高中数学(必修一)第二章 函数教案

第二章 函 数

2、1 函数的概念 2、1、1函数及其表示法

第一部分 走进预习

【预习】教材,了解： 1、函数的定义 2、函数的表示法。 3.函数的图象

第二部分 走进课堂

2、1、1函数及其表示

【复 习】1、初中函数的定义

2、在初中我们学习了哪些具体函数？

指出：现在，我们学习了集合的概念，我们想从两集合间的关系的角度来研究函数及其表示法。

【探索新知】函数及其表示法

例子1、一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m 。 炮弹距地面的高度h （单位m ）随时间t (单位s)变化的规律是：2

5130t t h -=。 炮弹飞行时间t 的变化范围是数集 {

0|t A =≤t ≤}26。 炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集 {0|h B =≤h ≤}845。

例子2、如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况。

时间t 的变化范围是数集{

1979|t A =≤t ≤}

2001。 臭氧层空洞的面积S 的变化范围是数集{0|S B =≤S ≤}26。

下表是“1991年～2001年”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况：

时间（年） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 城镇家庭恩格尔系数

53.8

52.9

50.1

49.9

49.9

48.6

46.4

44.5

41.9

39.2

37.9

总支出金额食物支出金额恩格尔系数=

{}2001,2000,1999,1998,1997,1996,1995,1994,1993,1992,1991=A

{}9.37,2.39,9.41,5.44,4.46,6.48,9.49,9.49,1.50,9.52,8.53=B

问题：例子1、2、3有什么共同的特征？

知识点一函数的定义：

一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．

记作“f ：A →B ” 或x x f y ),(=∈A,y ∈B

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合C={f (x )| x ∈A }叫做函数的值域,C ?B 注意：构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

其中A 是函数的定义域，函数值y 的集合C 是函数的值域， 注意：)(a f 的意义

知识点二函数的表示法：

再看例子：

1、下列对应关系是否是函数？

2、下列曲线表示函数吗？

3、用函数的定义解释下列函数，并求出其定义域和值域。

(1)

32+-=x y ,

x

y 4

= , 5322++-=x x y

(2)

)21(32≤<-+-=x x y ,

)1(4

>=

x x

y , )21(5322<≤-++-=x x x y

问题：函数有几个要素？

A （1） 0 1 2 1 12 f:取倒数 B

(3) f:

1 3 4 1 -1

2 -2

A B f:乘2 （4） 1 2 3 2 7 4 6

A B （2） f:开平方 1 4 1 -1 2

-2 A B x y

o x y o

例子：下列两函数是否相同？ 1、

2、)(12)(R x x x f ∈+=与)10(12)(<<+=x x x g

3、4)(2

-=x x f 与22)(+?-=x x x g 4、1)(=x f 与x

x

x g =

)( 5、x x f =)(与2)(x x g = 6、x x h =)(与33)(x x e =

知识点三求函数值

例1、已知253)(2

+-=x x x f ，求)3(f ，

)

2(-f ，)1(+a f

例2、已知18)(+=x x f ，x x x g +=2

)(

求))((x g f ，)2)((+x g f ，))((x f g ，)20)3((-f g

3、已知)(x f =??

?

??+--10122x x 000<=>x x x ，求

)1)1((-f f , )3)2((+-f f

例4、已知???-=2)

1(2)(x x

x f 1

1<≥x x

（1）若

4)(0=x f ，求0x （2）若4)(0≥x f ，求0x 的取值范围。

(1) B A 1 4 6 1 -1 2 f

1 6

(2)

f 1 -1 2 A B

同步巩固：

1.已知???++=)1(12)(x f x x f 1

1<≥x x ，求)2(-f

2.已知19)(+=x x f ，2

)(x x g =，)2)(())((-=x f g x g f ，求x

课后练习： 1、已知112)(+=x x f ，2

)(2-=x x g ，求

))(2(x g f +，)1)((-x f g

2、已知????

?-=x x x f 2)( 00<≥x x ，??

