数学必修5导学案：1-2 第3课时等比数列的前n项和
第3课时 等比数列的前n 项和
知能目标解读
1.掌握等比数列的前n 项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n 项和.
2.掌握等比数列前n 项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n 项的问题.在应用时，特别要注意q =1和q ≠1这两种情况.
3.能够利用等比数列的前n 项和公式解决有关的实际应用问题.
重点难点点拨
重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n 项和公式解决有关问题. 难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n 项和的公式及公式的灵活运用.
学习方法指导
1.等比数列的前n 项和公式
（1）设等比数列{a n }，其首项为a 1，公比为q ，则其前n 项和公式为 na 1 (q =1) S n = .
q
q a n --1)
1(1 (q ≠1)
也就是说，公比为q 的等比数列的前n 项和公式是q 的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q =1处.因此，使用等比数列的前n 项和公式，必须要弄清公比q 是可能等于1还是不等于1，如果q 可能等于1，则需分q =1和q ≠1进行讨论.
（2）等比数列{a n }中，当已知a 1,q (q ≠1)，n 时，用公式S n =q
q a n --1)1(1，当已知a 1,q (q ≠1)，a n 时，用公
式S n =
q
q
a a n --11.
2.等比数列前n 项和公式的推导
除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导. (1)合比定理法 由等比数列的定义知：
12a a =23a a =…=1
-n n a a =q . 当q ≠1时，
12132-++++++n n a a a a a a =q ,即n
n n a S a S --1
=q .
故S n =q
q a a n --11=q q a n --1)
1(1.
当q =1时，S n =na 1. (2)拆项法
S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n-1=a 1+q (a 1+a 1q +…+a 1q n-2)=a 1+qS n-1=a 1+q (S n -a n )
当q ≠1时，S n =q
q a a n --11=q q a n --1)
1(1.
当q =1时，S n =na 1.
(3)利用关系式S n -S n-1=a n (n ≥2)
∵当n ≥2时，S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =a 1+q (a 1+a 2+…+a n-1)=a 1+qS n-1 ∴S n =a 1+q (S n -a n ) 即(1-q )S n =a 1(1-q n )
当q ≠1时，有S n =q
q a n --1)
1(1,
当q =1时，S n =na 1. 注意：
(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及a n 与S n 的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.
(2)错位相减法适用于{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，求{a n ·b n }的前n 项和. 3.等比数列前n 项和公式的应用
（1）衡量等比数列的量共有五个：a 1,q,n,a n ,S n .由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.
（2）公比q 是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q =1和q ≠1的讨论. 4.等比数列前n 项和公式与函数的关系 (1)当公比q ≠1时，令A =
q
a -11
，则等比数列的前n 项和公式可写成S n =-Aq n +A 的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.
当公比q =1时，因为a 1≠0，所以S n =na 1是n 的正比例函数（常数项为0的一次函数）.
(2)当q ≠1时，数列S 1,S 2,S 3,…,S n ,…的图像是函数y =-Aq x +A 图像上的一群孤立的点.当q =1时，数列S 1,S 2,S 3,…,S n ,…的图像是正比例函数y =a 1x 图像上的一群孤立的点.
知能自主梳理
1.等比数列前n 项和公式
（1）等比数列{a n }的前n 项和为S n ,当公比q ≠1时，S n =
=
;当q=1时，S n =
.
(2)推导等比数列前n 项和公式的方法是
.
2.公式特点
（1）若数列{a n }的前n 项和S n =p (1-q n )(p 为常数)，且q ≠0,q ≠1，则数列{a n }为 . （2）在等比数列的前n 项和公式中共有a 1,a n ,n,q,S n 五个量，在这五个量中知
求
.
［答案］ 1.（1）q q a n --1)1(1 q
q a a n --11 na 1 (2)错位相减法
2.（1）等比数列 （2）三 二
思路方法技巧
命题方向 等比数列前n 项和公式的应用
［例1］ 设数列｛a n ｝是等比数列，其前n 项和为S n ,且S 3=3a 3,求此数列的公比q .
［分析］ 应用等比数列前n 项和公式时，注意对公比q 的讨论. ［解析］ 当q =1时，S 3=3a 1=3a 3,符合题目条件；
当q ≠1时，q
q a --1)
1(31=3a 1q 2,
因为a 1≠0,所以1－q 3=3q 2(1-q ), 2q 3-3q 2+1=0,(q -1) 2(2q +1)=0, 解得q =-
2
1. 综上所述，公比q 的值是1或－
2
1. ［说明］ （1）在等比数列中，对于a 1,a n ,q,n,S n 五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量. （2）等比数列前n 项和问题，必须注意q 是否等于1，如果不确定，应分q =1或q ≠1两种情况讨论.
（3）等比数列前n 项和公式中，当q ≠1时，若已知a 1,q,n 利用S n =q
q a n --1)
1(1来求；若已知a 1,a n ,q ,利用
S n =
q
q
a a n --11来求.
