数学建模·中国GDP趋势分析与预测_2

基于多项式模型GDP趋势的预测与研究

摘要：国内生产总值(GDP)是现代国民经济核算体系的核心指标，是衡量一个国家综合国力的重要指标。本文就1800年到2010年的生产总值(GDP)等相关统计数据，先建立了关于GDP的点点对应关系图形，大致观察出点点之间的变化趋势，之后预测出年份与GDP之间的关系函数为y=a*exp(x+b)。利用matlab 软件对函数拟合求出相应的参数，从而预测了出在之后几年里的GDP的多少年的GDP总量。为了得到更好的预测结果，本文建立了指数模型。通过计算相关函数来衡量模型的可靠性和可用性。选取该指数模型，预计中国GDP将继续保持增长，不过增长率缓慢下降。猜想：GDP年增长率最后将趋于稳定。

关键词：GDP；回归预测模型；指数模型

Abstract：Gross domestic product (GDP) is a key index of modern system of national economic accounting, is an important indicator to measure a country's comprehensive national strength.Our country in 1800 to 2010 gross domestic product (GDP) and other related statistical data, first established on the GDP bit corresponding relationship graph, generally observed trends between the points, then predict the relation function between year and GDP as Y=a*exp (x+b).Using MATLAB software to function fitting to compute the corresponding parameters, can be predicted in the years GDP years of total GDP.In order to predict the results better, this paper established the index model. Reliability and availability by calculating the correlation function to measure model. The selection of the index model, is expected to Chinese GDP will continue to maintain growth, but growth rate slow down. Guess: GDP annual growth rate of the stable.

Keywords: GDP; regression model; exponential model

1 引言

1.1 研究的背景及意义

国内生产总值(Gross Domestic Product，简称GDP)是指在一定时期内(一个季度或一年)，一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标。它不但可反映一个国家的经济表现，更可以反映一国的国力与财富。一般来说，国内生产总值共有四个不同的组成部分，其中包括消费、私人投资、政府支出和净出口额。用公式表示为：GDPCAICBX。式中：CA为消费、I为私人投资、CB为政府支出、X为净出口额。一个国家或地区的经济究竟处于增长抑或衰退阶段，从这个数字的变化便可以观察到。一般而言，GDP公布的形式不外乎两种，以总额和百分比率为计算单位。当GDP的增长数字处于正数时，即显示该地区经济处于扩张阶段；反之，如果处于负数，即表示该地区的经济进入衰退时期了。

国内生产总值是指一定时间内所生产的商品与劳务的总量乘以“货币价格”或“市价”而得到的数字，即名义国内生产总值，而名义国内生产总值增长率等于实际国内生产总值增长率与通货膨胀率之和。因此，即使总产量没有增加，仅价格水平上升，名义国内生产总值仍然是会上升的。在价格上涨的情况下，国内生产总值的上升只是一种假象，有实质性影响的还是实际国内生产总值变化率，所以使用国内生产总值这个指标时，还必须通过GDP缩减指数，对名义国内生产总值做出调整，从而精确地反映产出的实际变动。因此，一个季度GDP 缩减指数的增加，便足以表明当季的通货膨胀状况。如果GDP缩减指数大幅度地增加，便会对经济产生负面影响，同时也是货币供给紧缩、利率上升、进而外汇汇率上升的先兆。一国的GDP大幅增长，反映出该国经济发展蓬勃，国民收入增加，消费能力也随之增强。在这种情况下，该国中央银行将有可能提高利率，紧缩货币供应，国家经济表现良好及利率的上升会增加该国货币的吸引力。反过来说，如果一国的GDP出现负增长，显示该国经济处于衰退状态，消费能力减低时，该国中央银行将可能减息以刺激经济再度增长，利率下降加上经济表现不振，该国货币的吸引力也就随之而减低了。因此，一般来说，高经济增长率会推动本国货币汇率的上涨，而低经济增长率则会造成该国货币汇率下跌。例如，1995-1999年，美国GDP的年平均增长率为4.1%，而欧元区11国中除爱尔兰较

高外(9.0%)，法、德、意等主要国家的GDP增长率仅为2.2%、1.5%和1.2%，大大低于美国的水平。这促使欧元自1999年1月1日启动以来，对美元汇率一路下滑，在不到两年的时间里贬值了30%。但实际上，经济增长率差异对汇率变动产生的影响是多方面的：

