《高等数学1试题微积分》
《高等数学 》
一．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）;;;;
1.设???<+≥=0
x 1x 0 x e f(x) x ，则 f(x)的一个原函数是 .
2.曲线12x 11
y ++=与x 轴、y 轴和直线4x =所围成的面积是 .
3.已知曲线f(x)y =上的任一点f(x))(x,的切线斜率是
2x 41+，而且曲线经过定点(2,0)，则 曲线方程 .
4.1x x 12x 4x f(x)234-+++=在Ｒ上的零点有 个.
5.已知(1)'' f 存在，且1x dx )f(e lim 3 x 0 2x 0x =?→，则=(1)'' f .
二．选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
1.已知F(x)具有二阶连续导数(x)'F'，则下面正确的是（ ）
A. ?=F(x)dF(x)
B. ?+=+1]dx (x)'[F'x]dx (x)[F'd
C. ?+=C F(x)(x)dF'
D. ?++=+C (x)F'F(x)(x)]dx 'F'(x)[F' 2.=∑=∞→1
-n 1
i n i 2n e n 2lim （ ） A. ?2 0 x dx e 2 B. ?1
0 x 2dx e 2 C. ?2 0 x 2dx e D. ?1 0
x 2dx e 3.已知F(x)的一阶导数(x)F'在Ｒ上连续，且0F(0)=，
则?=0
x (t)dt xF'd （ ） A. (x)dx xF'- B. (x)dx xF'
C. (x)dx]xF'[F(x)+-
D. (x)]dx xF'[F(x)+-
4.设f(x)的导数在x=a 处连续，又x a ()lim 1f x x a
→'=--，则 （ ）
A.x=a 是f(x)的极小值点
B.x=a 是f(x)的极大值点
C.(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点
D.x=a 不是f(x)的极值点，(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐 点。
5. 设???<≤-≥=0
x 1x 0 x e f (x)sin x ，那么 ?-= x 1 f(t)dt F(x)在点0x =处（ ） A. 其连续性无法判定。 B. 是可导的。
C. 是连续的，但不可导。
D. 是不连续的。
三．计算题（本题共6小题，共38分）
1. 求 3)1(x 1x 1)
(x x 1)sin(x e lim 3
---+-→。(6分) 2. 求抛物线 22y ax =的曲率半径。(6分)
3. 求函数x 9)3x (x f(x)2--=的极值和拐点。(6分)
4.已知函数???????<++≥++=0x 2
x 2x 10 x x)2x)(1(11f(x)22，求?-2 0 x)dx f(1 。(6分) 5.求?∞
+- 1 101x x dx 。(7分)
6.设f(x)可导，0f(0)=，若??--=1 0 1 0
2f(x)dx 2x x f(x)f(tx)dt R)x (∈，求f(x)。(7分) 四. 证明题（22分）
1.证明：当]2[0,x π∈时，x 21cosx π
-≥。 （6分） 2.设f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且0f(2)=，证明：至少存在一点(1,2)∈ξ，使得 0)f()ln (' f =+ξξξξ。 (8分)
3.设f(x)在)[0,+∞上连续且单调减少，试证明对任何0a b >>，皆有：
???-≤b
a b 0
a 0 ]f (x)dx a f (x)dx
b [21 xf (x)dx 。 （8分）
《高等数学》
一．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
1. ?????<++≥= 0 x 1x x 2
1 0x e F(x)2x 2.2ln 2- 3. 8
2x arctan 21f (x)π-= 4. 2
5．2
3 二．选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 1-5. DBDBC
三．计算题（本题共8小题，共38分）
1. 解一：3)1(x 1x 1)(x x 1)sin(x e lim 3---+-→3x 0x x
1x sinx e lim 3--+=→ 333330
x x 1x ))(x x 3!1x ()x (x 1lim --+-
+++=→o o 65= 解二：3
)1(x 1x 1)(x x 1)sin(x e lim 3---+-→3x 0x x 1x sinx e lim 3--+=→ 2x 20x 3x 1x cos e 3x lim 3-+=→6x x sin 6xe e 9x lim 33x x 40x -+=→6x x sin 6xe lim 3
x 0x -=→65= 2. 解： 22
32,22,a a y ax yy a y y y y ''''==?==-'，则 2
2322232(1)()y a k y a y ''=='++， 故2232
1()a y R k a +==。 3. 解：???≤++-≥--=0 x 9x
3x x 0 x 9x 3x x f(x)2323 ① 当0x ≥时
1)3)(x -3(x 96x 3x (x)' f 2+=--=，
1)6(x 6x 6(x)'' f -=-=
