2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷,含解析)_123

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖南卷，含解析）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知

2

(1)i

z

-

=1+i（i为虚数单位），则复数z=( )

A、1+i

B、1-i

C、-1+i

D、-1-i 【答案】D

【解析】

试题分析：.由题根据所给复数式子进行化简即可得到复数z的代数式；

由题

22

(1)(1)22(1i)

1,1

112

i i i i

i z i

z i i

-----

=+∴====--

++

，故选D.

考点：复数的运算

2、在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示;

若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( )

A、3

B、4

C、5

D、6

【答案】B

考点：茎叶图

3、设x∈R，则“x>1”是“2x>1”的（）

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

试题分析：.由题根据明天的关系进行发现即可得到所给两个明天的关系；由题易知“x>1”可以推得“2x>1”，“2x>1”可以得到“x>1”，所以“x>1”是“2x>1”的充要条件，故选C.

考点：命题与条件

4、若变量x、y满足约束条件

1

1

1

x y

y x

x

+≥

?

?

-≤

?

?≤

?

，则z=2x-y的最小值为( )

A、-1

B、0

C、1

D、2 【答案】

A

考点：简单的线性规划

5、执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=( )

A、6

7

B、

3

7

C、

8

9

D、

4

9

【答案】B

考点：程序框图

6、若双曲线

22

22

1

x y

a b

-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为

A、

3 B、

5

4

C、

4

3

D、

5

3

【答案】D

【解析】

试题分析：由题利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．

因为双曲线

22

22

1

x y

a b

-=的一条渐近线经过点（3，-4），222

5

34916

3

c

b a

c a a e

a

∴=∴-=∴=

，（），=．

故选D.

考点：双曲线的简单性质

7、若实数a ，b 满足

12

a b

+=，则ab 的最小值为( )

A 、2 C 、、4 【答案】C

考点：基本不等式

8、设函数f （x ）=ln （1+x ）-ln （1-x ），则f （x ）是( )

A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数

B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数

C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数

D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 【解析】

试题分析：求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．

函数f （x ）=ln （1+x ）-ln （1-x ），函数的定义域为（-1，1），函数f （-x ）=ln （1-x ）-ln （1+x ）=-[ln （1+x ）-ln （1-x ）]=-f （x ），所以函数是奇函数．

()2

111

'111f x x x x

=

+=+-- ，已知在（0,1）上()'0f x > ，所以f(x)在(0,1)上单调递增，故选A. 考点：利用导数研究函数的性质

9、已知点A,B,C 在圆2

2

1x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++

的最

大值为

A 、6

B 、7

C 、8

D 、9 【答案】B 【解析】

试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆2

2

1x y +=是一AC 位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的

几何关系不难得到24PA PB PC PO PB PB ++++==

，易知当B 为（-1，0）时取得最大值. 由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++== ,已知B 为（-1，0）时，4PB +

取得

最大值7，故选B.

考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质

10、某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）

A 、89π

B 、827π

C 、21)π

D 、21)π

【答案】A

考点：三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11、已知集合U={}1,2,3,4，A={}1,3,B={}1,3,4,则A (U B e)=_____. 【答案】{1，2，3}.

考点：集合的运算

12、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为

2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____.

【答案】2

2

11x y +-=（） 【解析】

试题分析：将极坐标化为直角坐标，求解即可．

曲线C 的极坐标方程为222sn sn ρθρρθ=∴=， ，它的直角坐标方程为222x y y += ，

2211x y ∴+-=（）． 故答案为：22

11x y +-=（）．

考点：圆的极坐标方程

13. 若直线3x-4y+5=0与圆()222

0x y r r +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点）

，则r=_____. 【答案】 【解析】

试题分析：直线3x-4y+5=0与圆2

2

2

0x y r r +=（＞）交于A 、B 两点，∠AOB=120°，则△AOB 为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x-4y+5=0的距离为

1

2

r ，代入点到直线距离公式，可构造关于r 的方

程，解方程可得答案．

如图直线3x-4y+5=0与圆222

0x y r r +=（＞）

交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离为

1

2r 1

2r r =∴，=2 .故答案为2.

