2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解

2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解
2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解

2016年全国初中数学联合竞赛试题

第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)

一、选择题(本题满分42分,每小题7分) (本题共有6个小题,每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数,把[]x x -称为x 的小数部分.已知

t =,a 是t 的小数部分,b 是t -的小数部分,则

11

2b a

-= ( )

.A

12 .B .C 1 .D 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图书

30本,那么不同的购书方案有 ( )

.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”.如:333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么,不超过2016的正整数中,所有的“和谐数”之和为 ( )

.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ).已知二次函数2

1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限,且过点(1,0).当

a b -为整数时,ab = ( )

.A 0 .B 14 .C 3

4

- .D 2-

4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ,连接AO 并延长交O 于点E ,若

8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为 ( ) .A 12 .B 15 .C 16 .D 18

5.如图,在四边形ABCD 中,0

90BAC BDC ∠=∠=,AB AC ==1CD =,对角

线的交点为M ,则DM = ( )

.

A .B

.

C 2

.D 12

6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( )

.A

12 .B 23 .C 3

4

.D 1 二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

(本题共有4个小题,要求直接将答案写在横线上.)

1.【1(A)、2(B )】 已知ABC ?的顶点A 、C 在反比例函数y x

=

(0x >)的图象上,0

90ACB ∠=,0

30ABC ∠=,AB x ⊥轴,点B 在点A 的上方,且6,AB =则点C 的坐标为 .

1(B).已知ABC ?的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分,

AD =则AM = .

2(A).在四边形A B C D 中,BC ∥AD ,CA 平分B C D ∠,O 为对角线的交点,

,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .

3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是 .

3(B).若质数p 、q 满足:340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和,设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .

第二试

(3月20日上午9:50 — 11:20)

一、(本题满分20分)

已知,a b 为正整数,求2

2

324M a ab b =---能取到的最小正整数值.

二、(本题满分25分)

(A ).如图,点C 在以AB 为直径的O 上,CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上,,AE AC =四边形DEFM 是正方形,AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.

(B ).已知:5,a b c ++= 22215,a b c ++= 3

3

3

47.a b c ++= 求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.

三、(本题满分25分)

(A ).已知正实数,,x y z 满足:1xy yz zx ++≠ ,且

222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)

4x y y z z x xy yz zx

------++= .

(1) 求

111

xy yz zx

++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.

(B ).如图,在等腰ABC ?中,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点,点C 关于直线

AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ?的值.

2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)

一、选择题(本题满分42分,每小题7分) (本题共有6个小题,每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.)

1.用[]x 表示不超过x 的最大整数,把[]x x -称为x 的小数部分.已知

t =

,a 是

t 的小数部分,b 是t -的小数部分,则

11

2b a

-= ( )

.A

12 .B .C 1 .D 【答案】A .

【解析】22,

t =

=<< 324,∴< 即34,t <<

3 1.a t ∴=-=

221,t -=--<<-423,∴-<-<-

(4)2b t ∴=---=111,

22b a -===故选A . 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图

书30本,那么不同的购书方案有 ( )

.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 【答案】C .

【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30

101520500x y z x y z ++=??

++=?

即30341002y z x y z x +=-??

+=-?,解得20210y x

z x

=-??=+? 依题意得,,,x y z 为自然数(非负整数),

故010,x ≤≤x 有11种可能的取值(分别为0,1,2,,9,10) ,对于每一个x 值,y 和z 都有唯一的值(自然数)相对应. 即不同的购书方案共有11种,故选C . 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”.如:3

3

3

3

21(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么,不超过2016的正整数中,所有的“和谐数”之和为 ( ) .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262

【答案】B .

【解析】[]3322

(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ??+--=+--+++-+-??

22(121)k =+ (其中k 为非负整数)

,由22(121)2016k +≤得,9k ≤ 0,1,2,,8,9k ∴= ,即得所有不超过2016的“和谐数”,它们的和为

33333333333

1(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.??--+-+-++-+-=+=??

故选B . 3(B ).已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限,且过点(1,0).

当a b -为整数时,ab = ( )

.A 0 .

B 14 .

C 3

4

- .D 2- 【答案】B .

【解析】依题意知0,0,10,2b

a a

b a

<-

<++= 故0,b < 且1b a =--, (1)21a b a a a -=---=+,于是10,a -<< 1211a ∴-<+<

又a b -为整数,210,a ∴+= 故1

,2

a b =-

=14ab =,故选B .

4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ,连接AO 并延长交O 于点E ,

若8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为( )

.A 12 .B 15 .C 16 .D 18

【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+

OD AB ⊥ 于,C 1

4,2

AC CB AB ∴==

= 在Rt OAC ?中,2

2

2

,OC AC OA +=

即222

4(2),x x +=+解得3x =,即3OC = (第4题答案图)

OC 为ABE ?的中位线,2 6.BE OC ∴== AE 是O 的直径,90,B ∴∠=

11

4612.22

BCE S CB BE ?∴=?=??= 故选A .

5.如图,在四边形ABCD 中,0

90BAC BDC ∠=∠=,AB AC ==1CD =,对角线

的交点为M ,则DM = ( )

.

A 2 .

B 3

.

C 2

.D 12

(第5题答案图)

【答案】D . 【解析】过点A 作AH BD ⊥于点,H 则AMH ?~,CMD ?,AH AM

CD CM

=1,CD =

,AM AH

CM ∴=

设,AM x = 则,CM x AH =∴=

在Rt ABM ?中,BM == 则

AB AM

AH BM

?=

=

=

显然0x ≠,化简整理得22100x -+=

解得2

x =

(x =,故

CM =

在Rt CDM ?中,12DM ==,故选D .

