3.4基本不等式4学案

3．4．4基本不等式（第4课时）35

**学习目标**

1．拓展基本不等式的内涵，了解均值不等式不等式链； 2．能综合应用均值不等式解决一些较复杂的问题。 **要点精讲**

1．均值不等式（不等式链）：若,a b R +

∈，则21/1/2a b a b +≤≤≤

+。

其中，21/1/2a b a b ++,a b 的调和平均数（H ）、几何平均数（G ）、算术平均数（A ）、平方平均数（P ），即有H G A P ≤≤≤。基本功能有： （1）P A ≥，将平方和与两数和互化； （2）A G ≥，将和与积互化；

（3）A H ≥，将和与倒数和互化；

（4，其中,a b 为正数。

2．含有参变量的恒成立问题，常用分离参量的方法，转化为最值问题得以解决。 **范例分析**

例1．（1）已知,,a b c 为正数，则()1

1a b c a b c ??+++ ?+??

的最小值为 ；

（2）已知,a b 为正数，且4a b +≤，则

11

a b

+的最小值为 ； （3）已知,a b 为正数，且ab a b =+，则2

2

a b +的最小值为 ；

例2．（1）已知x 2+y 2=4,则

2

2-+y x xy

的最小值为（ ）

A.－2

B.－

3

4

C.2－22

D.2+22

（2）若实数m ，n ，x ，y 满足2

2

m n a +=，b y x =+2

2（a ≠b ）则mx ny +的最大值是（ ）

（A ）2b a + （B ）ab （C ）2

2

2b a + （D ）b a ab +

（3）若,x y 为正数，则2

2

1122x y y x ????

+++ ? ????

?的最小值是（ ） A 、3 B 、72 C 、4 D 、92

例3．（1）设,x y z n N >>∈，且

11n

x y y z x z

+≥

---恒成立，则n 的最大值是（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5

（2）若,,m x y 都是正实数，且不等式

则m 的最小值是（ ）

.A .B .C 2 .D 1

（3）若对任意的,x y R ∈，1a x y ≤+≤2a 1a 的最

大值为 ，实数2a 的最小值为 。

例4、记()(,22,,F x y x y a x xy x y R +

=+-+∈。

（1）是否存在0x R +∈，使()0,22F x =？请说明理由；

（2）若对任意的,x y R +∈，恒有(),0F x y ≥，请求出a 的取值范围。 请思考：若改()(,23,,F x y x y a x xy x y R +

=+-+∈，（2）的结论如何？

规律总结

1.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.

2.与不等式相关联的知识较多，如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式，要善于寻找它们之间的联系，从而达到综合应用的目的.

3.化归思想在解决不等式问题中占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.

4．引进待定系数巧用基本不等式，体现了一定的数学智慧。

**基础训练** 一、选择题

1．已知0a b >>，全集为R ，集合2a b M x b x ?+?

=<<

????

，{}

N x a =<， {

P x b x =<≤，则,,M N P 满足（ ）

A 、()R P M C N =

B 、()R P

C M N = C 、P M N =

D 、P M N =

2．若1a b >>，P =，()1lg lg 2Q a b =

+，lg 2

a b R +=，则（ ） A 、R P Q << B 、P Q R << C 、Q P R << D 、P R Q <<

3．已知不等式(x+y)(1x + a

y )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )

A.2

B.4

C.6

D.8 4．.已知a 、b 是不相等的正数，x =

2

b a +，y =b a +，则x 、y 的关系是（ ）

A.x ＞y

B.y ＞x

C.x ＞2y

D.不能确定

5．设0,1a b a b >>+=且11

1log ,log ,log a b

a b x b y ab z a ??+ ???

===则,,x y z 之间的大小关系

是（ ）

A ．y x z <<

B ．z y x <<

C ．y z x <<

D ．x y z <<

二、填空题

6．函数y 的值域为 。

7．ABC ?的三边,,a b c 成等比数列，则B ∠的取值范围是 。

8．三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数

a 的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．

乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．

三、解答题

9．已知函数()()2log f x x m =+，且()()()0,2,6f f f 成等差数列。 （1）求实数m 的值；

（2）若,,a b c 是两两不等的正数，且,,a b c 成等比数列，试判断()()f a f c +与()2f b 的

大小关系，并证明你的结论。

10．（1）证明：一次函数()()0f x kx h k =+≠，若()(),0,0m n f m f n <>>，则对任

意的(),x m n ∈，都有()0f x >；

（2）试证明：若,,,1,1,1a b c R a b c ∈<<<，则1ab bc ca ++>-。

四、能力提高

11．已知,,x y z R +∈，且()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 12．已知0a b >>，求()

2

16

a b a b +

-的最小值。

3．4．4基本不等式（综合应用） 例1．解：（1）当a b c +=时，最小值为4； （2）当2a b ==时，最小值为1；

（3）111a b +=，由21/1/a b ≤

+，得22

8a b +≥，当2a b ==时，最小值为8； 例2．解：（1）方法1：令2cos ,2sin x y θθ==，则24sin cos 2sin cos 1

xy u x y θθ

θθ=

=+-+-，

再令sin cos 4t πθθθ?

??=+=

+∈ ???