考点：直线与圆的位置关系

14、若函数f （x ）=| 2x

-2 |-b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 【答案】0＜b ＜2

考点：函数零点

15、已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为3则ω =_____. 【答案】2

π

ω=

考点：三角函数图像与性质

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：

从装有2个红球12,A A 和1个白球

B 的甲箱与装有2个红球12,a a 和2个白球12,b b 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。

（I ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；

（II ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。

【答案】（I ）111211122122{,},{,},{,},{,},{,},{,},A a A a A b A b A a A a

21221212{,},{,},{,},{,},{,},{,},A b A b B a B a B b B b (II) 说法不正确；

【解析】

试题分析：（I ）利用列举法列出所有可能的结果即可；(II)在（I ）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，什么镇江概率大于不中奖概率是错误的； 试题解析：（I ）所有可能的摸出结果是：111211122122{,},{,},{,},{,},{,},{,},A a A a A b A b A a A a

21221212{,},{,},{,},{,},{,},{,},A b A b B a B a B b B b

（II ）不正确，理由如下：

由（I ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为

11122122{,},{,},{,},{,},A a A a A a A a 共4种，所以中奖的概率为

41123=，不中奖的概率为121

1333

-=>，故这种说法不正确。 考点：概率统计

17. （本小题满分12分）设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =。 （I ）证明：sin cos B A =；

(II)若3

sin sin cos 4

C A B -=

，且B 为锐角，求,,A B C 。 【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C ===

【解析】

试题分析：（I ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin sin cos sin A A

A B

=，所以sin cos B A = ；(II)根据两角和公式化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B -==，可得2

3sin 4

B =，结合所给角B 的范

围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C. 试题解析：（I ）由tan a b A =及正弦定理，得

sin sin cos sin A a A

A b B

==，所以sin cos B A =。 （II ）因为sin sin cos sin[180()]sin cos C A B A B A B -=-+-

sin()sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B A B =+-=+-=

3cos sin 4

A B ∴=

有（Ｉ）知sin cos B A =，因此2

3sin 4B =

，又Ｂ为钝角，所以sin B =，

故120B =

，由cos sin 2

A B ==

知30A = ，从而180()30C A B =-+=

，

综上所述，30,120,30,A B C ===

考点：正弦定理及其运用

18. （本小题满分12分）如图4，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是

1,BC CC 的中点。

（I ）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；

（II ）若直线1AC 与平面11A ABB 所成的角为45

，求三棱锥

F AEC -的体积。

【答案】（I ）略；(II)6

12

【解析】

试题分析：（I ）首先证明1AE BB ⊥，AE BC ⊥，得到AE ⊥平面11B BCC ，利用面面垂直的判定与性质定理可得平面AEF ⊥平面11B BCC ； (II)设AB 的中点为D,证明直线1CA D ∠直线1AC 与平面11A ABB 所

成的角，由题设知1

45CA D ∠=

，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积. 试题解析：（I ）如图，因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以1AE BB ⊥，又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点， 所以AE BC ⊥，因此AE ⊥平面11B BCC ，而AE ?平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面11B BCC 。

（II ）设AB 的中点为D ，连接1,A D CD ，因为ABC ?是正三角形，所以CD AB ⊥，又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CD AA ⊥，因此CD ⊥平面11A AB B ，于是1CA D ∠直线1AC 与平面11A ABB 所成的角，

由题设知1

45CA D ∠=

， 所以1A D CD

=AB =

= 在1Rt AA D ?

中，

1AA ===

1122

FC AA =

=

故三棱锥F AEC -

的体积1133AEC V S FC =

?==

。

考点：柱体、椎体、台体的体积；面面垂直的判定与性质

19. （本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=

*13,()n S n N +-+∈，

（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S 。

【答案】（I ）略；(II) 2*2*23

(531),(21,)2

3(31),(2,)2

n n n

n k k N S n k k N -??-=+∈??=??-=∈?? 【解析】

试题分析：（I ）当*

,2n N n ∈≥时，由题可得23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，113n n a S +-=*

3,()n S n N -+∈，两式子相减可得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥，然后验证当n=1时，命题成立即可； (II)通过求解数列{}n a 的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n 项和的通项公式.

试题解析：（I ）由条件，对任意*

n N ∈，有23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈， 因而对任意*,2n N n ∈≥，有113n n a S +-=*3,()n S n N -+∈， 两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥， 又121,2a a ==，所以3121121333()33a S S a a a a =-+=-++=， 故对一切*

n N ∈，23n n a a +=。 （II ）由（I ）知，0n a ≠，所以

2

3n n

a a +=，于是数列21{}n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列2{}n a 是首项12a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==?， 于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++

1

1

1

3(31)

(133)2(133)3(133)2

n n n n ----=+++++=++=

从而1221223(31)3

23(531)22

n n n n n n S S a ----=-=

-?=?-， 综上所述，2*2

*23(51),(21,)2

3(31),(2,)2

n n n

n k k N S n k k N -??-=+∈??=??-=∈??。

考点：数列递推关系、数列求和

20. （本小题满分13分）已知抛物线2

1:4C x y =的焦点F 也是椭圆22

222:1y x C a b

+=

(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C

的公共弦长为F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交

于,C D 两点，且AC 与BD

同向。

（I ）求2C 的方程；

（II ）若AC BD =，求直线l 的斜率。

【答案】（I ）22198y x += ；

(II) 4

±.