变式应用1 在等比数列{a n }中,已知S 3=27,S 6=2
63,求a n . ［解析］ ∵S 6=
2
63,S 3=27
,
∴S 6≠2S 3，∴q ≠1.
q
q a --1)1(31=27
①
∴
q
q a --1)1(61=263 ② ②÷①得 1+q 3=9,∴q =2. 将q =2代入①，得a 1=2
1
, ∴a n =a 1q n-1=2n-2.
命题方向 等比数列前n 项的性质
［例2］ 在等比数列{a n }中，已知S n =48,S 2n =60,求S 3n . ［分析］ 利用等比数列前n 项的性质求解.
［解析］ ∵{a n }为等比数列，∴S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 也成等比数列， ∴(S 2n -S n ) 2=S n (S 3n -S 2n )
∴S 3n =n
n n S S S 2
2)(-+S 2n =48)4860(2-+60=63.
［说明］ 等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.
变式应用2 等比数列{a n }中，S 2=7，S 6=91,求S 4.
［解析］ 解法一：∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4-S 2，S 6-S 4也为等比数列， ∴（S 4-7）2=7×（91-S 4），解得S 4=28或-21.
∵S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=a 1+a 2+a 1q 2+a 2q 2=S 2+S 2q 2=S 2(1+q 2)>0, ∴S 4=28.
解法二：∵S 2=7,S 6=91,∴q ≠1.
q
q a --1)
1(21=7 ①
∴
q
q a --1)
1(61=91 ②
①
②
得q 4+q 2-12=0,∴q 2=3, ∴q =±3. 当q =3时，a 1=
2
)
13(7-, ∴S 4=q
q a --1)1(41=28.
当q =-3时，a 1=-
2
)
13(7+, ∴S 4=q
q a --1)1(41=28.
探索延拓创新
命题方向 等比数列前n 项和在实际问题中的应用
［例3］ 某公司实行股份制，一投资人年初入股a 万元，年利率为25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x 万元.
（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和； （2）写出第n 年年底，此投资人的本利之和b n 与n 的关系式（不必证明）；
（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a 万元恰好翻两番的目标，若a =395,则x 的值应为多少?(在计算中可使用lg2≈0.3)
［解析］ (1)第一年年底本利和为a+a ·25%=1.25a ,
第二年年底本利和为（1.25a-x ）+(1.25a-x )×25%=1.252a -1.25x ,
第三年年底本利和为（1.252a -1.25x-x ）+(1.252a -1.25x-x )25%=1.253a -(1.252+1.25)x . (2)第n 年年底本利和为
b n =1.25n a -(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x . (3)依题意，有
395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x =4×395,
∴x =1
25.1)125.1(25.1)425.1(3951920---
=25
.125.1)425.1(39525.020
20--??. ① 设1.2520=t ,∴lg t =20lg （
8
10
）=20(1-3lg2)=2. ∴t =100,代入①解得x =96.
变式应用3 某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10％，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？
［解析］ 第1次还款x 元之后到第2次还款之日欠银行 20000（1＋10％）－x =20000×1.1－x ,
第2次还款x 元后到第3次还款之日欠银行［20000(1+10%)-x ］(1+10%)-x =20000×1.12-1.1x-x , …
第10次还款x 元后，还欠银行20000×1.110－1.19x -1.18x -…-x , 依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得 20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x =0,
解得x =1
1.11
.01.12000010
10-??≈3255(元). 名师辨误做答
［例4］ 求数列1，a+a 2,a 3+a 4+a 5,a 6+a 7+a 8+a 9,…的前n 项和. ［误解］ 所求数列的前n 项和S n =1+a +a 2
+a
3
+…+a 1
2
)1(-+n n
=
a
a n n --+112
)1(.
［辨析］ 所给数列除首项外，每一项都与a 有关，而条件中没有a 的范围，故应对a 进行讨论. ［正解］ 由于所给数列是在数列1,a,a 2,a 3,…中依次取出1项，2项，3项，4项，……的和所组成的数列.因而所求数列的前n 项和中共含有原数列的前（1+2+…+n ）项.所以S n =1+a+a 2+…+a
12
)
1(-+n n .①当a =0时，
S n =1.②当a =1时，S n =
2)
1(+n n .③当a ≠0且a ≠1时，S n =a
a n n --+112
)
1(.
课堂巩固训练
一、选择题
1.等比数列{a n }的公比q =2，前n 项和为S n ，则
24
a S =（ ） A.2 B.4 C.
2
15
D.
2
17 ［答案］ C
［解析］ 由题意得2
4a S =221)
22(141?--?a a =215.故选C. 2.等比数列{a n }的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（ ） A.-2
B.1
C.-2或1
D.2或-1
［答案］ C
［解析］ 由题意可得，a 1+a 1q +a 1q 2=3a 1, ∴q 2+q -2=0,∴q =1或q =-2.