6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( )

.A

12 .B 23 .C 3

4

.D 1 【答案】C .

【解析】

22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y =++=++--=---++

22

2211122332222y x y x x x x ????????=-+-+--++-?? ? ? ???????????

222

211113322222244y x x x y x x ???

???=-+--++=-+---+≤ ? ? ????

???

当且仅当1,02

x y ==时,M

取等号,故max 3

4

M =

,故选C . 二、填空题(本题满分

28分,每小题7分)

(本题共有4个小题,要求直接将答案写在横线上.)

1.【1(A)、2(B )】 已知ABC ?的顶点A 、C

在反比例函数y x

=

(0x >)的图象上,0

90ACB ∠=,0

30ABC ∠=,AB x ⊥轴,点B 在点A 的上方,且6,AB =则点C 的坐标为 .

【答案】2?????

. 【解析】如图,过点C 作CD AB ⊥于点D . 在Rt ACB ?

中,cos BC AB ABC =?∠=

在Rt BCD ?

中,sin 2

CD BC B =?=

(第1题答案图) 9cos ,2BD BC B =?=32AD AB BD ∴=-=,

设,,,C m A n m n ?? ????

, 依题意知0,n m >>

故,CD n m AD =-=

23

2n m ?-=??=

解得

m n ?=???=?,故点C

的坐标为,22?? ? ???.

1(B).已知ABC ?的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分

AD =则AM = .

【答案】2.

【解析】

(第1题答案图1 ) ( 第1题答案图2)

依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,0

90,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB ∠≠∠.

(1)若ABC ACB ∠>∠时,如答案图1所示,ADM ?≌,ADB ?1

,2

BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴

==在Rt DAC ?中,即1

cos ,2

DAC ∠= 060,DAC ∴∠= 从而0090,30BAC ACD ∠=∠=.

在Rt ADC ?中,tan tan603,CD AD DAC =?∠= 1.DM =

在Rt ADM ?中,2AM =

=.

(2)若ABC ACB ∠<∠时,如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述,2AM =. 2(A).在四边形A B C D 中,BC ∥AD ,CA 平分B C D ∠,O 为对角线的交点,

,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .

【答案】126

.

【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,

CA 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=,

BC ∥AD ,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=, (第2题答案图) OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=, ,CD AO =AD AO ∴=,

ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=,

,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=

,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=

2,2180,βααβ∴=+=

解得36,72αβ==

,72DBC BCD ∴∠=∠=

,

,BD CD AD ∴==18054,2

ABD BAD β

-∴∠=∠=

= 故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=

.

3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是 . 【答案】16733

4.

【解析】设两个三位数分别为,x y ,则10003x y xy +=,①

31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍,不妨设y tx =(t 为正整数),

代入①得10003,t tx +=1000,3t x t +∴=

x 是三位数,10001003t

x t

+∴=≥,解得 1000

,299

t ≤

t 为正整数,t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知,只有2t =符合,此时 167,334.x y == 故所求的六位数为167334.

3(B).若质数p 、q 满足:340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 .

【答案】1007.

【解析】由340q p --=得,34,p q =-2

224(34)343,33pq q q q q q ?

?∴=-=-=-- ??

?

因q 为质数,故pq 的值随着质数q 的增大而增大,当且仅当q 取得最大值时,pq 取得最大值.

又111p q +<,34111,q q ∴-+<3

28

4

q ∴<,因q 为质数,故q 的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2,但23q =时,3465513p q =-==?不是质数,舍去.

当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==?=.

4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和,设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 . 【答案】10.

【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.

(1)若5个1分布在同一列,则5M =;

(2)若5个1分布在两列中,则由题意知这两列中出现的最大数至多为3,故 2515320M ≤?+?=,故10M ≤;

(3) 若5个1分布在三列中,则由题意知这三列中出现的最大数至多为3,故 351525330M ≤?+?+?=,故10M ≤;

(4) 若5个1分布在至少四列中,则其中某一列至少有一个数大于3,这与已知矛盾. 综上所述,10.M ≤

另一方面,如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.

第二试

(3月20日上午9:50 — 11:20)

一、(本题满分20分)

已知,a b 为正整数,求2

2

324M a ab b =---能取到的最小正整数值.

【解析】解:因,a b 为正整数,要使得2

2

324M a ab b =---的值为正整数,则有

2a ≥.

当2a =时,b 只能为1,此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.

当3a =时,b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =,则7M =.

当4a =时,

b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =. (下面考虑:2

2

324M a ab b =---的值能否为1?)

(反证法)假设1M =,则223241a ab b ---=,即22

325a ab b -=+,

2(3)25a a b b -=+ ①

因b 为正整数,故25b +为奇数,从而a 为奇数,b 为偶数, 不妨设21,2a m b n =+=,其中,m n 均为正整数,则

22222

(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ??-=++-=+--+??

即2(3)a a b -被4除所得余数为3,而252

(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1,

故①式不可能成立,故1M ≠.因此,M 能取到的最小正整数值为2. 二、(本题满分25分)

(A ).如图,点C 在以AB 为直径的O 上,CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上,

,AE AC =四边形DEFM 是正方形,AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.

(第2(A)题答案图) 【证明】:连接BC 、.BN AB 为O 的直径,CD AB ⊥于点D

90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=

,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠ ,ACB ADC ∴??∽ ,AC AB

AD AC

=2AC AD AB ∴=? 由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知: 点M 在CD 上,DE DM EF MF ===

,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠ ,ANB ADM ∴??∽ ,AN AB

AD AM

=,AD AB AM AN ∴?=?2,AC AM AN ∴=? ,AE AC = 2AE AM AN ∴=?