???=21)(x x x g 00≤>x x

（1） 当x ≤0时，求))

((x g f ；（2）当x ＞0时，求)1)((+x f g

3、已知)(x f =???++)

2(2x f x x 4

4

≤>x x ，求)2(-f

2、1、2 画函数的图像 第一部分 走进预习

【预习】教材，了解一些函数图象的画法：

1、和函数一次函数、反比例函数和二次函数相关函数的图象。

2、分段函数图像的画法 第二部分 走进课堂

【探索新知】画函数的图像

例1、一次函数、反比例函数和二次函数

（1）32+=x y ，23+-=x y （2）x

y 2=

，x y 3

-=

（3）x x y 322+=，322++-=x x y , 3422

+-=x x y ，122++-=x x y

例2、在1中限制x 的范围，再画函数的图像。 例3、和绝对值联系

（1）3||2+=x y ，|32|+=x y （2）

||322x x y +=，|32|2x x y +=

例4、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元。

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出这函数的图像。

再如：（1）?????-=101

)(x F 0

00<=>x x x （2）??

?

??-+=10

1)(2x x x G 000<=>x x x 指出：并不是所有的函数都能画出图象，例如 ??

?=01)(x D Q

x Q

x ?∈就不能用图象表示。 同步巩固：

画出下列函数的图像

1.x x y 422+-=

2. x x y 422

+-=（1-x <≤

2

3） 3.||422x x y +-= 4. |42|2x x y +-=

【课后作业】

1、画和二次函数相关函数图像

（1） 322--=x x y （2-≤4

（3）

|32|2--=x x y

2、画分段函数的图像

??????

?+-+=1

211)()1(2

x x x D 111<=>x x x ???+--=14)()2(2x x x e Z x x Z x x ∈-≤<-∈≤<-,14,31

2、1、3 映射与函数

一部分走进预习

【预习】教材第34～37页，了解：

1、映射的定义。

2、区间的概念。

第二部分走进课堂

【复习】1、初中函数的定义

2、高中函数的定义。

【探索新知】

一、映射的定义

（一）创设情景，揭示课题

复习初中常见的对应关系

1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点p和它对应；

2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（,x y）和它对应；

3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；

5．函数的概念．

（二）研探新知

1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．

2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：

（1）开平方；

（2）求正弦；

（3）求平方；

（4）乘以2．

归纳引出映射概念：

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A →B为从集合A到集合B的一个映射．

记作“f：A→B”

注意映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；

一一映射：对于映射“f：A→B”，如果A中的任意一个元素在B中都有对应的象，B中的任意一个元素在A中都有对应的原象，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B 的一一映射．

问题：函数与映射有什么区别？ 例子：

1、{}

是平面内三角形x x A |=，{}是平面内的圆

x x |B

= :f 画三角形的外接圆。

2、{}

是平面内三角形x x A |=，R =B

:f 求三角形的面积。

3、

{}是平面内的点

P P A |=，{}R y R x y x ∈∈=,|)B ，（ :f 在平面直角坐标系下找点P 的坐标。

4、

{}是我们班级内的学生

x x A |= {}是我们班级内的椅子

x x |B = :f 每位同学坐一把椅子。

问题：

1.下列例子是映射吗？

A B 0 1

2 12 2f:取倒数 （1） （2） f:开平方 1 4

1 1

2 3

A B

f:平方 1 3 4 1

-1

2

-2

(3) A

B 1 2 3

2 4 6

f:乘2

(5) A B f:平方 1 3 7 4

1 -1 2

-2

(4)

A B

2．在下图中的映射中，A 中元素600的象是什么？B 中元素

2

2

的原象是什么？ A 求正弦 B

归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是A 集合中的元素都要有象，但B 中元素未

必要有原象；二条是A 中元素与B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．

思考 ：

1.已知f 是集合A 上的任一个映射，试问在值域f (A)中的任一个元素的原象，是否

都是唯一的？为什么？

2．已知集合}{}{

,,1,0,1,A a b B ==-从集合A 到集合B 的映射，试问能构造出多少映射？

二、区间的概念

请在下列空白处填写集合的区间表示。 ①{}b x a x <<|__________ ②{}b x a x ≤≤|___________ ③{}b x a x <≤

|__________ ④{}b x a x ≤<|__________

⑤{}a x x >| __________ ⑥{}a x x ≥| ____________ ⑦{}a x x <| __________ ⑧{}a x x ≤| _____________ 将下列不等式的解集用区间表示：

