22sin , cos ωωωωω-=-=''='，所以022 2=+y dx y d ω，故x C y ωsin 2=为方程的解． （5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos , cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='， 所以022 2=+y dx y d ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 2 2 )sin(, )cos(ωωωωω-=+-=''+='，故02 2 2=+y dx y d ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解． 3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）x x y sin = ，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2 =+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-； （5）x y sin =，0cos sin sin 22 2 =-+-+'x x x y y y ； （6）x y 1- =，12 22++='xy y x y x ； （7）12 +=x y ，x y x y y 2)1(2 2 ++-='；
第二章 微 分 方 程 模 型.
第二章 微 分 方 程 模 型 建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来。这一章我们由浅入深地介绍一些微分方程模型。 2.1 简单模型 例1 物体在空气中的下落与特技跳伞问题 假设质量为m 的物体在空气中下落，空气阻力与物体的速度平方成正比，阻尼系数为k （>0）,求物体的运动规律。 解 所谓运动规律即下落距离与时间的关系，如图2.1.1, 建立坐标系。设x 为物体下落的距离，于是物体下落的速度为 dx v dt =， 加速度为 22d x a dt =， 根据牛顿第二定律F ma =，可以列出微分方程 2 22d x d x m k m g d t d t ?? =-+ ???, （2.1.1） 负号表示阻力方向与速度方向相反。 例2 单摆的自由振动问题。 如图2.1.2 为一个单摆，上端固定在O 点，M 为一质量为m 的质点，摆杆OM 之长为L （摆杆的质量忽略不计）。单摆的平衡位置为铅垂线'OO 。将质点M 拉开，使OM 与'OO 成一个角度0θ，然后放手任其自由运动，试求摆杆OM 和铅垂线'OO 的夹角θ与时间t 的关系。 解 将重力分解为径向力F 与切向力T ，T 的大小为sin mg θ，M 的切向加速 度为22d a L dt θ =，于是，由牛顿第二定律，列出微分方程 22s i n d m a m L m g dt θ θ== ， 即 22s i n d g dt L θθ=-， （2.1.2）
设初始时刻0t =，摆杆的初始位置为0θ，初始角速度为0，则单摆的运动规律的研究就化为微分方程的初值问题 ()()22 00' 0s i n ,,0.t t d g dt L t t θθθθθ==?=-??? =??=??? （2.1.3） 图2.1.1 图2.1.2 例3 考古和地质学中文物和化石年代的测定问题。 考古、地质学等方面的专家常用14C （碳14）来估计文物或化石的年代。它们的依据是，宇宙射线不断轰击大气层，使之产生中子，中子与氧气作用生成具有放射性的14C 。这种放射性碳可以氧化成二氧化碳。二氧化碳被植物所吸收，而动物又以植物为食物，于是放射性碳就被带到各种动植物体内。由于14C 是放射性的，无论存在于空气中或生物体内它都在不断衰变，活着的生物通过新陈代谢不断地摄取14C ，使得生物体内的14C 与空气中的14C 有相同的百分含量。生物体死后它停止摄取14C ，因而尸体内的14C 由于不断衰变而不断减少。碳定年代法就是根据14C 的衰变减少量的变化情况来判定生物的死亡时间的。 基本假设 （1）现代生物体中14C 的衰变速度与古代生物体中14C 的衰变速度相同（依据是地球周围大气中14C 的百分含量可认为基本不变，即宇宙射线照射大气层的强度自古至今基本不变）； （2）14C 的衰变速度与该时刻14C 的含量成正比（这条假设的根据来自于原子物理学理论）。 下面用微分方程建模。 设在时刻t （年）生物体中14C 的存量为()x t ，由假设（2）知
第2章习题解答
习题解答 1. 系统的微分方程为()4()2()x t x t u t '=-+，其中()u t 是幅度为1，角频率为1rad/s 的方波输入信号，试建立系统的Simulink 模型并进行仿真。 解：用积分器直接构造求解微分方程的模型 由原微分方程()4()2()x t x t u t '=-+可知 x '经积分模块作用就得x ，而x 经代数运算又产生x '，据此可以建立系统模型并仿真，实现建模与仿真步骤如下。 ⑴利用Simulink 模块库中的基本模块，不难建立系统模型，如题图1所示。 题图1 求解微分方程的模型 模型中各个模块说明如下。 ①()u t 输入模块：它的参数设置如题图1(a)所示，模块名称由原来的Pulse Generrator 改为()u t 。 题图1(a) ()u t 输入模块的参数设置
②Gs 增益模块：增益参数Gain 设置为2。 ③求和模块：其图标形状Icon shape 选择rectangular ，符号列表Lisl of signs 设置为+-。 ④积分模块：参数不需改变。 ⑤G 1增益模块：增益参数设置为4，它的方向旋转可借助Format 菜单中的Rotate Block 命令实现。 ⑥Scope 示波器：在示波器参数设置窗口选择Data history 页，选中其中的Save data to workspace 复选框。这将使送入示波器的数据同时被保存在MA TLAB 工作空间的默认名为ScopeData 的结构矩阵或矩阵中。 ⑵设置系统仿真参数。单击模型编辑窗口Simulation 菜单中的Configuration Parameters 选项，打开仿真参数设置对话框，选择Solver 选项，把仿真的停止时间Sto ptime 设置为20。 ⑶仿真操作。双击示波器图标，打开示波器窗口。选择模型编辑窗口中Simulation 菜单中的Stan 命令，就可在示波器窗口中看到仿真结果的变化曲线，如题图1(b)所示。 题图1(b) 仿真结果 2. 建立使用阶跃信号为输入信号，经过传递函数为1 5.01 s 的一阶系统的Simulink 模型并进行仿真。要求：⑴查看其输出波形在示波器上的显示；⑵修改仿真参数Max step size 为2、Min step size 为1,在示波器上查看波形；⑶修改示波器Y 坐标轴范围为0~2，横坐标范围为0~15，查看波形。 解：⑴①利用Simulink 模块库中的基本模块，不难建立系统模型，如题图2所示。 题图2 一阶系统的Simulink 模型 模型中各个模块说明如下。 ()u t 输入模块：它的step time 被设置为0，模块名称由原来的step 改为()u t 。 Transfer Fon 传递函数模块：在Denominator coefficient 文本框中定义分母多项式系数向量为[0.5 1]。
