上海交大10年离散数学试题

班级号_______________________ 学号______________ 姓名课程名称离散数学成绩

一、

选择题（40’，每题2’，每题只有一个选项正确，请将答案写在题号前的括号里）

（）1. 下面不是命题的是___

A ．火星上有生命存在

B ．雪是白的

C ．我正在说谎

D ．10 + 11= 101

（）2. 所有使命题公式?P ∧(Q ∨?R)的真值为T 的解释是（P,Q,R ）=___

A ．(F, F, F), (F, F, T), (T, F, F);

B ．(F, T, T), (F, T, F), (F, F, F);

C ．(T, F, F), (T, F, T), (T, T, F);

D ．(T, T, F), (T, F, T), (T, T, T). （）3. 下面关于命题公式的叙述不正确的是___

A ．不是可满足的公式必永假

B ．如果P 是重言式，对其使用代入规则得到的公式Q 不一定是重言式

C ．如果P ?Q 是重言式，那么P=Q

D ．如果P →Q 是重言式，那么?Q →?P 是重言式（）4. 下面的联结词集合不是完备集的是______

A ．{↑} （↑表示与非）

B ．{?, →}

C ．{?, ?}

D ．{?, ∨}

（）5. 下面不正确的是______

A ．P Q P Q ??→∧?)(

B ．Q P P ∨?

C ．P Q Q P ?→??→

D ．P Q Q P ???∨→)(

上海交通大学试卷（ A 卷）

（ 2009 至 2010 学年第1学期）

我承诺，我将严格遵守考试纪律。

承诺人：

（）6. 下列公式中______是重言式

A ．P →(P ∧Q)

B ．(?Q ∧(P →Q))→P

C ．Q →(P →Q)

D ．(P →Q)→((P →R) →(Q →R))

（）7. 设A(x)：x 是成功人士，B(x)：x 出身名门，命题“成功人士未必都出身名门”

符号化为______ A ．()(()())x A x B x ?∧ B ．?(?x)(A(x)→B(x)) C ．?(?x)(A(x)∧B(x)) D ．?(?x)(A(x)→B(x))

（）8. 设个体域为{-1,1}，并对P(x,y)设定为P(-1,-1)=T, P(-1,1)=F, P(1,-1)=T,

P(1,1)=F,其真值为T 的公式为______ A ．(?x)(?y)P(x,y) B ．(?x)(?y)P(x,y) C ．(?x)(?y)P(x,y) D ．(?y)(?x)P(x,y)

（）9. (?x)(P(a,x)→ (?y)Q(x,b,y))的前束范式为______

A. (?x)(?y)(?P(a,x)∨Q(x,b,y))

B. ?(?x)(?y)(P(a,x)∧?Q(x,b,y))

C. (?x) (?y)( ?P(a,x)∧Q(x,b,y))

D. (?x) (?P(a,x)∨(?y)Q(x,b,y)) （）10.下列公式普遍有效的是______

A ．((?x)P(x) ∧ (?x)(Q(x)) → (?x)(P(x) ∧ Q(x))

B ．((?x)P(x) ∨ (?x)(Q(x)) → (?x)(P(x) ∨ Q(x))

C ．(?x)(P(x) ∧ Q(x)) → (?x)(P(x) ∨ Q(x))

D ．(?x)(P(x) ∨ Q(x)) → ((?x)P(x) ∨ (?x)Q(x))

班级学号姓名

（）11. 下列公式与(?x)((?y)P(y)→Q(x))等值的是______

A ．(?x)(?y)(P(y) → Q(x))

B ．(?x)(?y)(?P(y) → Q(x))

C ．(?x)(?Q(x) → (?y)?P(y))

D ．(?y)P(y) → (?x)Q(x)

（）12. 根据归结推理规则，子句P(x) ∨ Q(a,x)与P(y) ∨ ?Q(y,b)的归结式是______

A ．P(a)

B ．P(b)

C ．P(a) ∨ P(b)

D ．P(a) ∧ P(b)

（）13. 下列说法错误的是______

A ．给定G 1的某个子图H ，如果在G 2中找不到与H 同构的子图，则G 1和G 2一定不同构

B ．任一非空无向图中的道路有无穷条

C ．任何非平面图中一定存在一个子图是K (1)

