线性系统的稳定性分析

关于线性系统稳定性的进一步探究

任何一个实际系统总是在各种偶然和持续的干扰下运动或工作的。显然，我们首先要考虑的问题是，当系统承受这种干扰之后，能否稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态，这就是稳定性。

此外，我们知道，描述系统的数学模型，绝大部分都是近似的，这或者是由于量测误差，或者是为使问题简化，而不得不忽略某些次要因素。近似的数学模型能否如实反映实际的运动，在某种意义上说，也是稳定性问题。

系统的稳定性在控制中是一个很重要的问题。在学习完稳定性理论之后，对此有了更为深刻的理解，不单单停留在输出跟踪输入的浅显印象之上，获益匪浅。因此，本文根据黄琳院士较为精炼的数学讲解，描述了一些自己对该问题的直观思考，并且结合线性系统和具体实例对稳定性作进一步分析，使内容不再过于抽象，更为深入地理解其应用价值。

1 预备理论

1.1 微分方程解的表示

考虑微分方程

00

(,)()x

f x t x t x =??

=? 其解()x t 是自变量t 的函数，而0t ，0x 变动时对应的解也随着变动，故它应该是自变量t 与初值0t 、0x 的函数, 可记为00(;,)x t t x 。

例如：

000000(;,)()t t t t x

x x x t t x e x t e x --=?=== 问题：当初值变动时，对应的解如何变动？在应用上的意义是：初值通常是用实验方法求得的，实验测得的数据不可能绝对准确，若微小的误差会引起对应解的巨大变动，那么所求的初值问题解的实用价值就很小。 1.2 Lipschitz 条件

00

1212(,)()(,)(,)(,):x f x t x t x t t t t t I x W R

==∈?-∞+∞=∈? (,)f x t 的定义域记为?W I 。若存在常数L ，使得对任何I,,W

t x y ∈∈都有

(,)(,)f x t f y t L x y -≤-

则称f 在W I ?上满足Lipschitz 条件。这个定义可以推广到W 为任意有限n 维空间的情形。

注：满足Lipschitz 条件可保证微分方程解的存在性和唯一性 1.3 解的存在性、唯一性及对初值的连续依赖性

定理1-1 (存在性及唯一性定理)对于微分方程

(,)x

f x t = 若(,)f x t 在W I ?域内连续且满足Lipschitz 条件，则对任意的初始条件

00(,)x x t W I

∈?总存在常数0a >，使得有唯一解00(;,)x x t t x =，在00[,]t a t a -+上

存在、对t 连续 ，且满足初始条件00()x t x =。

稳定性所要研究的是解的渐近性质，即当解()x t 在t →∞时的性状。故总假定在[)0,t ∞上解是存在的。

定理1-2 (解对初值的连续依赖性)在定理1的条件下，若(,)f x t 在域内连续且满足Lipschitz 条件，则微分方程的解00(;,)x t t x 作为t ，0t ，0x 的函数在它的存在范围内是连续的，即

ε?>，0δ?>，00()()x t t δ-ψ< ?

0000(;,())(;,())x t t x t t t t ε-ψψ<，0,a t b a t b ≤≤≤<

以上定理说明：若在初始时刻0()x t 和0()t ψ十分接近，则在定义域[],a b 内的解()x t 和()t ψ也会十分接近。因此，1.1中所提的问题也就迎刃而解了。

2 平衡状态的稳定性

李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的解在无穷区间

[]0,t ∞满足存在和唯一性条件。

2.1 平衡状态

考虑系统

(,),n x

f x t x R =∈ 若随着时间t 的变化，状态e x x =保持不变（即恒为常数），则称这个状态为系统的平衡状态。由于平衡状态也是系统的一个状态，故它是上述微分方程的一个解，即(,)0e f x t =的解。

