2001—2010年江苏专转本高等数学真题(附答案)

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、下列各极限正确的是 （ ） A 、e x

x

x =+

→)

11(lim 0

B 、e x

x x =+

∞

→1

)11(lim C 、11sin

lim =∞

→x

x x D 、11sin

lim 0

=→x

x x

2、不定积分=-?

dx x

2

11 （ ）

A 、2

11x

- B 、

c x

+-2

11 C 、x arcsin D 、c x +arcsin

3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ） A 、0)('x f C 、0)('>x f ,0)(''

D 、0)('>x f ,0)(''>x f

4、=-?dx x 2

1 （ ）

A 、0

B 、2

C 、－1

D 、1

5、方程x y x 42

2

=+在空间直角坐标系中表示 （ ） A 、圆柱面

B 、点

C 、圆

D 、旋转抛物面

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6、设?

??+==2

2t t y te x t ，则==0

t dx dy

7、0136'

'

'=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=?

?dy y x f dx x x

22

0),(

9、函数y

x z =的全微分=dz

10、设)(x f 为连续函数，则=+-+?-dx x x x f x f 31

1

])()([

三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5

cos

)21ln(arctan π

+++=x

x y ，求dy .

12、计算x

x dt

e x x t

x sin lim

2

2

?

-

→.

13、求)

1(sin )1()(2

--=x x x x x f 的间断点，并说明其类型.

14、已知x

y x y ln 2

+=，求

1

,1==y x dx

dy .

15、计算dx e

e

x

x

?+12.

16、已知?∞

-=

+0

2

2

11dx x

k ，求k 的值.

17、求x x y y sec tan '=-满足00

==x y 的特解

.

18、计算??D

dxdy y 2

sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.

19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若

b ax

x f +=2

'

3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.

20、设),(2

y

x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求

x

z ??、

y

x z ???2

.

四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分） 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求

（1）切线方程； （2）由2-=

x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；

（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

22、设???

??=≠=0

0)()(x a

x x

x f x g ，其中)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(=f .

（1）求a ，使得)(x g 在0=x 处连续； （2）求)('

x g .

23、设)(x f 在[]c ,0上具有严格单调递减的导数)('x f 且0)0(=f ；试证明： 对于满足不等式c b a b a <+<<<0的a 、b 有)()()(b a f b f a f +>+.

24、一租赁公司有40套设备，若定金每月每套200元时可全租出，当租金每月每套增加10元时，租出设备就会减少一套，对于租出的设备每套每月需花20元的维护费。问每月一套的定金多少时公司可获得最大利润？

2002年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1、下列极限中，正确的是 （ ） A 、 e x x

x =+→cot 0

)

tan 1(lim B 、 11sin

lim 0

=→x

x x

C 、 e x x

x =+→sec 0

)

cos 1(lim

D 、 e n n

n =+∞

→1)1(lim

2、已知)(x f 是可导的函数，则=--→h

h f h f h )

()(lim 0

（ ） A 、)(x f '

B 、)0(f '

C 、)0(2f '

D 、)(2x f '

3、设)(x f 有连续的导函数，且0≠a 、1，则下列命题正确的是 （ ） A 、C ax f a

dx ax f +=

'?)(1)(

B 、

C ax f dx ax f +='?)()( C 、)())(ax af dx ax f =''?

D 、C x f dx ax f +='?)()(

4、若x e y arctan =，则=dy （ ）

A 、dx e

x

211+ B 、

dx e

e

x

x 21+ C 、

dx e

x

211+ D 、

dx e

e

x

x

21+

5、在空间坐标系下，下列为平面方程的是 （ ） A 、x y =2 B 、??

?=++=++1

20z y x z y x C 、

2

2+x =

7

4+y =

3

-z D 、043=+z x

6、微分方程02=+'+''y y y 的通解是 （ ） A 、x c x c y sin cos 21+= B 、x x e c e c y 221+= C 、()x e x c c y -+=21 D 、x x e c e c y -+=21

7、已知)(x f 在()+∞∞-,内是可导函数，则))()(('--x f x f 一定是 （ ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非奇非偶函数 D 、不能确定奇偶性

8、设dx x

x

I ?