型图或者K (2)

型图 (K (1)

型图指K 5的同胚，K (2)

型图指K 3，3的同胚)

D ．给定赋权的叶子结点集合，则相应的Huffman 树是唯一的（）14. 下图中______不存在欧拉回路

（）15. 下面说法错误的是______

A ．若简单图每个结点的度大于等于2

，则G 有H 回路 B ．n K 的H 回路含有

)1(2

-n n 条边 C ．如果一个图G 的子图是非平面图，则G 一定是非平面图

D ．简单图G 的任意结点v i ，v j 之间恒有n v d v d j i ≥+)()(，则G 存在H 回路

（）16. 一个无向图有五个结点，其中4个的度数是1, 2, 3, 4，则第5个结点的度数不可能是______

A．0

B．2

C．4

D．5

（）17. 在平面图G的某个域内增加一个结点及连接该结点与该域的边界上某结点的一条边，得到一个新图G'，那么以下正确的是______

A．G*?G'*（G*为G的对偶图）

B．G*?G'*

C．G*=G'*

D．以上都不对

（）18. 下列说法错误的是______

A．K3,3是边数最少的非平面图

B．K5是结点数最少的非平面图

C．K6中不存在K(1)型子图

D．K3,3去掉任意一条边所形成的图是可平面图

（）19. 下图中存在Ｈ回路的图有______个

A．0 B．1 C．2 D．3

（）20. 下列图中，和M图同构的图（不计M图本身）有______个

A．1

B．2

C．3

D．4

班级学号姓名

二、填空题（20’，每空2’）

1．设P:天下大雨，Q:小王乘公共汽车上班，命题“只有天下大雨，小王才乘公共汽车上班”

的符号化形式为____________________________________________________________。2．命题公式P→Q的主析取范式为_______________________________________________。3．P∨Q可以用↓（↓表示或非）表示为

__________________________________________________________________________。4．设个体域是人类，谓词F(x,y)表示“x的父亲是y”，则公式

(?x)(?y)(F(x,y) ∧?z(z ≠ y →?F(x,z))

的自然语言含义是_______________________________________________________。5．公式(?x)(?y)(?z)(?w)P(x,y,z,w)的Skolem标准型(仅保留全称量词的前束形)是__________________________________________________________________________。6．在论域{1,2}上公式(?y) (?x)P(x,y)可写成命题逻辑公式

__________________________________________________________________________。7．已知一棵树T中有9个结点，度为4、3的结点各一个，度为2的结点有两个，其余为树叶结点，T的树叶结点数为_________________________________________________。8．一个林中有n个结点，k个连通支，则边数m=__________________________________。9．下图中最短树的权值总和是__________________________________________________。

10．平面图G有n个结点，m条边，d个域，k个连通支，则G的对偶图G*的连通支的个数为

_________________________________________________________________________。

三.(6') 公安机关正在调查一宗盗窃案，现获得事实如下：

1.A或B盗窃了文物

2.若A盗窃了文物，则作案时间不可能在午夜前

3.若B证词正确，则在午夜前屋里灯光未灭

4.若B证词不正确，则作案时间发生在午夜前

5.午夜时屋里灯光灭了

试问谁是盗窃犯？试写出推导过程。设P：“A盗窃了文物”，Q：“B盗窃了文物”，R：“作案时间发生在午夜前”，S：“午夜前屋里灯光灭了”，T：“B证词正确”。

四. (6')任用一种推理方法证明： (P→Q) →((R→Q) →((P R)→Q))

班级学号姓名五．(6') 求公式(?x)P(x) →?((?y) Q(y) ∧ (?x)R(x))的前束范式。

六．(6') 判断以下公式是否是普遍有效式并说明理由。

((?x)P(x) →(?x)Q(x)) →(?x)(P(x) →Q(x))

七．(8') 现有100个字符组成的字符串，这些字符取自集合{a,b,c,d,e,f,g,h,i}，在100个字符中，a 出现了8次，b出现了20次，c出现了3次，d出现了12次，e现了12次，f出现了10次，g 出现了12次，h出现了5次，i出现了18次。请对字符集合{a,b,c,d,e,f,g,h,i}中的每个字

