立体几何【2007——2013湖北高考数学(文科真题分类整理)独自整理,附带答案】

1、（2007?湖北文5）在棱长为1的正方体ABCD﹣A

1B

1

C

1

D

1

中，E、F分别为棱AA

1

、

BB

1的中点，G为棱A

1

B

1

上的一点，且A

1

G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D

1

EF的

距离为（）

A、B、

C、D、

考点：空间点、线、面的位置。专题：计算题。

分析：因为A

1B

1

∥EF，所以G到平面D

1

EF的距离即是A

1

到面D

1

EF的距离，由三

角形面积可得所求距离．

解答：解：因为A

1B

1

∥EF，G在A

1

B

1

上，所以G到平面D

1

EF的距离即是A

1

到面D

1

EF

的距离，

即是A

1到D

1

E的距离，D

1

E=，由三角形面积可得所求距离为，

故选D

2、（2007?湖北文17）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜）．

（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；

（Ⅱ）当确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为．

考点：空间中直线与平面之间的位置关系。

分析：法一：（Ⅰ）要证平面VAB⊥平面VCD，只需证明平面VAB内的直线AB，

垂直平面VCD内的两条相交直线CD、VC即可；

（Ⅱ）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，说明∠CBH就是直线BC与平面VAB 所成的角．求出，使得直线BC与平面VAB所成的角为．

法二：以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，证明，，推出AB⊥平面VCD，即可证明平面VAB⊥平面VCD．

（Ⅱ）求出平面VAB的一个法向量，利用，求出使得直线

BC与平面VAB所成的角为的θ的值．

解答：解法1：（1）∵AC=BC=a，∴△ABC是等腰三角形，

又D是AB的中点，∴CD⊥AB，

又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB．于是AB⊥平面VCD，

又AB?平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由（1）知CH⊥平面VAB．连接BH，

于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角，依题意，所以

在Rt△CHD中，；

在Rt△BHC中，，

∴，

∵，∴，

故当时，

直线BC与平面VAB所成得角为．

解法2：（1）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，

则C（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），，，于是，，，．从而，即AB⊥CD．

同理，

即AB⊥VD，又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．

又AB?平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）设平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z）

则由，得

可取，

又，

于是=，

即，

∵，∴，

故当时，直线BC与平面VAB所成得角为．

解法3：（1）以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别为x轴、y轴．

建立如图所示的空间直角坐标系，

则D（0，0，0），，，，

，

于是，，

．

从而，即AB⊥DC，

同理，即AB⊥DV．

又DC∩DV=D，∴AB⊥平面VCD．

又AB?平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）设平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z），

则由得

取n=（tanθ，0，1），

又，于是

，

即．

又∵，∴．

故当时，直线BC与平面VAB所成的角为．

点评：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力

3.(08湖北文3)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球

的休积为 A.

3

32π B. 38π

C.π28

D. 328π

【标准答案】３．D

【试题解析】易知球的半径是2，所以根据球的体积公式知348233

R V ππ==球，故D 为正确答案．

【高考考点】球的体积公式和空间想象能力。 【易错提醒】记错公式。

【学科网备考提示】对立体几何中的公式要牢记在心。 4.(08湖北文18)（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11.A ABB （Ⅰ）求证： ;AB BC ⊥

（Ⅱ）若1AA AC a ==，直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，二面角1,.2

A BC A π

?θ?--+=

的大小为求证：

【标准答案】18．

(Ⅰ)证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D ，则

由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC ∩侧面A 1ABB 1＝A 1B ， 得AD ⊥平面

A 1BC .又BC 平面A 1BC 所以AD ⊥BC .

因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱, 则AA 1⊥底面ABC ,所以AA 1⊥BC . 又AA

1∩AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1, 又AB 侧面A 1ABB 1， 故AB ⊥BC .

(Ⅱ)证法1：连接CD ,则由(Ⅰ)知∠ACD 就是直线AC 与平面A 1BC

所成的角，∠ABA 1就是二面角A 1－BC －A 的颊角，即∠ACD ＝θ，∠ABA 1= .

