单调数列的极限
一、 单调数列的极限
在学习数列极限过程中，有一类数列是由递推式)2,1()(1 ，，
==+n x f x n n 确定的，对这类数列常用“单调有界的数列，必有极限” 的数列极限存在准则来判断极限的存在性，并求出它的极限值。
1. 递推数列)2,1()(1 ，，
==+n x f x n n 单调性的判断： (i) 若0)(≥'x f ,则数列)2,1}({ ，
=n x n 是单调的，当21x x <,数列}{n x 单调不减，当21x x >,数列}{n x 单调不增；
(ii) 若0)(<'x f ,则数列)2,1}({ ，
=n x n 不是单调的，但它的两个子列：奇子列)2,1}({1-2 ，
=n x n 和偶子列)2,1}({2 ，=n x n 却是单调的，并具有相反的单调性，即当31x x <时,数列}{1-2n x 就单调不减，}{2n x 单调不增，反之当31x x >时,数列}{1-2n x 单调不增，}{2n x 就单调不减。
2. 递推数列)2,1()(1 ，，
==+n x f x n n 有界性的证明常借助于均值不等式 n n
x x x n
x x x 2121≥+++
和数学归纳法，或利用函数极值的求法，求出)(x f 的最大值或最小值。此最值就是数列的上界和下界。 3.求极限。
(i)由数列的单调有界性，利用极限运算法则，在递推式的两端取极限
)(lim lim 1n n n n x f x A ∞
→+∞→==，解方程)(A f A =，即可求得极限A 。
(ii)若两子列的极限1-2lim n n
x ∞→，1-2lim n n x ∞→存在且相等，则数列n n x ∞→lim 存在。
第一讲 极限与连续
例1 设，
01>x )2,1(111 ，，=++-=+n x x a x n
n
n ，其中a 是不超过2的常数，求使 数列}{n x 收敛的a 值，并计算此时的n n x ∞
→lim 。 解：假设A x n n =∞→l i m ,则令∞→n 对递推式两边取极限得A
A a A ++-=11,即
12-=a A ，所以当1≥a 时，n n
x ∞
→lim 才能存在。下面考虑21≤≤a 的情况。 显然对任意的正整数n 有112
11101≤+-+=++-=<+n
n n n x a x x a x ,即数列}{n x 有界。
令)10(11)(≤<++-=
x x
x
a x f ,由于0)1(2)(2
≥+-='x a x f ，所以}{n x 单调且有界，故n n x ∞
→lim 存在，其极限1-=a A .即当21≤≤a 时，}{n x 收敛，且1lim -=∞
→a x n n .
例2 设二元函数)(21),(x y x y x F -=?，且52
),1(2
+-=y y y F 。又设，01>x
)2,1()2,(1 ，==+n x x F x n n n 。(1)证明：数列}{n x 收敛；(2)求n n
x ∞
→lim 。 解：(1)由=-=
2
)
1(),1(y y F ?522+-y y 得92)(2+=y y ?，所以x
x y y x F 29
)(),(2+-= 因此数列}{n x 的递推式为 ，
01>x n
n n x x x 292
1+=+)2,1( ，=n 。 显然0>n x ，由均值不等式知39
29221
=?≥+=+n
n n
n n x x x x x ，即有}{n x 下界。 令)3(29
)(2>+=x x
x x f ,由于029)(2
2≥-='x x x f ，所以}{n x 单调。又因为 029292
22
222223≤-=-+=-x x x x x x x
知}{n x 单调不增，因此}{n x 收敛。
(2)记3lim ≥=∞→A x n n
,令∞→n 对递推式两边取极限得A
A A 292
+=,即3=A ，所以3lim =∞
→n n
x .
例3.设，0>a ，01>x ，
02>x 且)2,1()(21 ，，=-=+n ax x x n n n ，证明数列}{n x 收敛且a
x n n 1
lim =
∞
→。 解：记)(2)(ax x x f -=,这是一条抛物线，它的最大值为a
1
，由数学归纳法
知)3,2(1)(201 ，，=≤-=<+n a ax x x n
n n ，即}{n x 有界。又因为0)1
(2)(≥-='x a a x f ， ，a
x 1
0≤<得数列}{n x 收敛。记0lim >=∞→A x n n ,令∞→n 对递推式两边取极限得)2(aA A A -=,即a
A 1
=
，所以a x n n 1lim =∞→.