+=

10

4

1，则I 的范围是 （ ）

A 、2

20≤≤I B 、1≥I C 、0≤I D 、

12

2≤≤I

9、若广义积分dx x

p

?∞+1

1收敛，则p 应满足 （ ）

A 、10<

B 、1>p

C 、1-

D 、0

10、若x

x

e e x

f 1

1

121)(+-=

，则0=x 是()x f 的 （ ）

A 、可去间断点

B 、跳跃间断点

C 、无穷间断点

D 、连续点

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11、设函数)(x y y =是由方程)sin(xy e e y x =-确定，则='=0

x y

12、函数x

e

x x f =

)(的单调增加区间为

13、?

-=+11

2

2

1ta dx x

x n x

14、设)(x y 满足微分方程1='y y e x ，且1)0(=y ，则=y 15、交换积分次序()=??

dx y x f dy e e

y

1

0,

三、计算题（本大题共8小题，每小题4分，共32 分）

16、求极限()?+→x

x dt

t t t x

x 0

2

sin tan lim

17、已知()()

??

?-=+=t t t a y t t t a x cos sin sin cos ，求

4

π

=

t dx

dy

18、已知(

)2

2ln y

x x z ++=，求x z

??，x y z

???2

19、设?

??

??<+≥+=0

,110,1

1)(x e

x x x f x

，求()dx x f ?-2

1

20、计算??

?

?

-++

+22

00

12

210

2

22

22

x x dy y x dx dy y x dx

21、求()x e y x y sin cos =-'满足1)0(=y 的解.

22、求积分dx x

x x ?-4

2

1arcsin

23、设()()????

?=≠+=0

,0,

11

x k

x x x f x ，且()x f 在0=x 点连续，求：（1）k 的值（2）()x f '

四、综合题（本大题共3小题，第24小题7分，第25小题8分，第26小题8分，共23分）

24、从原点作抛物线42)(2+-=x x x f 的两条切线，由这两条切线与抛物线所围成的图形记为

S ，求：（1）S 的面积； （2）图形S 绕X 轴旋转一周所得的立体体积.

25、证明：当2

2

π

π

<

<-

x 时，2

1

1cos x x π

-

≤成立.

26、已知某厂生产x 件产品的成本为2

40

120025000)(x x x C ++=（元），产品产量x 与价格P

之间的关系为：x x P 20

1440)(-

=（元）

求：(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品？

(2) 当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润.

2003年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1、已知2)(0'=x f ，则=--+→h

h x f h x f h )

()(lim 000

（ ）

A 、2

B 、4

C 、0

D 、2-

2、若已知)()('x f x F =，且)(x f 连续，则下列表达式正确的是 （ ） A 、c x f dx x F +=?)()( B 、c x f dx x F dx d +=?)()( C 、c x F dx x f +=?)()(

D 、

)()(x f dx

x F dx

d =?

3、下列极限中，正确的是 （ ） A 、22sin lim

=∞

→x

x x

B 、1arctan lim

=∞

→x

x

x C 、∞=--→2

4lim

2

2

x x x D 、1lim 0

=+

→x

x x

4、已知)1ln(2x x y ++=，则下列正确的是 （ ） A 、dx x x dy 2

11++

=

B 、dx x y 2

1'+=

C 、dx x

dy 2

11+= D 、2

11'x

x y ++

=

5、在空间直角坐标系下，与平面1=++z y x 垂直的直线方程为 （ ）

A 、?

??=++=++021z y x z y x

B 、3

1

42

2-=+=+z y x

C 、5222=++z y x

D 、321-=-=-z y x

6、下列说法正确的是 （ ）

A 、级数∑

∞

=1

1n n

收敛

B 、级数∑

∞

=+12

1n n

n 收敛

C 、级数∑

∞

=-1

)1(n n

n

绝对收敛

D 、级数∑∞

=1

!n n 收敛

7、微分方程0''=+y y 满足00

==x y ，1'

==x y 的解是

A 、x c x c y sin cos 21+=

B 、x y sin =

C 、x y cos =

D 、x c y cos =

8、若函数???

?