一是一国经济增长率高，意味着收入增加，国内需求水平提高，将增加该国的进口，从而导致经常项目逆差，这样，会使本国货币汇率下跌。

二是如果该国经济是以出口导向的，经济增长是为了生产更多的出口产品，则出口的增长会弥补进口的增加，减缓本国货币汇率下跌的压力。

三是一国经济增长率高，意味着劳动生产率提高很快，成本降低改善本国产品的竞争地位而有利于增加出口，抑制进口，并且经济增长率高使得该国货币在外汇市场上被看好，因而该国货币汇率会有上升的趋势。

国内生产总值（GDP）是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果。这个指标把国民经济全部活动的产出成果概括在一个极为简明的统计数字之中，为评价和衡量国家经济状况、经济增长趋势及社会财富的经济表现提供了一个最为综合的尺度，可以说，它是影响经济生活乃至社会生活的最重要的经济指标。对其进行的分析预测具有重要的理论与现实意义。

1.2 研究的趋势和发展现状

GDP核算有三种方法，即生产法、收入法和支出法，三种方法从不同的角度反映国民经济生产活动成果。生产法是从生产的角度衡量常住单位在核算期内新创造价值的一种方法，即从国民经济各个部门在核算期内生产的总产品价值中，扣除生产过程中投入的中间产品价值，得到增加值。核算公式为：增加值=总产出-中间投入。收入法是从生产过程创造收入的角度，根据生产要素在生产过程中应得的收入份额反映最终成果的一种核算方法。按照这种核算方法，增加值由劳动者报酬、生产税净额、固定资产折旧和营业盈余四部分相加得到。支出法是从最终使用的角度衡量核算期内产品和服务的最终去向，包括最终消费支出、资本形成总额和货物与服务净出口三个部分。

支出法核算GDP，就是从产品的使用出发，把一年内购买的各项最终产品的支出加总而计算出的该年内生产的最终产品的市场价值。这种方法又称最终产品法、产品流动法。从支出法来看，国内生产总值包括一个国家(或地区)所有常住

单位在一定时期内用于最终消费、资本形成总额，以及货物和服务的净出口总额，它反映本期生产的国内生产总值的使用及构成 。 1.3 本论文的主要内容

本文以我国为例，建立数学模型，分析经济增长的内在特征。并对未来五年我国经济发展做出预测，为政府制定经济发展战略提供依据。ARIMA( p ，d ，q) 模型是用于非平稳时间序列的建模方法，由美国统计学家Box 和Jenkins 于1970年首次提出。时间序列分析技术经过近几十年的发展，已经成为一门相对完整并且独立的学科，它通过对过去行为的建模来分析序列对当前的影响，而无需重复考虑影响序列的其他因素，即把影响预测目标变化的一切因素全部都由“时间”综合起来而加以描述。

2 多项式模型的建立

2.1 回归分析模型[1]

2.1.1模型简介

多项式回归模型为:N N x b x b x b b y ++++= 2210 （1-1） 将数据点(,)(1,2,...,)i i x y i n =代入，有i n

i n i i i x b x b x b b y ε+++++= (2)

210 （ i=0,1,...,n ） (1-2)

式中01,b b 是未知参数，i ε为剩余残差项或随机扰动项，反映所有其他因素对因变量i y 的影响。

在运用回归方法进行预测时，要求满足一定的条件，其中最重要的是i ε必须具备如下特征：1、i ε是一个随机变量；2、i ε的数学期望值为零，即()0i E ε=；3、在每一个时期中，i ε的方差为一常量，即2()i D εδ=；4、各个i ε间相互独立；5、i ε与自变量无关。大多数情况下，假定2(0,)i N εδ 。

2.1.2 一元线性回归模型建立的步骤 建立一元线性回归模型分以下步骤：

1、建立理论模型：针对某一因变量y ，寻找适当的自变量，建立如（1-1）

的理论模型

2、估计参数：运用普通的最小二乘法或其他方法评估参数01b b 和的值，建

立如下的一元线性回归预测模型：i n

i n i i i x b x b x b b y

ε+++++=?...???2

210 （ i=0,1,...,n ） （1-2） 这里01??b b 和分别是01

,b b 的估计值。如果是采用最小二乘法估计01b b 和的值，即时残差平方和（也称剩余平方和）

3、进行检验：回归模型建立之后，能否用来进行实际预测，取决于它与实际数据是否有较好的拟合度，模型的线性关系是否显著等。为此，在实际用来测量之前，还需要对模型进行一系列评价检验。

