指数函数的概念及图像和性质
§3 指数函数的概念及图像和性质（共3课时）
太和五中 焦洪宇 中教二级 电话：139********
一. 教学分析:
有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图像以及研究指数函数的性质.
本节安排的内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如推广的思想、类比的思想、逼近的思想、数行结合的思想等.同时,体现数学的应用价值.
根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 二. 学生学习情况分析
刚从初中升入高一的学生,仍保留着初中生许多学习特点,能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段,但更注重形象思维.由于函数概念十分抽象,又以指数运算为基础,同时,初中函数教学要求降低,初中生运算能力有所下降,这双重问题增加了指数函数教学的难度.教师必须认识到这一点,教学中要控制要求的拔高,关注学习过程. 三. 教学目标：
1．知识与技能
（1）理解指数函数的概念和意义； （2）2x
y =与1()2
x
y =的图象和性质；
（3）理解和掌握指数函数的图象和性质； （4）指数函数底数a 对图象的影响；
（5）底数a 对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小 （6）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观
（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. （2）培养学生观察问题，分析问题的能力. 四. 重、难点
重点：
（1）指数函数的概念和性质及其应用. （2）指数函数底数a 对图象的影响；
（3）利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小 难点：
（1）利用函数单调性比较指数幂的大小 （2）指数函数性质的归纳，概括及其应用. 五. 教法与教具：
①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体. 六. 教学过程
第一课时
讲授新课
指数函数的定义: 一般地，函数x
y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .
提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
（1）2
2
x y += （2）(2)x y =- （3）2x
y =-
（4）x y π= （5）2
y x = （6）2
4y x =
（7）x y x = （8）(1)x
y a =- （a ＞1，且2a ≠）
小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x
a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .
00
0,0x
x a a x a ?>?=?≤??x
当时,等于若当时,无意义
若a ＜0，如1
(2),,8
x
y x x =-=
1
先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,x
y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)
x
y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5
,,3,31x x x a y x y y +===+1
x
x
为常数,象y=2-3,y=2等等,
不符合(01)x
y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数
我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 先来研究a ＞1的情况
下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x
y =的图象
x
再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2
x
y =的图象.
从图中我们看出12()2
x
x
y y ==与通过图象看出12()2
x x
y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2x
y =上的
x ,y 点(-)x y x ,y y 1
与=()上点(-)关于轴对称.2
讨论：12()2
x
x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？
②利用电脑软件画出115,3,(),()35
x x
x x y y y y ====的函数图象.
练习作业
x
1x
??
x
课后反思：
本节课是在前面研究了函数性质的基础上，研究具体的初等函数，它是重要的初等函数，它有着丰富的内涵，且和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，在指数函数概念的讲解过程中，既要向学生说明函数的定义域是什么，又要向学生交代，为什么规定底数a是大于0而不等于1的.
第二课时
问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.
从图上看x y a =（a ＞1）与x
y a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.
问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.
问题3：指数函数x
y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关（1）在[,]x
a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；
x
例题分析
例1 比较下列各题中两个数的大小：
(1) 3 0.8 ,30.7
(2) 0.75-0.1, 0.750.1
例2 (1)求使4x>32成立的x的集合；
(2)已知a4/5>a2,求实数a的取值范围.
练习p73 1,2
作业p77习题3-3 A组4,5
课后反思：
第三课时
（1）提出问题
指数函数y=a x(a>0,a≠1)底数a对函数图象的影响，我们通过两个实例来讨论
a>1和0 （2）动手实践 动手实践一： 在同一直角坐标系下画出y=2x和y=3x的图象，比较两个函数的增长快慢 一般地，a>b>1时， （1）当x<0时，总有a x （2）当x=0时，总a x=b x=1有； （3）当x>0时，总a x>b x>1有； （4）指数函数的底数a越大，当x>0时，其函数值增长越快。 动手实践二： 分别画出底数为0.2,0.3,0.5,2,3,5的指数函数图象. 总结y=a x(a>0,a≠1)，a对函数图象变化的影响。 结论： （1）当X>0时,a越大函数值越大； 当x<0时,a越大函数值越小。 （2）当a>1时指数函数是增函数， 当x逐渐增大时， 函数值增大得越来越快； 当0 当x逐渐增大时， 函数值减小得越来越快。 例题分析 例4 比较下列各题中两个数的大小： (1) 1.8 0.6, 0.8 1.6; (2) (1/3) -2/3, 2 -3/5 . (1) 解由指数函数性质知1.8 0.6 >1.8 0=1, 0.8 1.6 <0.8 0=1,所以 1.8 0.6> 0.8 1.6 (2) 解由指数函数性质知(1/3) -2/3 >1, 2 -3/5 <1,所以 (1/3) -2/3> 2 -3/5 例5 已知-1 解（法1）因为-1 而3>1，因此有3-x>1 又0<0.5 <1，因而有0<0.5 -x <1 故3-x >0.5-x （法2 ）设a=-x>0, 函数f(x)=x a当x>0时 为增函数，而3>0.5>0,故f(3)>f(0.5) 即3-x >0.5-x 小结： 在比较两个指数幂大小时,常利用指数函数和幂函数的单调性.相同底数比较指数,相同指数比较底数. 故常用到中间量“1”. 练习1，2 作业习题3-3 B组1,2 课后反思：