???<-=>=0

)31ln(1

02

sin )(x x bx x x x ax x f 为连续函数，则a 、b 满足 A 、2=a 、b 为任何实数 B 、2

1=+b a

C 、2=a 、2

3-

=b D 、1==b a

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9、设函数)(x y y =由方程xy e y x =+)ln(所确定，则==0

'

x y

10、曲线93)(23++-==x x x x f y 的凹区间为 11、=+?-dx x x x )sin (1

132

12、交换积分次序=+

?

?

?

?-y y dx y x f dy dx y x f dy 30

31

20

10

),(),(

三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

13、求极限x x x cos 11

2

)1(lim -→+

14、求函数????

??=y x z tan 的全微分

15、求不定积分dx x x ?ln

16、计算θθθ

π

π

d ?-

+2

2

2

cos 1sin

17、求微分方程x e x y xy 2'=-的通解.

18、已知???-=+=t

t y t x arctan )1ln(2，求dx dy 、2

2dx y

d .

19、求函数1

)1sin()(--=x x x f 的间断点并判断其类型.

20、计算二重积分??+-

D

dxdy y x )1(22，其中D 是第一象限内由圆x y

x 22

2=+及直线0

=y 所围成的区域.

四、综合题（本大题共3小题，第21小题9分，第22小题7分，第23小题8分，共24分） 21、设有抛物线24x x y -=，求：

（i ）、抛物线上哪一点处的切线平行于X 轴？写出该切线方程； （ii ）、求由抛物线与其水平切线及Y 轴所围平面图形的面积； （iii ）、求该平面图形绕X 轴旋转一周所成的旋转体的体积.

22、证明方程2=x xe 在区间()1,0内有且仅有一个实根.

23、要设计一个容积为V 立方米的有盖圆形油桶,已知单位面积造价：侧面是底面的一半，而盖又是侧面的一半，问油桶的尺寸如何设计，可以使造价最低？

五、附加题（2000级考生必做，2001级考生不做） 24、将函数x

x f +=

41)(展开为x 的幂级数，并指出收敛区间。（不考虑区间端点）（本小题4分）

25、求微分方程133'2''+=--x y y y 的通解。（本小题6分）

2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 1、[](]

???∈--∈=2,00,3)(3

3x x

x x x f ，是： （ ）

A 、有界函数

B 、奇函数

C 、偶函数

D 、周期函数

2、当0→x 时，x x sin 2-是关于x 的 （ ） A 、高阶无穷小

B 、同阶但不是等价无穷小

C 、低阶无穷小

D 、等价无穷小

3、直线L 与x 轴平行且与曲线x e x y -=相切，则切点的坐标是 （ ） A 、()1,1

B 、()1,1-

C 、()1,0-

D 、()1,0

4、2

2

2

8R y x =+设所围的面积为S ，则dx x R R

?-22

2

2

8的值为 （ ）

A 、S

B 、

4

S

C 、

2

S D 、S 2

5、设y

x y x u arctan ),(=、2

2

ln ),(y x y x v +=，则下列等式成立的是 （ ）

A 、

y

v x

u ??=

?? B 、

x

v x

u ??=

?? C 、

x

v y

u ??=

?? D 、

y

v y

u ??=

??

6、微分方程x

xe y y y 22'3''=+-的特解*

y 的形式应为 （ ）

A 、x

Axe 2 B 、x

e B Ax 2)(+ C 、x

e

Ax 22 D 、x

e

B Ax x 2)(+

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

7、设x

x x x f ??

?

??++=32)(，则=∞

→)(lim x f x

8、过点)2,0,1(-M 且垂直于平面2324=-+z y x 的直线方程为

9、设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ，N n ∈，则=)0('f 10、求不定积分=-?

dx x

x

2

31arcsin

11、交换二次积分的次序=?

?-dy y x f dx x x

21

2

),(

12、幂级数∑

∞

=-1

2

)1(n n

n

x 的收敛区间为

三、解答题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 13、求函数x

x x f sin )(=的间断点，并判断其类型.

14、求极限)

31ln()1()sin (tan lim 2

00

2

x e

dt t t x

x x +--?

→.