例4 设),10(21≤≤=a a x )2,1(2
22
1 ，，=-=+n x a x n
n ，求n n x ∞→lim . 解：易知 ),2,1(20 ，
=≤ 2()(2 x a x f -=,且 0)22()(2<-='-='x x a x f ,知数列}{n x 不是单调的，但02 2 2 13<-=-x x x ,所以奇子 列}{1-2n x 是单调不增的，偶子列}{2n x 是单调不减的。故，n n x 2lim ∞→1-2lim n n x ∞ →都存在。 分别记其极限为B A ,，令2 l i m l i m 2 212n n n n x a x →∞ +→∞ -=得22A a B -=,同时又成立2 2 B a A -=， 所以B A =,故n n x ∞→lim 存在.且满足2 2 A a A -=，则1-1lim a A x n n +==∞→. 举一反三练习： 1.设301< =-=+n x x x n n n ,(1) 证明:数列}{n x 收敛；(2)求n n x ∞→lim 。)2 3 ( 2. 设21=x ,)2,1(1 21 ，，=+=+n x x n n ,求n n x ∞→lim 。)21(+ 二、 利用等价无穷小代换求极限 1.常见的等价无穷小：0→x 时，x x ~sin ,x x ~tan ,x x ~arcsin ,x x ~arctan , x x ~1-e ,x x ~)1(ln +,)0(~1-)(1≠+αααx x ,2 2 1~ cos 1x x -。 推广：当x 在某种趋近方式下，有0)(→x ?时，将上面八个式子中的x 全部替换成)(x ?,等价式子仍然全部成立。 例1 求极限) 11(sin 1)3cos 2( lim 30 -+-+→x x x x 。 解：当0→x 时，6 ~)cos 1(3~)]cos 1(311[ln ~1e 1)3cos 2(3 )]cos 1(3 1 1[ln x x x x x x x x x ------=-+--; 3 332 1~ 11~)11(sin x x x -+-+， 故 312 6lim )11(sin 1)3cos 2(lim 3 3030-=- =-+-+→→x x x x x x x . 例2. 求极限) ln 1 1(ln ln )arccot 1 sin (26lim 22 n n n n n n n n n +-∞→。 解：利用等价无穷小，)n (1~ln 1ln ~)ln 11(ln ln ∞→?+ n n n n n n n ，而12lim 2=∞→n n n ，所以原式3 03) 1 arccot sin (6lim 1)arccot 1sin (6lim x x x x n n n n x n -=-=+→∞→令 (利用洛比达法则) 1sin )1(cos 2lim )1(1cos )1(lim 2)11 cos (lim 22 02220220 =+-=+-+=+- =+++ →→→x x x x x x x x x x x x x x x . 将数列极限转化为函数极限，然后利用洛比达法则这是求数列极限的常用方法。 2.在等价无穷小代换求极限过程中，乘积的因子可以任意代换,加减的因子代换要慎用.但在下列情况时，加减的因子就可以整体代换. 若)(~)()(~)(11x x x x ββαα，.且1) () (lim 11-≠x x βα,则)()(~)()(11x x x x βαβα++。 例3 求极限 4366 0cos cos cos sin 1lim x x x x x x --+→. 解：当0x →时， ]1)1(cos 1[]1sin 1[cos sin 16666--+--+=-+x x x x x x 而 2 22664 11216 1~)1cos (61sin 61~]1)1(cos 1[]1sin 1[x x x x x x x x x =+ ----+--+; 24343 24 1)1cos )(4131(~]1)1(cos 1[]1)1(cos 1[cos cos x x x x x x -=----+---+=-, 故 原式624 141lim 2 20-=-=→x x x . 3．若)()(~)(1x x x αβα，是较)(x α高阶的无穷小，则)(~)(~)()(1x x x x βααα+. 例4求极限 ) 11(arcsin ) cos 1e (ln lim 2 sin 2 2---+→x x x x . 解：2sin sin 2sin 2)1cos 1e (~)]1cos 1e (1[ln )cos 1e (ln 2 2 2 --+--++=-+x x x x x x 2sin ]cos 1)1e [(2 x x -+-=222 1~ )cos 1(~x x - 其中是由于)1e (2sin -x 是x cos 1-的高阶无穷小 所以12 121lim 1121lim )11(arcsin )cos 1e (ln lim 2 202202sin 2 02-=-=--=---+→→→x x x x x x x x x x . 举一反三练习： 三、 利用拉格朗日中值定理求极限 命题：若c x x x x x x ==→→)(lim )(lim 0 βα，)(u f 在c u =的邻域内连续可导，且0)(≠'c f ，则 )()]()()[(~)]([)]([0x x x x c f x f x f →-'-βαβα。 例1 求x x x x x lncos 1 cos3cos2cos lim 30-→ 解：原式x x x x x x x x x x lncos cos3ln cos2ln lncos lim lncos 1ln ]cos3cos2ln[cos lim 3030++=-=→→ 2sin sin 01.lim x x x e e →-2320sin 1cos lim 1cos tan x x x x x →+---2. 求0(1)cos 23. lim (tan 2sin )(sin 2)x x x x x x x x →+--- x x x x x x x x x lncos lncos3lim 31lncos lncos2lim 21lncos lncos lim 000→→→++= 1 cos 1cos3lim 311cos 1cos2lim 21100--+--+=→→x x x x x x 632121)(321lim 3121)(221lim 2112 2 0220=++=++=→→x x x x x x 例2 设2 2 3]lncos tan[lim 2 x x x x x -→-. 解：原式) 2ln (ln3) 1(cos lim 2ln ln3lncos lim ) 2(ln )ln(30tan ]lncos tan[lim 20220 2 2 --=+=--=→→-→x x x x x x x x x x x x x x 2ln6 121lim ln610 -=- = →x x x . 例3 求x x x x x +--+∞→1arctan 4e )1 (1lim π. 解：原式x x x x x x x x x x x ++ +- -+=+--+=∞→∞→1111lne] )1 [ln(1lim e )1arctan 4(tan lne])1e[ln(1lim π )12(1])1[ln(1lim e +?-+=∞→x x x x 上式利用)tan tan 1tan tan )(tan(β αβ αβα?