数学竞赛专题讲座七年级第6讲_话说同类项(含答案)

第四讲 话说同类项

俗话说“物以类聚，人以群分”．在数学中，我们把整式中那些含相同的字母、并且相同字母的次

数也分别相同的单项式看作一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．整式的加减实质就是去括号合并同类项．

整式的加减这一章涉及到许多概念，准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点：

理解“三式”（单项式、多项式、整式）和“四数”（底数、指数、系数、常数）的概念，熟悉“两种排列”（升幂、降幂），掌握三个法则．

解与整式加减相关问题时，有括号先去括号，有同类项先合并同类项，这样能使解题过程大为简化． “实际上，数学是一门艺术，是一门通过发展概念和技巧以使人们更为轻快地前进，从而避免蛮力计算的艺术．”——M ．阿蒂亚

例题讲解

【例1】 已知x ＝2，y=一4时，代数式19975213=++by ax ，求当2

1

,4-=-=y x 时，代数式49862433

+-by ax 的值．

【练习1】如果代数式13

22

+-x x 的值为2，那么代数式x x 322-的值等于______．

【练习2】当1-=x 时，代数式8323

+-bx ax 的值为18，代数式=+-269a b （ ）． A ．28 B ．28- C ．32 D ．32- (希望杯邀请赛试题) 【例2】 设m 和n 均不为零，3

2

3y

x 和3225y x

n

m ++-是同类项，则

3

2233

2239635933n mn n m m n mn n m m +-+++-=_________． （华杯赛试题）

【练习3】已知,,0b a b a ≠=+则化简

)1()1(+++b b

a

a a

b 得( )． A ．a 2 B ．b 2 C ．2 D ．2- (江苏省竞赛题)

【例3】 当x 的取值范围为 时，式子431744+---+-x x x 的值恒为一个常数，这个值是 ． (北京市“迎春杯”竞赛题)

【练习4】如果对于某一特定范围内x 的任意允许值

x x x x p 101913121-+-++-+-= 的值恒为一常数，则此值为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 (安徽省竞赛题)

【例4】(1)已知：5∣(x +9y ) (x ，y 为整数)，求证：5∣(8x 十7y ) ．

(2)试证：每个大于6的自然数n 都可表示为两个大于1且互质的自然数之和． (全国初中数学联赛试题)

【练习5】(1)已知a 、b 为整数，且b a n +=10，如果b a 517-，请你证明：n 17．

(2)已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数．证明：这个三位数也是11的倍数．

基础训练

1．已知m n x

b a b

a 221

32--与是同类项，那么x n m )2(-= ． (江苏省竞赛题)

2．火车站和机场都为旅客提供打包服务，如果长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子按如图的方式打包，则打包带的长至少为( )． A ． z y x 1044++ B ．z y x 32++

C ．z y x 642++

D ．z y x 686++ (太原市中考题) 3．已知a =1999，则200133314232323-+---+-a a a a a a = ．

4．已知当2-=x 时，代数式13++bx ax 的值为6，那么当 2=x 时，代数式13++bx ax 的值是 ． (安徽省中考题) 5．已知代数式)1532()62(2

2

-+--+-+y x bx y ax x ．

(1)当a = ，b = 时，此代数式的值与字母x 的取值无关；

(2)在(1)的条件下，多项式)4()2(32

2

2

2

b ab a b ab a ++---的值为 ． 6．同时都含有字母

c b a 、、，且系数为1的7次单项式共有( ) ．

A ．4个

B ．12个

C ． 15个

D ．25个 (北京市竞赛题) 7．有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示：则代数式c b a c b a a -+-++-化简后的结果是( )．A ．a -2 B ．b a 22- C ．a c -2 D ．a

8．已知252=+-n m ，那么6036)2(52

--+-m n n m 的值为（ ）．

A ．80 S ．10 C ．210 D ．40

9．把一个正方体的六个面分别标上字母A 、B 、C 、D 、E 、F 并展开如图所示，已知：

2234y xy x A +-=，2223y xy x C --= ，)(2

1

A C

B -=

，C B E 2-=，若正方体相对的两个面上的多项式的和都相等，求D 、F ．

10．若5,3,2=--=-=-d c c b b a ，则)())((d a d b c a -÷--＝ ．

F

E

D

C B A

11．当2=x 时，代数式13+-bx ax 的值等于17-，那么当1-=x 时，代数式

53123--bx ax 的值等于 ． (北京市“迎春杯”竞赛题) 12．已知0>-

a

b a 且

，则ab b a b a +++-等于( )． A ．ab b a ++22 B ．ab - C ．ab b a +--22 D ．ab a +-2

13．已知代数式2

4352)

