圆的概念及性质(一)讲义

初三第三章 圆（一）

圆的相关概念及性质

一 知识梳理

1. 圆的有关概念和性质

（1）圆的有关概念

①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为

半径．

②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称

为劣弧．

③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． （2）圆的有关性质：

①圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆

心．

②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

推论1：a .平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； b.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

c .平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一

条弧．

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．

注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根 据 垂

径定理与勾股定理有：222()2

a

r d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可

以求出第三个量．

③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量

相等，那么 它们所对应的其余各组量都分别相等．

推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；

90”的圆周角所对的弦是直径．

④三角形的内心和外心

a ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．

r a 2

d O C

B

A

b ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接

圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

c ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是

三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

2.与圆有关的角

（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的

弧的度数的一半．

（3）圆心角与圆周角的关系：

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． 圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角． 3.正多边形和圆

（1）通过等分圆画正多边形。（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法） （2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距； （3）如图，正n 边形的有关计算要抓住2n 个Rt △OPB ，∠B 等于正n 边形内角的一半，

∠BOP=n

n

1802360 ，BP 等于正多边形的边长的一半。 一般地，关于正多边形计算的问题都转化为直角三角形的问题。 方法技巧：

1. 分类讨论解决圆的问题，防止漏解。如一条弦所对的圆周角有两种，所以同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补。圆内两条平行的弦与圆心的位置关系有两种。

2. 圆中常作的辅助线：作半径、弦心距、直径所对的圆周角、经过切点作半径、过圆心

作切线的垂 线、两圆相交时的公共弦、连心线等。

O

r

R

A

P B

O

C

B

A

二 典例精析

题型一 圆周角定理

1、如图，O ⊙是ABC ?的外接圆，已知50ABO ∠=?，则ACB ∠的大小为_______．

2、如图，已知ACB ∠是弧AB 的圆周角，50ACB ∠=?，则圆心角AOB ∠是 ．

3、(宜宾中考)已知：如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )

A.45? B .60? C.75? D.90?

4、(08龙岩)如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040??、，则1∠的度数为_________．

O

1B

A

5、（2010海淀期末考试）如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦．若23BAD ∠=?，则ACD ∠ 的大小为（ ）

A ．23?

B ．57?

C ．67?

D ．77?

6、如图所示，AB 是O 的直径，AD DE =，AE 与BD 交于点C ，则图中与BCE ∠相等的角有 ( )

A ． 2个

B ． 3个

C ． 4个

D ． 5个 7、已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角 ．

8、已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=?．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=?，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是 ．

9、如图，AB 是圆O 的直径，点C ，D ，E 都在 圆O 上，C D E ==∠∠∠，

O

C

B

A P

O D C B

A

O

D

C

B A O

E D

C

B

A

O

E D

C

B

A

O

E D

C

B

A

求A B +∠∠．

10、如图，已知30APC BD ∠=?，

的度数为30?，求AC 和AEC ∠的度数

P

E

D

C

B A

11、如图，A B P C ，，，是圆O 上的四点，且满足60APC CPB ∠=∠=?，判断ABC ?的形状，并证明你的结论

O

P

C

B

A

12、如图，已知圆O 的半径为R ，C D ，是直径AB 同侧圆周上的两点，

AC 的度数为96?，BD 的度数为36?，动点P 在AB 上，求PC PD +的最

小值

13、已知：如图，MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，P 是MN 上一动点，O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是_____________．

A

B

O

P

M

N

14、如图，AD 是O ⊙的直径．

M

P

A

C

O

O

D

C

B A

⑴ 如图1，垂直于AD 的两条弦11B C ，22B C 把圆周4等分，则1B ∠的度数是___________，

2B ∠的度数是____________；

⑵ 如图2，垂直于AD 的三条弦112233B C B C B C 、、把圆周6等分，分别求123B B B ∠∠∠，，的度数；

⑶ 如图3，垂直于AD 的n 条弦112233n n B C B C B C B C ，，，…，把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示n B ∠的度数(只需直接写出答案)．

图3

图2

图1

……

C n

B n

C n -1B n -1

C n -2B n -2O C 2C 1

B 2

B 1D A

C 3

B 3

B 3

C 3

A

D B 1

B 2

C 1

C 2

O

O

C 2

C 1

B 2

B 1

D A

15、已知，如图M N ，为O ⊙中劣弧AB 的三等分点，E F ，为弦AB 的三等分点，连接ME 并延长，交直线MF 于点P ，连接AP BP ，交O ⊙于

C D ，两点，求证：3AOB APB ∠=∠．

题型二 垂径定理

16、如图，O ⊙是ABC ?的外接圆，OD AB ⊥于点D ，交O ⊙于点E ，60C ∠=?， 如果O ⊙的半径为2，则结论错误的是( )