3.等比数列{2n }的前n 项和S n =（ ） A.2n -1
B.2n -2
C.2n +1-1
D.2n+1-2
［答案］ D
［解析］ 等比数列｛2n ｝的首项为2，公比为2.
∴S n =q q a n --1)1(1=2
1)21(2--n =2n+1
-2,故选D.
二、填空题
4.若数列{a n }满足：a 1=1,a n+1=2a n （n ∈N +），则a 5=
;前8项的和S 8=
.
（用数字作答）
［答案］ 16 255
［解析］ 考查等比数列的通项公式和前n 项和公式. q =
n
n a a 1
+=2,a 5=a 1·q 4=16, S 8=q
q a --1)1(81=28-1=255.
5.在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,则公比q =
.
［答案］ 3
［解析］ ∵a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1, 两式相减，得a 3-a 4=-2a 3, ∴a 4=3a 3,∴q =3. 三、解答题
6.在等比数列{a n }中，已知a 6-a 4=24，a 3·a 5=64，求数列{a n }的前8项和.
［解析］ 解法一：设数列{a n }的公比为q ，根据通项公式a n =a 1q n-1，由已知条件得 a 6-a 4=a 1q 3(q 2-1)=24, ① a 3·a 5=(a 1q 3) 2=64,
②
∴a 1q 3=±8.
将a 1q 3=-8代入①式，得q 2=-2,没有实数q 满足此式，故舍去. 将a 1q 3=8代入①式，得q 2=4,∴q =±2.
当q =2时，得a 1=1,所以S 8=q q a --1)
1(81=255;
当q =-2时，得a 1=-1，所以S 8=q
q a --1)
1(81=85.
解法二：因为{a n }是等比数列，所以依题意得 a 24=a 3·a 5=64,
∴a 4=±8,a 6=24+a 4=24±8. 因为{a n }是实数列，所以
4
6
a a ＞0, 故舍去a 4=-8,而a 4=8，a 6=32，从而a 5=±64a a ?=±16. 公比q 的值为q =
4
5
a a =±2, 当q =2时，a 1=1,a 9=a 6q 3=256, ∴S 8=
q a a --19
1=255; 当q =-2时，a 1=-1，a 9=a 6q 3=-256, ∴S 8=
q
a a --19
1=85. 课后强化作业
一、选择题
1.等比数列{a n }中，a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为（ ） A.81
B.120
C.168
D.192
［答案］ B ［解析］ 公式q 3=
25a a =9243=27,q =3,a 1=q
a
2=3, S 4=3
1)
31(34--=120.
2.已知等比数列的前n 项和S n =4n +a ，则a =（ ） A.-4
B.-1
C.0
D.1
［答案］ B
［解析］ 设等比数列为｛a n ｝，由已知得a 1=S 1=4+a,a 2=S 2-S 1=12, a 3=S 3-S 2=48,∴a 22=a 1·a 3, 即144=(4+a )×48，∴a =-1.
3.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于（ ）
A.31
B.33
C.35
D.37
［答案］ B
［解析］ 解法一：S 5＝q
q a --1)1(51=21)21(51--a =1
∴a 1=
31
1
∴S 10=q q a --1)1(10
1=2
1)
21(311
10--=33,故选B.
解法二：∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1
∴a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)·q 5=1×25＝32 ∴S 10＝a 1+a 2+…+a 9+a 10=1+32=33.
4.已知等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1+a 4=18,a 2+a 3=12,则此数列的前8项和为（ ） A.514
B.513
C.512
D.510
［答案］ D
a 1+a 1q 3=18 ［解析］ 由已知得 ，
a 1q +a 1q 2=12
解得q =2或
2
1
. ∵q 为整数，∴q =2.∴a 1=2.
∴S 8=2
1)21(28--=29
-2=510.
5.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4=1,S 3=7，则S 5=（ ） A.
2
15 B.
4
31 C.
4
33 D.
2
17 ［答案］ B
［解析］ 设公比为q ,则q >0,且a 23=1, 即a 3=1.∵S 3=7,∴a 1+a 2+a 3=21q +q
1
+1=7, 即6q 2-q -1=0, ∴q =
21
或q =-3
1 (舍去)， ∴a 1=
21
q
=4.
∴S 5=
2
1121145
--
）（=8（1-521）=431. 6.在等比数列｛a n ｝（n ∈N +）中，若a 1=1,a 4=8
1
,则该数列的前10项和为（ ） A.2－
82
1 B.2－
92
1
C.2－
102
1 D.2－
112
1 ［答案］ B ［解析］ ∵a 1=1,a 4=8
1, ∴q 3=
14a a =8
1,∴q =21.
∴S 10=2
11211110
--］）（［=2［1-（21）10］=2-921,故选B.