15、设函数)(x y y =由方程1=-y

xe y 所确定，求

2

2

=x dx

y d 的值.

16、设)(x f 的一个原函数为x

e

x

，计算?dx x xf )2('.

17、计算广义积分dx x x ?+∞-2

1

1.

18、设),(xy y x f z -=，且具有二阶连续的偏导数，求x

z ??、

y

x z ???2

.

19、计算二重积分dxdy y

y D

??

sin ，其中D 由曲线x y =及x y

=2

所围成.

20、把函数2

1)(+=x x f 展开为2-x 的幂级数，并写出它的收敛区间.

四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）

21、证明：

?

?

=

π

π

π

)(sin 2

)(sin dx x f dx x xf ，并利用此式求dx x

x x

?+π

2

cos

1sin .

22、设函数)(x f 可导，且满足方程)(1)(20x f x dt t tf x

++=?，求)(x f .

23、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元。问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？

2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1、0=x 是x

x x f 1sin )(=的 （ ）

A 、可去间断点

B 、跳跃间断点

C 、第二类间断点

D 、连续点

2、若2=x 是函数)2

1ln(ax x y +-=的可导极值点，则常数=a （ ）

A 、1-

B 、

2

1 C 、2

1-

D 、1

3、若?+=C x F dx x f )()(，则?=dx x xf )(cos sin （ ） A 、C x F +)(sin

B 、

C x F +-)(sin C 、C F +(cos)

D 、C x F +-)(cos

4、设区域D 是xoy 平面上以点)1,1(A 、)1,1(-B 、)1,1(--C 为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则：=+??dxdy y x xy D

)sin cos ( （ ）

A 、??1

)sin (cos 2D dxdy y x

B 、??1

2D xydxdy

C 、??+1

)sin cos (4D dxdy y x xy

D 、0

5、设y

x y x u arctan

),(=，2

2ln ),(y

x y x v +=，则下列等式成立的是 （ ）

A 、

y

v x

u ??=

?? B 、

x

v x

u ??=

?? C 、

x

v y

u ??=

?? D 、

y

v y

u ??=

??

6、正项级数(1)

∑∞

=1

n n

u

、(2)

∑∞

=1

3n n

u

，则下列说法正确的是 （ ）

A 、若（1）发散、则（2）必发散

B 、若（2）收敛、则（1）必收敛

C 、若（1）发散、则（2）可能发散也可能收敛

D 、（1）、（2）敛散性相同

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

7、=----→x

x x

e

e x

x

x sin 2lim

；

8、函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上满足拉格郎日中值定理的=ξ ； 9、=++?

-1

1

2

11

x

x π ；

10、设向量{}2,4,3-=α、{}k ,1,2=β；α、β互相垂直，则=k ； 11、交换二次积分的次序=?

?-+-dy y x f dx x x 2

11

1),( ；

12、幂级数∑∞

=-1

)12(n n x n 的收敛区间为 ；

三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）

13、设函数??

???+=a x

x x f x F sin 2)()( 00

=≠x x 在R 内连续，并满足：0)0(=f 、6)0('

=f ，求a .

14、设函数)(x y y =由方程???-==t

t t y t x cos sin cos 所确定，求dx dy 、2

2dx y

d .

15、计算?xdx x sec tan 3

.

16、计算?1

0arctan xdx

17、已知函数),(sin 2

y x f z =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求x

z ??、

y

x z ???2

18、求过点)2,1,3(-A 且通过直线1

2

35

4:z y x L =

+=

-的平面方程.

19、把函数2

2

2)(x

x x

x f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间.

20、求微分方程0'=-+x

e y xy 满足e y x ==1的特解.

四、证明题（本题8分）

21、证明方程：0133

=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根.

五、综合题（本大题共4小题，每小题10分，满分30分）

22、设函数)(x f y =的图形上有一拐点)4,2(P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数a x y +=6''，求)(x f .

23、已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求： （1）、曲边三角形的面积；

（2）、曲边三角形饶X 轴旋转一周的旋转体体积.

24、设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，dx x f dy u F u

y

u

??

=)()(1

，)1(>u

（1）、交换)(u F 的积分次序； （2）、求)2('

F .

2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）