例：微分方程()x A t x = 显然0e x =是它的一个解并且是它的一个平衡状态。 2.2 简化的平衡状态

在初始时刻0t 时，干扰引起的状态向量0x 与平衡状态e x 之差00e y x x =-称为

初始扰动向量。由0x 所决定的运动过程是(,)x f x t = 的解，成为被扰运动，记为00()(,,)x t x t t x =。

由于平衡状态和被扰动运动均为微分方程(,)x

f t x = 的解。由此可导出扰动向量():e y t x x =-应服从微分方程

()(,)(,):(,)

e e d d y x x

f x t f y x t G y t dt dt

=

-==+=

称为关于平衡状态e x 的扰动方程，即

(,)y

G y t = 其中，(,)G y t 满足(0,)0G t ≡。这是因为

(0,)(,)0

e G t

f x t =≡

因此，在下面考虑一般的时变、非线性、多变量系统时，我们总假定它的微分方程

F(,)x

x t = (2-1)

满足

(0,)0F t =

(2-2)

其中x 为n 维向量，(,)F x t 为n 维的函数向量。这时方程（2-1）有解0x =(满足()00x t =),称为（2-1）的显然解或零解。

在以下讨论平衡状态的稳定性时，只需要讨论零解这个平衡状态的稳定性就可以了。

2.3 李雅普诺夫稳定性定义

设有一个初始扰动，使系统的状态偏离了平衡状态0x =。若初始扰动为

()00x t x =，显然在这个初始扰动作用下，方程（2-1）所决定的运动是下列初值

问题

00(,)()x

F x t x t x =??

=?

的解。将这个解表示为00()(,,)x t x t t x =。

例：考虑微分方程

4x

x = 显然，0e x =是它的一个平衡状态。现若有初始扰动x (0)=0.001，则其解为

40.001,0t

x e t =≥。可见，即使初始值微小地偏离了平衡状态，且在任意有限的

时间内其解有界，但最终将发散。

例：考虑微分方程

4x

x =-

显然0e x =是它的一个平衡状态，先若有初始扰动x (0)=100

则其解为4100,0t x e t -=≥。事实上无论初始扰动多么大，最终将收敛到平衡状态。

以上两个例子是熟悉的线性系统的稳定和不稳定的例子。从第一个例子还可以看到，尽管在任意有限的时间内解是有界的，但若讨论时间趋于无穷(或在工程上，当时间“很长”）时系统的行为，则这种发散的特性就是完全不能接受的了。

Lyapunov 稳定性就是要研究微分方程的解在[)0,t t ∈∞上的有界性。 根据微分方程解对初值的连续依赖性质，可知只要0x 充分小，对于[]0,t T 之间的任一时刻，00(;,)x t t x 偏离0x =（平衡状态）也可以任意小。现在要研究这一性质是否对[)0,t ∞均成立。

定义2-1 对于任意的ε＞0都存在0(,)0t δε>，使得当00()(,)x t t δε<时有

000(;,),x t t x t t ε

成立。则称系统关于平衡状态（或原点）0x =是（李雅普诺夫意义下）稳定的。

定义2-2 若定义2-1中的()δδε=，即δ与0t 无关(关于0t 一致)，则称所定义的稳定为一致稳定。

定义2-1（李雅普诺夫意义下稳定）的图示：

图1 李雅普诺夫意义下的稳定

(1) 此处δ随着ε、0t 而变化；

(2) 00(;,)x t t x ε<，0t t ?≥，初值变化充分小时，解的变化0t t ≥可任意小(不

是无变化)； (3) 显然，0(,)t δεε≤。

李雅普诺夫意义下稳定也可表示为

图2 李雅普诺夫意义下的稳定

例如：讨论下列系统的稳定性和一致稳定性：

110

0x

x -??=????

其解为

00()

()

110202200

()()[1]()

()(),t t t t x t e

x t e

x t x t x t t t ----=+-=?≥

任给0ε>，取δε=(与0t 无关)，则只要

10201020()()()2()x t x t x t x t δε+≤+<=，

就有

00()

()

1210202010200

()()()[1]()()

()2()t t t t x t x t e

x t e

x t x t x t x t t t ε----+≤+-+≤+

故系统是(李氏)稳定的。又由于δε=，即与0t 无关，系统还是一致稳定的。 定义2-3 （不稳定的定义）若对任意给定的0ε>，无论δ多么小，总可以找到满足0()x t δ<的某一初值0x ，使得从它出发的运动轨线00(;,)x t t x 在某一时刻10t t >，有00(;,)x t t x ε=，则称系统(2-1)的零解是不稳定的。

