第七章 线性变换
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义
一、线性变换的定义
线性空间V 到自身的映射称为V 的一个变换.
定义1 线性空间V 的一个变换A 称为线性变换，如果对于V 中任意的元素βα,和数域P 中任意数k ，都有
A (βα+)=A (α)+A (β);
A (αk )=A k (α). （1）
一般用花体拉丁字母A ，B ，…表示V 的线性变换，A (α)或A α代表元素α在变换A 下的像.
定义中等式(1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法.
例1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反时钟方向旋转θ角，就是一个线性变换，用?θ表示.如果平面上一个向量α在直角坐标系下的坐标是),(y x ，那么像?θ(α)的坐标，即α旋转θ角之后的坐标
),(y x ''是按照公式
???
? ?????? ??-=???? ??''y x y x θθθθcos sin sin cos . 来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换.
例2 设α是几何空间中一固定非零向量，把每个向量ξ变到它在α上的内射影的变换也是一个线性变换，以α∏表示它.用公式表示就是
αααξαξα)
,(),()(=∏. 这里),(),,(ααξα表示内积.
例3 线性空间V 中的恒等变换或称单位变换E ，即
E )()(V ∈=αα
α
以及零变换?，即
?)(0
)(V ∈=αα 都是线性变换.
例4 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中的某个数，定义V 的变换如下： V k ∈→ααα,.
这是一个线性变换，称为由数k 决定的数乘变换，可用K 表示.显然当1=k 时，便得恒等变换，当0=k 时，便得零变换.
例5 在线性空间][x P 或者n x P ][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即
D （)(x f ）=)(x f '.
例6 定义在闭区间[]b a ,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以),(b a C 代表.在这个空间中变换
?（)(x f ）=?x
a dt t f )( 是一线性变换.
二、线性变换的简单性质：
1. 设A 是V 的线性变换，则A (0)=0, A (α-)=-A (α).
2. 线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果β是r ααα,,,21 的线性组合：
r r k k k αααβ+++= 2211,
那么经过线性变换A 之后，A (β)是A (1α),A (2α),…, A (r α)同样的线性组合：
A (β)=1k A (1α)+2k A (2α)+…+ r k A (r α)
又如果r ααα,,,21 之间有一线性关系式
02211=+++r r k k k ααα
那么它们的像之间也有同样的关系式
1k A (1α)+2k A (2α)+…+ r k A (r α)=0.
3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.
§2 线性变换的运算
一、线性变换的乘法
设A,,B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积为.
(AB)(α)= A,(B (α)) (V∈
α).
则线性变换的乘积也是线性变换.
线性变换的乘法适合结合律，即
(AB)C=A(BC).
但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换
D（)
(x
f）=)
(x
f'.
?（)(x
f）=?x
a
dt t f)(
的乘积D?=?，但一般?D≠?.
对于任意线性变换A，都有
A?=?A = A.
二、线性变换的加法
设A,B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的和A+B为
(A+B)(α)= A (α)+B (α) (V∈
α).
则线性变换的和还是线性变换.
线性变换的加法适合结合律与交换律，即
A+(B+C)=(A+B)+C.
A+B=B+A.
对于加法，零变换?与所有线性变换A的和仍等于A：
A+?=A.
对于每个线性变换A，可以定义它的负变换（-A）：
(-A)(α)=- A (α) (V∈
α).
则负变换（-A）也是线性变换，且
A+（-A）=?.
线性变换的乘法对加法有左右分配律，即
A(B+C)=AB+AC，
(B+C)A=BA+CA.
三、线性变换的数量乘法
数域P中的数与线性变换A的数量乘法定义为
k A =KA
即
k A(α)=K(A (α))=KA (α),
当然A还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律：
)
(kl A=k(l A),
k+A=k A+l A,
)
(l
k(A+B)=k A+k B,
1A=A.
线性空间V上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P上一个线性空间.
V的变换A称为可逆的，如果有V的变换B存在，使
AB=BA=E.
这时，变换B称为A的逆变换，记为A1-.如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A1-也是线性变换.
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A重复相乘时，其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当n个（n是正整数）线性变换A相乘时，就可以用
个n A AA
来表示，称为A 的n 次幂，简记为A n .作为定义，令
A 0= E .
根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：
A n m +=A m A n ,(A m )n =A m n )0,(≥n m
当线性变换A 可逆时，定义A 的负整数幂为
A n -=(A 1-)n (n 是正整数).
值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来
(AB )n ≠A n B n .
设
011)(a x a x a x f m m m m +++=--
是][x P 中一多项式，A 是V 的一个线性变换，定义
f (A )=m a A m +1-m a A 1-m +…+0a E
显然f (A )是一线性变换，它称为线性变换A 的多项式.
不难验证，如果在][x P 中
,)()()(,)()()(x g x f x p x g x f x h =+=
那么
h (A )=f ( A )+g ( A ), p (A )=f ( A )g ( A ).
特别地，
f (A )
g ( A )=g ( A )f ( A ).
即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的.
例1 在三维几何空间中，对于某一向量α的内射影α∏是一个线性变换. α∏可以用下面的公式来表示：
αααξαξα)
,(),()(=∏. 其中),(),,(ααξα表示向量的内积.
