正交矩阵
姜景连:玲于《高等代数)中的对称矩阵
由定义1，显然相似关系不一定能保持矩阵的对称性。当且仅当定义1中矩阵P是正交矩阵(〔11)时
相似关系能保持矩阵的对称性，即对称矩阵A，B是欧氏空间的对称变换关于不同标准正交基的矩阵，那
么它们必相似(见〔2]咒62卫汉);反之，两个相似的实对称矩阵必是欧氏空间的某个对称变换关于不同标准
正交基的矩阵。
2
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2对称矩阵与对角矩阵相似
方阵能否与对角矩阵相似的问题在《高等代数》课程中占据很重要的位置，在线性变换和欧氏空间部
分都有很详细的描述。
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2
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1实对称矩阵与对角矩阵的相似
由于实对称矩阵的特征值都是实数(!1」P332卫18.4.3)，所以实对称矩阵有很好的相似性质:实对称矩
阵必与一对角矩阵di昭(入1，入2，…，入n，)(其扣入i(i=1，2，…n)是A的特征值)相似。2
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2.2复对称方阵与对角矩阵的相似
复对称方阵不一定能与对角矩阵，但是它必与一准对角矩阵(约当标准形)相似(见【3」P叭fl币3)。但是
复对称方阵可以表示任意复方阵即
命题1任意复方阵都可分解为两个复对称方阵的乘积。
证明:设A为任意复方阵，A相似于约当标准形J，即存在可逆方阵T使得等式A二Tl厂成立，而
}又仁{11人、l
““…:厂二1’‘一‘’2””’kLl人，J
取从
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A二T‘JT二T‘仔’JHT二T‘片‘T‘A丫月丁二c‘A七
其中C二丫HI’，那么C是可逆且对称的。记D=AC.1就有
A二戊且D’二c’一IA‘二C‘一‘Ac‘一‘=ACI二D，即D也对称。证毕。
对称矩阵与合同
定义2设A，B任户x”，如果存在可逆矩阵P使得等式P，AP二B成立，就称矩阵A，B 合同。
显然与对称矩阵合同的矩阵也一定对称，合同关系也是矩阵之间的等价关系。
当然对对称矩阵施行若干次合同变换(【2]P328)后仍是对称矩阵。
实对称矩阵的合同特征
由川P354T卜9.2.3知:秩为k的实对称方阵A合同于一对角方阵diag(lp，Ik一p，
惯性指数。可得两个实对称方阵合同的充要条件它们有相同的秩和正惯性指数。
，，八。二*二一丈旦竺!且卫止互*阵按合同分类，可分为
一类。，”入卜“’J八/、’“/‘，砂2/、口
0)，其中P称为A的正
若将所有n阶实对称矩
3
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2复对称矩阵的合同特征
由【2」P3291111及P33开飞1’秩为k的夏对称方阵A合同于一对角方阵diag(Ik，
阵合同的充要条件是它们有相同的秩。若按合同分类，n阶复对称方阵全体可分为
0)，那么两个复对称方
n+l类。
南平师专学报2005年第2期
3
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3相似与合同的联系
由〔l]玛34仆8.4.6:若A是n阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵u使得u’Au=diag(入;，礼，…，入n)，其
中、、(i二1，2，…，n)是A的特征值。由于u是正交矩阵，百=u-，，即对实对称矩阵A，由同一等式可表示八
与di眼(入，，入2，…，入n)相似和合同关系。那么
命题2如果n阶实对称矩阵A，B的特征值完全相同，那么必存在一正交矩阵U使得等式UAU二U‘
爪J二B成立，即A，B既相似又合同。
4对称矩阵与其他矩阵的联系
定义3设A任尸K“，若尸二In(n阶单位方阵)，则称A为对合矩阵;
定义4若从’=I。，则称A为正交矩阵;
定义5当A对应的二次型是正定的，就称A是正定矩阵。
容易证明对称矩阵和它们的关系是:
1、若A是对称且对合的，则A是正交的;
2、若A是对称且正交的，则A是对合的;
3、若A是正交且对合的，则A是对称的;
因为对合矩阵的特征值只有1，一1，所以有
4、A是实对称且对合的，则A与对角方阵diag(Ir，I*r)合同且相似(其中:=秩A);
由【21P345n召有
5、若实对称矩阵A的所有顺序主子式都大于零，则A是正定矩阵。
参考文献
川张禾瑞.高等代数(第三版)【M」.北京:高等教育出版社.
【2〕魏献祝.高等代数(修订版)【M〕.土海:华东师范大学出版社.
〔3〕孟道冀.高等代数与解析几何(下册)【M」.北京:科学出版社.
仁41北京大学数力系编.高等代数(第二版)〔M」.北京:高等教育出版社.
(上接第3页)动，这样才能充分调动起学生思维的积极热情，营造出宽松的教学环境。
我认为，只有在我们的教学—不仅仅是(高等数学》教学中，教师带领学生走进充满创造性活跃思维的境界，点燃青年学生心中的火把，激发起他们强烈的求知欲望，发挥出他们无限的想象力和创造力，才能
真正培养出新世纪，新时代社会所需要的高新标准的人才。
参考文献
〔lJ王国军.对数学及其功能的再认识〔J].准北煤师院学报第22卷.2001年第四期.