以点F 为圆心、

FE 为半径作,F 与直线AM 交于另一点P ,则F 与AB 切于点E ,即AE 是F 的切线,直线AMP 是F 的割线,故由切割线定理得2

AE AM AP =?

AN AP ∴=,即点N 与点P 重合,点N 在F 上,FN FE DE ∴==.

(注:上述最后一段得证明用了“同一法”)

(B ).已知:5,a b c ++= 22215,a b c ++= 3

3

3

47.a b c ++= 求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值. 【解析】由已知得22221()()52

ab bc ca a b c a b c ??++=

++-++=?? 由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得,

4735(155),abc -=?-1abc ∴=-

又22()()()5(5)55(1)a ab b a b c a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=- 同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-

∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++-

125[6416545(1)]625.=?-?+?--=

【注:恒等式3

2

()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc ---=-+++++-】 三、(本题满分25分)

(A ).已知正实数,,x y z 满足:1xy yz zx ++≠ ,且

222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)

4x y y z z x xy yz zx

------++= .

(3) 求

111

xy yz zx

++的值. (4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.

【解析】(1)解:由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)

4x y y z z x xy yz zx

------++=,

去分母得222222

(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=,

222222222222

()()()3()0,

x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ??++-+++++++++-=??

()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=,

∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=,1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠ ,

()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++,∴原式=

1.x y z

xyz

++= (2)证明:由(1)得计算过程知xyz x y z ∴=++,又 ,,x y z 为正实数,

9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++

9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++

222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++- 222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥

∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.

【注:222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++

222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++

222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++

222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】

(B ).如图,在等腰ABC ?中,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点,点C 关于直线

AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ?的值.

(第3(B )题答案图)

【解析】如图,连接,,AE ED CF ,则,AB AC = ABD ACB ∴∠=∠

点C 关于直线AD 的对称点为点E ,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠

,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等)

BAD BCF ∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆,AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠

,AFB ABD ∴??∽,AB AF

AD AB

=2

2 5.AD AF AB ∴?===

(注:若共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧,则四个顶点共圆,也可以说成:若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等,那么这两点和线段两端点四点共圆)

历年全国初中数学竞赛试题及参考答案

2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案 一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且仅有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分) 1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪. 刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( ) (A)36(B)37(C)55 (D)90 2.已知,,且,则a的值等于( ) (A)-5(B)5(C)-9(D)9 3.Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线上,并且斜边AB平行于x轴. 若斜边上的高为h,则( ) (A)h<1 (B)h=1 (C)1<h<2 (D)h>2 4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形,则至少要剪的刀数是( ) (A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007 5.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,交AC于点Q,若QP=QO,则 的值为( ) (A)(B) (C)(D) 二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分) 6.已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c-a=2005. 若a<b,则a+b+c的最大值为___________. 7.如图,面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c是整数,且b不能被任何质数的平方整除,则的值等于________.

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题(每题1分,共10分) 1.如果a,b都代表有理数,并且a+b=0,那么 ( ) A.a,b都是0 B.a,b之一是0 C.a,b互为相反数 D.a,b互为倒数 答案:C 解析:令a=2,b=-2,满足2+(-2)=0,由此a、b互为相反数。 2.下面的说法中正确的是 ( ) A.单项式与单项式的和是单项式 B.单项式与单项式的和是多项式 C.多项式与多项式的和是多项式 D.整式与整式的和是整式 答案:D 解析:x2,x3都是单项式.两个单项式x3,x2之和为x3+x2是多项式,排除A。两个单项式x2,2x2之和为3x2是单项式,排除B。两个多项式x3+x2与x3-x2之和为2x3是个单项式,排除C,因此选D。 3.下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B.没有最小的正有理数 C.没有最大的负整数 D.没有最大的非负数 答案:C 解析:最大的负整数是-1,故C错误。 4.如果a,b代表有理数,并且a+b的值大于a-b的值,那么 ( ) A.a,b同号 B.a,b异号 C.a>0 D.b>0 答案:D 5.大于-π并且不是自然数的整数有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个 答案:C 解析:在数轴上容易看出:在-π右边0的左边(包括0在内)的整数只有-3,-2,

-1,0共4个.选C。 6.有四种说法: 甲.正数的平方不一定大于它本身; 乙.正数的立方不一定大于它本身; 丙.负数的平方不一定大于它本身; 丁.负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中,不正确的说法的个数是 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案:B 解析:负数的平方是正数,所以一定大于它本身,故C错误。 7.a代表有理数,那么,a和-a的大小关系是 ( ) A.a大于-a B.a小于-a C.a大于-a或a小于-a D.a不一定大于-a 答案:D 解析:令a=0,马上可以排除A、B、C,应选D。 8.在解方程的过程中,为了使得到的方程和原方程同解,可以在原方程的两边( ) A.乘以同一个数 B.乘以同一个整式 C.加上同一个代数式 D.都加上1 答案:D 解析:对方程同解变形,要求方程两边同乘不等于0的数,所以排除A。我们考察方程x-2=0,易知其根为x=2.若该方程两边同乘以一个整式x-1,得(x-1)(x-2)=0,其根为x=1及x=2,不与原方程同解,排除B。同理应排除C.事实上方程两边同时加上一 个常数,新方程与原方程同解,对D,这里所加常数为1,因此选D. 9.杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第三天又较第二天增加了10%,那么,第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A.一样多 B.多了 C.少了 D.多少都可能 答案:C 解析:设杯中原有水量为a,依题意可得, 第二天杯中水量为a×(1-10%)=0.9a; 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a; 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1, 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了,选C。