从图2不难看出，ζ在以α为法向量的平面x 上的内射影)(ζx ∏可以用公式
)()(ζζζα∏-=∏x
表示.因此
=∏x ?-α∏.
这里?是恒等变换.
ζ对于平面x 的反射?x 也是一个线性变换，它的像由公式
?)(2)(ζζζα∏-=x
给出.因此
?x =?-2α∏.
设βα,是空间的两个向量.显然，α与β互相垂直的充要条件为
=∏?∏βα?
例2 在线性空间n P ][λ中，求微商是一个线性变换，用D 表示.显然有
D =n ?.
其次，变换的平移
P a a f f ∈+→)()(λλ
也是一个线性变换，用?a 表示.根据泰勒展开式
)()!
1()(!2)()()()1(1
2λλλλλ---++''+'+=+n n f n a f a f a f a f , 因之?a 实质上是?的多项式：
?a =?+a D +!22
a D 2+…+)!
1(1--n a n D 1-n .
§3 线性变换和矩阵
一、线性变换关于基的矩阵
设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系.
空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式
n n x x x εεεξ+++= 2211 (1)
其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系：
A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211）
=1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2)
上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说
1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即
A i ε=
B i ε， ,,,2,1n i =
那么A = B .
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是
2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使
A i ε=i α .,,2,1n i =
定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换?使
A i ε=i α .,,2,1n i =
定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：
???????+++=+++=+++=.
,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是
A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)）
=A n ),,,(21εεε (5) 其中
??????
? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221
11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵.
例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下
???+====.,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i
i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明
A 2=A
投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是
??????????
? ??00111
这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换到数域P 上的n n ?矩阵的一个映射.前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有
定理2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式（5）对应一个n n ?矩阵，这个对应具有以下性质：
1）线性变换的和对应于矩阵的和；
2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.
定理2 说明数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换组成的集合)(V L 对于线性变换的加法与数量乘法构成P 上一个线性空间，与数域P 上n 级方阵构成的线性空间n n P ?同构.
定理3 设线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是A ，向量ξ在基n εεε,,,21 下的坐标是),,,(21n x x x ,则A ξ在基n εεε,,,21 下的坐标),,,(21n y y y 可以按公式
??????
? ??=
??????? ??n n x x x A y y y 2121 计算.
二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.
线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.
定理4设线性空间V 中线性变换A 在两组基
n εεε,,,21 , (6) n ηηη,,,21 (7) 下的矩阵分别为A 和B 从基（6）到（7）的过渡矩阵是X ，于是AX X B 1-=.
定理4 告诉我们，同一个线性变换A 在不同基下的矩阵之间的关系. 定义3 设A ，B 为数域P 上两个n 级方阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆方阵X ，使得AX X B 1-=，就说A 相似于B ，记作B A ~.
相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：
1. 反身性：A A ~
2. 对称性：如果B A ~，那么A B ~.
3. 传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~.
定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.
矩阵的相似对于运算有下面的性质.
如果X A X B 111-=,X A X B 212-=，那么
X A A X B B )(21121+=+-,
X A A X B B )(21121-=
由此可知，如果AX X B 1-=，且)(x f 是数域P 上一多项式，那么
X A f X B f )()(1-=
利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.
例 2 设V 是数域P 上一个二维线性空间，21,εε是一组基，线性变换A 在21,εε下的矩阵是
???
? ??-0112
计算A 在V 的另一组基21,ηη下的矩阵，这里
???
? ??--=2111),(),(2121εεηη
§4 特征值与特征向量
一、线性变换的特征值和特征向量的概念
定义4 设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换,如果对于数域P 中一数0λ,存在一个非零向量ξ,使得
A ξ=0λξ. （1） 那么0λ称为A 的一个特征值,而ξ叫做A 的属于特征值0λ的一个特征向量.
从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变)0(0>λ或者方向相反)0(0<λ,至于)0(0=λ时，特征向量就被线性变换变成0.
如果ξ是线性变换A 的属于特征值0λ的特征向量，那么ξ的任何一个非零倍数ξk 也是A 的属于特征值0λ的特征向量.这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.
二、特征值与特征向量的求法
设V 是数域P 上n 维线性空间，n εεε,,,21 是它的一组基，线性变换A 在这组基下的矩阵是A .设0λ是特征值，它的一个特征向量ξ在n εεε,,,21 下的坐标是n x x x 00201,,, ,则A ξ的坐标是
??????
? ??n x x x A 00201 . ξλ0的坐标是
??????
? ??n x x x 002010 λ
因此（1）式相当于坐标之间的等式
??????
? ??=??????? ??n n x x x x x x A 00201000201 λ (2) 或
0)(002010=??????
? ??-n x x x A E λ 这说明特征向量ξ的坐标),,,(00201n x x x 满足齐次方程组
???????=+++=+++=+++,
,,02211202222121101212111n n nn n n n n n n x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a λλλ 即
???????=-+---=---+-=----,
0)(,0)(,0)(022112222012112121110n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a λλλ (3) 由于0≠ξ,所以它的坐标n x x x 00201,,, 不全为零，即齐次方程组有非零解.而齐次方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零，即
002122202111211
00=---------=-nn
n n n n a a a a a a a a a A E λλλλ
. 定义5 设A 是数域P 上一个n 级矩阵,λ是一个数字.矩阵A E -λ的行列式
.21222
2111211
nn
n n n n
a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ
(4) 叫做矩阵A 的特征多项式,这是数域P 上的一个n 次多项式.