〔2]郑毓信.(数学)教室文化:数学教育的微观文化研究〔Jl.数学教育学报2以)0年第一期.
正交矩阵
正交矩阵的作用 引言 正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用. 首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义 定义1 n 阶实矩阵A ，若满足A A E '=，则称A 为正交矩阵. 定义2 n 阶实矩阵A ，若满足AA E '=，则称A 为正交矩阵. 定义3 n 阶实矩阵A ，若满足1A A -'=，则称A 为正交矩阵. 定义4 n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A 为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质 设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵； 当∣A ∣=1时，*A A '=，即ij ij a A =；
当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ij ij a A =-. <3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵. 证明 <1>显然 1A =± ()1 111()()A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵. <2>1A A -'=，显然A '为正交矩阵. 由 1A =±，* 1 A A A A -'== 当 1A =时，*A A '=，即ij ij a A = 当 1A =-时，*A A '=-，即ij ij a A =- 所以*A 为正交矩阵. <3>由1A A -'= ，1B B -'= 可知 111()()AB B A B A AB ---'''=== 故AB 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵. 正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果λ是它的特征值，那么1λ 也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了. 运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.
次正交矩阵.
次正交矩阵 摘要 本文主要对次正交矩阵、向量的次正交、次正交规范基、次正交变换及子空间的次正交等内容作了一些探讨。对照正交矩阵讨论了次正交矩阵的性质，总结出了一个有关向量与自身次正交的结论。进一步地，给出了n维欧氏空间n R中次正交规范基和次正交变换的定义，并且得到了次正交规范基及次正交变换的一些重要性质。最后，参照空间正交的定义，给出了子空间次正交的定义，并得出了一些结论。 关键词：次正交矩阵，次正交规范基，次正交变换，子空间的次正交
ABSTRACT In this paper, some contents about sub-orthogonal matrix, sub-orthogonal vectors, sub-orthogonal normalized basis, sub-orthogonal transformations and sub-orthogonal subspace are discussed mostly. According to orthogonal matrix, we discuss the properties of sub-orthogonal matrix. And we also draw a conclusion about the sub-orthogonality between vector and itself. What’s more, we give the definitions of sub-orthogonal normalized basis and sub-orthogonal transformations in n-dimension Euclidean space n R. And some important properties of sub-orthogonal normalized basis and sub-orthogonal transformations are gained, too. Finally, we obtain the definition of sub-orthogonal subspace and some conclusions referring to the orthogonal subspace. Key words:sub-orthogonal matrix, sub-orthogonal normalized basis, sub-orthogonal transformations, sub-orthogonal subspace
正交矩阵
正交矩阵 正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。 目录 定义 1 n阶实矩阵 A称为正交矩阵，如果：A×A′=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。）若A为正交阵，则下列诸条件是等价的: 1) A 是正交矩阵 2) A×A′=E（E为单位矩阵） 3) A′是正交矩阵 4) A的各行是单位向量且两两正交 5) A的各列是单位向量且两两正交 6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R 正交矩阵通常用字母Q表示。 举例：A=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]
下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。 恒等变换。旋转16.26°。针对x轴反射。旋转反演(rotoinversion): 轴 (0,-3/5,4/5)，角度90°。置换坐标轴。 编辑本段 基本构造 低维度 最简单的正交矩阵是1×1 矩阵 [1] 和 [?1]，它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的反射。 如下形式的2×2 矩阵 它的正交性要求满足三个方程
矩阵性质 实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MM = D，D是对角矩阵。 任何正交矩阵的行列式是 +1 或?1。这可从关于行列式的如下基本事实得出: 反过来不是真的；有 +1 行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。 对于置换矩阵，行列式是 +1 还是?1 匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。 比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值 1。 群性质 正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。事实上，所有 n×n正交矩阵的集合满足群的所有公理。它是n(n?1)/2 维的紧致李群，叫做正交群并指示为O(n)。 行列式为 +1 的正交矩阵形成了路径连通的子群指标为 2 的O(n) 正规子群，叫做旋转的特殊正交群SO(n)。商群O(n)/SO(n) 同构于O(1)，带有依据行列式选择 [+1] 或 [?1] 的投影映射。带有行列式?1 的正交矩阵不包括单位矩阵，所以不形成子群而只是陪集；它也是(分离的)连通的。所以每个正交群被分为两个部分；因为投影映射分裂，O(n) 是SO(n) 与O(1)的半直积。用实用术语说，一个相当的陈述是任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的一列来生成，如我们在2×2 矩阵中看到的。如果n是奇数，则半直积实际上是直积，任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的所有列来生成。 现在考虑 (n+1)×(n+1) 右底元素等于 1 的正交矩阵。最后一列(和最后一行)的余下元素必须是零，而任何两个这种矩阵的积有同样的形式。余下的矩阵是n×n正交矩阵；因此O(n) 是O(n+1) (和所有更高维群)的子群。 因为 Householder 正交矩阵形式的基本反射可把任何正交矩阵简约 成这种约束形式，一系列的这种反射可以把任何正交矩阵变回单位矩阵；