于是在Rt ΔADC 中，sin θ=a

AD

AC AD =

,在Rt ΔADA 1中，sin ∠AA 1D ＝

a

AD

AA AD 1,

∴sin θ=sin ∠AA 1D ,由于θ与∠AA 1D 都是锐角，所以θ＝∠AA 1D .

又由Rt ΔA 1AB 知，∠AA 1D ＋ ＝∠AA 1B ＋ ＝2π，故θ＋ ＝2

π

.

证法2：由(Ⅰ)知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分别

为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

5. （09湖北文6）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,∠ACC 1=600,∠BCC 1=450,侧棱CC 1的长为1，则该三棱柱的高等于 A.21 B.22 C.

2

3

D.

3

3

【答案】

6、(10年湖北文)用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .

A. ①②

B. ②③

C. ①④

D.③④ 4.【答案】C 【解析】根据平行直线的传递性可知①正确；在长方体模型中容易观察出②中a 、c 还可以平行或异面；③中a 、b 还可以相交；④是真命题，故C 正确.

7.(10年湖北文5)函数0.51

log (43)

y x =

-的定义域为

如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,SD AD a ==，点E 是SD 上的点，且(01)DE a λλ=<≤

(Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1]，都有AC BE ⊥； (Ⅱ)若二面角D AE D --的大小为600，求λ的值。 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位

置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）

（Ⅰ）证法1：连接BD ，由底面ABCD 是正方形可得AC ⊥BD 。

SD ⊥平面ABCD ，∴BD 是BE 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得AC BE ⊥

(Ⅱ)

解法1： SD ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，∴ SD ⊥CD.

又底面ABCD 是正方形，∴CD AD ⊥，又S D A D D =

，∴CD ⊥平面SAD

过点D 在平面SAD 内做DF ⊥AE 于F ，连接CF ，则CF ⊥AE ， 故∠CFD 是二面角C-AE-D 的平面角，即∠CFD=60° 在Rt △ADE 中， AD=a , DE= a λ， AE=a 12+λ 。 于是，21

AD DE a

DF AE λλ?=

=+ 在Rt △CDF 中，由co °=

1

2

+=λλCD

DF

得

3

3

1

2=

+λλ，即332+λ=3λ (0,1]λ∈， 解得λ=

2

2

(Ⅰ)证法2：以D 为原点，DA DC DS

、

、的方向分别作为x y z 、、的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则

(0,0,0),(,0,0),(,,0),(0,,0),(0,0,)D A a B a a C a E a λ，

(,,0),(,,),(,0,),(0,,)AC a a BE a a a EA a a EC a a λλλ=-=---=-

， ∴22(,,0)(,,)00AC BE a a a a a a a a λλ=--=-+-=

即对任意的λ∈（0，1]，都有AC BE ⊥

(Ⅱ)解法2：(0,,0)DC a =

为平面ADE 的一个法向量

设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z =，

则,n EA n EC ⊥⊥

∴00n EA n EC ?=??=?? 即00x z y z λλ-=??-=? 取1z =，得(,,1)n λλ=

∴22||

||cos 60212||||||

21

DC n DC n λλλλ==?+=+

由λ∈（0，1]，解得2

2

λ=

8.(10年湖北文14)圆柱形容器内盛有高度为3cm 的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.

【答案】4

【解析】设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱可得33224863

r r r r πππ?+?=?,解得r=4.

9、(10年湖北文18)（本小题满分12分） 如图，在四面体ABOC 中，OC ⊥OA 。OC ⊥OB ，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1 （Ⅰ）设P 为AC 的中点，Q 在AB 上且AB=3AQ ，证明：PQ ⊥OA ； （Ⅱ）求二面角O-AC-B 的平面角的余弦值。

本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置

关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.（满分12分）

（Ⅰ）在平面OAB 内作ON ⊥OA 交AB 于N ，连接CN ， 在△AOB 中， 120AOB ∠= 且OA=OB,

030AB OBA ∴∠=∠= 。

在Rt △AON 中， 030AN ∠= ,

1

02

N AN ∴=

。

A B

C O P A

B

C O

N

P

Q

在△ONB 中，1209030NOB ∠=-= OBN =∠.