上面的分析说明，如果0λ是线性变换A 的特征值，那么0λ一定是矩阵A 的
特征多项式的一个根；反过来，如果0λ是矩阵A 的特征多项式在数域P 中的一个根，即00=-A E λ，那么齐次方程组（3）就有非零解.这时，如果),,,(00201n x x x 是方程组（3）的一个非零解，那么非零向量
)0202101n n x x x εεεξ+++=
满足（1），即0λ是线性变换A 的一个特征值，ξ就是属于特征值0λ的一个特征向量.
因此确定一个线性变换A 的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：
1.在线性空间V 中取一组基n εεε,,,21 ，写出A 在这组基下的矩阵A ；
2.求出A 的特征多项式A E -0λ在数域P 中全部的根，它们也就是线性变换A 的全部特征值；
3.把所求得的特征值逐个地代入方程组（3），对于每一个特征值，解方程组
（3），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基n εεε,,,21 下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的特征向量.
矩阵A 的特征多项式的根有时也称为A 的特征值，而相应的线性方程组（3）的解也就称为A 的属于这个特征值的特征向量.
例1 在n 维线性空间中，数乘变换K 在任意一组基下的矩阵都是kE ，它的特征多项式是
n k kE E )(-=-λλ.
因此，数乘变换K 的特征值只有k ，由定义可知，每个非零向量都是属于数乘变换K 的特征向量.
例2 设线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵是
????
? ??=122212221A ,
求A 的特征值与特征向量.
例3 在空间n x P ][中，线性变换
D )()(x f x f '= 在基)!
1(,,!2,,11
2--n x x x n 下的矩阵是 ?????
??
? ??=0000100001000010 D D 的特征多项式是
n D E λλλλ
λ=---=- 0001000
010
001.
因此，D 的特征值只有0.通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数.
例4 平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间，§1例1中旋转?θ在直角坐标系下的矩阵为
???
? ?
?-θθθθcos sin sin cos 它的特征多项式为 1cos 2cos sin sin cos 2+-=---θλλθ
λθθθλ 当πθk ≠时，这个多项式没有实根.因之，当πθk ≠时，?θ没有特征值.从几何
上看，这个结论是明显的.
容易看出，对于线性变换A 的任一个特征值0λ，全部适合条件
A αλα0=
的向量α所成的集合，也就是A 的属于0λ的全部特征向量再添上零向量所成的集合，是V 的一个子空间，称为A 的一个特征子空间，记为0λV .显然，0λV 的维数就是属于0λ的线性无关的特征向量的最大个数.用集合记号可写为.
{}V A V ∈==ααλααλ,|00
在线性变换的研究中，矩阵的特征多项式是重要的.下面先来看一下它的系数.在
.21222
2111211
nn
n n n n
a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ
的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积
)())((2211nn a a a ---λλλ
展开式中的其余项，至多包含2-n 个主对角线上的元素，它对λ的次数最多是2-n .因此特征多项式中含λ的n 次与1-n 次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现，它们是
12211)(-+++-n nn n a a a λλ .
在特征多项式中令0=λ，即得常数项A A n )1(-=-.
因此，如果只写特征多项式的前两项与常数项，就有
A a a a A E n n nn n )1()(12211-+++++-=-- λλλ. (5)
由根与系数的关系可知，A 的全体特征值的和为nn a a a +++ 2211（称为A 的
迹）.而的A 全体特征值的积为A .
特征值自然是被线性变换所决定的.但是在有限维空间中，任取一组基后，特征值就是线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根.随着基的不同，线性变
换的矩阵一般是不同的.但是这些矩阵是相似的，对于相似矩阵有
定理6 相似矩阵有相同的特征多项式.
定理6说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选取无关，它直接被线性变换所决定的.因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.
既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的.考虑特征多项式的常数项，得到相似矩阵有相同的行列式.因此，以后就可以说线性变换的行列式.
应该指出，定理6的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似的.例如
???
? ??=???? ??=1011,1001B A 它们的特征多项式都是)1(-λ，但A 和B 不相似，因为和A 相似的矩阵只能是A 本身.
哈密顿-凯莱(Hamilton-Caylay)定理 设A 是数域P 上一个n n ?矩阵，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则
0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A A f n n nn n
推论 设A 是有限维空间V 的线性变换，)(λf 是A 的特征多项式，那么f (A )=?.
§5 对角矩阵
定理7 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，A 的矩阵可以在某一基下为对角矩阵的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.
定理8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
推论1 如果在n 维线性空间V 中，线性变换A 的特征多项式在数域P 中有n 个不同的根，即?有n 个不同的特征值，那么A 在某组基下的矩阵是对角形的.
推论2 在复数上的线性空间中，如果线性变换A 的特征多项式没有重根，那么A 在某组基下的矩阵是对角形的.
