2016届高三下学期第一次模拟考试6

理科数学2016.3

本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：

1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：

如果事件A ，B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)．

第I 卷(共50分)

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知复数231i

z i

-=

+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

（2）已知集合{}

2

280,M x x x =--≤集合{}

lg 0,N x x =≥则M N ?=

A. {}

24x x -≤≤ B ．{}

1x x ≥ C ．{}14x x ≤≤

D ．{}

2x x ≥-

（3）某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400,320,280.采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是 A.20 B ．16 C ．15 D ．14 （4）已知命题0:,p x R ?∈

使0sin 2x =

命题:0,,sin ,2q x x x π??

?∈> ???

则下列判断正确的是 A. p 为真 B ．q ?为假 C ．p q ∧为真 D ．p q ∨为假

（5）已知x ，y 满足约束条件230

10x y x x y -+≥??

≤??-≤?

则z =3x -2y 的最小值是

A. -7 B ．-3 C ．1 D ．4 （6）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A 28+.

B ．40

C ．

40

3

D

．30+

（7）函数()()2sin 0,2f x x wx w π???

?

=+>< ??

?

的部分图像如图所示，

则()17012

f f π

??+ ???

的值为

A. 2 B ．2 C ．1 D ．1+

（8）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边

数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为 （参考数据：

1.732,sin150.2588,sin7.50.1305≈≈≈ ）

A ．12

B ．24

C ．36

D ．48

（9）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A,B 分别为x 轴，y 轴上一

点，且1AB =，若点(P ，则AP BP OP ++

的取值范围是

A. []5,6 B ．[]6,7 C ．[]6,9 D ．[]5,7

（10）设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，()01f =，且()()33f x f x '=-，则

()4f x ()f x '>

A. ln 4,3??+∞

??? B ．ln 2,3??

+∞ ??? C ．?∞???? D ?+∞????

第II 卷（共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.

（11）二项式6

1x x ?

?+ ??

?展开式中的常数项是________.

（12）已知向量,a b

，其中2,a b == 且()

a b a +⊥ ，则向量a b 和的夹角是_____

（13）已知等差数列{}n a 为递增数列，其前n 项和为n S ，若()2

330

8,43a S x dx ==+?，则公

比q=__________.

（14）过点()0,3b 的直线l 与双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的一条斜率为正值的渐近线平

行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率的最大值是_________.

（15）已知函数()()(),1,11,1

x e x f x g x kx f x x ?≤?==+?

->??，若方程()()0f x g x -=有两个不同实根，则实数k 的取值范围为_______.

三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分） 在ABC ?中，内角A,B,C 的对边为a,b,c .

已知()

2

2cos cos cos 12

A

B B

C +=. （I ）求角C 的值；

（II ）若2c =，且ABC ?

,a b . （17）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，

PA ⊥面ABCD ，90ABC ∠=

，,ABC ADC PA ???=22,AC AB E ==是线段PC 的中点.

（I ）求证：DE//面PAB ；

（II ）求二面角D CP B --的余弦值.

（18）（本小题满分12分）山东中学联盟

2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率.为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励.游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束.设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为

321,,432，选手选择继续闯关的概率均为1

2

，且各关之间闯关成功与否互不影响.

（I ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；

（II ）设该选手所得学豆总数为X ，求X 的分布列与数学期望. （19）（本小题满分12分）

已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且a 3=5，a 2 ，a 4， a 12成等比数列，数列{}n b 的每

一项均为正实数，其前n 项和为S n ，且4S n = b n 2+ 2b n -3()

n N *∈

.

(I)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式 (II)令()125n n n

c a b =

+，记数列{}n c 前n 项和为T n ，若11n m n m T a T a ++≥对n N *

?∈恒成立，求正整

数m 的最大值。

（20）（本小题满分13分） 已知函数()()()()()2ln 1,.1mx x

f x a x a R

g x x e m R x

=

-+∈=∈+ （I ）当a =1,求函数()f x 的最大值

（II ）当a ＜0，且对任意实数[]12,0,2x x ∈，()()121f x g x +≥恒成立，求实数m 的取值范围. （21）（本小题满分12分）

设椭圆()2222C 10,x y a b a b +=>>：定义椭圆C 的“相关圆”方程为2222

22

a b x y a b

+=+.若抛物线24y x =的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，

且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.

（I ）求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；

（II ）过“相关圆”E 上任意一点P 作“相关圆”E 的切线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点。

（i ）证明：∠AOB 为定值

（ii ）连接PO 并延长交“相交圆”E 于点Q ，求△ABQ 面积的取值范围.