微分方程模型习题
（微分方程模型） ．一个半球状雪堆，其体积融化地速率与半球面面积成正比，比例系数 > .设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为且小时中融化了总体积地，问雪堆全部融化还需要多长时间？ ．从致冰厂购买了一块立方体地冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了 （）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变） （）如运输时间需要小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？ ．一展开角为α地圆锥形漏斗内盛着高度为地水，设漏斗底部地孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中地水流光需要多少时间？ ．容器甲地温度为度，将其内地温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为度，又过十分钟后温度计读数为度，试求容器乙内地温度. ．一块加过热地金属块初始时比室温高度，分钟测得它比室温高度，问：（）小时后金属块比室温高多少？（）多少时间后，金属块比室温高度？ ．设初始时容器里盛放着含净盐千克地盐水升，现对其以每分钟升地速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟升地速率放出盐水，求小时后容器里地盐水中还含有多少净盐？ ．某伞降兵跳伞时地总质量为公斤（含武器装备），降落伞张开前地空气阻力为,该伞降兵地初始下落速度为，经秒钟后降落伞打开，降落伞打开后地空气阻力约为试球给伞降兵下落地速度(),并求其下落地极限速度. ．年月日英国人创建了一项最低开伞地跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地英尺时才打开降落伞，试求他落地时地速度. ．证明对数螺线上任一处地切线与极径地夹角地正切为一常数，（）．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为.现有一包裹从离地米高地飞机上落下，（）求其落地时地速度（）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹地速度会随高度而任意增大吗？ ．生态学家估计人地内禀增长率约为，已知年世界人口数为亿（×）而当时地人口增长率则为.试根据模型计算：（）世界人口数地上限约为多少（）何时将是世界人口增长最快地时候？ ．早期肿瘤地体积增长满足模型（λ，其中λ为常数），（）求肿瘤地增倍时间 σ.根据统计资料，一般有σ()（单位为天），肺部恶性肿瘤地增倍时间大多大于天而小于天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质地重要参数之
第五章----微分方程模型
第五章 微分方程模型 5.1、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？ 解： 设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢， 减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立： 1046750386941868 w dw dt --= 经化简有： 232313956139565429()41868t t w e t e c -=-?+ 假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下： 2323139561395605429()41868t t w e t e w - =-?+ 5.2、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？ 解： （1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下： 2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt =-- （2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题
2机械控制工程基础第二章答案解析
习 题 2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统? (1) x x x x x i o o o o 222=++ (2) x tx x x i o o o 222=++ (3) x x x x i o 222o o =++ (4) x tx x x x i o o o 222o =++ 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。 2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。 图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有
x m x c x x c i o o 2 o 1 )(=-- 即 x c x c c x m i 1 2 1 o o )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有 )1()()(1 x x c k x x o i -=- )2()(2 x k x x c o o =- 消除中间变量有 x ck x k k x k k c i o 1 2 1 o 2 1 )(=-- (3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 x k x x k x x c o o i o i 2 1 )()(=-+- 即 x k x c x k k x c i i o o 1 2 1 )(+=++ 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。 图（题2.3） 解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有 ?+=idt C i R u o 12 2 i R u u o i 1 1=-