(1) 2

7120x x -+>； (2) 2

230x x --+≥；

(3) 2

210x x -+<； (4) 2

220x x -+<．

300 450 600

900 12

22

32

2、1、4求函数解析式 【复 习】 1、已知1

432)(+-=x x

x f ，求)1(-f ，)13(-x f 。

2、已知2)(2

-=x x f ，求)1(x

x f +

。

3、已知12)(-=x x f ，求))((x f f 。

【探索新知】求函数解析式

问题：在【复 习】1中，若已知)13(-x f ，你能求)(x f y =吗？ 例1、已知3

1295)13(--=-x x

x f ，求)(x f y =

例2、已知221

)1(x

x x x f +=+，求)(x f y =

又如：已知4

2

1

)1(x x f =

-，求)(x f 。

例3、已知)(x f 为一次函数，且34)]([-=x x f f ，求)(x f y =

又如：已知)(x f 为二次函数，且x x x f x f -=-+2

3)(2)(，求)(x f y =

例4、已知对一切R x ∈，x x x f x f -=-+2

3)(2)(，求)(x f y =

又如：已知

x x

f x f 4)1

(3)(2=+，求)(x f y =

同步巩固：

1、已知5)2

43(

+=--x x x

f ，求)5(f

2、已知3

3

1)1(x x x x f +=+，求)(x f y =

3、已知)(x f 为二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2

-=-++，求)(x f y =

4、已知对一切R x ∈，x x f x f =-+-)2(3)2(，求)(x f y =

【课后作业】 1、已知5)1

24

3(+=-+x x x f ，求)(x f y =

2、已知2

2

1

)1(x x x x f +

=-，求)(x f y =

3、已知)(x f 为一次函数，且1)]([+=x x f f ，求)(x f y =

4、已知对一切R x ∈，x x x f x f +=-+2

)1(2)(，求)(x f y =

2、1、5求函数定义域 第一部分 走进复习

【复 习】1、初中函数的定义

2、高中函数的定义。

第二部分 走进课堂 【探索新知】

问题：在给出函数时，有时直接指明了函数的定义域；也有的时候，给出函数解析式，但并不写函数的定义域，这时函数的定义域指的是什么呢？

例1、求下列函数的定义域 （1）1

31

-=x y （2）122++-=x x y

（3）+-=

131x y 122++-x x （4）122++-=x x y 5

14312-++x x

反思总结：

指出：对于实际问题，函数的定义域由实际背景确定。

例如：某超市日销售一种饮品50瓶，每瓶2,50元，由日常销售经验知：若每瓶价格提高1

元，则每天就少卖10瓶，试写出日销售金额与价格的函数关系式。

将例1（2）变为分类讨论问题 例2、求下列函数的定义域

（1）a x x y ++-=22 （2）12++=x ax y

我们再看例1（2） 的逆向思维 例3、已知函数12++=x ax y 的定义域为R, 求a 的取值范围

例4、已知函数b x ax y ++=2的定义域为]1,2

1[-, 求b 、a 的值.

再看复合函数的定义域

例5（1）已知函数)(x f y =的定义域为1[-，]3，求)23(-=x f y 的定义域

（2）已知函数)23(-=x f y 的定义域为]3

5,31[，求)(x f y =的定义域

（3）已知函数)23(-=x f y 的定义域为]3

5,31[，求)43(x f y -=的定义域

反思总结：

同步巩固：

1、求下列函数的定义域 （1）3

212--=x x y （2）3

21

2--=

x x y

2、求函数x

ax y 212

-=的定义域

3、已知函数3

12

-+=bx ax y 的定义域为{}31|>-

提高训练题： 1、已知1

41

)(2

2

++-=m mx mx x f 定义域为R, 求m 的取值范围

2、已知1

41

)(2

+-=m x m x x f 的定义域为R, 求m 的取值范围

3、已知函数)4(x f y -=的定义域为]3,1[-，求)12(-=x f y 的定义域

§1．3．1函数的最大（小）值

一．教学思路

（一）创设情景，揭示课题．

画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

①()3f x x =-+ ②()3

[1,2]f x x x =-+∈-

③2()21f x x x =++ ④2()21[2,2]f x x x x =++∈- （二）研探新知

1．函数最大（小）值定义

最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值．

思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义． 注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有

