第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计

第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计

6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计

6.3 用脉冲响应不变法设计IIR 数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计IIR 数字低通滤波器 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计 6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法

6.1 数字滤波器的基本概念 1. 数字滤波器的分类

数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：

(6.1.1)

(6.1.2)

01

10

()1H z a z ()()M

r r r N

k

k k N n

n b z n z ?=

图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性

H z h ?=??===∑+∑∑)

(e j ωH )(e j ωH )(e j ωH )(e j ωH 0低通0高通

0带通

0带阻ωω

ω

ω

π2?π2?π2?π?π?π?π?π?πππππ

2π

2π22

2　数字滤波器的技术要求

我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e j ω)用下式表示：

()()()j j j H e e H e ωωω?=

通带内和阻带内允许的衰减一般用dB 数表示，通带内允许的最大衰减用αp 表示，阻带内允许的最小衰减用αs 表示，αp 和αs 分别定义为： (6.1.3)

(6.1.4) 00()20p dB H e α=lg ()

()lg ()p s j j j j H e H e ωω20s dB H e α=

如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成： (6.1.5)

(6.1.6)

20lg ()p H e d α=?20lg (p

s j j B B ωω)H e d α=?s

3. 数字滤波器设计方法概述

IIR 滤波器和FIR 滤波器的设计方法是很不相同的。IIR 滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。

6.2 模拟滤波器的设计

模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。

图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性

1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法

模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp,αs 和Ωs 。其中Ωp 和Ωs 分别称为通带截止频率和阻带截止频率，αp 是通带Ω(=0~Ωp)中的最大衰减系数，αs 是阻带Ω≥Ωs 的最小衰减系数，αp 和αs 一般用dB 数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成： (6.2.1) (6.2.2) 2

2

2

2

()10H j α=lg ()()

lg ()a

p a p a a s H j H j ????10s H j α=

如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp 和αs 表示为

(6.2.3)

(6.2.4)

2

α=?2p a 10lg ()

10lg ()p s H j H j ??s a α=?以上技术指标用图6.2.2表示。图中Ωc 称为3dB 截止频率，因

()20lg ()3a c a c H j H j dB ?=??=

图6.2.2 低通滤波器的幅度特性

滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp 和αs ，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此

(6.2.5)

2

()()()()()a a a a H j H s G s H j H j s j =?

?

?=?=??2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j Ω)|2用下式表示：

(6.2.6) 2

21()1()a N

c

H j ??=+?

图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N 的关系

将幅度平方函数|Ha(j Ω)|2写成s 的函数：

(6.2.7)

21

()()1()a a N

c

H s s H s j ?=+?

此式表明幅度平方函数有2N 个极点，极点sk 用下式表示： (6.2.8) 11()

22(1)()k j N N k c c 21

2e

πs j ++=??=?

图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布

为形成稳定的滤波器，2N 个极点中只取s 平面左半平面的N 个极点构成Ha(s)，

而右半平面的N 个极点构成Ha(s)。 Ha(s)的表示式为

1

()()N

c

a N k k H s s s ?=?=?∏

设N=3，极点有6个，它们分别为 2

3012

3

2133413

5j c c j c j c c j c s e s s e s e s s e π

π

π

π

??=?=??=?=?=?=?

取s 平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)： (6.2.9)

32233()()()(a

a j j c c c H s )s s s ππ??=

+?????

由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB 截止频率Ωc 归一化，归一化后的Ha(s)表示为

(6.2.10) 101

H s ()(a N k

k c

c s s ?

==???∏

式中，s/Ωc=j Ω/Ωc 。 令λ=Ω/Ωc ，λ称为归一化频率；令p=j λ，p 称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为 (6.2.11)

10

1

()()a N k k H p p p ?==?∏

式中，pk 为归一化极点，用下式表示：

(6.2.12) 121()22,0p e ,1,,1k j N

k k N π++==????将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p 的N 阶多项式，用下式表示：

(6.2.14)

将Ω=Ωs 代入(6.2.6)式中，再将|Ha(j Ωs)|2代入(6.2.4)式中，得到： (6.2.15)

/10

/10

221()10由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：

1()10p s a p N c a N s c

?+=?+=??