+-=- 1])1 ln(1[2lim e 1])1[ln(1lim e 1])1ln(1[2lim e -+=-++-+=∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x e 2t 1 t 11lim e 2t t t)ln(1lim e 21t ]1)1[ln(1lim e 20t 20t 2-=-+=-+=-+=→→∞→x x x x x 。 举一反三练习： 1. ) tan(sin )tan(sin2) e sin()e sin(lim 202 x x x x x x x ---→； 2. )(sin sin )sin(tan )sin 1()tan (1lim 550x x x x x -+-+→. 3. 2220)] ln(1)[ln(1) 1ln(1)1ln(1lim x x x x x +---+-++→ 四、利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式求极限 )(o n 21e n n 2x x x x x +++++=！！ ;)(o n )1(2)1ln(n n 1n 2x x x x x +-++-=+- )(o 1)-(2n )1(3sin 2n 1-2n 1-n 3x x x x x +-++-=！！ ；)(o (2n))1(21cos 12n 2n n 2++-++-=x x x x ！ ！ ; )(o 1)1(n n 2221x x C x C x C x +++++=+αααα 例1 求极限x x x x x x 222220sin cos sin lim -→ 解： )cos4(18 12sin 41cos sin 2 22222x x x x x x x --=-=- )]}(o )(4! 41)(4!211[{181542 2 x x x x -+---= 45454223 4 ~)(o 34)](o 34[x x x x x x x +=+- -= 因此，3 434lim sin cos sin lim 44 0222220==-→→x x x x x x x x x . 例2 求极限x x x x x x cos 3)31(ln e 1lim 223 3 202 -+-+→ 解： )](o )3(!2131[)](o !2)311(31311[e 1542 25423 3 22 x x x x x x x x +++-+-++=-+ )(o 6 1 54x x +-= )] (o ! 211[3)](o )3(213[cos 3)31(ln 322 5222 2 2 x x x x x x x x x +--+-=-+ )(o 354x x +-= 所以18 1361lim cos 3)31(ln e 1lim 44 0223 3 2 02=-- =-+-+→→x x x x x x x x x . 五、利用广义洛比达法则求极限 命题：若∞=≠'→)(lim 0)(x g x g a x ，，且A x g x f a x =''→) () (lim (A 为有限数或为∞)，则有 A x g x f a x =→) () (lim 。(其中将a x →换成±∞→→±x a x ，结论仍然成立) 通常形象地称此为)* (∞ 型的未定式极限。与传统的洛比达法则相比，对分子 上的函数)(x f 不做任何假设，可以有极限，也可以无极限，只要可导就行。 例1 设)(x f 在),(+∞a 上可导,且A x f x f x ='++∞ →)](1 )([lim α ,α为正数，求 )(lim )(lim x f x f x x '+∞ →+∞ →，。 解：A x f x f x f x f x x x x x x x x ='+==+∞→+∞→+∞→αααααααe ) (e )(e lim e )(e lim )(lim A x f x f x ='+ +∞ →)](1 )([lim α ,0)(lim ='∴+∞ →x f x 例2 设)(x f 在),[+∞a 上连续，且A f x f x a x =+? +∞ →]dt )t ()([lim ， 证明：0)(lim dt )t (lim ==+∞ →+∞ →? x f A f x x a x ， 证明： A x f f f f x x a x x x x x a x x x a x =+==? ? ?+∞ →+∞ →+∞→e ) (e dt )t (e lim e dt )t (e lim dt )t (lim . 再由已知条件A f x f x a x =+? +∞ →]dt )t ()([lim ，显然有0)(lim =+∞ →x f x 。 六、利用夹逼定理、定积分定义和(Stolz )定理求极限 例1 求) 2(42) 12(31lim n n n ???-???∞→ . 解：令 ,2,1n ,) 12(53) 2(42, ) 2(42) 12(31n =+??????= ???-???= n n y n n x n 由? ≤+-)2)(2()12)(12(n n n n ?+≤-) 12() 2()2()12(n n n n ,2,1n ,n =≤n y x 1 21 02 += ?≤?=≤n y x x x x n n n n n ，所以1 21 0+≤≤n x n ，故0lim =∞ →n n x 。 例3 设n n n n n n I n n n I ∞→+ +++++=lim ]n 13 21313[ n 21求， . 解：因为 1 3 33n 21 ++++n n n n ≤ ≤n I n n n n n 213 33+++ ∑=?+n k n k n n n 11 31≤≤n I n n k n 13 1 k ?∑= 又3ln 2 d 313lim 101 k ==??∑=∞→x n x n k n n ，所以由夹逼定理得，3ln 2lim =→∞n n I 。 例4 设n n n S n n n n n S ∞→-+++=lim ]4)12(cos 43cos 4cos [求，π ππ π 解：n n n n S n n n 2]22)1i 2(cos[24)1i 2(cos 1 i 1i π πππ ∑∑==-=-=, 其中2n 2)1i 2(],2n 2)1i 2(cos[)(i i πξπξ-=-=f ，n ,,2,1i 2i == ?n x π 这可看作将]2 ,0[π ，等分成n 份，每个小区间为n n k n k ，，， 2,1]2,2)1([=-π π， 取i ξ为每个小区间的中点，n ,,2,1i n 4)1i 2(]n 2i n 2)1i ([ 21i =-=+-=，πππξ， 于是 ∑∑==?=-=n n n x f n n S 1 i i i 1i )(22]22)1i 2(c o s [2ξπ π，故 2d cos 2lim 20==?∞→π x x S n n . 例4 n n n n n n I 1 22222)]1()21)(11[(lim +++=∞→ 解：∑ ====∞→∞→∞ →+++++++ + + n k n n n n n k n n n n n n n n n n e e e I 122 222221 2 22 22 ) 1ln(1lim )]1ln()21ln()11[ln(1lim )]1()21)(11ln[(lim 2 22ln )1ln(1 02 π + -+=?=e e dx x 。 