1

02

NB N AN ∴==

。 又AB=3AQ ，∴Q 为AN 的中点。

在△CAN 中，,P Q 分别为AC,AN 的中点，

//PQ CN ∴.由OA ⊥OC ，OA ⊥ON 知：OA ⊥平面CON 。

又NC ?平面CON,∴OA ⊥CN. 由PQ//CN,知OA ⊥PQ. （Ⅱ）连结PN,PO.

由OC ⊥OA ，OC ⊥OB 知：OC ⊥平面OAB 。 又ON ?平面OAB ，∴ OC ⊥ON.

又由ON ⊥OA 知：ON ⊥平面AOC. ∴OP 是NP 在平面AOC 内的射影。 在等腰Rt △COA 中，P 为AC 的中点，∴AC ⊥OP 。 根据三垂线定理，知：AC ⊥NP.

∴OPN ∠为二面角O-AC-B 的平面角。 在等腰Rt △COA 中，OC=OA=1,

∴OP=

22

。 在Rt △AON 中，ON=OA tan30 =

33

， ∴在Rt △PON 中，PN=2

2

OP ON +=30

6

,

∴cos 2

15

2530

6

OP OPN PN ∠===。 解法二:

(Ⅰ)取O 为坐标原点，以OA,OC 所在的直线为x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz （如图所示）。

则A(1,0,0),C （0,0,1），B 13

(,,0)22-。 AC P 为中点，11

P(,0,)22

∴。33AB (,,0)22=- 。 A

B

C O

N

P

Q

A

B

C N

P

Q

o

x

z

y

又由已知，可得113

AQ AB ,.326

== （-，0） 又13OQ=OA+AQ=(,,0)26 .31PQ=OQ-OP=(0,,-)62∴ . 31

PQ OA=(0,,-)(1,0,0)=062

∴ .故PQ OA ⊥ 。

（Ⅱ）记平面ABC 的法向量n=n n n 123（,,），则由n ⊥CA ,n AB ⊥

，且CA =（1,0，

-1）。

得13220,

33

0,22

n n n n -=??

?-+

=??故可取(1,3,1)n =。 又平面OAC 的法向量为e=（0,1,0）。

3,,1,03

cos n e 515

∴<>== （1，1）（0），

二面角O-AC-B 的平面角是锐角，记为θ，则15

cos 5

θ=

。 10．（2011湖北文7）设球的体积为V ，它的内接正方体的体积为V ，下列说法中最合适的是( )．

A ．V 比V 大约多一半

B ．V 比V 大约多两倍半

C ．V 比V 大约多一倍

D ．V 比V 大约多一杯半 【答案】D ．

【解析】 本题考查了空间几何体的组合体以及体积的计算问题．

11．（2011湖北文18）（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱1A A 上，点F 在侧棱1B B 上，且

22A E =,2BF =．

(Ⅰ) 求证：1C F C E ⊥；

(Ⅱ) 求二面角1E C F C --的大小．

【解析】本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力．

解法1：（Ⅰ）由已知可得221132,2(22)23CC CE C F ===+= 222221(),2(2)6EF AB AE BF EF C E =+-==+=

于是有2222221111,EF C E C F CE C E CC +=+= 所以11,C E EF C E CE ⊥⊥

又1,.EF CE E C E CEF =⊥ 所以平面

由1,.CF CEF CF C E ?⊥平面故

（Ⅱ）在CEF ?中，由（Ⅰ）可得6,23EF CF CE === 于是有EF 2+CF 2=CE 2，所以.CF EF ⊥

又由（Ⅰ）知CF ⊥C 1E ，且1EF C E E ?=，所以CF ⊥平面C 1EF ， 又1C F ?平面C 1EF ，故CF ⊥C 1F 。

于是1EFC ∠即为二面角E —CF —C 1的平面角。

由（Ⅰ）知1C EF ?是等腰直角三角形，所以145BFC ∠=?，即所求二面角E —CF —C 1的大小为45?。

解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得

1(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,2,32),(0,0,22),(3,1,2)A B C C E F

（Ⅰ）1(0,2,2),(3,1,2)C E CF =--=-

10220C E CF ?=+-=

1.CF C E ∴⊥

（Ⅱ）(0,2,22)CE =-

，设平面CEF 的一个法向量为 (,,)m x y z =

由0,,,0,

m CE m CE m CF m CF ??=?⊥⊥??=??