令0(x)' f =，得f(x)的驻点：3x 1=，
令0(x)'' f =，得f(x)的可疑拐点：1x 2=，
② 当0x ≤时
1)3)(x -3(x 96x 3x (x)' f 2+-=++-=，
1)6(x 6x 6(x)'' f --=+-=
令0(x)' f =，得f(x)的驻点：1x 3-=，
令0(x)'' f =，f(x)没有可疑拐点，
③ 0x 4=是f(x)的不可导点
又 当1x -<时，0(x)' f <，
当0x 1<<-时，0(x)' f >，
当3x 0<<时，0(x)' f <，
当3x >时，0(x)' f >，
∴ 1x 3-=，3x 1=是f(x)的极小点，极小值是51)f(-=- 和 27f(3)-=
0x 4= 是f(x)的极大点，极大值是0f(0)= 又 当0x <时，0(x)'' f >，
当1x 0<<时，0(x)'' f <，
当1x >时，0(x)'' f >，
∴点(0,0)和点11)(1,-是f(x)的拐点。
4. 解：
?-2 0 x)dx f(1 ?-=1 1 f(x)dx ?=1 0 f(x)dx ?-+0 1 f(x)dx ?1 0
f(x)dx ?++=1 0 2dx x)2x)(1(11 ?+-+-+=1
0 2]dx x)(11x 122x 14[ 1 0 ]x 11x)2ln(12x)2ln(1[+++-+= 21ln2)2(ln3--=2
1232ln -=
?-0
1 f(x)dx ?-++=0 1
2dx 22x x 1 0 12)] 2x 2x 1ln(x [-++++=)2ln(1+= 所以
?-2 0 x)dx f(1 21232l n -=)2l n (1++ 5. 解：?∞
+- 1 101x x dx ?-=1 0 104t 1dt t ?-=1 0 105t
1)d(t 51 +=1
0 5)]arcsin(t 51[10
π= 6. 解：记?=1
0 f(x)dx a ，那么当0x ≠时， ??--=1
0 1
0 2f(x)dx 2x x f(x)f(tx)dt ??--= x 0
22ax x f (x)f (u)du x 1 ??--= x
0 232ax x xf(x)f(u)du
两边求导，得：
ax 4x 3(x)' xf f(x)f(x)2--+= ?ax 43x (x)' f 2+=
所以 ?+=4a x )d x (3x f(x )
2C ++=232a x x 又0f(0)=，f(x)可导必连续，从而得0C = 所以 23ax 2x f(x)+=
于是两边求定积分，得：??+=1 0 21 0 3dx x 2a dx x a ? 4
3a = 所以 23x 2
3x f(x )
+= 四、证明题（22分） 1. 证一：令1x 2
cosx f (x)-+=π 则0)2f (f (0)==π，f(x)在]2[0,π上连续，且π
2sinx (x)' f +-=， 令0(x)' f =，得驻点πξ2arcsin =)2
,0(π∈ 当ξ<
又 当2x π
ξ<<时，0(x)' f <，f(x)单调减少，
∴当2x πξ≤≤时，0)2
f (f (x)=≥π 综上所述，当]2[0,x π∈时，0f(x)≥，即x 21cosx π
-≥。 证二：令1x 2cosx f (x)-+=π
则0)2f (f (0)==π，f(x)在]2[0,π上连续，且π2sinx (x)' f +-=， cosx (x)'' f -= )2,0( x 0(x)'' f π∈< ∴f (x )在]2
[0,π上是向上凸的， ∴当]2[0,x π∈时，0)}2
f (min{f (0),f (x)=≥π， 即得：当]2[0,x π∈时，x 21cosx π
-≥。 2.
证：令f(x)lnx F(x)=，
f(x)、lnx 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导， ∴F(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，
∴根据拉格朗日中值定理，至少存在一点(1,2)∈ξ，使得：
1)-)(2(' F F(1)F(2)ξ=- ………..(*) 又x 1f (x)(x)lnx ' f (x)' F ?
+=，0f(2)= （或直接在[1,2]上应用罗尔定理即可证得。） ∴ξξξξξ1
)f()ln (' f )(' F ?+=，0F(1)F(2)==
∴由(*)式可得 ：01)f()ln (' f =?+ξξξξ，即0)f()ln (' f =+ξξξξ
所以，至少存在一点(1,2)∈ξ，使得 0)f()ln (' f =+ξξξξ。
3. 证：令]f (x)dx a f (x)dx u [2
1 xf (x)dx F(u)u 0 a 0 u a ???--= 0)(>a ，则 f(x)在)[0,+∞上连续，∴F(u)在)[0,+∞上可导，又显然有0F(a)=。 对F(u)求导，得：当0u >时
uf (u)2
1f (x)dx 21uf (u)(u)' F u 0 ?--=
?-=u 0 f (x)dx 21uf (u)21}f (x)]dx [f (u) {21u 0
?-= f(x)在)[0,+∞上单调减少，∴当x u >时，0f(x)f(u)≤-，
所以 0}f(x )]d x [f(u ) {2
1(u)' F u 0 ≤-=? 从而，F(u)在)[0,+∞上是单调减少的，于是当0a b >>时，有：
0F(a)F(b)=≤，即：???-≤b
a b 0
a 0 ]f (x)dx a f (x)dx
b [2
1 xf (x)dx 。