令

则N 由下式表示： /,λ=?sp s p sp k ?=

(6.2.16)

lg lg sp sp

k

N λ=?

用上式求出的N 可能有小数部分，应取大于等于N 的最小整数。关于3dB 截止频率Ωc ，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到：

(6.2.17)

10.12p

?=?由(6.2.15)式得到： (6.2.18)

1

0.1(101)(101)s

a N

c p a N c s ??

??2?=?总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：

(1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs 和αs ，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N 。 (2)按照(6.2.12)式，求出归一化极点pk ，将pk 代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。

(3)将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc 代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)

。

例 6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz ，通带最大衰减αp=2dB ，阻带截止频率fs=12kHz ，阻带最小衰减αs=30dB ，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。

解 (1) 确定阶数N 。

0.02422 2.42lg0.0242 4.25,5lg 2.4sp s

sp

p

k f f N N πλπ=====?==

(2) 按照(6.2.12)式，其极点为 34

55016

523754,,j j j j j s e s e s e s e s e ππ

π

π

π

=====

按照(6.2.11)式，归一化传输函数为 4

1

()()a k k H p p p ==?∏

表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数

上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5，直接查表得到：

极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000

5

43243211()a H p 0p b p b p b p b p b =+++++

式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361

(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB 截止频率Ωc 。 按照(6.2.17)式，得到：

将Ωc 代入(6.2.18)式，得到：

10.1210.12(101)2 5.2755/(101)210.525/p s

a N

c p a N s c kra

d s

krad s

ππ???=??=?=??=

将p=s/Ωc 代入Ha(p)中得到：

55

423

324432()10c a c c c c H s s b s b s b s b s b ?=+?+?+?+?+? 5c

我们这里仅介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计方法。图6.2.5分别画出阶数N 为奇数与偶数时的切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2(Ω)表示：

(6.2.19)

2

222

1()()1(a N

p

)j C ε?=?=A H ?+?

图6.2.5 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性

式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，ε愈大，波动幅度也愈大。Ωp 称为通带截止频率。令λ=Ω/Ωp ，称为对Ωp 的归一化频率。CN(x)称为N 阶切比雪夫多项式，定义为

cos(arccos ),1

()(),N N x x C x ch N Archx x ≤??=?

≥??1

当N=0时，C0(x)=1； 当N=1时，C1(x)=x ； 当N=2时，C2(x)=2x 21； 当N=3时，C3(x)=4x 33x 。

由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为

C N+1(x)=2xC N (x)C N-1(x) (6.2.20)

图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。 由图可见：

(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|≤1的范围内；

(2)当|x|<1时，|CN(x)|≤1,在|x|<1范围内具有等波纹性； (3)当|x|>1时，CN(x)是双曲线函数，随x 单调上升。

图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线

按照(6.2.19)式，平方幅度函数与三个参数即ε,Ωp 和N 有关。其中ε与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹δ用下式表示：

(6.2.21) 2max

2

min

2max min 2()10A δlg ()1()1,()1A A ε???=?=

=+

因此

2

(6.2.22) 20.1101δ

10lg(1)δε=+=?ε

图6.2.7 切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A 2(Ω)曲线

设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ωs 表示，在Ωs 处的A2(Ωs)用(6.2.19)式确定： (6.2.23) 2

221()1(s A 令λs=Ωs/Ωp ，由λs>1，有 可以解出

(6.2.24)

(6.2.25)

3dB 截止频率用Ωc 表示，

按照(6.2.19)式，有

通常取λc>1，因此 s

N P

C ε?=?+?()[()]N s s s C ch NArch N =λλ==?????

?2

22

2

1()2

()1,1()[()]c

c N

c c p

N

c c A C C ch NArc ελλh λλε

?=?==?=±=

上式中仅取正号，得到3dB 截止频率计算公式： (6.2.26)

以上Ωp,ε和N 确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/Ωp 。求解的过程请参考有关资料。下面仅介绍一些有用的结果。 11

[(c p ch Arch N ε

?=? 设Ha(s)的极点为si=σi+j Ωi ，可以证明： (6.2.27)

21sin(2,121,2,3,,cos()2i p i p i ch N

i N i ch N δξξ??

