2015-2016学年山西省太原五中高二5月月考数学(理)试题(解析版)

2015-2016学年山西省太原五中高二5月月考数学（理）试题

一、选择题

1．已知随机变量X 服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为（ ）

A ．n ＝4，p ＝0.6

B ．n ＝6，p ＝0.4

C ．n ＝8，p ＝0.3

D ．n ＝24，p ＝0.1 【答案】B

【解析】试题分析：由随机变量服从二项分布，且() 2.4() 1.44E X D X =??=?，则2

.4(1

)1.44np np p =??

-=?，

解得6,0.4n p ==，故选B ． 【考点】二项分布的期望与方差．

2．已知离散型随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，若P(1≤X≤3)＝

1

5

，则n 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．10 D ．15 【答案】D

【解析】试题分析：因为离散型随机变量X 等可能取值，且1

(13)5

P x ≤≤=

，则 31

(13)(1)(2)(3)155

P x P X P X P X n n ≤≤==+=+==

=?=，故选D ． 【考点】等可能事件的概率．

3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2

)．且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于（ ） A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 【答案】C

【解析】试题分析：因为随机变量ξ服从正态分布2

(2,)N σ，所以2μ=，所以图象关于2μ=对称，所以12[1(4)]

(02)0.32

P P ξξ--><<==，故选C ．

【考点】正态分布曲线的性质．

4．5

展开式的第三项为10,则y 关于x 的函数图象大致为（ ）

【答案】D

【解析】试题分析：由题意得，展开式的第三项为2

3

2

3510T C xy ==，所以

1010xy =，所以1

y x

=

，且0x >，故选D. 【考点】二项展开式的通项的应用．

5．10件产品，其中3件是次品，任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)等于（ ） A.

35 B.815 C.1415

D ．1

【答案】A

【解析】试题分析：由题意得，随机变量ξ的取值为0,1,2，则

211

77322101077(0),(1)1515C C C P P C C ξξ======，232101(2)15

C P C ξ===，所以期望为7713

0121515155

E ξ=?

+?+?=，故选A ． 【考点】随机变量的期望．

6．6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为（ ）

A ．144

B ．120

C ．72

D ．24 【答案】D

【解析】试题分析：把三把空椅子排成一排，可由四个空位，采用插空法，把就座的三

把椅子，放入其中，则有3

424A =种不同的放法，故选D ．

【考点】排列、组合的应用．

7．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有（ ）个

A ．50

B ．45

C ．36

D ．35 【答案】C

【解析】试题分析：由题意得，由于个数字大于十位数，所以按个位数是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以共有1234567836+++++++=个，故选C ． 【考点】计数原理的应用．

【方法点晴】本题主要考查了一个分类计数原理的应用问题，是一类常考问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含的几种方法，把几个步骤中数字相加，即可得到结果，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中要求个位数字比十位数字大，可分成8类，求得每一类的结果，利用分类计数原理，即可求解结果．

8．如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为（ ）

A ．180

B ．240

C ．360

D ．420

【答案】D

【解析】试题分析：若5个花池载了5中颜色的花卉，方法有5

5A 种，若5个花池载了4

中颜色的花卉，则2,4两个花池载同一种颜色的花，或3,5两个花池载同一种颜色的花，

方法有452A 种；若5个花池载了3中颜色的花卉，方法有35A 种，所以最多有5435552420A A A ++=种，故选D ．

【考点】排列、组合及简单计数问题．

9．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率()

P A B ，()

P B A 分别是（ ）

A.

6091，12 B.12，6091 C.518，60

91

D.91216，

1

2

【答案】A

【解析】试题分析：根据条件概率的函数，(|)P A B 的含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”的情况数目为66655591??-??=，“三个点数都不相同”则

只有一个6点，共有1

35460C ??=种，60

(|)91

P A B =

；(|)P B A 其含义是在在A 发生的情况下，B 发生的概率，即“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”

的概率，所以1

(|)2

P B A =，故选A ．

【考点】条件概率．

【方法点晴】本题主要考查了条件概率的计算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力与转化与化归思想的应用，其中明确条件概率的基本含义是解答的关键，属于中档试题，本题的解答中，根据条件概率的函数，(|)P A B 的含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率，(|)P B A 其含义是在在A 发生的情况下，B 发生的概率是解得的关键． 10．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ） A ．24对 B ．30对 C ．48对 D ．60对

【答案】C

【解析】试题分析：由题意得，正方体六个面共有12条对角线，任选其中一条，如1AB ，

则与1AB 成60

角的有11111111,,,,,,,AC B C AD B D BD A D C D AC ，共8条，所以从正方

体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60

的共有812

482

?=条，故选C ．

【考点】排列、组合的应用．

【方法点晴】本题主要以正方体为背景考查了排列、组合的实际应用问题，其中正确的理解题意，明确求解的问题，选择恰当的方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，根据正方体的结构特征，任选其中一条，

如1AB ，则与1AB 成60 角的有1111,,,AC B C AD B D ，1111,,,BD A D C D AC 共8条，从

而得到本题的结果．

二、填空题

11．如果将甲、乙、丙3名志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在乙、丙的前面,则不同的安排方法共有 种.