第三章,微分方程模型
第三章 微分方程建模 在许多实际问题的研究中，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，此时即可用建立微分方程模型的方法来研究实际问题。例如，根据自由落体运动的重力加速度g 为常数及初始条件即可得出自由落体运动的公式、根据单摆的受力分析及牛顿第二定理即可得到单摆运动满足的方程等等就是典型的实例。本章除了介绍一些来自经典力学的物理及一些几何方面的微分方程问题以外，也介绍了一些稍有不同的微分方程应用题。这些模型研究的主要是来自于非物理领域的实际问题，对这些问题，我们将分析其特征，根据具体情况进行类比，提出假设条件并建立微分方程模型加以研究。提出的假设条件不同，将会导出不同的微分方程。最后还要将求解的结果与实际现象进行对比，如果差异较大还应反复修改假设建立新的模型。因此，在这类模型中，微分方程被当成了研究问题的工具。事实上，在连续变量问题的研究中，微分方程或微分方程组还是十分常用的数学工具之一。 §3.1 几个简单实例 例3.1 （理想单摆运动的周期） 本例的目的是建立理想单摆运动满足的微分方程，由该微分方程即可得出理想单摆运动的周期公式。 （图3-1） 从图3-1中不难看出，小球所受的合力为 θsin mg ，根据牛顿第二定律可得： θθ sin mg ml -= 从而得出两阶微分方程： sin 0 (0)0,(0)g l θθθθθ?+=???==? （3.1） 这就是理想单摆运动满足的微分方程。 （3.1）是一个两阶非线性常微分方程，不容易求解。根据微积分知识，当θ很小时，有sin θ≈θ，此时，为简单起见，我们可考察（3.1）的近似线性方程：
第5章 微分方程模型
第5章 微分方程模型 一、讨论题 1. 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？ 2. 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。 3. 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。 4. 两棵不同类别的植物种在一起，按比例吸取养料，试建立它们的生长模型。 二、思考题 1、具有什么样特征的数学建模问题需要用微分方程方法建立模型？ 2、用微分方程方法建立数学模型的基本步骤是什么？应注意哪些问题？ 3、某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌？ 三、习题 1. 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型 )(003.0) (t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速 率是)(001.02 t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平 均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？ 2. 用具有放射性的14 C 测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子 与氮结合产生14C 。植物吸收二氧化碳时吸收了14C ，动物食用植物从植物中得到14 C 。在 活组织中14C 的吸收速率恰好与14 C 的衰变速率平衡。但一旦动植物死亡，它就停止吸收14C ，于是14C 的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚 死亡时14 C 的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生 物标本现在14C 的衰变速率，由于14 C 的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建 立用14C 测古生物年代的模型（14 C 的半衰期为5568年）。 3. 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代： （1）1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数（min ?g ），而活树木样本测得的计数为6.68计数（min ?g ），试确定该洞中绘画的年代； （2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数（min ?g ），活数标本为6.68计数（min ?g ），试估计该建筑的年代。 4. 一容器用一薄膜分成容积为A V 和B V 的两部分，分别装入同一物质不同浓度的溶液。
5-1微分方程模型cpdf
第五章微分方程模型 5.1传染病模型 5.2经济增长模型 5.3减肥A计划模型 5.4油画赝品鉴定模型
5. 1 传染病模型 问题?2003年的非典SARS令人谈虎色变 ?描述传染病的传播过程 ?分析受感染人数的变化规律 ?预报传染病高潮到来的时刻 ?掌握预防传染病蔓延的手段 ?按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
已感染人数(病人infective) 为i (t )?每个病人每天传染的人数为λ模型1指 数增长假设 ()()i t t i t +?-=事实上若病人接触的也是病人，则病人数并未增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模：病人增量为传染人数在时间段内的累积 ∞→?∞→i t t e i t i λ0)(=病人趋向无穷多，是否全都变成病人?世界末日? 分离变量方程()i t λ()()i t t i t t +?-=?()i t λ(类似人口增长模型!)(常微分方程初值问题IVP!) di dt 0(0)i i =设初始病人数(取极限)???t ?i λ=
di dt =s =模型2区分已感染者(病人infective)和未感染者(健康人susceptible)假设令Δt 趋向于0取极限得分离变量方程[()()]i t t i t +?-=?????=-=)0()1(i i i i dt di λλ~ 日接触率SI 模型0(),()1,i t s t <<()()s t i t +=1）总人数N 不变，病人数为2）每个病人每天有效接触人数为λ, 且使接触的病人比例为i (t )Ni ,Ns λs 个健康人致病，λs Ni λs Ni Δt ，同时等于总人数N 乘以比例增量: ()i t t λ?N ()Ns t 1(100%!)0i (初值!)有Ni 个病人，每天感染Δt 天中病人人数增量为健康人比例为s (t )健康人数 个健康人，(对比指 数模型!)1i -si λ(消元!)