1）、标准误差

标准误差是估计值与因变量值间的平均平方误差，其计算公式为：

2

1

?()2

n

i

i

i y y

S n =-=

-∑ （1-4）

它可以用来衡量拟合优度。 2）、判定系数2R

判定系数2R 是衡量拟合优度的一个重要指标，它的取值介于0与1之间，其计算公式为：

2

21

2

1

?()1()

n

i

i

i n

i

i y y

R y y ==-=-

-∑∑ （1-5）

2R 越接近于1，拟合程度越好；反之越差。

3）、相关系数

相关系数是一个用于测定因变量与自变量之间线性相关程度的指标，其计算公式为

1

2

2

1

1

()()

.()()

n

i

i

i n n

i

i

i i x x y y r x x y y ===--=

--∑∑∑ （1-6）

相关系数r 与判定系数2R 之间存在关系式：

2r R =±

但两者的概念不同，判定系数2R 用来衡量拟合优度，而相关系数r 用来判定因变量与自变量之间的线性相关程度。

相关检验要利用相关系数表，步骤如下：

首先计算样本相关系数r 值。然后根据给定的样本容量n 和显著性水平a 查相关系数表，得临界值a r ，最后进行检验判断：

,,a a r r x r r x ><若则与y 有显著的线性关系；若则与y 的线性相关关系不显著

4）、回归系数显著性检验

回归系数的显著性检验可用t 检验法进行，令

11

1

b b b t S =

（1-7） 取显著性水平1()),a b a P t t t t αα>=>若，则回归系数1b 显著，此检验对常数项亦适用。

5）、F 检验 统计量

2

12

1

?()?()(2)

n

i

i n

i i

i y

y F y y

n ==-=

--∑∑ （1-8）

服从(1,2)F n -分布，取显著性水平.F F αα>若（1，n-2）

，则表明回归模型显著；如果(1,2)F F n α<-，则表明回归模型不显著，改回归模型不能用于预测。

6）、DW 统计量

DW 统计量是用来检验回归模型的剩余项i ε之间是否存在自相关的一种十

分有效的方法。

2

1

2

21

()n

i i i n

i

i DW ε

εε

-==-=

∑∑ （1-9）

式中 ?i i i y y

ε=- 将利用式（1-9）计算而得到的DW 值与不同显著性水平α下的DW 值之上限d ε和下限进行比较，来确定是否存在自相关。DW 值应在04 之间。

根据经验，DW 统计量的值在1.5 2.5 之间时表示没有显著自相关问题。 以上检验可利用统计软件包进行回归时同时完成

4、进行预测：预测可分为点预测和区间预测两类，在一元线性回归中，所谓点预测，就是当给定0x x =时，利用样本回归方程求出相应的样本拟合值

0100x b b y +=，以此作为因变量个别值0y 和其均值)(0y E 的估计。

区间预测是给出一个在一定概率保证程度下的预测置信区间。进行区间预测，首先要进行点预测，确定0x 的值，求得0y 的预测值0y 。0y 的置信度为

)%1(100α-的预测区间的端点为：00Sc t y α± (1-10)

2.2 ARIMA 模型建模步骤 2.2.1 数据平稳化处理[2]

首先要对时间序列数据进行平稳性检验。可以通过时间序列的散点图或折线图对序列进行初步的平稳性判断。一般采用ADF 单位根检验来精确判断该序列的平稳性。对非平稳的时间序列，我们可以先对数据进行取对数或进行差分处理，然后判断经处理后序列的平稳性。重复以上过程，直至成为平稳序列。此时差分的次数即为 (),,ARIMA p d q 模型中的阶数d 。从理论上而言，足够多次的差分运算可以充分地提取序列中的非平稳确定性信息。但应当注意的是，差分运算的阶数并不是越多越好。因为差分运算是一种对信息的提取、加工过程，每次差分都会有信息的损失，所以在实际应用中差分运算的阶数要适当，应当避免过度差分，简称过差分的现象。一般差分次数不超过2次。

2.2.2 模型识别

在平稳时间序列自相关函数和偏自相关函数上初步识别ARMA 模型阶数p 和q ，

然后利用AIC 定则准确定阶。AIC 准则[3]

