函数案例

函数概念教学的案例分析

函数概念是整个高中数学最重要的概念之一，函数的思想充斥在代数的各个方面。虽然学生已在初中时接触过函数的概念，但那时函数的概念是一个描述性的概念，不提定义域与值域。而高中里函数的概念比初中增加了“对应法则”和附属概念（定义域与值域），教材又解释“函数实际上是集合Ａ到集合Ｂ的映射”，从描述性语言过渡到集合映射语言。因此高中函数概念是在新的高度去同化与提升原有概念。在此分析的基础上，我们进行了函数概念教学的研究，以美国匹兹堡大学学习研究和发展中心研究成果作为指导，探索在概念教学时，如何激活学生原有的知识，让学生参与概念发展的全过程进行主动建构，以达到深入理解和掌握概念的教学目的，以下是我们课题组关于一个函数概念教学的案例与分析，愿与同行们一同学习与探讨。

案例背景：我校青年教师 L，平时喜欢钻研、比较注重新理念、新方法在教学中的运用，已初步掌握案例教学的基本理论，担任职业高中综合班数学教学，学生数学基础中等，部份学生对学习数学兴趣较浓厚，教师L对该班学生数学学习成绩还是满意的。这次在校内公开课上，教师L上的内容正好是函数第一节课，教师L要求学生理解函数的概念，掌握函数概念的三个要素，学会求函数的定义域，理解静与动的辩证关系。

组织教学：教师 L首先鼓励学生不怕困难、勇于探索，采用自学导引法提供学案进行本次课教学。首先他和学生一起回顾初中函数概念及正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的解析式，并在此基础提出问题，投影显示：

教师 L认为这些问题的解决对学生是一个挑战，因为这些函数例子的判定与学生已有的函数概念理解容易发生冲突，需要对函数概念的深入理解。学生的主要错误可能会集中在：

y=1(x∈R)不是函数，因为式子中没有自变量x。问题2的两个函数是同一函数,因为经过约分两式是相同的。教师L希望通过今天的学习，理解函数概念，能解决这两个问题。

教师 L先请学生关注刚发下的自学导引学案中的观察B：

（ 1）同学们进入新学校学习，开学初要分配座位，给03综合（8）班的每一位同学指定这个班的教室里唯一一把椅子。

（ 2）住校的同学要分配宿舍，给我们班每一位住校生指定学生宿舍区里唯一一个寝室。（ 3）A乘2B （4）A平方B（5）A求倒数B

实

施任务：

师：观察、讨论上面的对应都有什么样的特点？上述五个例子有什么共同的地方？与同桌交流你的想法？

当学生们开始观察五个例子时，教师 L巡视教室，大多学生开始观察、思考，也有些学生不知所措，找不到解决问题的思路，急于寻救帮助，教师L让这些学生好好想想，与同桌讨论交流，时间过去了几分钟，很多学生开始不时的看老师，显得有些着急不安，看样子遇到困难，希望得到教师的帮助，课堂气氛开始不安分起来，教师 L觉得时间差不多了，就找了一位平时成绩优秀的学生回答问题，想向学生展示高水平的思维过程。

生：一个变量在某一范围内每取一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应。教师 L满意地肯定了学生的回答，并对（1）、（2）作图示分析，以加深学生对一一对应的理解；同时师生一起回答(3)、(4)、(5)的对应为一对一、二对一、一对一。接着采用自学导引学案D部份，直接用文字表述抽象出函数概念及函数三要素定义域、值域、对应法则；并指出两个函数当且仅当他们的定义域、值域、对应法则完全相同时才是同一函数。

至此教师 L顺利地引出了函数的概念，他觉得应检查一下学生是否理解概念，所以请学生说一说观察B中(3)、(4)、(5)的定义域、值域、对应法则分别是什么？学生回答（3）中值域为｛1，2，3，4，5，6｝，教师L显得有些吃惊，学生的回答显然没有在他的预料中，镇

定了一下，他在黑板中改正为2，4，6，强调值域为函数值的集合。讲到这里，教师L觉得对学生学习的信心有些受挫，他准备重新巩固一下函数概念，于是请二位学习成绩中上的同学上黑板写出“正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的定义域、值域和对应法则”。结果出乎意料，两位同学都没写对，其中有一位是这样写道：“正比例函数定义域是正比例函数、值域是y=kx、对应法则是k≠0;反比例函数定义域是反比例函数、值域是y=k/x，对应法则是k≠0”。这样的结果使得教师L显得有点惊慌，马上问学生“二位同学做对了吗”，学生不置可否，教师L对这样的现状有些不满，开始担心如此下去本节课教学任务能否顺利完成，于是就自己给出了正确的答案，对学生错误原因没有作深入的分析与评价。此时教师L觉得应对函数的定义再巩固一下，利用准备好的投影总结，帮助学生理解概念的本质。投影显示：

理解函数的定义，我们应该注意：

① 函数是非空数集到非空数集的一种对应

② 符号“f:AB”表示A到B的一个函数，他的三要素：定义域、值域、对应法则三者缺一不可。

③ 集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性

④ f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样

⑤ f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积，还可用g(x),F(x),g(x)来表示

接着教师 L：现在我们回头解决前面提出的两个问题，他还是请了两位平时成绩优秀的回答问题。

学生甲： y=1（x∈R）是一个函数

继续训练：例 1，求下列函数定义域：

因为时间关系，教师 L讲了（1）（2）例题后，就下课了，布置完作业后，结束任务。

课后教师 L觉得对整节课不是很满意，在作业与考试中还是出现大量课堂上类似的问题，显然堂课教学没有达到原有的教学目标，为什么还会出现这样的结果呢？于是我们课题组帮助他开始分析。