由上面四个例子可以看出，求数列n 项之和∑== n n n a S 1 i 的极限时，常用的思路是 夹逼定理和定积分的定义。连乘积形式的极限要先取对数把它转化为连加形式。 对具有连加形式的数列极限还可以应用stolz 定理来求极限 命题：若(1)}{n y 严格单调且+∞=∞ →n n y lin ，(2) a y y x x n n n n n =----∞→1 1 lin ， 则 a y x n n n =∞ →lin 。 例5 若a a n n =∞ →lin ，则 (1)a n a a a n n =+++∞→ 21lin ；(2) )n 2,1i ,0(lin i 21，， =>=∞→a a a a a n n n 解：取 n y n =，n n a a a x +++= 21，则满足stolz 定理的条件， a a n n a n a a a n n n n n n ==+=+++∞→∞→∞→lin -1lin lin 21 a a a a a a a a a n n n n n ====∞ →∞→+++∞ →ln ln lin n ln ln ln lin 21e e e lin n n 21 . 例6 设 ，，2,1,1011=+=>+n a a a a n n n ,证明12lin =∞→n a n n . 证：显然01 >>+n n a a 严格单调增，且+∞=∞ →n n a lin 。(否则若a a n n =∞→lin (正实数) 则a a a a a a n n n n n n 1 lim 1lim lim 1+=?+=∞ →∞→+∞→矛盾！).应用stolz 定理得 )(lin 2 12)1(2lin 2lin 2212 212n n n n n n n n a a n n a a n a -=-+-=+∞→+∞→∞→ 而由递推式子可得 ,21 2221 +=-+n n n a a a 代入上式有 1)12(lin 212lin 22=+=∞→∞→n n n n a n a . 七、利用无穷级数的性质求极限 命题：若无穷级数 ∑∞ =1 n n x 收敛，则0lin =∞ →n n x 例1 求n n n n ！ 2lim n ∞→. 解：构造级数∑∞ =12n n n n n ！ ，由比值判别法，有 1e 2)1(2lim 2)1()1(2lim n )1(1n <=+=++∞→++∞→n n n n n n n n n n n n ！ ！ 级数∑∞ =12n n n n n ！收敛，因此02lim n =∞→n n n n ！ . 数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(A n+B n)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An ? Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n T+R的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义： 如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？￡> 0(不论它多么小)，总存在正数N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| v &都成立， 则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A. 根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明： ?/ limAn=A,二对任意正数 &存在正整数N?,使n > N?时恒有|An-A| v&①(极限定义)同理对同一正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-B| v 设N=max｛N ?,N?｝，由上可知当n > N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)| < |An-A|+|Bn-B| v & + & =2 &. 由于&是任意正数，所以2&也是任意正数. 即:对任意正数2 &存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 &. 由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B. 即:对任意正数C&存在正整数N,使n > N时恒有|C ? An-CA|v C&. 由极限定义可知，lim(C ? An)=C?A若C=0的话更好证) 法则2的证明： lim(A n-B n) =limA n+lim(-B n)(法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An ? Bn)=0. 证明：?/ limAn=0,二对任意正数 &存在正整数N?,使n>N?时恒有|An-0| v &③(极限定义)同理对同一 求数列极限的方法总结 万学教育 海文考研 教学与研究中心 贺财宝 极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大.极限的计算是核心考点，考题所占比重最大.熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键. 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数. 熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算.以下我们就极限的内容简单总结下. 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法. 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限. 与极限计算相关知识点包括：1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验0()f x '存在的定义是极限000(+)-()lim x f x x f x x ???→ 存在；3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限. 第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为 第二章数列极限 证明留在下节进行. 三、关于极限 例6 例7 例8 四.数列单调有界证法欣赏: Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法 一. 证法一（ Riemann最先给出这一证法）设应用二项式展开，得 ， + 注意到 比多一项即↗. 且 有界. }单调有界. 综上, 数列{ 证法二( 利用Bernoulli不等式 ) 注意到Bernoulli不等式为正整数 ), 有 由利用Bernoulli不等式,有 ↗. 为证{ }上方有界, 考虑数列可类证↘. 事实上, (此处利用了Bernoulli不等式 ) ↘. 显然有 有 即数列{ }有上界. 评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处. 证法三( 利用均值不等式 ) 在均值不等式 中, 令 就有 即 ↗. 