7.已知等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,S 3=3,S 6=27,则此等比数列的公比q 等于（ ） A.2
B.-2
C.
2
1 D.-
2
1 ［答案］ A
S 3=q
q a --1)
1(31=3, ①
［解析］
S 6=q
q a --1)1(61=27, ②
①②得36
11q
q --=9,解得q 3=8. ∴q =2,故选A.
8.正项等比数列｛a n ｝满足a 2a 4=1,S 3=13,b n =log 3a n ,则数列｛b n ｝的前10项和是（ ） A.65
B.-65
C.25
D.-25
［答案］ D
［解析］ ∵{a n }为正项等比数列，a 2a 4=1, ∴a 3=1,又∵S 3=13,∴公比q ≠1. 又∵S 3=q
q a --1)1(31=13,a 3=a 1q 2,
解得q =
3
1
.
∴a n =a 3q n-3=(
3
1)n-3=33-n
, ∴b n =log 3a n =3-n . ∴b 1=2,b 10=-7. ∴S 10=
2)(10101b b +=2
)
5(10-?＝－25.
二、填空题 9.等比数列
3
1
，-1，3，…的前10项和为
.
［答案］ -
3
14762
［解析］ S 10=3
1)3(13110+--］［=-314762
.
10.（2011·北京文，12）在等比数列｛a n ｝中，若a 1=2
1
,a 4=4,则公比q = ;a 1+a 2+…+a n =
.
［答案］ 2,2n-1-
2
1 ［解析］ 本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前n 项和公式可解得.
14a a =q 3=2
4=8，所以q =2，所以 a 1+a 2+……+a n =21)21(21--n =2n-1-21.
2n-1 (n 为正奇数) 11.已知数列{a n }中，a n = ，则a 9=
.
2n -1 （n 为正偶数）
设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9=
.
［答案］ 256 377 ［解析］ a 9=28=256，
S 9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.
12.在等比数列{a n }中，已知对于任意n ∈N +,有a 1+a 2+…+a n =2n -1,则a 21+a 22+…+a 2n =
.
［答案］
31×4n -3
1 ［解析］ ∵a 1+a 2+…+a n =2n -1, ∴a 1+a 2+…+a n -1=2n-1-1(n ≥2),
两式相减，得a n =2n -1-2n-1+1=2n -2n-1=2n-1, ∴a 2n =(2n-1) 2=22n -2=4n-1,
∴a 2
1+a 2
2+…+a 2
n =4141--n =3
1
×4n -31.
三、解答题
13.在等比数列{a n }中，已知a 3=1
21，S 3=42
1
，求a 1与q . S 3=q
q a --1)1(31=421
［解析］ （1）若q ≠1,则 ，
a 3=a 1q 2=1
2
1 从而解得q =1或q =-
2
1. q =-
2
1 ∵q ≠1,∴ .
a 1=6
S 3=3a 1=4
2
1
q =1 （2）若q =1,则 ，∴ .
a 3=a 1=1
21 a 1=12
1 q =-
2
1
q =1 综上所述得 ，或 .
a 1=6 a 1=1
2
1 14.(2011·大纲文科，17)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2=6,6a 1+a 3=30,求a n 和S n .
［分析］ 设出公比根据条件列出关于a 1与q 的方程.求得a 1与q 可求得数列的通项公式和前n 项和公式.
［解析］ 设{a n }的公比为q ，由已知有： a 1q =6 a 1=3 a 1=2 .解得 或 6a 1+a 1q 2=30 q =2 q =3 (1)当a 1=3,q =2时， a n =a 1·q n-1=3×2n-1
S n =q
q a n --1)1(1=21)21(3--?n =3×(2n -1)
(2)当a 1=2,q =3时，a n =a 1·q n-1=2×3n-1
S n =q
q a n --1)1(1=31)31(2--?n =3n -1.
综上，a n =3×2n-1,S n =3×(2n -1)或a n =2×3n-1,S n =3n -1.