图3 不稳定

定义2-4 （渐进稳定定义）若 (a)0x =是稳定的；(b)存在0()0t δ>，使得对任意的0ε>，存在00(,,)T t x ε，当00()()x t t δ<，000(,,)t t T t x ε>+时，有

00(;,)x t t x ε<，则称0x =为渐近稳定。

(a) 0x =是稳定的，x 在0t t >的行为已决定； (b) 是t 充分大时的性质。

图4 渐进稳定

(1) 此处0()t δ是固定的一个范围(称为吸引区，不是任意小的)；

(2) 00(;,)x t t x ε<，000(,,)t t T t x ε>+ 讨论：

(1) 定义2-4的第二部分(b)又称为关于零解是吸引的。它反映的是解的渐近性质。可以将(b)改成：存在0()0t δ>，使得00()()x t t δ<蕴涵

00lim (,,)0

t x t t x →∞=

(2) 稳定和吸引（即(a)和(b)）是相互独立的概念，对于一般的系统，它们之间不存在蕴涵关系。苏联人给出了一个著名的反例 (参见黄琳“稳定性理论”，1992，p.7 ），表明一个微分方程的解是吸引的但却不是稳定的。

(3) 正数0()t δ称为系统渐近稳定的吸引区。若吸引区是整个空间，称系统是关于原点全局渐近稳定的。

定义2-5 （一致渐进稳定定义）若(a)0x =是一致稳定的。(b)存在00δ>，使得对任意的00()x t x =0ε>，存在()T ε，当00()()x t t δ<，当0()t t T ε>+时有

00(;,)x t t x ε<，则称0x =为一致渐近稳定，即

00

00(,,)0t x x t t x ??????→关于、均一致

这里，一致性在于：0δ不依赖于0t 、且T 仅依赖于ε，不依赖于0t 、0x 。 定义2-6 （指数渐进稳定定义）若存在0ν>，对任意的0ε>，存在()δε，使得当0()()x t δε<，就有

0()

000(;,)t t x t t x e

t t νε--

成立。则称0x =是按指数渐近稳定的。

显然，以上定义关于0t 、0x 是一致的。

这里所定义的稳定、一致稳定、渐近稳定、一致渐近稳定和按指数渐近稳定都是局部的概念，即定义中的条件只要在0x =的附近成立即可。但在工程技术上，特别是在控制系统中，所发生的初始偏差并非任意的小，而是有限的或是任意大的。幸好，就我们所讨论的线性系统而言，全局和局部是一致的。

图5 各种稳定性之间的关系

3 运动的稳定性

前一节讨论了动态系统的一种特殊的运动——平衡状态的稳定性，现在来讨论系统

F(,)x

x t = (3-1)

任一运动的稳定性问题。

我们已经知道，每一个初始状态00()x t x =确定唯一的解00(,,)x t t x 。一个系统随着初始条件不同可以有很多不同的运动。现在，设我们关心(2-1)的某一个运动：

000(),

()()x f t x t x f t ===

我们欲研究这个运动的稳定性。我们称这个运动为给定运动，或未被扰运动。

进而，设于初始时刻0t ，系统受到干扰，状态由0x 变成00x y +。从这一初始状态出发的运动，即初值问题

000

()F(,),()()x

t x t x t f t y ==+

的解，称为被扰运动。

类比于平衡状态的稳定性（李氏稳定、一致稳定、渐近稳定等等），我们也可以相应地定义相对于给定运动的稳定性（李氏稳定、一致稳定、渐近稳定等等）。

定义3-1 对于任意的0ε>都存在0(,)0t δε>，使得当000(,())(,)x t f t t δε<时有

00000(;,)(;,),

x t t x f t t x t t ε-

成立。则称系统关于给定运动00(;,)x f t t x =是（李雅普诺夫意义下）稳定的。

但需要指出，关于给定运动的稳定性可以变换成关于零解的稳定性问题，故上述定义事实上是不必要的。

为此，考虑变换y x f =-，则扰动方程定义为：

()()F(,)F((),)F(,)F((),):(,)

y

t x f t x t f t t y f t f t t G y t =-=-=+-= (3-2)

则显然

(0,)0G t ≡

结论：这说明，通过上述变换可以将给定运动（或称为未被扰运动）的稳定性问题化为(3-2)的零解稳定性问题。也就是说，今后讨论运动的稳定性时，可先列出其扰动方程，然后讨论扰动方程(3-2)零解的稳定性就可以了，而没有必要再给出运动稳定性的其它定义。