在一个线性变换没有个不同的特征值的情形，要判断这个线性变换的矩阵能不能成为对角形，问题就要复杂些.
定理9 如果k λλ,,1 是线性变换A 的不同的特征值，而i ir i αα,,1 是属于特
征值i λ的线性无关的特征向量，k i ,,2,1 =那么向量组k
kr k ir αααα,,,,,,1111 也线性无关. 根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无关的.如果它们的个数等于空间的维数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵；如果它们的个数少于空间的维数，那么这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角形.换句话说，设A 全部不同的特征值是r λλ,,1 ，于是A 在某一组基下的矩阵成对角形的充要条件是A 的特征子空间r V V λλ,,1 的维数之和等于空间的维数.
应该看到，当线性变换A 在一组基下的矩阵A 是对角形时：
??????
? ??=n A λλλ 00000000021 A 的特征多项式就是
)())((21n A E λλλλλλλ---=-
因此，如果线性变换A 在一组基下的矩阵是对角形，那么主对角线上的元素除排列次序外是确定的，它们正好是A 的特征多项式全部的根（重根按重数计算）.
根据§3定理5，一个线性变换的矩阵能不能在某一组基下是对角形的问题就相当于一个矩阵是不是相似于一个对角矩阵的问题.
例 在§4的例2中，已经算出线性变换A 的特征值是-1（二重）与5，而对应的特征向量是
.
,
,
3213322311εεεξεεξεεξ++=-=-= 由此可见，A 在基.,,321ξξξ下的矩阵为对角矩阵
????
? ??--=500010001B
而由321,,εεε到.,,321ξξξ的过渡矩阵是
????
? ??--=111110101X
于是，B AX X =-1.
第7章 线性变换
第7章 线性变换 §1 线性变换的定义 线性空间V 到自身的映射，通常叫做V 的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。 一、线性变换的定义 定义7.1 设V 为线性空间，若对于V 中的任一向量α，按照一定的对应规则T ，总有V 中的一个确定的向量β与之对应，则这个对应规则T 称为线性空间V 中的一个变换，记为 βα=)(T 或 )(,V T ∈=αβα， β称为α的象，α称为β的原象。象的全体所构成的集合称为象集，记作T （V ），即 T （V ）={}V T ∈=ααβ|)(。 由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。 定义7.2 线性空间V 中的变换T ，若满足条件 （1） 对任意V ∈βα,有 （2） )()()(βαβαT T T +=+； （3） 对任意V ∈α及数域P 中任意数k 有 )()(ααkT k T =，
则称变换T 为V 中的线性变换。 例7.1 线性空间V 中的恒等变换或称单位变换E ，即 E )()(V ∈=αα α 以及零变换?，即 ?)(0 )(V ∈=αα 都是线性变换. 例7.2 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中的某个数，定义V 的变换如下： V k ∈→ααα,. 这是一个线性变换，称为由数k 决定的数乘变换，可用K 表示.显然当1=k 时， 便得恒等变换，当0=k 时，便得零变换. 例7.3 在线性空间][x P 或者n x P ][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即 D （)(x f ）=)(x f '. 例7.4 定义在闭区间[]b a ,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以),(b a C 代表.在这个空间中变换 ?（)(x f ）=?x a dt t f )( 是一线性变换.
第七章 线性变换.
第七章线性变换 计划课时：24学时.( P 307—334) §7.1 线性变换的定义及性质（2学时） 教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质 教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质 本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307） 注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。 二. 线性变换的性质 定理7.1.1（P309） 定理7.1.2 （P309） 推论7.1.3 （P310） 注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2.两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。 作业：习题七P330 1，2，3. §7.2 线性变换的运算（4学时） 教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件 教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 加法运算 定义1 （P310） 注意：σ＋τ是V的线性变换. 二. 数乘运算 定义2（P311） 显然kσ也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 (1). 乘法运算 定义3 （P311-312） 注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可
能是零变换. (2). 线性变换σ 的方幂 四. 可逆线性变换 定义4 （P 313） 线性变换可逆的充要条件 例2 （P 314） 线性变换的多项式的概念 (阅读内容). 作业：P 330 习题七 4，5. §7.3 线性变换的矩阵（6学时） 教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握ξ 与σ (ξ)关于同一个基的坐标 之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M n (F )的同构理 论。 教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L (V )与M n (F )的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 线性变换σ关于基的矩阵 定义 （P 316） 。 注意：取定n 维向量空间V 的一个基之后，对于V 的每一个线性变换，有唯一确定的n 阶矩阵与它对应. 例1 （P 316） 注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例2 （P 317） 例3 （P 317） 二. ξ与σ (ξ)关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例4 （P 318） 三. L (V )与M n (F )的同构 定理7.3.2 （P 320） 定理7.3.3 （P 320） 注意：1. 定理7.3.2 （P 320）的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2.由于L (V ) 同构于)(F M n ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L (V )的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间)(F M n 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求
第七章线性变换总结篇(高等代数)
第 7章 线性变换 7.1知识点归纳与要点解析 一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义 数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2.线性变换的判别 设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么： σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3.线性变换的性质 设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα?∈。 性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,, ,ααα线性相关，那么()()()12s ,, ,σασασα也线性相关。 性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,, ,ααα线性无关，那么()()()12s ,, ,σασασα 也线性无关。 注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组， 如果： 11111221221122221122s s s s m m m ms s c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=++ + 记：