-初中数学竞赛考题分类汇编(一)数与式

初中数学竞赛考题分类汇编(一)数与式 例题1.化简3-232++=_____ 例题2、设a,b 是不相等的任意正数,又21b x a +=, 21a y b +=,则有x,y 这两个数一定( ) A.都不大于2 B .都小于2 C.至少有一个大于2 D.至少有一个小于2 例题3、设的平均数为M ,的平均数为N ,N ,的平均数为P ,若,则M 与P 的大小关系是( )。 (A )M =P ;(B )M >P ;(C )M <P ;(D )不确定。 例题4、a 、b 、c 为正整数,且4 32c b a =+,求c 的最小值。 例题5、已知333124++=a ,那么 32133a a a ++=_______ 例题6、已知a ,b ,c 为整数,且a +b=2006,c -a =2005.若a

例题7、设a ,b ,c 为互不相等的实数,且满足关系式 14 162222++=+a a c b ① 5 42--=a a bc ② 求a 的取值范围. 解:因为14162222++=+a a c b ,5 42--=a a bc ,所以 222221448454214162) ()()(+=++=--+++=+a a a a a a a c b , 所以 ) (12+±=+a c b . 又542--=a a bc ,所以b ,c 为一元二次方程 0 541222=--++±a a x a x )( ⑤ 的两个不相等实数根,故0 5441422>---+=?)()(a a a ,所以a >-1. 当a >-1时, 14162222++=+a a c b =0 712>++))((a a . 另外,当b a =时,由⑤式有 0 541222=--++±a a a a a )(, 即 05242=--a a 或 056=--a ,解得,4 211±=a 或65-=a . 当c a =时,同理可得65-=a 或4 211±=a . 所以,a 的取值范围为a >-1且65- ≠a ,4211±≠a . 例题8、已知abc ≠0,且a+b+c =0, 则代数式222 a b c bc ca ab ++的值是( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

初中数学竞赛试题汇编

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C (第2 题 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题 (本卷满分120分,考试时间120 分钟) 一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分) 在下列各小题中,均给出四个答案,其中有且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号填入题后的括号里,不填、多填或错填均为零分. 1. 从长度是2cm ,2cm ,4cm ,4cm 的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够 组成等腰三角形的概率是( ) A .4 1 B .31 C .2 1 D .1 2.如图,M 是△ABC 的边BC 的中点,AN 平分∠BAC ,AN ⊥BN 于N ,且AB =10,BC =15,MN =3,则△ABC 的周长为( ) A .38 B .39 C .40 D . 41 3.已知1≠xy ,且有09201152=++x x ,05201192=++y y ,则y x 的值等于( ) A .9 5 B .59 C .52011- D .9 2011 - 4.已知直角三角形的一直角边长是4,以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示),已知两个月牙形(带 斜线的阴影图形)的面积之和是10,那么以下四个整数中,最接 近图中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是( ) A .6 B . 7 C .8 D .9 5.设a ,b ,c 是△ABC 的三边长,二次函数2 2 (2b a cx x b a y ----=在1=x 时取最小值 b 5 8-,则△ABC 是( ) A .等腰三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 6 照“先进后出”的原则,如图,堆栈(1)中的2 据b ,a ,取出数据的顺序是a ,b ;堆栈(2)的3数据e ,d ,c ,取出数据的顺序是c ,d ,e ,现在要从这两个堆栈中取出5 个数据(每次取出1个数据),则不同顺序的取法的种数有( ) (1) (第6题

历年初中数学竞赛真题库(含答案)

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题,每小题都给出了(A )、(B )(C )、(D )四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1. 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立,其中a ,x ,y 是 两两不同的实数,则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 (A )3 ; (B )31; (C )2; (D )3 5 . 答( ) 2. 如图,AB ‖EF ‖CD ,已知AB =20,CD =80,BC =100,那么EF 的值是 (A ) 10; (B )12; (C ) 16; (D )18. 答( ) 3. 方程012=--x x 的解是 (A ) 251±; (B )25 1±-; (C ) 251±或251±-; (D )2 5 1±-±. 答( ) 4. 已知:)19911991(2 11 1 n n x --=(n 是自然数).那么n x x )1(2+-,的值是 (A)11991-; (B)11991--; (C)1991)1(n -; (D)11991)1(--n . 答( ) 5. 若M n 1210099321=?????Λ,其中M为自然数,n 为使得等式成立的最大的自然数,则M (A)能被2整除,但不能被3整除; (B)能被3整除,但不能被2整除; (C)能被4整除,但不能被3整除; (D)不能被3整除,也不能被2整除.

答( ) 6. 若a ,c ,d 是整数,b 是正整数,且满足c b a =+,d c b =+,a d c =+,那么 d c b a +++的最大值是 (A)1-;(B)5-;(C)0;(D)1. 答( ) 7. 如图,正方形OPQR 内接于ΔABC .已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S , 32=S 和13=S ,那么,正方形OPQR 的边长是 (A)2;(B)3;(C)2 ;(D)3. 答( ) 8. 在锐角ΔABC 中, 1= AC ,c AB =,ο60=∠A ,ΔABC 的外接圆半径R ≤1,则 (A)21< c < 2 ; (B)0< c ≤2 1 ; 答( ) (C )c > 2; (D )c = 2. 答( ) 二、填空题 1.E是平行四边形ABCD 中BC 边的中点,AE 交对角线BD 于G ,如果ΔBEG 的面积是1,则平行四边形ABCD 的面积是 . 2.已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,=+a c b 32 . 3.设m ,n ,p ,q 为非负数,且对一切x >0,q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立,则 =++q p n m 22)2( . 4.四边形ABCD 中,∠ ABC ο135=,∠BCD ο120=,AB 6=,BC 35-=, CD = 6,则AD = . 第二试 1 1=S 3S =1 32=S