【答案】20

【解析】试题分析：由题意得，要求甲安排另外两位的前面，则甲有3种分配方法，即

甲在星期一、二、三；可分三种情况分类讨论：甲在星期一有2

412A =种安排方法；甲在星期二有236A =种安排方法；甲在星期三有222A =种安排方法；所以共有

126220++=种不同的安排方法．

【考点】排列、组合与计数原理的应用．

12．三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有_____. 【答案】105

【解析】试题分析：由题意得，当0x =，y 分别取0,1,2,13 ，z 取13,12,11,,0 共有13个非负整数；当1x =时，12y z +=，共有12个非负整数；当2x =时，11y z +=，共有11个非负整数； ；当13x =时，0y z +=，只有1个非负整数；故非负整数的解的个数为1312111105++++= 个． 【考点】分类计数原理．

13．n ∈N,0n C +31n C +…+(2n+1)n

n C =_______.

【答案】(1)2n

n +

【解析】试题分析：设01235(21)n n n n n S C C C n C =+++++ ，则121(21)(21)53n n n n n n n S n C n C C C C -=++-++++ ，

所以0122(21)()2(1)2n n

n n n n S n C C C C n =+++++=+? ，

所

以

01235(21)n

n n n n

S C C C n C =+++++ (1)2n n =+． 【考点】二项式定的应用．

【方法点晴】本题主要考查了二项式定理的应用、二项展开式中系数的和的问题，其中正确的理解题意，采用倒序的方法整理和式，相加得出2S 的值是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，设出

01235(21)n

n n n n

S C C C n C =+++++ ，采用倒序相加，即可求解s 的值．

14．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p=______时成功的次数的标准差最大为_______. 【答案】0.5 5

【解析】试题分析：由独立重复试验的方差公式可以得到：2()24

p q n

D npq n ξ+=≤=，当且仅当12p q ==

时，等号成立，所以11

1002522

D ξ=??=，所以标准差为

5=．

【考点】n 次独立重复试验；二项分布的方差的计算．

【方法点晴】本题主要考查了n 次独立重复试验中概率的计算公式及二项分布的方差与标准差之间的关系、基本不等式在求最值中的应用，其中正确理解独立试验——在同样的条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验和恰当地利用基本不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的的能，属于中档试题．

三、解答题 15．已知

()

141422107

21x a x a x a a x x ++++=+- .

求（1）01214a a a a ++++ ； （2）13513a a a a ++++ . 【答案】（1）1；（2）1143-．

【解析】试题分析：（1）令1x =，即可求解01214a a a a ++++ 结果；（2）分别令

1,1x x ==-，联立方程组，即可求解13513a a a a ++++ 的结果．

试题解析：（1）令1x =得：(

)

7

201214111

a a a a ++++=-+= 1

（2）令1x =-得：()7

701231213141113a a a a a a a -+-+???+-+=++=

所以()7

135132132286a a a a ++++=-=- ，解得135131143a a a a ++++=-

【考点】二项式系数问题． 16．（1）3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数有多少种？

（2）有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？ （3）现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有一个名额，问：名额分配的方法共有多少种？

【答案】（1）24种；（2）60种；（3）84种． 【解析】试题分析：（1）由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空当插，即可计算结果；（2）可采用间接法，利用5人的全排列，则甲在乙的右边的排法数为其中的

1

2

，即可计算结果；（3）可采用相同元素的隔板法，即可计算结果． 试题解析： （1）由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人， 往5个空座的空当插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有34A ＝24(种)．

（2）∵总的排法数为55A ＝120(种)， ∴甲在乙的右边的排法数为

5

512

A ＝60(种)． （3）方法一：每个学校至少一个名额，

则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数． 分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；

若分配到2所学校有2

7C ×2＝42(种)；

若分配到3所学校有37C ＝35(种)．

∴共有7＋42＋35＝84(种)方法．

方法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，

共有6

9C ＝84(种)不同方法．

所以名额分配的方法共有84种． 【考点】排列、组合的应用．

17．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1

2

与p ，且乙投球2次均未命中的概率为

116

． （I ）求乙投球的命中率p ；

（II ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；

（III ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 【答案】（I ）

34；（II ）3

4

；（III ）1132．

【解析】试题分析：（I ）利用相互独立事件同时发生的概率公式，乙两次都为命中的概

率为2

1

(1)16p -=

，即可求解p 的值；（II ）可采用对立事件的概率求解，甲至少命中一次的概率为2

11()2

-，即可计算结果；（III ）采用相互对立事件同时发生的概率及概

率的加法公式，即可求解两人共命中2次的概率．

试题解析：（I ）乙投球的命中率为3

4

．

（II ）甲投球2次至少命中1次的概率为3

4

.