=????=??????=???

?

式中 (6.2.28)

22222211

()

1i i p p

Arsh N sh sh ξεδξξ=?+=??

(6.2.28)式是一个椭圆方程，长半轴为Ωpch ξ(在虚轴上)，短半轴为Ωpsh ξ(在实轴上)。令b Ωp 和a Ωp 分别表示长半轴和短半轴，可推导出： (6.2.29)

(6.2.30)

(6.2.31)

11

图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布

设N=3，平方幅X 表示

)。为稳定，

度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用11

a =+1()21()2N

N N N ββββ??a =?β=

用左 (6.2.32) 中c 是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=ε·2 N-1，代入(6.2.32) (6.2.33a) 归一化后的传输函数为 (6.2.33b) 照以上分析，下面介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器设计步骤。 =Ωs 时的衰减系数，它们为 (6.2.34) (6.2.35) 里αp 就是前面定义的通带波纹δ，见(6.2.21)式。归一化频率 ) 求滤波器阶数N 和参数ε

以上两式代入(6.2.34)式和(6.2.35)式，得到：半平面的极点构成Ha(p)，即 1

1

()a N

i H p ==()i c p p ?∏

式式，得到归一化的传输函数为 1

2()N i 1

1

()a N

i H p p p ε???∏

去

==12()

a N N i p s p ε????∏

按 1) 确定技术要求αp,Ωp,αs 和Ωs

αp 是Ω=Ωp 时的衰减系数，αs 是Ω

1()N p

i H s =?=2

()p p A ?21

10lg 1

10lg ()

s A αα==?

s

这

1,s p s p

λλ==?

2由(6.2.19)式，得到：

将 ?

22

22

1

1()()

11()()N p p N s s C A C A ελελ=+?=+? 0.12222

α0.12220.120.1101()1cos (arccos1)1101()1()101

()101p

s s p

N p N s s s C n C ch NArch ch NArch αααελεε=+ελελλ=+=+=+=+?=?

令

(6.2.36)

(6.2.37) 样，先由(6.2.36)式求出k-11，代入(6.2.37)式，求出阶数N ，最后取大于等于p=δ。 7)式求出归一化极点p k , k=1,2,:,N 。 (6.2.38) 将极点pk

代入(6.2.33)式，得到：

) 将Ha(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即 (6.2.39) 6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz ，通带最大衰减 (1) 滤波器的技术要求： (2) 求阶数N 和ε：

(3) 1

1111()()s s k ch k Arch k N Arch λ?

1

[]ch NAr λ??==

这N 的最小整数。

按照(6.2.22)式求ε，这里α ε+2=100.1δ3) 求归一化传输函数Ha(p)

为求Ha(p)，先按照(6.2.2

4 =

1

1sin[]cos[]222()k N i i p ch jch N N

p p (21)(21)k k ππ

??1()a N

H s ξξε?==?+??∏=/p a a p s ()()H s H p ==?

例αp=0.1dB ，阻带截止频率fs=12kHz ，阻带最小衰减αs=60dB 。 解：

0.1,2p p p dB f 60,21,4p s s

s p s p

dB f f f απ=?=απλλ=?====

1?

求Ha(p):

116553(6553)9.47 4.6,5(4) 2.060.1526

N k Arch N N Arch ε?===

======5

(51)

1

1

()0.15262()

a i i H p p p ?==??∏

由(6.2.38)式求出

了防止符号混淆，先规定一些符号如下： (6.2.40) N=5时的极点pi ，代入上式，得到： 221() 2.442(0.5389)(0.3331 1.1949)0.87200.6359

a

p p p p p =?+++++1 H p

(4)将Ha(p)去归一化，得到：

/726142

714

1()()( 1.015810)( 6.278810 4.245910)11.643710 2.259510p

a a p s H p s s s s s =?==+×+×+×+×+×

H s

4.模拟滤波器的频率变换——模拟高通、带通、带阻滤波器的设计图6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性

为 1) 低通到高通的频率变换

λ和η之间的关系为

上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(j λ)，高通H(j η)

1λη=

1

()()