初中数学奥林匹克竞赛方法与测试试题大全

初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全

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初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛大纲(修订稿) 数学竞赛对于开发学生智力,开拓视野,促进教学改革,提高教学水平,发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化,为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展,应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求,特制定《初中数学竞赛大纲(修订稿)》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出:“要培养学生对数学的兴趣,激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是:“对学有余力的学生,要通过课外活动或开设选修课等多种方式,充分发展他们的数学才能”,“要重视能力的培养……,着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力,要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时,要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容,是教学的要求,也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外,本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况,分阶段、分层次让学生逐步地去掌握,并且要贯彻“少而精”的原则,处理好普及与提高的关系,这样才能加强基础,不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性,被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数,最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数,奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法,约数个数的计算。 有理数的表示法,有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式,恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

初中数学竞赛题汇编(代数部分1)

初中数学竞赛题汇编 (代数部分1) 江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答 例1若m2=m+1,n2=n+1,且m≠n,求m5+n5的值。 解:由已知条件可知,m、n是方程x2-x-1=0两个不相等的根。∴m+n=1,mn=-1 ∴m2+n2=(m+n)2-2mn=3或m2+n2=m+n+2=3 又∵m3+n3=(m+n) (m2-mn+n2)=4 ∴m5+n5=(m3+n3) (m2+n2)-(mn)2(m+n)=11 例2已知 解:设,则 u+v+w=1……①……② 由②得即 uv+vw+wu=0 将①两边平方得 u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1 所以u2+v2+w2=1 即 例3已知x4+x3+x2+x+1=0,那么1+x+x2+x3+x4+……x2014=。解:1+x+x2+x3+x4+…x2014=(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)=(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+… + x2010(1+x+x2+x3+x4)=0 例4:证明循环小数为有理数。 证明:设=x…① 将①两边同乘以100,得 …② ②-①,得99x=261.54-2.61 即x=。

例5:证明是无理数。 证明(反证法):假设不是无理数,则必为有理数,设 =(p、q是互质的自然数),两边平方有p2=2q2…①, 所以p一定是偶数,设p=2m(m为自然数),代入①整理得q=2m2,所以q也是偶数。p、q均为偶数与p、q是互质矛盾,所以不是有理数,即为有理数。 例6:;;。 解: 例7:化简(1);(2) (3);(4); (5); (6)。 解:(1)方法1

历年初中数学竞赛真题库(含答案)

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题,每小题都给出了(A )、(B )(C )、(D )四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. . 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立,其中a ,x ,y 是两两不 同的实数,则22223y xy x y xy x +--+的值是 (A )3 ; (B )31; (C )2; (D )35 . 答( ) . 如图,AB ‖EF ‖CD ,已知AB =20,CD =80,BC =100,那么EF 的值是 (A ) 10; (B )12; (C ) 16; (D )18. 答( ) . 方程0 12=--x x 的解是 (A )251±; (B )25 1±-; (C )251±或251±-; (D )251±-± . 答( ) . 已知:)19911991(21 1 1n n x --=(n 是自然数).那么 n x x )1(2+-,的值是 (A)11991-; (B)1 1991--; (C)1991)1(n -; (D)1 1991)1(--n . 答( ) . 若M n 1210099321=????? ,其中M为自然数,n 为使得等式成立的最大的自然数,则M (A)能被2整除,但不能被3整除; (B)能被3整除,但不能被2整除; (C)能被4整除,但不能被3整除; (D)不能被3整除,也不能被2整除. 答( ) . 若a ,c ,d 是整数,b 是正整数,且满足c b a =+,d c b =+,a d c =+,那么 d c b a +++的最大值是 (A)1-;(B)5-;(C)0;(D)1. 答( ) . 如图,正方形OPQR 内接于ΔABC .已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ,32=S 和 1 3=S ,那么,正方形OPQR 的边长是 (A)2;(B)3;(C)2 ;(D)3. 答( ) 1 1=S

历年初中数学竞赛试题精选(含解答)

初三数学竞赛试题 4、某商店经销一批衬衣,进价为每件m元,零售价比进价高a%,后因市场的变化,该店把零售价调整为原来零售价的b%出售,那么调价后每件衬衣的零售价是() A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m?a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 解:选C。设全天下雨a天,上午晴下午雨b天,上午雨下午晴c天,全天晴d天。由题可得关系式a=0①,b+d=6②,c+d=5③,a+b+c=7④,②+③-④得2d-a=4,即d=2,故b=4,c=3,于是x=a+b+c+d=9。 解:出发1小时后,①、②、③号艇与④号艇的距离分别为 各艇追上④号艇的时间为 对>>>有,即①号艇追上④号艇用的时间最小,①号是冠军。 解:设开始抽水时满池水的量为,泉水每小时涌出的水量为,水泵每小时抽水量为,2小时抽干满池水需n台水泵,则 由①②得,代入③得: ∴,故n的最小整数值为23。 答:要在2小时内抽干满池水,至少需要水泵23台 解:设第一层有客房间,则第二层有间,由题可得 由①得:,即 由②得:,即 ∴原不等式组的解集为 ∴整数的值为。