()()112111222 2121212,,,,, ,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ?? ? ? = ? ??? 于是，若()dim V n =，12,, ,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,, ,m βββ是 V 中任意一组向量，如果： ()()()11111221221122221122n n n n m m m mn n b b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=++ + 记： ()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ= 那么： ()()1121 112222121212,,,,, ,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα?? ? ? = ? ??? 设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ?? ? ? = ? ??? ，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是 12,, ,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()() 12 ,r i i i σβσβσβ就是 ()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的 秩等于秩()B 。 4. 线性变换举例 （1）设V 是数域P 上的任一线性空间。 零变换： ()00,V αα=?∈； 恒等变换：(),V εααα=?∈。 幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果存在正整数m ，使 得σ =m 0，就称σ为幂零变换。
第六章_线性变换_68180769
第六章 线性变换 映射：,X Y ≠?≠?，如果有一个法则σ，它使得X 中每个元素α，在Y 中有唯一确定的元素β与之对应，则称σ为X 到Y 的一个映射，记作:X Y σ→，()σαβ=，β称为α在σ下的象，α称为β在σ下的原象。 注：()(),X στασατα=??∈=对。 变换：一个集合到自身的映射。 线性变换的定义与性质 定义 设V 是数域F 上的线性空间，σ是V 的一个变换，如果满足条件： （1）()()()βσασβασV,α,β+=+∈?； （2）()()k F,αV,k αk σασ?∈?∈=， 则称σ是V 上的线性变换或线性算子。 (1), (2)等价于条件：,,,k l F V αβ?∈∈ ()()()σk αl βk σαl σβ+=+。 例：设σ：n n R R →，定义为()c αασ=，c 为常数。-----数乘 变换或位似变换。 c =0-----零变换，记为o 。 c =1-----恒等变换，记为ε。 例：设σ是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转θ角的变换 设()()(),,,T T x y x y ασα''==，则
cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ'=-??'=+? 记cos sin sin cos A θθθ θ-?? =??? ? ，则()A σαα=是一个线性变换。 例：判断下列变换是否是线性变换 (1) ()()12323,,1,,T T a a a a a σ=; (2) ()()12323,,0,,T T a a a a a σ=; (3) ()()12312231,,2,,T T a a a a a a a a σ=-+; (4) ()()212312 3,,,,3T T a a a a a a σ=. 线性变换的基本性质 （1）()θθσ=； （2）()()ασασ-=-； （3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若s s αk αk αk β+++=Λ2211，则1122s s βk αk αk ασσσσ=+++L ； 若θ=+++s s αk αk αk Λ2211，则θσσσ=+++s s αk αk αk Λ2211。 （4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。 线性变换的运算 ()V L ----线性空间V 上所有线性变换的集合。
第七章 线性变换 综合练习
第七章 线性变换综合练习 一．判断题 1.数域F 上的向量空间的线性变换的集合对线性变换的加法与数乘运算构成一个向量空间（ ） 2．在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-, 则σ是3R 的一个线性变换. ( )). 3．在向量空间[]n R x 中, 2(())()f x f x σ=, 则σ是[]n R x 的一个线性变换. ( ) 4．两个向量空间之间的同构映射σ的逆映射1-σ还是同构映射. ( ) 5．取定n n A F ?∈, 对任意的n 阶矩阵n n X F ?∈, 定义()X AX XA σ=-, 则σ是n n F ?的一个线性变换. 6．向量空间V 的可逆线性变换σ的核)(σKer 是空集.( ) 7．在向量空间3R 中, 已知线性变换 1231223312313(,,)(,,),(,,)(,0,). x x x x x x x x x x x x x στ=++= 则12321233(2)(,,)(,,)x x x x x x x x στ-=-+-. ( ) 8．设σ为n 维向量空间V 上的线性变换，则Im()ker()V σσ+=．（ ） 9．向量空间2R 的两个线性变换σ,τ为12121(,)(,)x x x x x σ=-；12122(,)(,)x x x x x τ=- 则212212()(,)(,).x x x x x στσ-=-+（ ） 10．在取定基后, V 的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵. （ ） 11．数域F 上的向量空间V 及其零子空间, 对V 的每个线性变换来说, 都是不变子空间. （ ） 12．若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ的特征向量，那么任取 221121,,ααk k F k k +∈也是A 的属于0λ的特征向量．（ ） 13． 线性变换σ的本征向量之和, 仍为σ的本征向量. （ ） 14．属于线性变换σ同一本征值0λ的本征向量的线性组合仍是σ的本征向量. （ ） 15．线性变换σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. （ ）. 16．复数域看作实数域上的向量空间是1维的. ( ) 17．σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,, ,m ααα线性无关, 那么12(),(),,() m σασασα也线性无关． ( )
高等代数第6章习题解
第六章习题解答 习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ； （3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ； （4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 （5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （3）不是。因为 而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间， 设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。 证明：,,M N V k F ?∈∈，则 所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义
七、线性变换习题课
七、线性变换习题课 1．复习线性变换的概念 例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。 证明：R上：有== 又 故A是R上线性空间C的线性变换。 C上：取及，有， 而，故A不是C上线性空间C的线性变换。 由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。 2．利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。 例2设A,B是线性变换，如果证明： ，（k>0） 证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法. 对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知 =AB=(BA+E)A+A-BA2 =BA2+A+A-BA2=2A 结论成立. 设当k时结论成立,即,也即. 当k+1时, =ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1 =BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k 所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立. 例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换. 证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵. 设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B. 因为,所以由得AB=BA.由的任意 性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,ch.4.ex.7.3),于是 为数量变换. 有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换.