得 即2220,

(0,2,1)320

y z m x y z ?-+=?=?-+=?? 可取 设侧面BC 1的一个法向量为1,,,(3,1,0)n n BC n CC CB ⊥⊥=-

由及

1(0,0,32),(1,3,0)CC n ==

可取

设二面角E —CF —C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得

||62

cos 2||||32m n m n θ?===?? ，所以45θ=? 即所求二面角E —CF —C 1的大小为45?．

12、(2012湖北文15)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

____________.

12π【解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4

）组合而成，故该几何体

的体积是22

2121412

Vπππ

=???+??=.

【点评】本题考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景，考查常见组合体的表面积.

13. (2012湖北文19)（本小题满分12分）

某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是

全等的等腰梯形的四棱台A

1B

1

C

1

D

1

-ABCD，上不是一个底面与四棱台的上底面重

合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A

2B

2

C

2

D

2

。

（1）证明：直线B

1D

1

⊥平面ACC

2

A

2

；

（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A

1B

1

=20，AA

2

=30，AA

1

=13

（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？

.【解析】

【点评】本题考查线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.线线垂直?线面垂直?面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法；四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成，只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行，面面平行特别是线面平行，以及体积等的考查.

14．(2013湖北，文16)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是__________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)

答案：3

解析：由题意盆内所盛水的上底面直径为2812

2

+

＝20(寸)，下底面半径为6寸，

高为9寸，故体积为V＝1

3

·9·(π·102＋π·62＋π·10·6)＝588π，而盆

上口面积为π·142

＝196π，故平地降雨量为

588π

196π

＝3(寸)． 15．(2013湖北，文20)(本小题满分13分)如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为A 1A 2＝d 1.同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1＜d 2＜d 3.过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线AA 2平行的平面截多面体A 1B 1C 1-A 2B 2C 2所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． (1)证明：中截面DEFG 是梯形；

(2)在△ABC 中，记BC ＝a ，BC 边上的高为h ，面积为S .在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体A 1B 1C 1-A 2B 2C 2的体积V )时，可用近似公式V 估＝S

中·

h 来估算．已知V ＝1

3

(d 1＋d 2＋d 3)S ，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．

(1)证明：依题意，A 1A 2⊥平面ABC ，B 1B 2⊥平面ABC ，C 1C 2⊥平面ABC ， 所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2.

又A 1A 2＝d 1，B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1＜d 2＜d 3. 因此四边形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1均是梯形． 由AA 2∥平面MEFN ，AA 2?平面AA 2B 2B ，且平面AA 2B 2B ∩平面MEFN ＝ME ， 可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE .

同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG . 又M ，N 分别为AB ，AC 的中点，

则D ，E ，F ，G 分别为A 1B 1，A 2B 2，A 2C 2，A 1C 1的中点， 即DE ，FG 分别为梯形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1的中位线．

因此DE ＝12(A 1A 2＋B 1B 2)＝12(d 1＋d 2)，FG ＝12(A 1A 2＋C 1C 2)＝1

2

(d 1＋d 3)，

而d 1＜d 2＜d 3，故DE ＜FG ，所以中截面DEFG 是梯形． (2)解：V 估＜V .证明如下：

由A 1A 2⊥平面ABC ，MN ?平面ABC ，可得A 1A 2⊥MN . 而EM ∥A 1A 2，所以EM ⊥MN ， 同理可得FN ⊥MN .

由MN 是△ABC 的中位线，可得MN ＝11

22

BC a =即为梯形DEFG 的高，

因此S 中＝S 梯形DEFG ＝13121231(2)22228d d d d a a

d d d ++??+?=++ ???，

即V 估＝S 中·h ＝8

ah

(2d 1＋d 2＋d 3)．

又12

S ah =，所以V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ＝6ah (d 1＋d 2＋d 3)．

于是V －V 估＝6ah (d 1＋d 2＋d 3)－8ah (2d 1＋d 2＋d 3)＝24

ah

[(d 2－d 1)＋(d 3－d 1)]．

由d 1＜d 2＜d 3，得d 2－d 1＞0，d 3－d 1＞0，故V 估＜V .