第二章：动力学系统的微分方程模型
第二章：动力学系统的微分方程模型 利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌 握一定的建立数学模型 的方法。在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程 来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或 者差分方程模型等。在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论 和方法。 在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般 是高阶微分方程；另一 种是离散系统，它的数学模型是差分方程。 § 2.1 动力学系统统基本元件 任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有 3种类型的基本机械元 件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。 1惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件， 惯量可以定义为使加速度 （或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。 2弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件, 力做功来储存能量。按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹 簧来表示。 对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比， 比例常数为弹簧刚度 k 。 F Wx 这里k 称为弹簧刚度， 级是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹 簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧， 它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。 3阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量， 而不储存能量，可以形 象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。阻尼力通常表示为： D a R = ex 阻尼力的方向总是速度方向相反。当 1，为线性阻尼模型。否则为非线性阻 尼模型。应注意当:等于偶数情况时，要将阻尼力表示为： R - -ex | x 4 | 这里的"-”表示与速度方向相反 惯量（质量） 力（N ） 加速度（m/ s 2 ） 惯量（转动惯量） 力矩（N m ） 角加速度（rad / s 2 ） 这种元件可以通过外
微分方程模型
微分方程模型 重点： 车间空气清洁问题、减肥问题、单种群增长问题与多物种相互作用问题等数学模型的建立过程与所使用的方法 要求： 1．进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法． 所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样. 微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的． 例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定? 解：模型建立 设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度, 则依平衡原理时间间隔],[t t t ?+内, 酒精浓度的改变量t t x x ??∝?)(, 即 t t kx t x t t x ?-=-?+)()()( 其中k >0为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 遍除以t ?, 并令0→?t , 则得到 ,d d kx t x -= 且满足40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =. 模型求解 容易求得通解为kt c t x -=e )(, 代入0)0(x x =,得到 kt x t x -=e )(0 则)0(0x x =为所求. 又由,40)5(,56)3(==x x 代入0)0(x x =可得 17.040 56e 40 e 56 e 25030=?=????==--k x x k k k 将17.0=k 代入得 25.93e 5656e 17.03017.030≈?=?=??-x x >80 故事故发生时,司机血液中的酒精浓度已超出规定.
[数学]第二章微分方程模型
第二章微分方程管模型 第一节人口学模型 人口问题是当今世界人类面临的五大问题的首要问题。我国是世界上人口最多的国家，由于20世纪五六十年代人口政策方面的失误，不仅造成人口总数增长过快，而且年龄结构也不合理。人口的过份增长给我国经济发展造成沉重袍袱，严重地影响经济建设。能否有效地控制人口的增长，已成为本世纪中叶我国能否达到中等发达国家以至赶上发达国家的关键。 建立数学模型对人口发展过程进行描述、分析和预测，并进而研究控制人口增长的生育政策，已引起有关人口专家和官员的极大关注和兴趣。以下我们就如何建立人口数学模型作简要的介绍。 一. 马尔萨斯人口增长模型 对于如何预测人口的增长，早在8世纪人们就开始进行了。英国早期经济学家马尔萨斯(1766-1843)他在担任牧师期间，根据教堂100多年人口出生统计资料，他发现人口出生率是一个常数。于是在1798年发表的《人口原理》一书中提出了哄动于世的马尔萨斯人口模型：假设x(t)表示t时刻人口总数，r为人口增长率(常数)，其他影响人口增长的因素均不考虑。则在t到t+△t这段时间内人口总数增长为 ()()() +?-=? x t t x t rx t t
两端同除以t ?，并令0t ?→，得 ()00dx rx dt x t x ?=???=? ……… (1) 其解为 ()() 00r t t x t x e -= (2) 方程(1)称为马尔萨斯模型，它的解是一个以r e 为公比的几何级数。马尔萨斯根据这个模型认为人口的增长是按几何级数增加，而物质的增长只能按算术级数增加。因此，人口必须加以控制。不幸的是马尔萨斯的这一忠告没有引起人们的足够重视。 马尔萨斯模型 (1) 和 (2) 与19世纪以前欧州一些地区的人口统计数据十分吻合。据估计1961年全世界人口总数为93.0610?,而在此之前的十来年间人口按年2％的速率增长。因此有 9001961, 3.0610,0.02t x r ==?= 于是 ()()0.02196193.0610t x t e -=?? (3) 根据统计资料，在1700—1961年间世界人口大约每35年增加一倍。由(3)式可以算出每34.6年人口增加一倍。 事实上，设在0T t t =-内地球上人口增加一倍，即当0t t =时， 90.0209 0 3.0610 3.0610x e ?=??=?,当0 T t t =-时，90.0202 3.0610,T x e =?所以