3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法. A可逆10存在使=E. A是双射. A在基下的矩阵A可逆—有限维 例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当 线性无关. 证明:证法一: “”,,若=0,有B()=0,即 =0,=0,即线性无关. “”线性无关, 因dimV=n,故使得 =A() 令使=() 易见,且,即 又任给设= 有()== 故,从A可逆. 证法二:利用双射 “” A是双射,则0==A() 得0=(0对应0) 故,线性无关. “”由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射. 证法三:利用矩阵 A可逆A在下的矩阵A可逆 ()A也是一组基=n 线性无关
第七章线性变换习题答案
第七章线性变换3．在P[x]中，Af(x)f(x)，Bf(x)xf(x)，证明： ABBA=E． 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明任取f(x)P[x]，则有 =(A BBA)f(x)ABf(x)BAf(x)A(xf(x))B(f(x)) (xf(x))xf(x)f(x)Ef(x)， 于是ABBA=E． 4．设A,B是线性变换，如果ABBA=E，证明： kkk k1,k1ABBAA． 『解题提示』利用数学归纳法进行证明． 证明当k2时，由于ABBA=E，可得 22()()2 ABBAAABBAA B BAAA， 因此结论成立． 假设当ks时结论成立，即ssss1 ABBAA．那么，当ks1时，有 s1s1(s s)()ssss(s1)s ABBAAABBAA B BAAAAA， 即对ks1结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切k1结论都成立． 『特别提醒』由 AE可知，结论对k1也成立． 5．证明：可逆映射是双射． 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可． 1证明设A是线性空间V上的一个可逆变换．对于任意的,V，如果AA，那么，用 A 作用左右两边，得到A AAA，因此A是单射；另外，对于任意的V，存在1()1() 1()1() 1V A，使得 1 AA(A)，即A是满射．于是A是双射．
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『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构． 6．设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当 A1,A2,,A n线性无关． 证法1若A是可逆的线性变换，设k AkAkA0 ，即 1122nn A(kkk nn)0． 1122 而根据上一题结论可知A是单射，故必有k kk0，又由于 1,2,,n是线性无关的， 1122nn 因此k 1k2k n0．从而A1,A2,,A n线性无关． 反之，若A 1,A2,,A n是线性无关的，那么A AA也是V的一组基．于是，根据 1,2,,n 教材中的定理1，存在唯一的线性变换B，使得B(A i)i，i1,2,,n．显然 BA(i)i，A B(A i)A i，i1,2,,n． 再根据教材中的定理1知，ABBAE．所以A是可逆的． 证法2设A在基 1,2,,n下的矩阵为A，即 A(,,,n)(A,A,,A n)(,,,n)A． 121212 由教材中的定理2可知，A可逆的充要条件是矩阵A可逆． 因此，如果A是可逆的，那么矩阵A可逆，从而A 1,A2,,A n也是V的一组基，即是线性无 关的．反之，如果A AA是线性无关，从而是V的一组基，且A是从基 1,2,,n到1,2,,n A1,A2,,A n的过渡矩阵，因此A是可逆的．所以A是可逆的线性变换． 『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A可逆转化成了矩阵A可逆． 9．设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为 aaa 111213 A aaa． 212223 aaa 313233 1）求A在基3,2,1下的矩阵；
第一章 线性空间与线性变换概述
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有αα+=0； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间． 线性空间{0}V =称为零空间．
第七章线性变换总结篇
第 7章 线性变换 7、1知识点归纳与要点解析 一.线性变换的概念与判别 1、线性变换的定义 数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ与数域P 中的任意数k ,都有:()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=。 注:V 的线性变换就就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2、线性变换的判别 设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么: σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3、线性变换的性质 设V 就是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα?∈L 。 性质1、 ()()00,σσαα==-; 性质2、 若12s ,,,αααL 线性相关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性相关。 性质3、 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,αααL 线性无关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性无关。 注:设V 就是数域P 上的线性空间,12,,,m βββL ,12,,,s γγγL 就是V 中的两个向量组, 如果: 11111221221122221122s s s s m m m ms s c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++L L L L L L 记: ()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ?? ? ? = ? ??? L L L L M M M L 于就是,若()dim V n =,12,,,n αααL 就是V 的一组基,σ就是V 的线性变换, 12,,,m βββL 就是V 中任意一组向量,如果:
第七章 线性变换