?，则 ()()()

221

21211

t u t t -=

==+≥-，当且仅当x y ==C 。

方法2：()()2

4

2222

2

x y xy

u x y x y x y +-=

=

=++≥-+-+-。

（2）方法1，()()

)2222

2ab a x y b m n mx ny =+++≥+，

当且仅当2222m n a

x y b

==时，mx ny +的最大值是ab ；选B 。

方法2，令,m n αα=，,x y ββ=，则

()

mx ny αβ+=-≤B 。

评注：若由2222222

m x n y a b

mx ny ++++≤+=，则错选A ，为什么？

方法3，设(),p m n = ，(),q x y =

，则mx ny p q p q +=?≤?= B 。 （3）2

2

2222111142244x y x y x y y x x y y x ??????????+++=+++++≥ ? ? ? ? ??????

?????， 当且仅当1

2

x y ==

时等号成立。 例3．解：（1）令0,0a x y b y z =->=->，则()11n a b a b ??

≤++

???

恒成立， 因为()114a b a b ??

++≥

??

?，故n 的最大值为4。 （2）原问题转化为m ≥

y x y

x ++

恒成立.从而m 的最小值就是

y

x y

x ++的最大值.

∵x ＞0，y ＞0，∴y x +≥

2

2

）

（y x +=

2

y

x +.

∴

y

x y

x ++≤

2

y

x y x ++=2.∴m 的最小值为2.

（3

）因为x y +≤，所以实数2a

又x y +=

≥1a 的最大值为1。

评注：分离参数法是求参数的范围问题常用的方法，化归是解这类问题常用的手段. 例4．解：（1）(

)(

(

000,2214F x x a x a a ?-=-+=

-?，

因为0x R +∈，所以(

14a a -=。 当01a <<时，存在()

2

02

161a x a =

-满足条件；

当1a ≥或0a ≤时，这样的0x 不存在。 （2）由(),0F x y ≥

知，a ≤

对任意的,x y R +∈成立，只需a 不大于

u =

的最小值。

方法1

，因为2x y ≤+，从而()1

22

22x y u x x y x xy +=

≥=+++，故12a ≤。

方法2，根据分子、分母为齐次式的特点，令2y

t x

=

()22191

122248122

t u t t t +??===++-≥??++??，

当且仅当1t =时取等号，故12a ≤。 评注：（2）中方法1，由于系数的特殊性，很巧妙地利用基本不等式进行了放缩，但对

于更一般的系数，如根号下的系数2改为3，怎么办？——引入待定系数，再用基本不等式：

()1

30x y λλλ

=≤+

>，则()1

13x y

u x y

λλ

+≥

++

，

只需1

13λλ

+=

，即λ=

，就有u λ≥=

，从而a ≤

**参考答案** 1~5 AABBC ；

3．提示：不等式(x +y )(

1a x y +)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1y ax

a x y

+++

≥1a +

≥9，∴

24(舍去)，所以正实数a 的最小值为4，选B ．

4．提示：∵x 2=

21（a +b ）2=2

1

（a +b +2ab ）， y 2=a +b =

21（a +b +a +b ）＞2

1

（a +b +2ab ）=x 2，又x ＞0，y ＞0.∴y ＞x . 5．提示：令0y t x =>，则

2

2

2

44x y y

t t x +=+在()0,+∞上为增函数；2221611

1616xy x y t t

+=+

在()0,+∞上为减函数；从而2

2111942164

u t t t t ??≥

+++≥ ???，当且仅当12t =时等号成立。

6．令a b =2

2

4a b +=，由2a b +≤

y ≤

当0x =时，最大值为2x =±时，最小值为2。

或[]2

44,8y =+，所以2,22y ?∈?。

7．03B π

<≤；提示：2

b a

c =，222221cos 222

a c

b a

c ac B ac ac +-+-=

=≥。 8．(,10]a ∈-∞；提示：由2x ＋25＋|3x －52x |≥225,112|5|ax x a x x x x

≤≤?≤++-，

而2510x x +≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|0x x -≥，等号当

且仅当5[1,12]x =∈时成立；所以，2min 25[|5|]10a x x x x

≤++-=，等号当且仅当

5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞。

9．解：（1）由已知，()()2

26m m m +=+，得2m =； （2）因为,,a b c 是两两不等的正数，且2

b a

c =， 所以

()()()

())

2

222224

0a c b a c b b ++-+=+->=，

即()()()2

222a c b ++>+，两边取以2为底的对数，得()()f a f c +>()2f b 。 10．（1）若0k >，则()()0f x f m >>；若0k <，则()()0f x f n >>；

综上，对任意的(),x m n ∈，都有()0f x >；

（2）令()()1f a b c a bc =+++，因为1,,1a b c -<<，所以

()()()1110f b c =++>，()()()1110f b c -=-->，

由（1）知，()()10f a b c a bc =+++>，即1ab bc ca ++>-。

11．B ；提示：()()()2x y y z y x y z xz ++=+++≥=。

12．解：因为0a b >>，所以()()2

2

24b a b a b a b +-??-≤=????

，

()2221664

16u a a b a b a

=+

≥+≥-。

当且仅当???=-=82a b a b ，，即??

???==222b a ，

时取等号.