理科数学参考答案

一、选择题

CCDBA CABDB

二、填空题

（11）20 （12）56π （13） 2 （14）3 （15）]1

(

,1)(1,12e e --U 三、解答题

（16）解：（Ⅰ）1cos )sin 3(cos 2

cos

22

=-+C B B A

0cos sin 3cos cos cos =-+∴C B C B A ………… 1分

0cos sin 3cos cos )cos(=-++-∴C B C B C B ………… 2分

0cos sin 3cos cos sin sin cos cos =-++-∴C B C B C B C B

0cos sin 3sin sin =-∴C B C B ， ………… 4分

又 B 是三角形的内角3tan =∴C （或2sin()03C π

-=）

………… 5分

又 C 是三角形的内角3π

=

∴C

………… 6分

（Ⅱ）1sin 423

ABC

S ab ab π

?=∴=∴= , ………… 8分 又C ab b a c cos 22

2

2

-+= ，2

4()2a b ab ab ∴=+--4a b ∴+=

或4a b +=或0a b -=

………… 10分

2a b ∴== ...........12分

（17）解：（Ⅰ）证明:设线段AC 的中点为O ,连接OE OD ,.

A

C

01

90,12

ABC BO AC ∠=∴=

= ，同理1=DO ，又1==AD AB 所以四边形ABOD 是平行四边形，所以AB DO // ………… 2分

又E O , 分别是AC PC ,的中点，PA OE //∴ ………… 3分. 又,,,OD OE O PA AB A OD OE ==? 面ODE ，,PA AB ?面PAB

∴面//ODE 面PAB ………… 4分 又?DE 面ODE //DE ∴面PAB ………… 5分

（Ⅱ）⊥⊥PA BC AB , 面ABCD ,∴以B 为原点，以为x 轴的正方向，为y 轴正方向，过点B 作平行于AP 的直线为z 轴的正方向，建立空间直角坐标系

xyz B - ………… 6分

则)0,23

,23(),2,0,1(),0,3,0(),0,0,0(D P C B

设面PBC 的法向量为),,(1111z y x n =

则)1,0,2(,0

30

200111111-=∴???==+∴?????=?=?n y z x n n ………… 8分 设面DPC 的法向量为),,(2222z y x n =

则 )1,3,1(,0

23230223

210022222

222=∴???????=+-=+--∴?????=?=?n y x z y x n DP n …

…… 10分

所以121cos ,5n n <>==

………… 11分 故二面角B CP D --的余弦值为51

………… 12分

另解：（Ⅰ）⊥⊥PA BC AB , 面ABCD ,∴以B 为原点，以为x 轴的正方向，BC 为y 轴正方向，过点B 作平行于AP 的直线为z 轴的正方向，建立空间直角坐标系xyz B -

则)1,23

,21(),0,0,1(),0,23,

23(),2,0,1(),0,3,0(),0,0,0(E A D P C B

)1,0,1(-=∴DE ………… 1分

设面PBA 的法向量为),,(z y x n =

则)0,1,0(,0

20011=∴???==+∴?????=?=?x z x n n . 或：AB BC ABC ⊥∴=∠,90 ，⊥PA 面ABCD ，

BC PA ⊥，⊥∴BC 面PAB

所以面PBA 的法向量为)0,1,0(= ………… 3分

0DE n ∴?=

………… 4分

//DE ∴面PAB ………… 5分

（Ⅱ）设面PBC 的法向量为),,(1111z y x =

则)1,0,2(,030200111111-=∴???==+∴?????=?=?n y z x BC n n

………… 8分 设面DPC 的法向量为),,(2222z y x =

则)1,3,1(,0

23230223

210022222

222=∴???????=+-=+--∴?????=?=?n y x z y x n n ………… 10分

所以121cos ,5n n <>==

………… 11分 山东中学联盟

故二面角B CP D --的余弦值为

51

………… 12分

备注：本题建系只在第二问给1分.

（18）解：（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A ，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件1A ，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件2A ，则1A ，2A 互斥，

13121()=1-=4238P A ??（）， …………2分

2312111

()=(1)=4232216

P A ????-， ………… 4分

12113

()()()81616

P A P A P A =+=+= ………… 5分

（Ⅱ）X 所有可能的取值为0,5,15,35 …………6分

37

(0)(1)+416P X P A ==-=()

313

(5)=428

P X ==?

31211

(15)=42328P X ==???

312111

(35)=4232216

P X ==???? ………… 10分

………… 11分

731195

=0+5+15+35=16881616

EX ?

??? ………… 12分 （19）解：（I ）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得：0d ≠，且

12

11125

(3)=()(11)

a d a d a d a d +=??++?+? 解得：1=-13a d ??=?或1=50a d ??=?

（舍）

34n a n ∴=- ………… 2分

当1n =时， 2

111423b b b =+-0n b >∴ 13b =， ………… 3分

当2n ≥时，

2423n n n S b b =+-① 2-1-11423n n n S b b -=+-②

②-①得，2

2

-114-22n n n n n b b b b b -=+- …………4分

-1-1--2)0n n n n b b b b ?+=（）（ -10-=2n n n b b b >∴ ，

{}n b ∴是首项为3，公差为2的等差数列.