MATLAB软件应用第七章线性变换 例1：求矩阵 122 212 221 A ?? ?? =?? ?? ?? 的特征值与特征向量，并将其对角化. 解1：建立m文件v1.m如下： clc A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1]; E=eye(3); syms x f=det(x*E-A) %矩阵A的特征多项式 solve(f) %矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值 %所以A的特征值为x1=5,x2=x3=-1. %（1）当x1=5时，求解（x1*E—A）X=0，得基础解系syms y y=5; B=y*E-A; b1=sym(null(B)) %b1为（x1*E—A）X=0基础解系 %（2）当x2=-1时，求解（x2*E—A）X=0，得基础解系y=-1; B=y*E-A; b2=sym(null(B)) %b2为（x2*E—A）X=0基础解系 T=[b1,b2] %所有特征向量在基下的坐标所组成的矩阵 D=T^-1*A*T %将矩阵A对角化，得对角矩阵D 运行结果如下： f = x^3-3*x^2-9*x-5 ans = 5 -1 -1 b1 = sqrt(1/3) sqrt(1/3) sqrt(1/3) b2 = [ sqrt(2/3), 0] [ -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)] [ -sqrt(1/6), sqrt(1/2)] T =
[ sqrt(1/3), sqrt(2/3), 0] [ sqrt(1/3), -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)] [ sqrt(1/3), -sqrt(1/6), sqrt(1/2)] D = [ 5, 0, 0] [ 0, -1, 0] [ 0, 0, -1] 解2：建立m文件v2.m如下： clc A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1]; d=eig(A) %求全部特征值所组成的向量 [V,D]=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵inv(V)*A*V %A可对角化，且对角矩阵为D 运行结果如下： d = -1 -1 5 V = 247/398 1145/2158 780/1351 279/1870 -1343/1673 780/1351 -1040/1351 1013/3722 780/1351 D = -1 0 0 0 -1 0 0 0 5 ans = -1 * * * -1 * * * 5 例2：求矩阵 110 430 102 A -?? ?? =-?? ?? ?? 的特征值与特征向量，并判别A 是否可以对角化. 解：建立m文件v3.m如下：clc a=[-1 1 0;-4 3 0;1 0 2]; [V,D]=eig(a)
第七章 线性变换练习题参考答案
第七章 线性变换练习题参考答案 一、填空题 1．设123,,εεε是线性空间 V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε?==++∈则 σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100?? ? ? ??? 满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为123x A x x ?? ? ? ??? . 2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r . 3．复矩阵()ij n n A a ?=的全体特征值的和等于1n ii i a =∑ ，而全体特征值的积等于 ||A . 4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 . 5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ?同构. 6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),,()n f f f λλλ . 7．设???? ??=2231A ，则向量??? ? ??11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若????? ? ?--=100001011A 与1010101k B k ?? ?=-- ? ???相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．
高等代数第七章 线性变换复习讲义
第七章线性变换 一.线性变换的定义和运算 1.线性变换的定义 （1）定义：设V是数域p上的线性空间，A是V上的一个变换，如果对任意α，β∈V和k∈P都有A（α＋β）=A（α）+A（β），A（kα）=kA（α）则称A为V的一个线性变换。（2）恒等变换（单位变换）和零变换的定义：ε（α）=α，ο（α）=0，任意α∈V. 它们都是V的线性变换。 （3）A是线性变换的充要条件：A（kα+lβ）=kA(α)+lA(β),任意α，β∈V，k，l∈P. 2.线性变换的性质 设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变换，则有（1）A（0）=0； （2）A（-α）=-A（α），任意α∈V； （3）A（∑kiαi）=ΣkiA（α），α∈V，ki∈P，i=1,…,s;（4）若α1，α2，…,αs∈V,且线性相关，则A（α1），A （α2），…,A(αs)也线性相关，但当α1，α2，…,α s线性无关时，不能推出A（α1），A（α2），…,A(α
s)线性无关。 3.线性变换的运算
4.线性变换与基的关系 （1）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，如果线性变换A和B在这组基上的作用相同，即Aεi=Bεi，i=1,2，…,n,则有A=B. （2）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，对于V 中任意一组向量α1，α2，…,αn,存在唯一一个线性变换A 使Aεi=αi,i=1,2，…,n. 二．线性变换的矩阵 1.定义：设ε1，ε2，…,εn是数域P上n维线性空间v的一组基，A是V中的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出 Aε1=a11ε1+a21ε2+…an1εn Aε2=a12ε1+a22ε2+…an2εn …… Aεn= a1nε1+a2nε2+…annεn 用矩阵表示就是A（ε1，ε2，…,εn）=（ε1，ε2，…,εn）A,其中 a 11 a 12 …… a 1n a 21 a 22 …… a 2n A= …… a n1 a n2 …… a nn 称为A在基ε1，ε2，…,εn下的矩阵。 2.线性变换与其矩阵的关系 （1）线性变换的和对应于矩阵的和； （2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； （3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
第七章线性变换.