(dx

x cx bx ax x +++，当x ＝l 时，值为l ，那么该代数式当1-=x 时的值是( )． A ．1 B ．1- C ．0 D ．2 （希望杯邀请赛试题） 14．将1，2，3，……，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式

)(2

1

b a b a ++-中进行计算，求出其结果，50组数代人后可求得50个值，求这50个值的和的最大值

15．在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc (c b a 、、依次是这个数的百位、

十位、个位数字)，并请这个人算出5个数acb 、bac 、bca 、b ca 与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc ．现在设N =3194，请你当魔术师，求出数abc 而来．

16．x 、y 、z 均为整数，且z y x 52711-+，求证：z y x 127311+-．(北京市竞赛题)

答案：

1.1

2.(1)-3,1 (2)8.

3.4000000

4.-4

5.C

6.C

7.A

8.A

9.D=?3x2-7y+4y2,F=9x2-11xy+2y2

10.12 提示:由题意得b=m-1=n,c=2n-1=m,0.625a=0.25+(-0.125).

11.对 12.-1

2

13.22

14.3775 提示:不妨设a>b,原式=a,?

由此知每组数的两个数代入代数式运算后的结果为两个数中较大的一个,

从整体考虑,只要将51,52,53,…,100这50?个数依次代入每一组中,便可得50个值的和的最大值.

15.D 16.D 17.B 18.B 提示:2+3+…+9+10=54,而8+9+10=27.

19.(1)提示:n=10a+b=10a-50b+51b=10(a-5b)+51b;(2)略

20.提示:将abc也加到和N上,

由于a、b、?c?在每一位上都恰好出现两次,?

所以abc+N=222(a+b+c) ①

从而1000+3194>222(a+b+c)>3194,

于是15≤a+b+c≤18.

因为222×15-3194=136,

222×16-3184=358,

222×17-3194=580,

222×18-3194=802.

其中只有3+5+8=16满足要求,即能使①成立,

故abc=358.

21.提示:4(3x-7y+12z)=11(3x-2y+3z)-3(7y+2y-5z).

22.(1)3种算法中乘法的次数分别为:

①10+9+8+…+2+1=55(次);

②2×9+1=19(?次);

③10次.

(2)乘法次数分别为:

①n+(n-1)+…+3+2+1=

(1)

2

n n

(次);

②2(n-1)+1=2n-?1(次);

提高训练

1．观察下列等式：314=-，549=-，7916=-，91625=-，112536=-…，这些等式反映了自然数之间的某种规律．设)1(≥n n 表示自然数，用关于n 的等式表示这个规律为_____________． （莱阳市中考题） 2．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成：拼搭第1个图案

需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…．依此规律，拼搭

第8个图案需要小木棒_______

根．（武汉市中考题） 3．已知2004=-b a ，2005-=-c b ，2007=-d c ，则

=---d

a d

b

c a )

)((___________．

（华杯赛试题） 4．根据如图所示的（1），（2），（3）三个图所表示的规律，依次下去第n 个图中平行四边形

的个数是（ ）．

A ．n 3

B ．)1(3+n n

C ．n 6

D ．)1(6+n n (贵阳市中考题)

5．已知多项式b y ax x +-+2

和3632

-+-y x bx 的差的值与字母x 的取值无关，求代数式)4()2(32

2

2

2

b ab a b ab a ++---的值．

6．若代数式同时满足条件：（1）含字母a ，b ；（2）含有关于字母a ，b 的加、减、乘、

除和乘方运算；（3）当31=-=b a ，时，该代数式的值为7-． 请写出一个这样的代数式____________________． (首届江苏省数学文化节基础闯关题) 12．如果322

=+x x ，那么1513872

3

4

+-++x x x x =______． (希望杯邀请赛试题

)

…

第4个第3个第2个第1个…

（3）

（2）

（1）

13．已知e dx cx bx ax y ++++=3

57，其中a 、b 、c 、d 、e 为常数，当2=x ，23=y ；当2-=x 时，35-=y ，那么e 的值是（ ）．A ．6- B ．6 C ．12- D ．12 14．一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有（ ）．A ．1个 B ．3个 C ．5个 D ．6个 15．有三组数为321321321z z z y y y x x x 、、；、、；、、．它们的平均数分别是c b a 、、，那么111z y x -+，222z y x -+，333z y x -+的平均数是（ ）． A ．

3c b a ++ B ．3

c

b a -+ C ．

c b a -+ D ．)(3c b a -+ (希望杯邀请赛试题) 16．将一个三位数abc 的中间数码去掉，成为一个两位数ac ，且满足abc =9ac +4c （如

54159155?+?=），试求出所有这样的三位数． （太原市竞赛题）