令 可仿上证得 时 ↗, ( 时无意义, 时诸 = , 不能用均值不等式. ) 当 时, 由 由 ↗ ↘. < 4. 证法四 ( 仍利用均值不等式 ) < 即 ↗. 有界性证法可参阅上述各证法. 证法五 先证明：对 和正整数 ，有不等式 事实上， < 该不等式又可变形为 ( 为正整数 ) 在此不等式中, 取 则有 就有 ↗. 取又有对 成立， 又由 小结、习题（2学时） 数列（1+1/n）^n的极限问题,主要是证明此数列单调递增且有上界,然后根据数列极限的单调有界准则就证明了这个极限存在。而证明此数歹」单调递增及有上界,大多数现行微积分教材都是将(1+告)·按二项式定理展开来分析证明的。本文我们将介绍四种不同方法来证明 数 列 极 限 的 求 法 及 其 应 用 2012年 9 月 28 日 容提要 数列极限可用N ε-语言和A N -语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz 公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求. 最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解. 关键词 ε-定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限 N On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit Name: Yang NO. 07 The guidance of teachers: Dong Titles: Lecturer Abstract The limit of a sequence can be accurately defined by N ε-language and A N - language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit. Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans. 极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限，从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍．我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三,触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解．本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n 学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向 于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思lim n n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近 于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况如，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 二、基本题目 1．判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→ 函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x) 当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：①.左极限：或 ②.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0)()()()()(0000lim x f x f x f x f x f x x ==?=+ -→)(x f 0x x →)()()(lim 0 00x f x f x f x x →+ -==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x → 极限计算方法总结（简洁版） 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；? ??≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ； 等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，)(x g ～ 数列极限的证明 数列极限的证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限 求极限我会 |Xn+1-A|以此类推，改变数列下标可得 |Xn-A||Xn-1-A|…… |X2-A|向上迭代，可以得到|Xn+1-A|2 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1设x(k)x(k+1)=√[2+3x(k)]3 当0 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞ n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。n/(n^2+1)=0 √(n^2+4)/n=1 sin(1/n)=0 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 限是否存在在： （i ）数列{} n x a 的 （ii ）x f x ∞ →lim )( (iii) x f x x =→lim )( (iv)单调有界准则 （v （vi ）柯西收必要条件是： ε?>?,01.2.洛必达（L ’ x 趋近告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()()(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； 3211253)! 32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m m x m x m x x x x x θ cos=221242)!22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ 1132+-n n n n x x x x 4.5.6.1）设0>>>c b a ， n x =n n ∞ →∞ →a x n n =∞ → （2）求??????++++∞→222)2(1)1(11lim n n n n 解：由n n n n n n n 1 111)2(1)1(1102222 22 =+++<++++< ，以及01 0lim lim ==∞ →∞ →n n n 可知，原式=0 (3)求???? ??++ ++++∞→n n n n n 2 22 1 2 11 1 lim 解 ： 由 n n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++<++++++<=++222222111121111111 , 以 及 数列极限的运算法则 (上海教育出版社高中课本数学高二第一学期第二课时) 一．