A ．AD D

B = B ．AE EB =

C ．1O

D = D ．3AB =

17、如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O ⊙交于点G B F E 、、、，8cm GB =，1cm AG =， 2cm DE =，则EF =_________．

O D E

C

B

A

O

G

F E D C B

A

P

C

B

A

P

N

M

O

F

E D

C

B

A

18、如图所示，在Rt ABC ?中90C ∠=?，2AC =，1BC =，若以C 为圆心、CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP = ．

19、如图所示，在O ⊙与三角形所组成的图形中，OA OB =，求证AC BD =．

20、如图所示，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，试证明：AC BD =．

O

D

C

B

A

21、已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD 、是两条平行弦，且86AB CD ==，，求AC 的长．

22、⑴在半径为1的O ⊙中，弦AB AC 、的长分别为3和2，则BAC ∠的度数为________．

⑵已知O ⊙的直径是50cm ，O ⊙的两条平行弦40cm AB =，48cm CD =，

求弦AB 与CD 间的

的距离。

23、如图所示，已知AB 为O ⊙的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ．连接AC OC BC 、、．

⑴ 求证：ACO BCD ∠=∠．

⑵ 若8cm 24cm EB CD ==，，求O ⊙的直径．

板块三、圆中弦心距、弦、弧、圆心角、圆周角的综合

D C B

A

O

O

E D

C

B

A

24、如图，如图，1O 与2O 相交于A B ，两点，2O 过1O 的圆心1O ，过A 作直线分别交两圆于C D ，，连结CB ，交1O 于E ，求证：AD EB =

O 2

O 1

E D

C

B A

25、如图，直线AB 与O 相交于点E F ，，EF 为O 的直径，且AE EF FB ==，直线AP 与O 半径OD 垂直于D ，求证：ADE PDB ∠=∠

N A

E

O

P

F

E

D

B

A

26、请阅读下列材料：

圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等．如图1，若弦AB CD 、交于点P ，则PA PB PC PD ?=?．

请你根据以上材料，解决下列问题．

O

P D

C B

A

n

m

C

A O

P

已知O ⊙的半径为2，P 是O ⊙内一点，且1OP =，过点P 任作一弦AC ，过A C 、两点分别作O ⊙的切线m 和n ，作PQ m ⊥于点Q ，PR n ⊥于点R ．(如图2) ⑴ 若AC 恰经过圆心O ，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算

11

PQ PR

+的值；

⑵ 若OP AC ⊥，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算

11

PQ PR

+

的值； ⑶ 若AC 是过点P 的任一弦(图2)， 请你结合⑴⑵的结论， 猜想11

PQ PR

+

的值，并给出证明．

A

C

P Q R O

n

(图2)

m

(图4)

(图3)O

P P

O

三 课后练习

1、⑴ 若O ⊙中等于120?的劣弧所对的弦长为123，则O ⊙的半径是_______． ⑵ 在半径为4cm 的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．

⑶ 如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、两点，42AB CD ==，，AB 的弦心距等于1，那么，大圆半径与小圆半径之比是_________．

2、如图，已知O ⊙的半径是5，点A 到圆心O 的距离为3，求过点

A 的所有弦中最短弦的长度．

A

O

3、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．

4、如图，AB 是O ⊙的弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交O ⊙于点D ，点E 在O ⊙上．

⑴ 若52AOD ∠=?，求DEB ∠的度数；

O

D

C

B

A

⑵ 若3OC =，5OA =，求AB 的长．

O

E

D

C B

A

5、如图，P 为O ⊙外一点，过点P 引两条割线PAB 和PCD ，点M N ，分别是AB CD ，的中点，连结MN 交AB ，CD 与E F ，．求证：PEF ?为等腰三角形．

O

P N

M

F E D

C B

A

6、如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴ BEC ADF =；⑵ AM BN =．

O

F

D

E

C

M

B

N A

7、如图，半径为25的O ⊙内有互相垂直的两条弦AB CD 、相交于P 点．

⑴ 求证：PA PB PC PD ?=?；

⑵ 设BC 的中点为F ，连结FP 并延长交AD 于E ，求证：EF AD ⊥； ⑶ 若86AB CD ==，，求OP 的长．

B

D

A C

E F

O P

8、如图，AB 是O ⊙的直径，且10AB =，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A B 、到MN 的距离分别为12h h ，

，则12h h - 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

9、如图，已知点B 在线段AC 上，分别以AB BC AC ，，为直径作12O O O ，，，过点B 作直线交O 于P Q ，，交1O 和2O 于R S ，，求证：PR QS =

A

O

O 1

P

R Q

S R P

M

O 2

O 1

O

C

B

A

10、如图，在O 中，弦CD 垂直于直径AB ，M 是OC 的中点，AM 的延长线交O 于E ，DE 交BC 于N ，求证：BN CN =。

A

B

C

E

M N

O

O

N

M E

D

C

B

A

A

B

E F M

N

O h 1h 2