：最小信息准则，同时给出ARMA 模型阶数和参数的最佳估计，适用于样本数据较少的问题。目的是判断预测目标的发展过程与哪一随机过程最为接近。因为只有当样本量足够大时，样本的自相关函数才非常接近母体的自相关函数。具体运用时，在规定范围内使模型阶数从低到高，分别计算AIC 值，最后确定使其值最小的阶数是模型的合适阶数。关于

(),ARMA p q 模型，AIC 函数定义如下：()2log 2AIC n p q σ=++ 式中：n 平稳

序列为样本数，2σ为拟合残差平方和，p ，q 为参数。

AIC 准则定阶方法可写为：

()(),,min ,0,0k l

AIC p q AIC k l k M l H

=≤≤≤≤其中：M ，N 为ARMA 模型阶数的上限值，一般取为根号n 或/10n 。实际应用中p ，q 一般不超过2。

2.2.3 参数估计

确定模型阶数后，应对ARMA 模型进行参数估计。本文采用最小二乘法OLS 进行参数估计，需要注意的是，MA 模型的参数估计相对困难，应尽量避免使用高阶的移动平均模型或包含高阶移动平均项的ARMA 模型。

3 模型的建立与求解

3.1 问题—模型的建立和求解

3.1.1 评价结果的显著性分析差异分析

（1）应用原理：相关系数是用两个随机变量的协方差与这两个随机变量的方差平方根乘积的比值来反映两个随机变量之间的线性相关程度的指标，当这个数值越接近1说明这样的两个变量之间的相关性越强。

（2）配对设计资料具有一一对应的特点，研究者关心的是变量对整体的效应的差值而不是对某个或者某些效应的差值，如果只有很少的点没有在所求的函数附近则不影响整体的效果

3.1.2 对置信区间的说明

区间展现的是这个参数的真实在统计学中，一个概率样本的置信区间是对这个样本的某个总体参数的区间估计。置信值有一定概率落在测量结果的周围的程度。置信区间给出的是被测量参数的测量值的可信程度，即前面所要求的“一定概率”。这个概率被称为置信水平。

3.1.3 建立函数模型

用matlab 软件做出表格中的数据对应的散点图观察散点图，起初GDP 增长很慢很慢但是随着时间的延长之后经历着非常快的增加所以通过对所描绘的散点猜想大致与这样的散点对应的函数有 y=a*exp(x+b)这样的函数关系（其中x 为自变量年份，y 为因变量GDP 的数值）

3.1.4 求解函数

对于函数y=a*exp(x+b)的求解过程可借助于matlab 的编程来完成，首先函数y=a*exp(x+b)比较复杂可以对函数进行变换成一次函数的形式来解决，经变换后ln(y)=ln(a)*x+b*ln(a),即化成m=a*x+b 的这种形式，然后利用函数 [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y ,M);b,bint,stats 来求解，在matlab 中下面编程求解GDP

增长率的计算公式为：以1978年为基年，%100GDP

GDP

-GDP

?=上期上期本期年增长率GDP ，通过计算到表一的数据。

3.2 数据分析

利用Matlab 对表一中的数据进行处理，得到图1与图2

1975

19801985

19901995200020052010

00.511.52

2.5

3

3.5

x 10

5

图1 GDP 随

时间变化曲线

时间/年

G D P /亿元

1979198219851988199119941997200020032006

5

10

15

20

25

3035

40

图2 GDP 年增长率随时间变化曲线

时间/年

G D P 年增长率/%

观察图1可得，自1978年开始中国的GDP 一直保存增长状态。

通过图二，从GDP 的年增长率来看，GDP 年增长率的变化真是太快了，GDP 年增长率在1980年到1981年处于下降，1981年到1985年保持上升，经过1986年的下降，接下来两年又保持上升状态，然后又是两年下降，随后到1994年一直

增长达到最大值，接着连续5年下降，于1999年达到谷底，最后一直到2008年GDP年增长率起起伏伏，但变化非常小，总体上保持增长状态。

表一 1978-2008年的GDP概况

年份GDP GDP年增长率年份GDP GDP年增长率

1978 3624.1 0.0 1994 48198.0 36.4 1979 4038.2 11.4 1995 60794.0 26.1 1980 4517.8 11.9 1996 71176.6 17.1 1981 4862.4 7.6 1997 78973.0 11.0 1982 5294.7 8.9 1998 84402.3 6.9 1983 5934.5 12.1 1999 89677.1 6.2 1984 7171.9 20.9 2000 99214.6 10.6 1985 8964.4 25.0 2001 109655.2 10.5 1986 10202.2 13.8 2002 120332.7 9.7 1987 11962.5 17.3 2003 135822.8 12.9 1988 14928.3 24.8 2004 159878.3 17.7 1989 16909.2 13.3 2005 183217.4 14.6 1990 18547.9 9.7 2006 211923.5 15.7 1991 21617.8 16.6 2007 257305.6 21.4 1992 26638.1 23.2 2008 314045.0 22.1 1993 35334.0 32.6