故21n b n =+. ………… 6分

（II ）11111

=()(25)(63)(21)62121

n n n c a b n n n n ==-+-+-+ ………… 7分

1211111111111

=c =-+--=1-61335572121621

n n T c c n n n ??+++??-++?? （）（）+()++(-)（） ………… 9分

11==3(21)3(23)n n n n T T n n ++∴++ 2221(23)231=1-(1)(21)23+1231

n n T n n n n T n n n n n n +++==+++++，

令21

()=1-

231

f x x x ++，则当0x >时，22

43

()=

0231x f x x x +>++，

（）

1n n T T +??∴????

为递增数列，1125

6n n T T T T +∴≥=， ………… 10分

又

+11n m n m T a T a +≥对N n *?∈恒成立，故1345

=316

m m a m a m +-≤-， 解得19

3

m ≤

， ………… 11分

所以正整数m 的最大值为6. ………… 12分

（20）解： (I)函数()f x 的定义域为：(1,)x ∈-+∞， ………… 1分

当1a =时,()()

()

'2

2

11111x x

x

f x x x x +--=

-

=+++, …………2分 ()()'1,0,0x f x ∴∈-> 函数()f x 在()1,0-上单调递增, …………3分

()()'0,,0x f x ∴∈+∞> 函数()f x 在()0,+∞上单调递减 …………4分 ()()max 00f x f ∴== ……………5分

(II) 令()()1x f x ?=+ 因为“对任意的1212,[0,2],()1()x x f x g x ∈+≥恒成立”等价于“当

0a <时，对任意的12min max ,[0,2],()()x x x g x ?∈≥成

立”， ……………6分 由于()()

()

'2

2

1

1

111a ax a x x x x ?--+=

-

=+++

当0a <时,[]0,2x ?∈有()'0x ?>,从而函数()x ?在[]

0,2上单调递增,

所以()()min 01x ??== ……………8分

22()2e e (2)e mx mx mx g x x x m mx x '=+?=+ ……………9分

当0m =时，2

()g x x =，

[0,2]x ∈时，max ()(2)4g x g ==，显然不满足max ()1g x ≤， ……………10分

当0m ≠时，令()0g x '=得，1220,x x m

==-

， （i ）当2

2m

-

≥，即10m -≤≤时，在[0,2]上()0g x '≥，所以()g x 在[0,2]单调递增，所以2max ()(2)4e m g x g ==，只需24e 1m

≤，得ln 2m ≤-，所以1ln 2m -≤≤- ……………

11分

(ii) 当202m

<-

<，即1m <-时，在2

[0,],()0g x m '-≥，()g x 单调递增，在

2[,2],()0g x m '-<，()g x 单调递减，所以max 2224

()()e

g x g m m =-=， 只需2241e

m ≤，得2

e m ≤-，所以1m <- ……………12分

(iii) 当2

0m

-<，即0m >时，显然在[0,2]上()0g x '≥，()g x 单调递增，

2max ()(2)4e m g x g ==，24e 1m ≤不成立，

综上所述，m 的取值范围是(,ln 2]-∞- ……………13分

21. 解：（Ⅰ）因为若抛物线24y x =的焦点为()1,0与椭圆C 的一个焦点重合，所以1c = ………1分

又因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以1b c ==

故椭圆C 的方程为2

212

x y +=， ……………3分

“相关圆”E 的方程为22

2

3x y +=

……………4分

（Ⅱ）（i ）当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB 方程为x =

，

则,,3333A B ???- ? ?????

所以2AOB π

∠= ……………5分 当直线l 的斜率存在时，设其方程设为y kx m =+，设()()

1122,,,A x y B x y

联立方程组

22

12

y k

x

m

x y ++==?????得

222()2

x kx m ++=,即

222(12)4220k x kmx m +++-=, …………6分

△=222222164(12)(22)8(21)0k m k m k m -+-=-+>,即22210

(*)k m -+>

122

2

1224122212km x x k m x x k ?

+=-??+?-?=?+?

……………7分

因为直线与相关圆相切，所以d ===22

322m k =+

……………8分

2222

2

2

2

1212121222

(1)(22)4(1)()1212k m k m x x y y k x x km x x m m k k

+-∴+=++++=-+++222

322

012m k k

--==+

O A O B

∴⊥

2

AOB π

∴∠=

为定

值 ……………9分 （ii ）由于PQ

是“相关圆”的直径，所以12ABQ S AB PQ ?==，所以要求ABQ ?面积的取值范围，只需求弦长AB 的取值范围

当直线AB 的斜率不存在时，由（i

）知3AB =

(10)

分

因为||AB ==

……………11分

==,

① 0k ≠

时||AB =

221448k k ++≥所以2211

01844k k

<≤++,

所以

22881

[1]313344k k

<+≤++,

||AB <≤

当且仅当k =”=” ……………12分

②当0k =时

,||AB =|AB |

||AB ≤≤

……………13分

ABQ ∴?

面积的取值范围是43???

……………

14分