考虑

A ()B()x

t x t u =+ (4-1)

其对应的齐次方程为

A ()x

t x = (4-2)

（4-1）式比一般的方程（3-1）式的结构要简单，因此它在稳定性方面有更多的简单特性。

定理4-1 对于方程(4-1) 所表示的线性系统，若有一个运动稳定，则其所有运动稳定。

因此，对线性系统而言，今后可笼统地说“系统是稳定的” ，而一般的非线性系统并不具备这一特性。

讨论线性系统

A ()B()(.1)x

t x t u B =+

在任意输入 u 作用下任一实际运动的稳定性，等价于讨论其所对应的齐次方程

A ()(.2)x

t x B =

关于零解的稳定性且(B.1)具有什么性质的稳定性等价于(B.2)具有同一种性质的稳定性。

例：讨论如下系统的稳定性：

5,0,(0)x

x t t x x =-+≥=

根据上面的分析，只需要讨论所对应的齐次方程的零解稳定性即可。齐次方程渐近稳定，故原系统渐近稳定。

此外，注意到在这个例子中，系统的响应是无界的。这是由于输入信号是无界的。这和系统的稳定性不是同一个概念。

图6 无界响应

由于线性动态方程的稳定性等价于其对应的齐次方程的零解的稳定性，故这里只讨论齐次方程

A ()x

t x = (5-1)

对于（5-1）零解的稳定性问题。由于()A t 不是常量矩阵，因此一般不能用特征值来讨论系统运动的性质，而应该用与系统运动关系密切的状态转移矩阵

0(,)t t Φ。

定理5-1 设()A t 是连续（或分段连续）的函数矩阵，则有以下充分必要条件成立：

(1) A ()x

t x = （5-1）稳定?存在某常数0()N t ，使得对于任意的0t 和0t t ≥有 00(,)()t t N t Φ≤

(2) （5-1）一致稳定?(1)中的0()N t 与0t 无关 (3) （5-1)渐近稳定0lim (,)0t t t →∞

?Φ=

(4) （5-1）一致渐近稳定?存在N 、C >0，使得对于任意的0t 和0t t ≥有

0()

0(,)C t t t t Ne

--Φ≤

结论：对线性系统

(a) 李氏稳定等价于状态转移矩阵范数的有界性； (b) 一致稳定等价于状态转移矩阵范数的一致有界性； (c) 渐近稳定等价于状态转移矩阵范数趋向于零； (d) 一致渐近稳定等价于状态转移矩阵按指数规律稳定。 讨论：

(1) 定理5-1所给出的线性系统的重要性质，完全是由000(,,)(,)x t x t t t =Φ中，

00(,,)x t x t 对0x 的线性关系所致。状态转移矩阵0(,)

t t Φ决定了一切性质。

一般地，对于非线性系统，定理5-1的结论均不成立。 (2) 线性系统的稳定性具有全局性质。

定义 系统F(,)x

x t = 的零解称为是全局（一致）渐近稳定的，若其零解是（一致）渐近稳定的且无论初始扰动多大，均有

lim ()0

t x t →∞=

定义 对任意的x(0) , 均有x(t)有界,则称x

=A(t)x 的零解是李雅普诺夫意义

下稳定的。

定理5-1之(3)、(4)清楚地表明，对于线性系统x =A(t)x而言，若其零解是（一致)渐近稳定的，那么由状态空间任一点为起点的运动轨线都要收敛到原点，即原点的渐定稳定的吸引区遍及整个状态空间，这就是上面定义所述的全局（一致）渐近稳定或大范围（一致）渐近稳定的概念。

(3)对于线性系统而言，零解的吸引性蕴涵其稳定性，而一般的非线性系统

则不具备这一性质（此性质将进一步讨论）。

(4)再回到方程

A()B()

=+

x t x t u

已经证明，其扰动运动的稳定性等价于对应的齐次方程零解的稳定性。

注：对于线性系统，零解的吸引性蕴涵稳定性。

参考文献

[1]高为炳编著：运动稳定性基础，高等教育出版社，1987 年5月.

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