H j G j λη

ηλ=

=

则用下式转换：

(6.2.41) 拟高通滤波器的设计步骤如下：

通带下限频率Ω′p ，阻带上限频率Ω′s ，：按照(6.2.40)式，将高通滤波器的边界为αs 。 (3)设计归一化低通滤波器G(p)。

(6.2.40)式，转换成归一化高通H(q)，为 (6.2.42) 例6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz ，幅度特性单调下降，fp 处最 ①高通技术要求：

0Hz,αp=3dB; ②低通技术要求：

③ 设计归一化低通G(p)

④ 求模拟高通

模 (1)确定高通滤波器的技术指标：通带最大衰减αp ，阻带最小衰减αs 。

(2)确定相应低通滤波器的设计指标频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为： ①低通滤波器通带截止频率Ωp=1/Ω′p ； ②低通滤波器阻带截止频率Ωs=1/Ω′s ；

③通带最大衰减仍为αp ，阻带最小衰减仍

(4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照去归一化，将q=s/Ωc 代入H(q)中，得

()()

大衰减为3dB ，阻带最小衰减αs=15dB 。 解

fp=20 fs=100Hz,αs=15dB 归一化频率

。采用巴特沃斯滤波器，故

H(s)：

c

p s H s

G p ?==1,0.5p s

p s c c

f f ηλ====f f 11,23,15p s s p s dB dB λληαα====

=3

2

0.182

lg 2.47,3lg 1()221sp s sp p sp

sp

k k N N G p p p p λλλλ=====?===+++

3

3

c s 322()()222c p c c s

c p

H s G p s s s f π?===+?+?+??=

2) 低通到带通的频率变换

幅度特性如图6.2.10所示。 表6.2.2 η与λ的对应关系

η与λ的对应关系，得到： 表6.2.2知λp 对应η.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成q=j η代入上式，得到：去归一化，将q=s/B 代入上式，得到：

低通与带通滤波器的

1122/,/s s s s B B ηη=?=?

20/,/l l u u l u B B ηηηηη=?=?=

图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性

由 由u

，代入上式中，有 2ηλ?=2

001u p u l ηη

ηηληηη?==?=22

(6低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于 将(6.2.43)式代入上式，得到：

p j λ=22 0220

j q q

ηηηη?p =?=

将

p

为

(6.2.44) (6.2.45)

式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。 ，即： Ω s2

) 确定归一化低通技术要求： λs 与-λs s ，这样保证在较大的，阻带最小衰减亦为αs 。 H(s)。

×200rad/s ，中心频率Ω0=2πp=3dB ×1200rad/s,αs=15dB

G(p)：

2()

()()

l u l u

l s p p H s G p ??==??=2s +??u s ?

()

u l s ???

上下面总结模拟带通的设计步骤。

(1)确定模拟带通滤波器的技术指标带通上限频率Ωu ，带通下限频率Ωl 下阻带上限频率Ω s1 ,上阻带下限频率通带中心频率Ω20=Ωl Ωu ，通带宽度B=Ωu Ωl 与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：

12,,1220,s s l

s s l u u l u

B B B

B ηηη???===

(2 ηηηη?== 的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的λ2220s 22

1021

1,,s p s s s s ηη?λs 处更能满足要求。

通带最大衰减仍为αp (3) 设计归一化低通G(p)。

(4) 由(6.2.45)式直接将G(p)转换成带通例6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2π×1000rad/s ，通带内最大衰减αp=3dB ，阻带Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s ，阻带最小衰减αs=15dB 。 解 (1) 模拟带通的技术要求：

Ω0=2π×1000rad/s,α Ω s1 =2π×830rad/s,Ωs2=2π B=2π×200rad/s;

η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6

(2) 模拟归一化低通技术要求：ηηλλληη?==?=

2222011, 1.833,s s ηηηλ?===?= 取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB 。 20321 1.874p s s s ηλληη?=

?0.181.833lg 2.83lg sp s sp p sp

sp

k k N λλλλ=====?= (3)设计模拟归一化低通滤波器 采用巴特沃斯型，有

取N=3，查表6.2.1，得

) 求模拟带通H(s)) 幅频特性如图6.2.11所示。

图中，Ωl 和Ωu 分别是下通带截止频率和上通带截止频率，Ωs1和Ωs2分别为20=ηu ηl

(6.2.46)