答:一层有客房10间。 解:设劳动竞赛前每人一天做个零件 由题意 解得 ∵是整数∴=16 (16+37)÷16≈3.3 故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。 初中数学竞赛专项训练(2) (方程应用) 一、选择题: 答:D。 解:设甲的速度为千米/时,乙的速度为千米/时,根据题意知,从出发地点到A的路程为千米,到B的路程为千米,从而有方程: ,化简得,解得不合题意舍去)。应选D。 答:C。 解:第k档次产品比最低档次产品提高了(k-1)个档次,所以每天利润为 所以,生产第9档次产品获利润最大,每天获利864元。 答:C。 解:若这商品原来进价为每件a元,提价后的利润率为, 则解这个方程组,得,即提价后的利润率为16%。 答:B。

初中数学竞赛试题大全

B C M (第2题图) 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题 (本卷满分120分,考试时间120 分钟) 一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分) 在下列各小题中,均给出四个答案,其中有且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号填入题后的括号里,不填、多填或错填均为零分. 1. 从长度是2cm ,2cm ,4cm ,4cm 的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够组成等腰三角形的概率是( ) A .4 1 B .31 C .2 1 D .1 2.如图,M 是△ABC 的边BC 的中点,AN 平分∠BAC ,AN ⊥BN 于N ,且AB =10,BC =15,MN =3,则△ABC 的周长为( ) A .38 B .39 C .40 D. 41 3.已知1≠xy ,且有09201152=++x x ,05201192=++y y ,则y x 的值等于( ) A .9 5 B .59 C .52011- D .9 2011 - 4.已知直角三角形的一直角边长是4,以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示),已知两个月牙形(带斜 线的阴影图形)的面积之和是10,那么以下四个整数中,最接近图中两个弓形 (带点的阴影图形)面积之和的是( ) A .6 B. 7 C .8 D .9 5.设a ,b , c 是△ABC 的三边长,二次函数2 2 (2b a cx x b a y ----=在1=x 时取最小值 b 5 8 -,则△ABC 是( ) A .等腰三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D 6 照“先进后出”的原则,如图,堆栈(1)中的2 据b ,a ,取出数据的顺序是a ,b ;堆栈(2)的3 数据e ,d ,c ,取出数据的顺序是c ,d ,e ,现在要从这两个堆栈中取出5 个数据(每次取出1个数据),则不同顺序的取法的种数有( ) A .5种 B .6种 C .10种 D .12种 (1) (第6题图)

全国初中数学竞赛各省市试题汇编

初中数学竞赛题汇编 省市2013年中考数学试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.(3分)(2013?)下列各数中,小于﹣3的数是() 2.(3分)(2013?)某市2013年参加中考的考生人数约为85000人,将85000用科学记数法表示为()

故选A. 点评:此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键. 3.(3分)(2013?)下列计算,正确的是() A.x4﹣x3=x B.x6÷x3=x2C.x?x3=x4D.(xy3)2=xy6 考点:同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方 专题:计算题. 分析:A、本选项不能合并,错误; B、利用同底数幂的除法法则计算得到结果,即可做出判断; C、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可做出判断; D、利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断. 解答:解:A、本选项不能合并,错误; B、x6÷x3=x3,本选项错误; C、x?x3=x4,本选项正确; D、(xy3)2=x2y6,本选项错误. 故选C. 点评:此题考查了同底数幂的乘除法,幂的乘方与积的乘方,以及二次根式的乘除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 4.(3分)(2013?)如图所示的几何图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是() A.4B.3C.2D.1 考点:中心对称图形;轴对称图形 分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后解答即可. 解答:解:第一个图形是轴对称图形,不是中心对称图形;

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第06章-几何基础知识

第六章几何基础知识 第一节线段与角的推理计算 【知识点拨】 掌握七条等量公理: 1、同时等于第三个量的两个量相等。 2、等量加等量,和相等。 3、等量减等量,差相等。 4、等量乘等量,积相等。 5、等量除以等量(0除外),商相等。 6、全量等于它的各部分量的和。 7、在等式中,一个量可以用它的等量来代替(等量代换)。 【赛题精选】 例1、如图,∠AOB=∠COD,求证:∠AOC=∠BOD。 例2、C、D为线段AB上的两点,AD=CB,求证:AC=DB。 例3、AOB是一条直线,∠AOC=600,OD、OE分别是∠ AOC和∠BOC的平分线。问图中互为补角关系的角共有多少对? 例4、已知B、C是线段AD上的任意两点,M是AB的中 点,N是CD的中点,若MN=a,BC=b,求CD的长。

例5、已知OM是∠AOB的平分线,射线OC在∠BOM内部,ON是∠BOC的平分线,且∠AOC=800。求∠MON的度数。 例6、已知A、O、B是一条直线上的三个点,∠BOC比∠AOC 大240,求∠BOC、∠AOC的度数。 例7、如图,AE=8.9CM,BD=3CM。求以A、B、C、D、 E这5个点为端点的所有线段长度的和是多少? 例8、线段AB上的P、Q两点,已知AB=26CM,AP=14CM, PQ=11CM。求线段BQ的长。 例9、已知∠AOC=∠BOD=1500,∠AOD=3∠BOC。

求∠BOC的度数。 例10、已知C是AB上的一点,D是CB的中点。若图中线段的长度之和为23CM,线段AC的长度与线段CB 的长度都是正整数。求线段AC的长度是多少厘米?