15.已知实数列｛a n ｝是等比数列，其中a 7=1,且a 4,a 5+1,a 6成等差数列. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；
(2)数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ,证明：S n <128(n =1,2,3,…). ［解析］ (1)设等比数列｛a n ｝的公比为q (q ∈R 且q ≠1), 由a 7=a 1q 6=1,得a 1=q -6,从而a 4=a 1q 3=q -3, a 5=a 1q 4=q -2,a 6=a 1q 5=q -1, 因为a 4,a 5+1,a 6成等差数列, 所以a 4+a 6=2(a 5+1) 即q -3+q -1=2(q -2+1), q -1 (q -2+1)=2(q -2+1). 所以q =
2
1
. 故a n =a 1q n-1=q -6·q n-1=q n-7=（
2
1）n-7
. (2)证明：S n =q q a n
--1)1(1=2
121164--］
）（［n
=128［1-（
2
1）n
］<128. 16.2011年暑期人才招聘会上，A 、B 两家公司分别开出了工资标准：
大学生王明被A 、B 两家公司同时录取，而王明只想选择一家连续工作10年，经过一番思考，他选择了A 公司，你知道为什么吗？. ［解析］
北师大版高中数学必修五教学案
数列 1．1数列的概念 预习课本P3～6，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？数列的项指什么？ (2)数列的一般表示形式是什么？ (3)按项数的多少，数列可分为哪两类？ (4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？ [新知初探] 1．数列的概念 (1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项． [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置． (2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． (3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项． 2．数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．
3．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式． [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式． (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法． [小试身手] 1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋1 2，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋ 12中，依次得到0,1,0,1. 3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1 D ．4n 解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴? ???? x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15. [典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列；
高中数学必修五《等比数列》教案
3.4.1等比数列教案 临澧一中高一数学组 颜干清 课题 ：3.4.1等比数列(一) 教学目标 （一） 教学知识点 1、 等比数列的定义. 2、 等比数列的通项公式. （二） 能力训练要求 1、 掌握等比数列的定义. 2、 理解等比数列的通项公式及推导. （三） 德育渗透目标 1、 培养学生的发现意识. 2、 提高学生的逻辑推理能力. 3、 增强学生的应用意识. 教学重点 等比数列的定义及通项公式. 教学难点 灵活应用等比数列的定义及通项公式解决一些相关问题. 教学方法 比较式教学法 采用比较式教学法,从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用. 教学过程 Ⅰ复习回顾 前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容 1、等差数列定义：a n -a n-1=d （n ≥2）(d 为常数) 2、等差数列性质： ①若a 、A 、b 成等差数列，则A= ②若m+n=p +q ，则，a m + a n = a p + a q , ③S k ，S 2k - S 3k ，S 2k …成等差数列. 3、等差数列的前n 项和公式：d n n na a a n s n 2 )1(2)(21-+=+= Ⅱ新课讲授 下面我们来看这样几个数列，有何时共特点？ 1，2，4，8，16，…，263 ；① a +b 2
5，25，125，625，…； ② 1，- ， ，- ，…； ③ 仔细观察数列，寻其共同特点： 数列①：)2(2;21 1≥==--n a a a n n n n ； 数列②: )2(5;51 ≥==-n a a a n n n n 数列③: )2(2 1;21 )1(111≥-=?-=---n a a a n n n n n 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.(也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的式都具有“相等”的特点) 1、定义 等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0）,即：a n ：a n-1= q （q ≠0） 数列①②③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，- ，与等差数列比较，仅一字之差。 总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”这常数，则为等差数列，之“比”这常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”. 注意公差①“d ”可为0，②公比“q ”不可为0. 2、等比数列的通项公式 请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一推等比数列的通项公式. 解法一：由定义式可得 a 2=a 1q a 3=a 2q =( a 1q )q = a 1q 2 a 4=a 3q =( a 2q )q =((a 1q )q )q = a 1q 3 …… a n =a n-1q = a 1q n-1（a 4，q ≠0），n=1时，等式也成立，即对一切n ∈N *成立. 解法二：由定义式可得：（n-1）个等式 1 2 1 8 1 2 1 4 a 2 a 1 = q a 3 a 2 = q ① ②
高中数学必修五导学案 解三角形答案
必修五解三角形测试题答案 一、选择题：共8小题，每小题5分，共计40分 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．______________14/5___________ 10．_2___ 11． __________2_ 12．_______ 90_______ 13． ___________ 120 14．__不用做___）），（），（（321_____ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.解:(1)在ABC ?中,由 cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及 2a =,c =可得sin C = 由2 2 2 2 2cos 20a b c bc A b b =+-?+-=,因为0b >,故解得1b =. 所以sin 1C b = = (2)由cos 4A =- sin 4 A =, 得2 3cos 22cos 14A A =-=- ,sin 2sin cos A A A == 所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3 3 3 8 A A A π π π -+ =-= 16.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=, sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =, 再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列.
(II)若1,2a c ==,则2 2b ac ==,∴2223 cos 24 a c b B a c +-==, sin C == , ∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B = =??=. 17. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=> 2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23 A A π?= ?= (II)2 2 2 2 2 2 2cos 2 a b c bc A a b a c B π =+-?==+?= 在Rt ABD ?中,AD = == 18. 【解析】 解:(1)证明:由 sin( )sin()44 b C c B a π π +-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44 B C C B A ππ +-+=, 即sin )sin )B C C C B B -+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4 B C π << 所以2 B C π -= (2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ= =,又,4 A a π ==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8 a B a C b c A A ππ = ===, 所以三角形ABC 的面积 151 sin sin cos 2888842 bc A πππππ===== 19.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6 x ωλ=-+.