且ηu ηl=1，λp=1，(6.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式。将(6.2.46) (6.2.47)

上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。 (6.2.48)

(4： 23

2

()1)221()()l u

u l s p s p p p H s G p +??=

???=(G p

3低通到带阻的频率变换

低通与带阻滤波器的图6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性

阻带的下限频率和上限频率，Ω0为阻带中心频率，Ω20=Ωu Ωl ，阻带带宽B=Ωu Ωl ，B 作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为

ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;η表6.2.3 η与λ的对应关系

根据η与λ的对应关系，可得到： +++=23652242

33

004222461

0000()[2(32)(4)(32)2]S H s s B s B B s B B s B s Bs ?=++?++?++?+?+?+

?22

η

式代入p=j λ，并去归一化，可得 ληη=?2220

)

u l u l p s s (sB s ?

??==+?+??22

()()sB p s H s

G p =

+?=

下面总结设计带阻滤波器的步骤：

(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即： Ωu Ωl ,ηs1=Ωs1/B; αs 。 (2 取λs ；通带最大衰减为αp ，阻带最小衰减为αs 。

成带阻滤波器H(s)。 6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：

,αp=3dB,αs=25dB 。 ) 模拟带阻滤波器的技术要求： 5; ;

Ωu Ωl=2π×200;

求：

(3)

下通带截止频率Ωl,上通带截止频率Ωu 阻带下限频率Ωs1，阻带上限频率Ωs2

阻带中心频率Ω+20=Ωu Ωl ，阻带宽度B=它们相应的归一化边界频率为

ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B ηs2=Ωs2/B,η20=ηu ηl

以及通带最大衰减αp 和阻带最小衰减) 确定归一化模拟低通技术要求，即：

1222221020

1,,s s p s s s s ηη

和λs 的绝对值较小的λs (3) 设计归一化模拟低通G(p)。

(4) 按照(6.2.48)式直接将G(p)转换

例 Ωl=2π×905rad/s, Ωs1=2π×980rad/s,Ωs2= 2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s 试设计巴特沃斯带阻滤波器。 解

(1 Ωl=2π×905,Ωu=2π×110 Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020 Ω20=Ωl Ωu=4π+2×1000025,B=ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;

ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1; η20=ηl ηu=25

(2) 归一化低通的技术要λλληηηη==?=??2221, 4.9s p s 10

5, 4.95

3,25s s p s dB dB η

ηλ===?ληηαα=?==

设计归一化低通滤波器

G(p): 0.05624.95

lg 1.8,2lg ()sp s sp p sp

sp

k k N N G p λλλλ=====?===

(4) 带阻滤波器的H(s)为 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR 数字低通滤波器

为了保要求： z 平单位冲激响应是ha(t) 模拟滤波器Ha(s)且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次， (6.3.1)

中si 为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)： (6.3.2) 中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到：

) 上式进行Z H(z)：

(6.3.4) ha(t)的采样信号用ha(t)表示，

进行拉氏变换，得到中ha(nT)是h(n)的幅度值相等，即

(6.3.5)

2

2

()()

sB p s H s G p =

+?==4224

证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点 (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。

(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s 平面的虚轴映射面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。

设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的()[()]H s LT h t =

设只有单阶极点，将Ha(s)用部分分式表示： a a 1

()i

a i s ==N

A H i s s ?

式

式 (6.3.3∑1

(

)()i s nt

a i h t Ae u t ==∑1

i =N

i ()()()i N

s nT h n h nT Ae u nT ==∑a i 对变换，得到数字滤波器的系统函数 11()1i s T H z e z

N i

A i

设

对 :

?==?∑()()()a a n h t h t t nT δ=?∞

=?∑^()a h t [()]()st a a st a n snT

dt

h t nT e dt nT e ??∞∞??∞∞??∞=?=∫∑∫∫^

∞

^^()()H s h t e ∞=

式ha(t)在采样点t=nT 时的幅度值，它与序列h(n)=ha(nT)，因此得到: ^

()()()()sT sT snT n a z e z e n

n

H s h n e h n z H z ??=====∑∑