【针对训练】

全国初中数学竞赛试题及答案79416

中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题(共5小题,每小题6分,共30分.) 1(甲).如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那 22 ||()|| a a b c a b c ++-++可以化简为(). (A)2c a-(B)22 a b -(C)a-(D)a 1(乙).如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为(). (A)2 -(B)2(C)2 (D) 22 2(甲).如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数 y = x b(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为(). (A)(2,3)(B)(3,-2)(C)(-2,3) (D)(3,2) 2(乙).在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x2+y2≤2x +2y的整数点坐标(x,y)的个数为(). (A)10 (B)9 (C)7 (D)5 3(甲).如果a b,为给定的实数,且1a b <<,那么

1121 a a b a b ++++,, ,这四个数据的平均数与中位数之差的 绝对值是( ). (A )1 (B ) 214a - (C )12 (D )1 4 3(乙).如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线, △ABC 是等边三角形.30ADC ∠=?,AD = 3,BD = 5, 则CD 的长为( ). (A )23 (B )4 (C )52 (D )4.5 4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”;小玲对小倩说:“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是( ). (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 4(乙).如果关于x 的方程 2 0x px q p q --=(,是正整数)的正根小于3, 那么这样的方程的 个数是( ). (A ) 5 (B ) 6 (C ) 7 (D ) 8 5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ,,,,则 0123p p p p ,,,中最大的是( ). (A )0p (B )1p (C )2p (D )3p 5(乙).黑板上写有1 11123100 , , ,, 共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数 a b ,,然后删去a b ,,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数 是( ). (A )2012 (B )101 (C )100 (D )99 二、填空题(共5小题,每小题6分,共30分) 6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行 从“输入一个值x ”到“结果是否>487?”为一次

初中数学奥林匹克竞赛教程

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初中数学竞赛大纲(修订稿) 数学竞赛对于开发学生智力,开拓视野,促进教学改革,提高教学水平,发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化,为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展,应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求,特制定《初中数学竞赛大纲(修订稿)》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出:“要培养学生对数学的兴趣,激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是:“对学有余力的学生,要通过课外活动或开设选修课等多种方式,充分发展他们的数学才能”,“要重视能力的培养……,着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力,要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时,要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容,是教学的要求,也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外,本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况,分阶段、分层次让学生逐步地去掌握,并且要贯彻“少而精”的原则,处理好普及与提高的关系,这样才能加强基础,不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性,被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数,最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数,奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法,约数个数的计算。 有理数的表示法,有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式,恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法,一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。

全国初中数学竞赛各省市试题汇编

初中数学竞赛题汇编 江苏省南通市2013年中考数学试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.(3分)(2013?南通)下列各数中,小于﹣3的数是() 2.(3分)(2013?南通)某市2013年参加中考的考生人数约为85000人,将85000用科学记数法表示为()

故选A. 点评:此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键. 3.(3分)(2013?南通)下列计算,正确的是() A.x4﹣x3=x B.x6÷x3=x2C.x?x3=x4D.(xy3)2=xy6 考点:同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方 专题:计算题. 分析:A、本选项不能合并,错误; B、利用同底数幂的除法法则计算得到结果,即可做出判断; C、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可做出判断; D、利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断. 解答:解:A、本选项不能合并,错误; B、x6÷x3=x3,本选项错误; C、x?x3=x4,本选项正确; D、(xy3)2=x2y6,本选项错误. 故选C. 点评:此题考查了同底数幂的乘除法,幂的乘方与积的乘方,以及二次根式的乘除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 4.(3分)(2013?南通)如图所示的几何图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数 是() A.4B.3C.2D.1 考点:中心对称图形;轴对称图形 分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后解答即可. 解答:解:第一个图形是轴对称图形,不是中心对称图形;

初中数学竞赛试题及答案大全

全国初中数学竞赛初赛试题汇编 (1998-2018) 目录 1998年全国初中数学竞赛试卷 (1) 1999年全国初中数学竞赛试卷 (6) 2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9) 2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14) 2002年全国初中数学竞赛试题 (15) 2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (17) 2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (25) 2005年全国初中数学竞赛试卷 (30) 2006年全国初中数学竞赛试题 (32) 2007年全国初中数学竞赛试题 (38) 2008年全国初中数学竞赛试题 (46) 2009年全国初中数学竞赛试题 (47) 2010年全国初中数学竞赛试题 (52) 2011年全国初中数学竞赛试题 (57) 2012年全国初中数学竞赛试题 (60) 2013年全国初中数学竞赛试题 (73) 2014年全国初中数学竞赛预赛 (77) 2015年全国初中数学竞赛预赛 (85) 2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94) 2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103)

2018 年初中数学联赛试题 (105)

1998年全国初中数学竞赛试卷 一、选择题:(每小题6分,共30分) 1、已知a 、b 、c 都是实数,并且c b a >>,那么下列式子中正确的是( ) (A)bc ab >(B)c b b a +>+(C)c b b a ->-(D) c b c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1,那么p 的值为( ) (A)2(B)4(C)3(D)5 3、在△ABC 中,已知BD 和CE 分别是两边上的中线,并且BD ⊥CE ,BD=4,CE=6,那么△ABC 的面积等于( ) (A)12(B)14(C)16(D)18 4、已知0≠abc ,并且 p b a c a c b c b a =+=+=+,那么直线p px y +=一定通过第( )象限 (A)一、二(B)二、三(C)三、四(D)一、四 5、如果不等式组? ??<-≥-080 9b x a x 的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a 、 b )共有( ) (A)17个(B)64个(C)72个(D)81个 二、填空题:(每小题6分,共30分) 6、在矩形ABCD 中,已知两邻边AD=12,AB=5,P 是AD 边上任意一点,PE ⊥BD ,PF ⊥AC ,E 、F 分别是垂足,那么PE+PF=___________。 7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,那么△OAB 的面积等于___________。 8、已知圆环内直径为acm ,外直径为bcm ,将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。 9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a (其中a 是非负整数),至少有一个整数根,那么a=___________。 10、B 船在A 船的西偏北450处,两船相距210km ,若A 船向西航行,B 船同时向南航行,且B 船的速度为A 船速度的2倍,那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。 三、解答题:(每小题20分,共60分) 11、如图,在等腰三角形ABC 中,AB=1,∠A=900,点E 为腰AC 中点, 点F 在底边BC 上,且FE ⊥BE ,求△CEF 的面积。 A B C E F