高一数学必修五《等比数列》教案
高一数学必修五《等比数列》教案 【篇一】 教学准备 教学目标 1、数学知识：掌握等比数列的概念,通项公式,及其有关性质; 2、数学能力：通过等差数列和等比数列的类比学习,培养学生类比归纳的能力; 归纳——猜想——证明的数学研究方法; 3、数学思想：培养学生分类讨论,函数的数学思想。 教学重难点 重点：等比数列的概念及其通项公式,如何通过类比利用等差数列学习等比数列; 难点：等比数列的性质的探索过程。 教学过程 教学过程： 1、问题引入： 前面我们已经研究了一类特殊的数列——等差数列。 问题1：满足什么条件的数列是等差数列 ?如何确定一个等差数列 ? (学生口述,并投影)：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。 要想确定一个等差数列,只要知道它的首项a1和公差d。 已知等差数列的首项a1和d,那么等差数列的通项公式为：(板书)an=a1+(n-1)d。 师：事实上,等差数列的关键是一个“差”字,即如果一个数列,从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。 (第一次类比)类似的,我们提出这样一个问题。 问题2：如果一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的……等于同一个常数,那么这个数列叫做……数列。
(这里以填空的形式引导学生发挥自己的想法,对于“和”与“积”的情况,可以利用具体的例子予以说明：如果一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的“和”(或“积”)等于同一个常数的话,这个数列是一个各项重复出现的“周期数列”,而与等差数列最相似的是“比”为同一个常数的情况。而这个数列就是我们今天要研究的等比数列了。) 2、新课： 1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做公比。 师：这就牵涉到等比数列的通项公式问题,回忆一下等差数列的通项公式是怎样得到的 ?类似于等差数列,要想确定一个等比数列的通项公式,要知道什么 ? 师生共同简要回顾等差数列的通项公式推导的方法：累加法和迭代法。 公式的推导：(师生共同完成) 若设等比数列的公比为q和首项为a1,则有： 方法一：(累乘法) 3)等比数列的性质： 下面我们一起来研究一下等比数列的性质 通过上面的研究,我们发现等比数列和等差数列之间似乎有着相似的地方,这为我们研究等比数列的性质提供了一条思路：我们可以利用等差数列的性质,通过类比得到等比数列的性质。 问题4：如果{an}是一个等差数列,它有哪些性质 ? (根据学生实际情况,可引导学生通过具体例子,寻找规律,如： 3、例题巩固： 例1、一个等比数列的第二项是2,第三项与第四项的和是12,求它的第八项的值。* 答案：1458或128。 例2、正项等比数列{an}中,a6·a15+a9·a12=30,则 log15a1a2a3…a20=_10____. 例3、已知一个等差数列：2,4,6,8,10,12,14,16,……,2n,……,能否在这个数列中取出一些项组成一个新的数列{cn},使得{cn}是一个公比为2的等比数列,若能请指出{cn}中的第k项是等差数列中的第几项 ?
2017年最新高中数学必修5全册导学案及章节检测含答案
2016-2017学年高中数学必修五 全册导学案及章节检测 目 录 1．1.1 正弦定理(一) ............................................................................................................. 1 1.1.1 正弦定理(二) ................................................................................................................ 5 1．1.2 余弦定理(一) ............................................................................................................. 9 1．1.2 余弦定理(二) ........................................................................................................... 13 1.2 应用举例(一) ................................................................................................................. 18 1.2 应用举例(二) ................................................................................................................. 24 第一章 解三角形章末复习课 ............................................................................................... 30 第一章 解三角形章末检测（A ） ........................................................................................ 35 第一章 解三角形章末检测（B ） ........................................................................................ 42 2.1 数列的概念与简单表示法(一) ................................................................................... 50 2.1 数列的概念与简单表示法(二) ................................................................................... 54 2.2 等差数列(一) ............................................................................................................... 59 2.2 等差数列(二) ............................................................................................................... 63 2.3 等差数列的前n 项和(一) ........................................................................................... 67 2.4 等比数列(一) ............................................................................................................... 76 2.4 等比数列(二) ............................................................................................................... 80 2.5 等比数列的前n 项和(二) ........................................................................................... 88 数列复习课检测试题 ............................................................................................................. 93 数列习题课（1）检测试题 ................................................................................................... 98 数列习题课（2）新人教A 版必修5 .................................................................................. 102 数列章末检测（A ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 106 数列章末检测（B ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 112 第二章 数 列 章末检测(B) 答案 ............................................................................. 115 3.1 不等关系与不等式 ...................................................................................................... 120 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ................................................................................... 125 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ................................................................................... 130 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ......................................................................... 134 3．3.2 简单的线性规划问题(一) . (140) 3．3.2 简单的线性规划问题(二) (146) 3.4 ≤a ＋b 2(二) (157) 第三章 不等式复习课 ......................................................................................................... 161 第三章 不等式章末检测（A ） .......................................................................................... 167 第三章 不等式章末检测（B ） (174)