4 模型求解与分析

4.1 回归分析模型的模型求解

从图1中我们大致可以确定该图与幂函数多项式的图象较为相近，所以我们建立了多项式模型，运用matlab 计算可以得到结果。

根据多项式模型的检验方法，二次，三次及四次多项式大部分指标差别不大，拟合效果比较差，从五次到七次多项式拟合效果越来越好，到八次多项式F 值突然减小，造成拟合效果下降，于是本文选择了七次多项式来拟合。利用matlab 统计工具求解，得到回归系数估计值及置信区间（置信水平α=0.05）见表2

于是得到回归方程

43295.8665x 1124.7878x 6564.1066x x 16126.75083967.15706?+-+-=y

7650.0007x 0.0880x 4.1564x -+- （其中x 表示具体年度减去1977） 绘图如图3 表2 模型计算结果

参数

参数估计值 参数置信区间 0β

15706.3967 [388.8805,31023.9129] 1β -16126.7508

[-31514.2175,-739.2841]

2β 6564.1066 [1431.6056,11696.6077] 3β

-1124.7878

[-1914.9731,-334.6024]

4β 95.8665

[32.2050,159.5281]

5β -4.1564

[-6.9269,-1.3860]

6β 0.0880 [0.02631,0.1496]

7β

-0.0007

[-0.0013,-0.0002]

51015

20253035

00.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x 10

5

图3 GDP 随时间变化曲线

时间

G D P 总量

拟合值实际值

由图3，我们可以进一步确定拟合效果非常好。

根据所求得的函数关系式，我们对未来10年对相关书籍的产量进行了预测，预测结果见表3所示:

表3 GDP 预测值

年度

GDP 预测值 年度 GDP 预测值 2009 851262907.1007 2014 2034266360.6777 2010 1023896987.2565 2015 2387256851.8095 2011 1224770444.2175 2016 2789855917.6535 2012 1457461011.2787 2017 3247481667.7247 2013

1725874960.0751 2018

3765982116.2781

4.2 ARIMA 模型求解

通过计算自相关函数和偏相关函数，确定取d =2。利用AIC 准则对表五定阶，取ARIMA （1,2,2）模型。计算得

表4

年度预测值年度预测值

2009 374405.847

7

2014

693984.939

7

2010 436089.507

3

2015

761248.995

8

2011 498889.246

4

2016

829629.130

8

2012 562805.064

9

2017

899125.344

7

2013 627836.962

7

2018

969737.637

3

4.3 模型评价

从网上查的2009年和2010年的GDP总量分别为341401.5亿元，403260.0亿元。比较多项式回归模型和ARIMA模型的预测结果，可以得到ARIMA模型的预测结果比多项式回归模型好，而且短期预测精度是比较高的。当然国内的生产总值是国民经济的核心内容，经济状况几乎要牵涉到经济体系中的所有，如此复杂的过程并非靠简单的一个或多个变量来决定，权衡的因素繁多。因此，本文还有许多不足之处，会在以后的学习工作中将其不断完善。

4.4 结果分析

根据ARIMA模型预测的表六数据，计算出2010年到2018年的GDP年增长率如表5.

表5 2010年到2018年的年增长率

年度年增长率年度年增长率年度年增长率

2010 0.16475079

1

2013

0.11554959

6

2016 0.08982624

2011 0.14400653

6

2014

0.10535852

6

2017

0.08376780

8

2012 0.12811624

8

2015

0.09692437

4

2018

0.07853442

6

利用matlab绘图。由图4可得，预计中国GDP将继续保持增长，不过增长率缓慢下降。猜想：GDP年增长率最后将趋于稳定。

2010

2011

2012

2013

20142015

2016

2017

2018

7891011121314151617图4 GDP 年增长率随时间变化曲线

时间/年

%

参考文献

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