★初中数学竞赛试题精选

1、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数可以被( )整除。 A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 解:依题意设六位数为abcabc ,则abcabc =a ×105 +b ×104 +c ×103 +a ×102 +b ×10 +c =a ×102 (103 +1)+b ×10(103 +1)+c (103 +1)=(a ×103 +b ×10+c )(103 +1)=1001(a ×103+b ×10+c ),而a ×103+b ×10+c 是整数,所以能被1001整 除。故选C 方法二:代入法 2、若2001 11981 11980 11 ? ?++ =S ,则S 的整数部分是____________________ 解:因1981、1982……2001均大于1980,所以9022 19801980 1221==? >S ,又1980、 1981……2000均小于2001,所以22219022 20012001 1221== ? < S ,从而知S 的整数 部分为90。 3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯,各有接线开关控制着,开始时,它们都是关闭状态,现有100个学生,第1个学生进来时,凡号码是1的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来,由号码是2的倍数的开关拉一下,第n 个(n ≤100)学生进来,凡号码是n 的倍数的开关拉一下,如此下去,最后一个学生进来,把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下,这样做过之后,请问哪些灯还亮着。 解:首先,电灯编号有几个正约数,它的开关就会被拉几次,由于一开始电灯是关的, 所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的,因为只有平方数才有奇数个约数,所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。 4、某商店经销一批衬衣,进价为每件m 元,零售价比进价高a%,后因市场的变化,该店

初中数学竞赛题汇编代数部分

初中数学竞赛题汇编(代数部分)

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初中数学竞赛题汇编 (代数部分1) 江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答 例1若m2=m+1,n2=n+1,且m≠n,求m5+n5的值。 解:由已知条件可知,m、n是方程x2-x-1=0两个不相等的根。∴m+n=1,mn=-1 ∴m2+n2=(m+n)2-2mn=3或m2+n2=m+n+2=3 又∵m3+n3=(m+n) (m2-mn+n2)=4 ∴m5+n5=(m3+n3) (m2+n2)-(mn)2(m+n)=11 例2已知 解:设,则 u+v+w=1……①……② 由②得即 uv+vw+wu=0 将①两边平方得 u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1 所以u2+v2+w2=1 即 例3已知x4+x3+x2+x+1=0,那么1+x+x2+x3+x4+……x2014=。解:1+x+x2+x3+x4+…x2014=(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)=(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+… + x2010(1+x+x2+x3+x4)=0 例4:证明循环小数为有理数。 证明:设=x…① 将①两边同乘以100,得 …② ②-①,得99x=261.54-2.61 即x=。

例5:证明是无理数。 证明(反证法):假设不是无理数,则必为有理数,设 =(p、q是互质的自然数),两边平方有p2=2q2…①, 所以p一定是偶数,设p=2m(m为自然数),代入①整理得q=2m2,所以q也是偶数。p、q均为偶数与p、q是互质矛盾,所以不是有理数,即为有理数。 例6:;;。 解: 例7:化简(1);(2) (3);(4); (5); (6)。 解:(1)方法1

2020年全国初中数学竞赛历年竞赛试题以及参考答案:一

2020年全国初中数学竞赛历年竞赛试题以及参考答案 一 一、选择题 1.设a <b <0,a 2+b 2=4ab ,则b a b a -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、3 2.已知a =1999x +2000,b =1999x +2001,c =1999x +2002,则多项式a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca 的值为【 】 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3.如图,点 E 、 F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点,连AF 、CE 交于点 G ,则ABCD AGCD S S 矩形四边形等于【 】 A 、65 B 、54 C 、43 D 、32 A B C D E F G 4.设a 、b 、c 为实数,x =a 2-2b + 3π,y =b 2-2c +3π,z =c 2-2a +3 π,则x 、y 、z 中至少有一个值【 】 A 、大于0 B 、等于0 C 、不大于0 D 、小于0 5.设关于x 的方程ax 2 +(a +2)x +9a =0,有两个不等的实数根x 1、x 2,且x 1<1<x 2,那么a 的取值范围是【 】

A 、72-<a <52 B 、a >52 C 、a <72- D 、11 2-<a <0 6.A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形,A 1A 2=a ,A 1A 3=b ,则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、 ()b a +2 1 D 、a +b 二、填空题 7.设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+ax +a =2的两个实数根,则(x 1-2x 2)(x 2-2x 1)的最大值为 。 8.已知a 、b 为抛物线y =(x -c)(x -c -d)-2与x 轴交点的横坐标,a <b ,则b c c a -+-的值为 。 9.如图,在△ABC 中,∠ABC =600,点P 是△ABC 内的一点,使得∠APB =∠BPC =∠CPA ,且PA =8,PC =6,则PB = 。 A B C P 10.如图,大圆O 的直径AB =acm ,分别以OA 、OB 为直径作⊙O 1、⊙O 2,并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4,这些圆互相内切或外切,则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为 cm 2 。

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