必修五 等比数列的性质
第2课时等比数列的性质 课时过关·能力提升 1已知等比数列{a n}的公比q>0,且a3a9=2,a2=1,则a1等于(). A. B. C. D.2 解析:∵a3a9==2,∴q2==2. 又q>0,∴q=, ∴a1=. 答案:B 2等比数列{a n}的公比q=-,a1=,则数列{a n}是(). A.递增数列 B.递减数列 C.常数数列 D.摆动数列 解析:由于公比q=-<0, 所以数列{a n}是摆动数列. 答案:D 3在等比数列{a n}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9a10a11的值等于(). A.48 B.72 C.144 D.192 解析:∵=q9=8, ∴a9a10a11=a6a7a8·q9=24×8=192. 答案:D ★4若数列{a n}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是(). A.{lg a n} B.{1+a n} C. D.{}
解析:当a n=-1时,lg a n与无意义,1+a n=0,则选项A,B,D都不符合题意;选项C中,设 a n=a1q n-1(q是公比),则 b n=, 则有=常数, 即数列是等比数列. 答案:C 5已知等差数列a,b,c三项之和为12,且a,b,c+2成等比数列,则a等于(). A.2或8 B.2 C.8 D.-2或-8 解析:由已知得 得故a=2或a=8. 答案:A 6等比数列{a n}的各项都为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10等于(). A.12 B.10 C.8 D.2+log35 解析:因为a5a6+a4a7=2a5a6=18,所以a5a6=9. 所以log3a1+log3a2+…+log3a10 =log3(a1a2…a10)=log3[(a1a10)(a2a9)…(a5a6)] =log3[(a5a6)5]=log395=10. 答案:B 7在等比数列{a n}中,a2=2,a6=16,则a10=. 解析:∵a2,a6,a10成等比数列, ∴=a2a10.∴a10==128. 答案:128 8在等比数列{a n}中,a888=3,a891=81,则公比q=.
高二数学知识点总结高二数学必修5等比数列知识点总结
高二数学知识点总结高二数学必修5等比数列 知识点总结 等比数列在人们的日常生活中运用比较广泛，也是高二数学课本重点知识点，下面是WTT给大家带来的高二数学必修5等比数列知识点总结，希望对你有帮助。 高二数学必修5等比数列知识点 高二数学学习方法 (1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 (2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 (3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 (4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由
一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 (5)阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。 (6)及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。 (7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 (8)经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 (9)无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。 看了“高二数学必修5等比数列知识点总结”的人还看了： 1.高二数学等比数列公式归纳 2.高中数学必修五等比数列及其前n项和知识点总结 3.高二数学必修5等差数列知识点 4.高中数学必修5等比数列练习 5.高一数学必修5等比数列的前n项和知识点总结
高中数学必修五基本不等式学案
高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案） 学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是 什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件 是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最
小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数， 且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]
高中数学 必修五数列导学案 加课后作业及答案
必修五数列导学案 §2.1 数列的概念及简单表示（一） 【学习要求】 1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 2．探索并掌握数列的几种简单表示法． 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 【学法指导】 1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念． 2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法． 3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式． 【知识要点】 1．按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n 位的数称为这个数列的第 项． 2．数列的一般形式可以写成a 1,a 2,…,a n ,…,简记为 ． 3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_____数列． 4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式． 【问题探究】 探究点一 数列的概念 问题 先看下面的几组例子： （1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…； （2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，1 5 ； （3）π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，…； （4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…； （5）当n 分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n 的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，…. 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义． 探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？ 探究点二 数列的几种表示方法 问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？ 探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整． （1）数列：1,3,5,7,9，… ①用公式法表示：a n ＝ ； ②用列表法表示： （2）数列：1，12，13，14，1 5，… ①用公式法表示：a n ＝ . ②用列表法表示： ③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)： 探究点三 数列的通项公式 问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？ 探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要 数列 通项公式 －1,1，－1,1，… a n ＝ 1,2,3,4，… a n ＝ 1,3,5,7，… a n ＝ 2,4,6,8，… a n ＝ 1,2,4,8，… a n ＝ 1,4,9,16，… a n ＝ 1，12，13，1 4 ，… a n ＝ 【典型例题】 例1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项． （1）a n ＝cos n π2 ； （2）b n ＝11×2＋12×3＋1 3×4＋…＋ 1 n n ＋1 . 小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n ＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考 虑运算化简后再求值． 跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项． （1）a n ＝2n ＋1；（2）b n ＝2 ) 1(1n -+ 例2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （1）1，－3,5，－7,9，…； （2）12，2，92，8，25 2 ，…； （3）9,99,999,9 999，…； （4）0,1,0,1，…. 小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳． 跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式： （1）212，414，618，81 16，…； （2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，…； （3）－12，16，－112，1 20，….