【解析】

试题分析：（I ）由题通过F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，可得2

2

1a b -=，根据1C 与2C

的公共弦长为1C 与2C 都关于y 轴对称可得

22

96

14a b +=，然后得到对应曲线方程即可； (II) 设11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y 根据AC BD =

，可得

2234341212()4()4x x x x x x x x +-=+-，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+，联立直线与抛物线

方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果.

试题解析：（I ）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以2

2

1a b -= ①； 又1C 与2C 的公共弦长为261C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为21:4C x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为3

(6,)2，22

9614a b ∴

+= ②， 联立①②得2

2

9,8a b ==，故2C 的方程为22

198

y x +=。 （II ）如图，设11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y

因AC 与BD

同向，且AC BD =，

所以AC BD =

，从而3142x x x x -=-，即3412x x x x -=-，于是

2234341212()4()4x x x x x x x x +-=+- ③

设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+，

由214y kx x y

=+??=?得2440x kx --=，由12,x x 是这个方程的两根，12124,4x x k x x ∴+==-④

由22118

9y kx x y =+??

?+=??得22(98)16640k x kx ++-=，而34,x x 是这个方程的两根，

343422

1664

,9898k x x x x k k

+=-

=-++， ⑤ 将④、⑤代入③，得232

2221646416(1)(98)98k k k k ?+=+++。即222

22

169(1)16(1)(98)

k k k ?++=+ 所以22(98)169k +=?

，解得k =，即直线l

的斜率为考点：直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质

21. （本小题满分13分）函数2()cos ([0,)f x ae x x =∈+∞，记n x 为()f x 的从小到大的第*()n n N ∈个极值点。

（I ）证明：数列{()}n f x 是等比数列；

（II ）若对一切*

,()n n n N x f x ∈≤恒成立，求a 的取值范围。

【答案】（I ）略；(II) 22[,)4

e π

π-+∞

【解析】

试题分析：（I ）由题()2cos()4

x f x ae x π

'=

+ ，令()0f x '= ，求出函数的极值点，根据等比数列

定义即可得到结果；(II)34

234

n e n ππππ-

≤-恒成立问题，设()(0)t e g t t t =>，然后运用导数

知识得到2

m i n 1254[()]min[(),()]min[(),()]()444n g x g x g x g g g e ππ

πππ====，所以224e a π

π

≤

，求得

2a π

-≥，得到a 的取值范围；

试题解析：（I

）()cos sin cos()4

x x

x f x ae x ae x x π

'=-=

+

令()0f x '=，由0x ≥，得42x m πππ+=-，即*3,4

x m m N π

π=-

∈，

而对于cos()4

x π

+

，当k Z ∈时，

若22242k x k πππ

ππ-

<+

<+

，即32244k x k ππππ-

<<+，则cos()04x π

+>；

若322242k x k πππππ+<+<+，即52244k x k ππππ+<<+，则cos()04

x π

+<；

因此，在区间3((1),)4m m πππ--与3(,)44

m m ππππ-+上，()f x '的符号总相反，于是当 *3,4x m m N ππ=-∈时，()f x 取得极值，所以*3,4

n x n n N π

π=-∈，此时，

331

4

43()cos()(1)42

n n n n f x ae

n π

π

ππππ-

-+=-=-，易知()0n f x ≠，而 3(1)2

41314

2(1)()2()2(1)2

n n n n n n f x e f x ae

π

πππ

π+-++-+-==--是常数， 故数列{()}n f x 是首项为412()2

f x ae π

=，公比为e π-的等比数列。

（II ）对一切*

,()n n n N x f x ∈≤恒成立，即34

324n n π

πππ--≤恒成立，亦即 34

24

n e n π

πππ-

≤-恒成立，

设()(0)t e g t t t =>，则2

(1)

()t e t g t t

-'=，令()0g t '=得1t =， 当01t <<时，()0g t '<，所以()g t 在区间(0,1)上单调递减； 当1t >时，()0g t '>，所以()g t 在区间(1,)+∞上单调递增； 因为(0,1)n x ∈，且当2n ≥时，1(1,),,n n n x x x +∈+∞<所以

2min

1254[()]min[(),()]min[(),()]()444n g x g x g x g g g e ππ

πππ

====

因此，*

,()n n n N x f x ∈≤

恒成立，当且仅当24e a ππ≤

，解得24

a e π

-≥，

故实数a 的取值范围是2[,)4

e π

-+∞。

考点：恒成立问题；等比数列的性质