()(())f x M f x m ≤≥．

2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法． ①配方法 ②换元法 ③数形结合法 （三）质疑答辩，排难解惑．

例1．（教材P 36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解（略）

例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

解：设利润为y 元，每个售价为x 元，则每个涨（x －50）元，从而销售量减少10(50),x -个共售出500-10(x-50)=100-10x(个)

∴y=(x-40)(1000-10x)

9000(50x +≤2=-10(x-70)＜100）

∴max 709000x y ==时

答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．

例3．求函数2

1

y x =-在区间[2，6] 上的最大值和最小值． 解：（略）

例4．求函数1y x x =+-的最大值． 解：令2101t x x t =-≥=-+有则 2

2

151()02

4

y t t t t =-++=--+

≥

2

1()02

t ∴-

-≤ 2155

()244t ∴--+≤

.∴5原函数的最大值为4

（四）巩固深化，反馈矫正．

（1）P 38练习4

（2）求函数|3||1|y x x =--+的最大值和最小值．

（3）如图，把截面半径为25cm 的图形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x ，面积为y ，试将y 表示成x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

（五）归纳小结

求函数最值的常用方法有：

（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．

（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值． （3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．

同步巩固：

3．课本P 45（A 组） 6．7．8 4．求函数21y x x =+-的最小值．

5．求函数2

23y x x x =-+当自变量在下列范围内取值时的最值． ①10x -≤≤ ② 03x ≤≤ ③(,)x ∈-∞+∞

提高训练题：

25

1、已知1

243)(+-=x x

x f ，不等式a x f <)(对一切1`3-≤≤-x 成立，求实数a 的取值范围。

2.已知1

243)(+-=x x

x f ，存在1`

3-≤≤-x 使不等式a x f <)(成立，求实数a 的取值范围。

3.求)01(452≤≤-+-=x x x y 的最大值及相应的x 值。

2、2、1 函数的性质

2、2、1 函数的单调性

【预 习】教材，了解：

（1）增函数和减函数的定义：①图形语言 ②符号语言 （2）单调性和单调区间的定义 【导 言】

从这一节开始我们研究函数的性质，函数的性质主要指单调性、奇偶性和周期性。我们首先来研究函数的单调性。 【探索新知】

2、2、1函数单调性的定义 例子： 对于函数

2)(x x f =

图形语言：在),0(+∞上，

y 随x 的增大而增大； 在)0,(-∞上，

y 随x 的增大而减小。

请同学们将图形语言改为符号语言，就得到增函数和减函数的定义。 知识点一 ①增函数的定义：

如果函数f(x)在区间（a,b ）上有定义，对于任意的x 1,x 2∈（a,b ）,当x 1

如果函数f(x)在区间（a,b ）上有定义，对于任意的x 1,x 2∈（a,b ）,当x 1f(x 2), 那么函数f(x)在区间（a,b ）上严格递减。即函数f(x)在区间（a,b ）上是减函数。 函数f(x)在区间（a,b ）上严格递减，其图像是下降的。

x

y 1=

1

)(=x f

知识点二

单调性和单调区间的定义：

利用单调性的图形语言可以判断下列函数的单调性： ①x

x f 1)(=

②x x x f 2)(2

-= ③

||2)(2x x x f -= ④|2|)(2x x x f -=

例1、判断下列说法是否正确 （1）如图是)(x f y =的图像 取41-=x ，22=x

显然21x x <，],35[21-∈x x 、

)()(21x f x f <

所以)(x f y =在],35[-上是增函数。

（2）若)(x f y =在b)(a,上是增函数，在c)[b,上是增函数，于是)(x f y =在c)(a,上也是增函数。

注意：函数的单调性离不开区间。 例2、用函数单调性的定义证明

（1）32)(2

++-=x x x f 在)4

1,(-∞上是增函数。

（2）1)(3+-=x x f 在,0)(-∞上是减函数。

反思总结：

-1

x

y

-4 -2 -3 1 2 3

1

-1

-5 )(x f y =