教学目标： 掌握数列极限的运算法则，并会利用这些法则求简单的数列的极限。 二．教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：无限个数列极限的运算 教学过程： 1. 引入： 今天的主角是古希腊著名的数学家、物理学家阿基米德。他提出了三次方程的几何解法，发现了以他的名字命名的螺线，他曾求出许多图形的面积和体积，极限的思想能够帮助我们解决很多几何图形面积体积的问题，今天我们也来做一次数学家，研究重现一下他这一贡献的过程。我们来看这个例子，要计算由抛物线2y x =、x 轴以及直线x=1所围成的区域的面积S ，这是一个曲边三角形，不能用三角形的面积公式来计算，阿基米德是如何计算的呢首先把区间[0，1]分为两部分，那么作出的这一个矩形的面积必然小于曲边三角形面积，之后我们再尝试继续一分为二，那么作出这三个矩形，其面积比我们刚才计算的要大，但仍小于曲边三角形的面积，继续采取这种方法，增大区间段，不妨设把区间[0，1]分成n 个小区间，即用x 轴上的分点0,1231,,,.....,,n n n n n n - 分隔;那么在每个小区间上作一个小矩形，使矩形的左上端点在抛物线上，这些矩形的高对应就是 222212310,(),(),(),.....,()n n n n n -，我们来考虑这些矩形面积的总和： 2222222332 1112111123...(1)(1)(21)(1)(21)0()()....()66n n n n n n n n S n n n n n n n n n n -++++-----=?+?+?+?===我们不妨考察n S 与S 之间有何关系，我们尝试使n 越来越大，也就使分的每段区间越来越小，那么矩形可以要多窄有多窄，我们是不是就可以把n S 近似看作S 了呢，n 无限增大，矩形面积的和就可以无限逼近曲边三角形的面积~这就是一种极限的思想，当n 无限增大时，矩形面积的总和n S 可以近似等于曲边三角形的面积，它们之间的差极其小。那么这个极限我们上节课已经学过了，结果是多少哇（1/3）非常好，这是大学中非常重要的一种积分的思想，我们看到了极限的重要性，那么大家更要认真学习，积极理解。那么我们就来回顾一下上节课介绍的常见的三种数列极限。（提问）不错，功课做的很足~我们上节课呢，介绍的f(n)/g(n)模型是常考点，但除此之外还有很多复杂的数列，他们的极限比较复杂，那么应该如何求呢我们学过实数的四则运算，今天我们就来探讨一下数列极限的四则运算性质： 揭示主题：数列极限的四则运算性质。 2. 概念详细讲解： 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，a n 能无限接近常数a ，则称 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．． 求数列极限方法总结归纳 极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1， 则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 与极限计算相关知识点包括： 连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限； 可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在； 渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)； 多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。 求数列极限可以归纳为以下三种形式。 1.抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除。此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。 2.求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： 利用单调有界必收敛准则求数列极限。首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性；其次,通过递推关系中取极限，解方程,从而得到数列的极限值。 利用函数极限求数列极限。如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解。 数列求和及极限 【知识及方法归纳】 1、 数列求和主要有以下几种常见方法：（1）公式法；（2）通项转移法；（3）倒序相加法； （4）裂项相消法；（5）错项消法；（6）猜想、证明（数学归纳法）。 2、 能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限；求无穷等比数列各项的和。 【学法指导】 1、 在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，还应掌握自然数方幂数列的求和公式，如：+++…+= 6 ) 12)(1(++n n n ；2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列，可通 过对数列通项结构特点的分析研究，将2其分解为若干个易求和的新数列的和、差；3、将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易求和，这样的数列常用倒序相加，如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到；4、利用裂项变换改写数列的通项公式，通过消去中间项达到求和的目的；5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列，其求和的方法类似于推导等比数列前n 项和公式的方法，通过乘于等比数列的公比，在错位相减，转化为等比数列的求和问题；6、通过对、、…进行归纳，分析，寻求规律，猜想出，然后再用数学归纳法给予证明。 【典型例题】 例1 求和：+++…+2)12(-n 【分析】这是一个通项为2)12(-n 的数列求前 n 项和，对通项公式展开可得：=1442++n n ， 所以对原数列求和分解为3个新数列求和，可用方法2求和。 【简解】+++…+2)12(-n =（114142+?-?）+（124242+?-?）+…+（1442+-n n ）=4（+++… +）–4·（1+2+3+…+n ）+n =4。 3) 12)(12(2)1(46)12)(1(+-= ++?-++n n n n n n n n n 。 例2 求和：12510257541+++…+1 523-- n n 【分析】这是一个通项为1 5 23--n n 的数列求前n 项和，观察通项，不难发现它是一个等差数列与一个等比数列的积，可用方法5求和。 【简解】设=12510257541+++…+1523-- n n ，则n S 51=25451++…+n n n n 5235531-+--，所以n S )511(-=1+2 5353++…+ n n n 523531 ---=1++++251511(53 (2) 51 -+n ） –n n 523-=1+5 1 1)51(1531 --?