（III ）甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为11

32

．

【考点】相互独立事件的概率的计算．

18．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是

12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2

3

.假设各局比赛结果相互独立．

（1）分别求甲队以3∶0, 3∶1, 3∶2胜利的概率；

（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．

【答案】（1）甲队以3:0胜利、以3:1胜利的概率都为8

27

，以3:2胜利的概率为

4

27

；

（2）分布列见解析，7 9 .

【解析】试题分析：（1）甲队获胜有三种情形：3:0，3:1，3:2，其每种情形的最后一局肯定是甲队获胜，粉笔求出相应的概率，即可得到结果；（2）X的取值可能为

0,1,2,3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求解相应的概率，列出分布列，最后

根据期望的公式即可求解数学期望．

试题解析：（1）记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，

由题意知，各局比赛结果相互独立，

故P(A1)＝

3

28 327??

=

?

??

，

P(A2)＝

2

2

3

2228

C1

33327

????

-?=

? ?

????

，

P(A3)＝

22

2

4

2214 C1

33227

????

-?=

? ?

????

.

所以甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为8

27

，以3∶2胜利的概率为

4

27

.

（2）设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意知，各局比赛结果相互独立，

所以P(A4)＝

22

2

4

2214 C11

33227??????

-?-=

? ? ?

??????

.

由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得

P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝16 27

.

又P(X＝1)＝P(A3)＝4 27

，

P(X＝2)＝P(A4)＝4 27

，

P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝3 27

，

故X的分布列为

所以E(X)＝0×16

27

＋1×

4

27

＋2×

4

27

＋3×

3

27

＝

7

9

.

【考点】相互独立事件的概率；离散型随机变量的分布列．

【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率的乘法公式，以及离散型随机变量的分布列、数学期望的求解，其中正确理解赛制的最后一局的比赛情况是解答此类问题的

关键，着重考查了分析问题和解答问题的的能力、分类讨论的思想数学思想方法的应用，应该认真试题、仔细解答，试题比较基础，属于基础题．

19．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是3

1

，从B 中摸出一个红球的概率为p ．

（I ）从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． （i ）求恰好摸5次停止的概率；

（ii ）记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ． （II ）若A 、B 两个袋子中的球数之比为1:2，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一

p 的值． 【答案】（I ）(i)81；（ii ）分布列见解析，13181；（II ）13

30

．

【解析】试题分析：（I ）(i)由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且时间发生

的概率相同，可以看作对立重复试验，恰好摸5次停止表示第五次一定摸到红球，前四次有两次摸到红球，根据独立重复试验公式得到结果；(ii)由题意知从A 中有放回地模球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止，随机变量ξ的取值为0,1,2,3，由n 此对立重复试验概率公式得到概率，写出分布列，求解数学期望；（II ）由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件为3m ，而满足条件的1

23

m mp +，根据古典概型公式得到关于p 的方程，即可求解．

试题解析：解：（I ）①恰好摸5次停止的概率为2

2

24

1218

C 33381

???????= ? ?????

②随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3.

()5051320C 13243ξ??P ==?-= ???； ()4

1511801C 133243ξ??P ==??-= ???

； ()2

3

2

5

11802C 133243

ξ????

P ==??-=

? ?????； ()32802173124381ξ+?P ==-=． 所以，随机变量ξ的分布列为

3280801713101232432432438181

ξE =

?+?+?+?= 故随机变量ξ的数学期望为131

81

（II ）设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球，由题意得1

22

335

m mp

m +=，

解得1330

p =

【考点】独立重复试验概率的计算；离散型随机变量的分布列与数学期望的计算；古典概型及其概率的计算．

【方法点晴】本题主要考查了独立重复试验概率的计算、离散型随机变量的分布列与数学期望的计算、古典概型及其概率的计算等知识的应用，同时正确理解事件的独立性和事件之间的关系是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力及推理与运算能力，其中本题的第二问中，试验发生的所有事件为3m ，而满足条件的

1

23

m mp +，是解答本题的一个难点．