高中数学必修五《等比数列前n项和》说
等比数列前n项和说课稿 各位评委，您们好。今天我说课的内容是普通高中课程标准实验教科书数学必修的第5个模块中第二章的2.5等比数列的前n项和的第一节课。 下面我从教材分析、教学目标分析、教法与学法分析、教学过程分析、板书设计分析、评价分析等六个方面对本节课设计进行说明。 一、教材分析 1、教材的地位与作用 《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 2、教材处理 根据学生的认知规律，本节课从具体到抽象，从特殊到一般,由浅入深地进行教学，使学生顺利地掌握知识，发展能力。在教学过程中，运用多媒体辅助教学，提高教学效率。同时，教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系。. 3、教学重点、难点、关键 教学重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用． 教学难点：等比数列的前n项和公式的推导。 教学关键：推导等比数列的前n项和公式的关键是通过情境的创设，发现错位相减求和法。应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系，建立等比数列模型，运用公式解决问题。 4、教具、学具准备 多媒体课件。运用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和质量。 二、教学目标分析 作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：
人教版高二数学必修五学案(全套)
加油吧，少年，拼一次，无怨无悔！ 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 学习过程 一、课前准备 试验：固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动． 思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直 角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a， AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B = sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B =
北师大版高中数学必修5等比数列 第2课时
等比数列 （第二课时） 教学目标： 进一步熟悉等比数列的有关性质 教学重点： 等比数列的性质 教学过程 一、复习引入： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0）， 即：1-n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: ) 0(11 1≠??=-q a q a a n n ， ) 0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛ n a ｝成等比数列?n n a a 1 +=q （+ ∈N n ,q ≠0） 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、等比数列的有关性质： 通过类比等差数列得到： 1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。 2、若q p n m +=+，则q p n m a a a a = 三、 例1：已知无穷数列 ,10 ,10,10,105 152 51 50 -n ， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 10 1， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中
证：（1） 51 5 251 1 1010 10== ---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列 （2） 10 110 10 101 5 451 5 = == -+-+n n n n a a ，即：5 10 1+= n n a a （3）5 2 5 1 5 110 10 10 -+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p ∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1， ∴? ?? ? ?? ∈--+5 1n 5 2 1010 q p ，（第1-+q p 项） 例2：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：设这个等比数列的第1项是1a ，公比是q ，那么：1221=q a ，① 18 3 1=q a ， ② 由②÷①可得第2 3=q ③ 把③代入①可得8 3 16121==∴= q a a a 答：这个数列的第1项与第2项是3 16和8. 例3：已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ?是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为q 1;{}n b 的首项为b 1，公比为q 2，那么数列{}n n b a ?的第n 项与第n+1项分别为： n n n n n n q q b a q q b a q b q a q b q a ) () (21111 211121111 2 11 1 1与即为与---?????? .) ()(211 2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n == ??-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ?是一个以q 1q 2为公比的等比数列. 例4：在等比数列 {}n a 中，2 2 -=a ， 54 5=a ，求 8 a ， 解： 1458 2 54 542 553 58-=-? =? ==a a a q a a
新人教版高中数学必修五导学案(全册)
新人教版高中数学必修五导学案（全册） 目录 1.1.1正弦定理 (2) 1.1.2余弦定理 (4) 1.1 正弦定理和余弦定理习题课 (6) 1．2 应用举例 (8) 2.1数列的概念与简单表示法 (11) 2.2等差数列 (14) 2.3等差数列的前n项和 (17) 2.4等比数列 (20) 2.4等比数列的性质 (22) 2.5等比数列的前n项和（1） (24) 2.5等比数列的前n项和（2） (26) 3.1不等关系与不等式 (28) 3.2一元二次不等式及其解法 (30) 3.3.1二元一次不等式组与平面区域 (33) 3.3.2简单的线性规划问题(1) (36) 3.3.2简单的线性规划问题(2) (38) 3．4基本不等式： 2b a a b + ≤（学案1） (40) 3．4基本不等式： 2b a a b + ≤（学案2） (42)
1.1.1正弦定理 课前预习学案 一、 预习目标 了解正弦定理的内容及解三角形的概念 二、预习内容 1、推导正弦定理 正弦定理： 变形： 正弦定理可用于两类： （1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角； （2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边. 2、了解“解三角形”的概念 三、提出困惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 课标要求： 掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角度量问题和实际问题。 一、学习目标：掌握三角形中边长和角度之间的数量关系 在已有知识基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，掌握正弦定理. 通过对本节的学习，能够运用正弦定理等知识，解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 重点：正弦定理的证明和解三角形. 难点：正弦定理的证明. 二、学习过程 例1：在ABC ?中，已知3=b ， 60=B ,1=c ，求C A a 及,
人教版高中数学必修5全册导学案
§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． CB 及∠B ，使边AC 绕着 顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ） ． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它 的边和角的过程叫作解三角形． ※ 典型例题 例1. 在ABC ?中， 已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．