-n –n n 523-=n n 5471247?+-，所以=151********-?+-n n 。 数列极限的几种求法 摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法．学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处． 关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列 中图分类号Ｏ171 Several Methods of Sequence limit Abstract：Through examples，summarized several series method for finding the limit．Learn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studying． Keywords：Sequence limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence １引言 极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态． 极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面．年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识．马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”．谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位．”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽．公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度．实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合．稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤．这种以直线形逼近曲边形的过程表明，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想．公元前４世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”．穷竭法成功地运用于面积的计算．这些都可以看作是近代极限理论的雏形． 朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载．如，中国古代的《墨 数列极限四则运算法则 的证明 https://www.360docs.net/doc/d210231913.html,work Information Technology Company.2020YEAR 数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(An+Bn)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An·Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义: 如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使 得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立, 则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A. 根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明: ∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-B|＜ε.② 设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε. 由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数. 即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε. 由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B. 为了证明法则2,先证明1个引理. 引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数) 证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) ①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε. 由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数. 即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε. 由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证) 法则2的证明: lim(An-Bn) =limAn+lim(-Bn) (法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 求数列极限方法总结 求数列极限方法总结 极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常 熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的.分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 与极限计算相关知识点包括： 连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限； 可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在； 渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)； 多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。 求数列极限可以归纳为以下三种形式。 1.抽象数列求极限数列极限四则运算法则的证明
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高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
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数学分析-数列极限
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数列极限四则运算法则的证明
求数列极限方法总结