16．(2013湖北，文22)(本小题满分14分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m,2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C

1

，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记m

n

λ=，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.

(1)当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，求λ的值；

(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2？并说明理由．解：依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为

C 1：

22

22

=1

x y

a m

+，C2：

22

22

=1

x y

a n

+.

其中a＞m＞n＞0，

m

n

λ=＞1.

(1)解法1：如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x＝0，则

S 1＝

1

2

|BD|·|OM|＝

1

2

a|BD|，S

2

＝

1

2

|AB|·|ON|＝

1

2

a|AB|，所以1

2

||

||

S BD

S AB

=.

在C1和C2的方程中分别令x＝0，可得y A＝m，y B＝n，y D＝－m，

于是

||

||1 ||||1

B D

A B

y y

BD m n

AB y y m n

λ

λ

-++

===

---

.

若1

2=

S S λ，则

1

1

λ

λ

λ

+

=

-

，

化简得λ2－2λ－1＝0.

由λ＞1，可解得λ＝2+1.

故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝2+1.

图1

解法2：如图1，若直线l与y轴重合，则

|BD|＝|OB|＋|OD|＝m＋n，|AB|＝|OA|－|OB|＝m－n；

S 1＝

1

2

|BD|·|OM|＝

1

2

a|BD|，

S 2＝

1

2

|AB|·|ON|＝

1

2

a|AB|.

所以1

2||1 ||1

S BD m n S AB m n λλ

++

===

--

.

若1

2=

S S λ，则

1

1

λ

λ

λ

+

=

-

，化简得λ2－2λ－1＝0.

由λ＞1，可解得λ＝2+1.

故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝2+1.

(2)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.

图2

根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，

点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则

因为122|0|11ak ak d k k --==++，222

|0|11ak ak

d k k -==

++，所以d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝1

2|AB |d 2，

所以12||||

S BD S AB =＝λ，即|BD |＝λ|AB |.

由对称性可知|AB |＝|CD |，

所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |， |AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，

于是||1||1

AD BC λλ+=

-.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得

222A am x a k m =+，222B an

x a k n

=+.

根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是

221||2||||21||A D A B

B C k x x x AD BC x k x x +-==+-＝222222m a k n n a k m ++.② 从而由①和②式可得

2222221

1a k n a k m λλλ++=+(-)

.③

令1=1t λλλ+(-)

，则由m ＞n ，可得t ≠1，于是由③可解得2222

22

11n t k a t λ(-)=(-). 因为k ≠0，所以k 2＞0.

于是③式关于k 有解，当且仅当2222

2

1>01n t a t λ(-)

(-)

， 等价于2221(1)<0t t λ?

?-- ???.

由λ＞1，可解得1

λ

＜t ＜1，

即11

<11λλλλ+<

(-)

， 由λ＞1，解得λ＞1+2，所以

当1＜λ≤1+2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2； 当λ＞1+2时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.

解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性， 不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，

点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则

因为12

2

|0|11ak ak

d k

k

--=

=

++，22

2

|0|11ak ak d k

k

-=

=

++，所以d 1＝d 2.

又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝1

2|AB |d 2，

所以12||=||

S BD S AB λ=.

因为

221||||||1||B D A B A B

A B k x x x x BD AB x x k x x λ+-+===-+-， 所以11

A B x x λλ+=-.

由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得 22222=1A A x k x a m +，222

22=1B B x k x a n

+， 两式相减可得22222222

=0A B A B x x k x x a m

λ-(-)

+， 依题意x A ＞x B ＞0，所以22A B x x >.

所以由上式解得2222

2222A B B A m x x k a x x λ(-)

=(-)

.

因为k 2

＞0，所以由2222222

>0A B B A m x x a x x λ(-)(-)，可解得<1A

B

x x λ<. 从而1

1<<1

λλλ+-，解得λ＞1+2，所以

当1＜λ≤1+2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2； 当λ＞1+2时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.