符编码成二进制比特串，使得这100个字符组成的字符串编码后长度最短。试求各字符的二进

制编码以及这100个字符最优编码的二进制长度。

八．(8') 下图是一所房子的俯视图，除了粗边代表的墙以外，每一面墙都有一个门。问能否从某个房间开始过每扇门一次且仅一次最后返回。

离散数学试题与答案

试卷二试题与参考答案一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统,其中A={a,b,c}, 则幺元就是 ;就是否有幂等性 ;就是否有对称性。 6、4阶群必就是群或群。 7、下面偏序格就是分配格的就是。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ,欧拉图的充要条件就是。 * a b c a b c a b c b b c c c b

二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。

离散数学试题与参考答案

《离散数学》试题及答案一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( ) (A) 矛盾式 (B) 可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式 2．设P 表示“天下大雨”， Q 表示“他在室内运动”，则命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”符号化为（）。 (A)． P Q →； (B)．P Q ∧； (C)．P Q ?→?； (D)．P Q ?∨． 3.设集合A ={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，则下式为真的是( ) (A) 1A (B) {1,2, 3}A (C) {{4,5}}A (D) A 4. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B C )= ( ) (A) {<1,c >,<2,c >} (B) {,<2,c >} (C) {,} (D) {<1,c >,} 5. 设G 如右图：那么G 不是( ). (A)哈密顿图； (B)完全图； (C)欧拉图； (D) 平面图. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在对应题号后的横线上。 6. 设集合A ={,{a }}，则A 的幂集P (A )= 7. 设集合A ={1,2,3,4 }, B ={6,8,12}, A 到B 的关系R ＝},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><, 那么R －1＝ 8. 在“同学，老乡，亲戚，朋友”四个关系中_______是等价关系. 9. 写出一个不含“→”的逻辑联结词的完备集 . 10.设X ＝{a ,b ,c }，R 是X 上的二元关系，其关系矩阵为 M R ＝???? ? ?????001001101，那么R 的关系图为

上海交通大学试卷( A 卷)

上海交通大学试卷（ A 卷）课程线性代数（B 类）学期 2011－2012第1学期班级号学号姓名一．单项选择题（每题3分，共18分） 1．设A ，B 为n 阶方阵，且A A =2 ，B B =2 。则（）（A ）)()(B r A r =时，A ，B 不相似；（B ）)()(B r A r ≠时，A ，B 相似；（C ）)()(B r A r =时，A ，B 相似；（D ）以上都有可能。 2．设A 为n 阶反对称矩阵，则（）（A ）0)(=+E A r ；（B ）n E A r =+)(；（C ）n E A r <+<)(0；（D ）以上都有可能。 3．设B A ,为n 阶方阵，??? ? ??=B A C 00。则伴随矩阵* C 为（）（A ）???? ??** B A A B ||0 0||；（B ）??? ? ??**B B A A ||00||；（C ）???? ? ?** A A B B ||0 0||；（D ）??? ? ? ?**A B B A ||00||。 4．设A 为n m ?的实矩阵，矩阵)(A A T 正定的充分必要条件为（）（A ）m A r =)(；（B ）m A r <)(；（C ）m A r <)(；（D ）n A r =)(。 5．设α是单位向量，矩阵ααT k E A +=，其中1-≠k 。则（）我承诺，我将严格遵守考试纪律。

（A ）A 为正交矩阵；（B ）A 为正定矩阵；（C ）A 为可逆矩阵；（D ）A 为反对称矩阵。 6．设向量组321,,ααα线性无关，向量321,,βββ线性相关但相互不成比例，且， 321332123211,,αααβαααβαααβk k k ++=++=++=。则（）（A ）2-=k 或 1=k ；（B ）1=k ；（C ）2-≠k 且 1≠k ；（D ）2-=k 。二．填空题（每题3分，共18分） 7．设行列式 4 111311 12=D ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则 ∑∑==313 1 i j j i A ＝。 8．已知4阶行列式4||j i a 的展开式中某项为42143123)1(a a a a k -。则=k 。 9. 设33)(?=ij a A ,j i A 是||A 中j i a 的代数余子式，j i j i A a =，13 121132a a a ==。已知011