第七章线性变换 计划课时：24 学时.（P 307—334） §7.1 线性变换的定义及性质（ 2 学时） 教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质 教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质 本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307） 注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。 二. 线性变换的性质 定理7.1.1 （P309） 定理7.1.2 （P309） 推论7.1.3 （P310） 注意： 1.定理7.1.2 给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。 作业：习题七P330 1 ，2， 3. §7.2 线性变换的运算（ 4 学时） 教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 加法运算 定义 1 （P310） 注意：+ 是V的线性变换. 二. 数乘运算 定义 2 （P311） 显然k 也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L（V）对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 （1）. 乘法运算 定义 3 （P311-312）
注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换. (2). 线性变换的方幂 四. 可逆线性变换定义 4 ( P313) 线性变换可逆的充要条件例 2 ( P314) 线性变换的多项式的概念( 阅读 内容). 作业：P330 习题七4， 5. §7.3 线性变换的矩阵( 6 学时) 教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握与( ) 关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L(V)与M(F)的同构理 论。 教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L(V)与M(F)的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。 本节内容分为下面四个问题讲授： 一.线性变换关于基的矩阵 定义 ( P316) 。 注意：取定n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换，有唯一确定的n阶矩阵与 它对应. 例 1 ( P316 ) 注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例 2 ( P317) 例 3 ( P317) 二.与( )关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例 4 ( P318 ) 三? L(V)与M(F)的同构 定理7.3.2 (P320) 定理7.3.3 (P320) 注意：1.定理732 ( P320)的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2. 由于L(V) 同构于M n ( F ) ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L(V) 的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间M n(F) 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3 不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求 逆变换的方法。 四. 同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系定理7.3.4 （P321）. 作业：P331 习题七6，9，12，17.
第七章线性变换(小结)
第七章 线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n . (d)A 是双射?A 是单射? Ker(A )={0}?A 是满射.
第七章 线性变换复习
第七章线性变换 §1 线性变换的定义 一、线性变换的定义 线性空间V到自身的映射称为V 的一个变换. 定义1线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素β α,和数域P中任意数k，都有 α+)=A (α)+A (β); A (β A(αk)=A k(α). 一般用花体拉丁字母A，B，…表示V的线性变换，A (α)或Aα代表元素α在变换A下的像. §3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设V是数域P上n维线性空
间.n εεε,,,21 是V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式n n x x x εεεξ+++= 2211 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一
组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n
1.什么是线性空间什么是线性变换线性变换
1. 什么是线性空间？什么是线性变换？线性变换的秩如果小于空间的维数将会怎样？平方的秩？ 2. 描述一下密度矩阵的特征，纯态和混合态的区别（表现在密度矩阵的秩） 3. 什么是U 变换，U 变换对应的矩阵满足什么样的特点。U 矩阵一定是可对角化的吗？对应欧氏空 间的正交变换有什么特点？正交变换对应的矩阵的矩阵元一定是实的吗？ 4. 什么是厄米算符，厄米算符的物理意义？对应的矩阵具有什么样的特点？厄米算符的本征值具有 什么样的特征？厄米算符对应的矩阵的矩阵元是实的吗？厄米算符是否可以表示成实矩阵，特点是什么？互相对易的厄米算符具有共同的本征态，具有共同本征态的算符一定是对易的吗？具有共同本征值的呢？厄米算符的和是厄米算符吗？厄米算符的乘积呢？直积呢？不对易的厄米算符一定不可交换吗？ 5. exp （A ）exp （B ）＝exp （A+B ）？LnA 怎么计算？ 6. 简单介绍一下三种picture 的物理意义，态的特征，算符的特征。为什么采用这三种picture ，只有 这三种picture 吗？你觉得相互作用picture 可以用在什么地方？Heisenberg picture 的波函数不随时间演化，本征态呢？与哈密顿量对易算符的本征态呢？本征值怎么样？ 7. 传播子的物理意义？路径积分与惠更斯原理有什么联系吗？两个光子能够叠加吗？最小作用原 理和路径积分的联系。 8. 什么是态的纠缠？什么是直积态？ 9. 量子力学的五大假设是什么？什么是测量假设？测量假设可以从量子力学的其它假设推导出来 吗？能够从态演化过程推导出来吗？它是一个物理过程吗？ 10. EPR 佯谬讲了一些什么内容？说明了什么物理本质？ 11. Bell 不等式怎么写？它有什么作用？2),(),(),(),(≤-++=''''b a b a b a b a u u E u u E u u E u u E S 12. 在quantum teleportation 中，对于粒子1的初态10βαψ+=，如果根据粒子1和2的Bell 基测 量结果推知粒子3的量子态为10βαψ-=，10αβψ+=以及10αβψ-=，怎么样才能是粒子3的态恢复到粒子1原来的量子态？ 13. 什么是定态？ 第二次作业中的2.2题中的(e)小问, 为什么在上一次测量x μ得到0μ+之后隔一个时间间隔t ?再测量x μ，得到0μ+的几率并不完全等于1？ 1). 若体系的H 不显含时间t ，在初始时刻（t=0）体系处于某一个能量本征态)()0,(E ψψ=，其中),(),(t r E t r H E E ψψ=，则 ]/exp[)(),( iEt t E -=ψψ
线性变换和矩阵
§3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换?使
A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ?? ? ?? ? ?+++=+++=+++=. , , 22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ??? ??? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ?? ?+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是