案例分析：

根据美国匹兹堡大学学习研究和发展中心研究成果，认为数学任务在课堂教学过程中展开的一个表征为如图 1。案例教学法告诉我们，数学任务分高水平任务和低水平任务。高水平任务分为做数学、有联系的程序型；低水平任务分为记忆型任务、无联系的程序型。具有高认知要求的数学任务是往往难以圆满完成，在教学任务始终鼓励高层次思维和推理的课堂上学生学习的收益最大。

从教师 L的数学任务框架来看，他要求学生理解函数的概念，掌握函数三要素，会求函数定义域，这些对职高学生都是具有挑战性的任务，所以本节课的教学任务的认知水平属于高水平任务。但在数学教学过程中，教师并没有保持高水平的任务，在组织学生由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)自主建构导出函数概念时，所花的时间较少，没有帮助一般学生深入理解；问题1、问题2对学生是具有挑战性的，在很多学生还没有真正参与进去（理解本质）的时候，教师以成绩优秀的学生思维代替一般学生的思考；师生解决(3)、(4)、(5)定义域、值域、对应法则后，对定义域、值域这两个概念讲解只停留在表面，没有深化，对值域C B 也没点清楚；在学生板演求四个函数的定义域、值域时，结果学生都把定义域写成X的取值，值域写成y=kx等（对应法则），教师讲评时，也没有让学生暴露自己的思维过程，而只是订正，重点转移到答案正确与否。整堂课下来，虽然采用了自学导引学案、投影、积极开展师生交流，但教师更关注的是自己的思维及本堂课的教学进度，把高水平“做数学”的任务降为低水平的程序型。影响本节课的因素如下：

(1)挑战成了无问题行为：问题1、问题2对学生是具有挑战性的，为了解决这两个问题，学生必须深层次理解函数概念。理解这一概念一般要经历：识别不同事物→从一类相同事物中抽出共性→将这种共性与记忆中的观念相联系→同已知的其它概念分化→将本质属性一般化→下定义等过程。所以函数概念建构是“只可意会而不可言传”的，必须通过学生的内化才能完成。然而老师没有保持问题的复杂性，降低了难度，大部分学生只是按照老师设计的问题回答，轻描淡写的过去了，对函数的概念形成是由教师设计好的学案直接给出。事实上，课后很多学生对函数的概念还是一知半解，自然在解决问题时错误百出。

(2)没有督促学生保持高水平的认知过程：由学生观察五种对应，得出共同点时，有些学生不知道如何去做，显得有些焦虑，老师没有促使学生努力建构，也没有给学生搭脚手架，而是更关注课堂教学进度，以成绩优秀的学生思维代替一般学生的思考。自学导引学案B中的(1)、(2)、(3)、(4)、(5)五种对应，都是具体、特殊、有限的，从特殊到一般这是一个质的飞跃，它需要学生经历大量体验后才能主动建构知识，参与知识产生和形成的全过程。(3)未在概念间建立联系：函数概念的教学实际上是在初中学习的基础上进行的同化教学，所以函数概念应与初中概念紧密联系，集合A中的自变量x对应集合B中应变量y，对应关系一定要让学生理解。看到函数就该想到函数的定义域、值域，定义域求法是本节课重点之一，值域求法是难点之一，应注意联系。然而这次课教学设计忽略了这个基础。

(4)教学重点转移到答案正确与否：教师在学生解决函数的定义域、值域时，未关注学生思维，而只是简单订正，在讲解例(1)、(2)时，也只关注程序及答案正确与否。教师关注模仿和反复的练习，认为这能使学生掌握知识，从而得到正确答案。

(5)未建立在学生已有的基础之上：教师更多的关注讲述自己的思维过程而不是倾听学生的思维过程，对学生的知识水平估计过高，跳跃太快，题目梯度不大，容量较大（教师课前设计的求定义域和课堂练习还有4道未讲），过度稍快，学生有些还是不清楚。

(6)时间：由于教师过于关注教学进度，结果让学生自主建构函数概念的时间太少。

另一个班的改进策略：让学生充分理解函数的概念及函数的三要素。具体地说：调整例子设计，例 5与例1类型相同，可改为多对一，另加有限集到无限集，梯度要有所体现，从特殊到一般，有易到难。并提供给学生足够的思考时间。导出函数概念时，要让学生主动建构，通过搭脚手架（合作学习等）得出其本质属性。导出函数概念后，对函数、函数的定义域、值域关系，要点清楚，定义域是重点，函数的性质都是在定义域内研究的，值域是一个难点，本节课应着重讲清这几个概念。由学生展示高水平思维同时，也要发解一般同学的理解程度。通过对一次公开课的案例分析，它给我们的帮助是明显的，我们的教师要即时总结教学经验，坚持理论与实践的结合，坚持长期的学习、积累，才能厚实我们的专业基础，提高教学水平，才能形成自己的教育思想、教学风格，成为专家型的教师。

问题：结合本节课的案例，请谈一谈在教学中遇到“冷场”或大多数学生的回答与你预计不符时，你的处理方法。