2.2求导法则
2.2 求导法则
教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数，
掌握复合函数的求导法则，熟练复合函数的求导方法. 了解高阶导数的概念;掌握莱布尼茨公式;会求简单的n 阶导数
教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法，复合函数的求导法则.初等函数的高阶导数问题.
教学难点：反函数求导，理解复合函数的求导方法.莱布尼茨公式.
教学内容：
复习：导数的定义；复合函数的定义。
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 如果函数u =u (x )及v =v (x )在点x 具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x 具有导数, 并且
[u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ) ;
[u (x )?v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x );
)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='??
????. 证明 (1)h
x v x u h x v h x u x v x u h )]()([)]()([lim ])()([0±-+±+='±→ ??
????-+±-+=→h x v h x v h x u h x u h )()()()(lim 0=u '(x )±v '(x ). 法则(1)可简单地表示为
(u ±v )'=u '±v ' .
(2)h
x v x u h x v h x u x v x u h )()()()(lim ])()([0-++='?→ )]()()()()()()()([1lim 0x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h
h -+++-++=→ ??
?-+++???-+=→h x v h x v x u h x v h x u h x u h )()()()()()(lim 0 h
x v h x v x u h x v h x u h x u h h h )()(lim )()(lim )()(lim 000-+?++?-+=→→→ =u '(x )v (x )+u (x )v '(x ),
其中0
lim →h v (x +h )=v (x )是由于v '(x )存在, 故v (x )在点x 连续. 法则(2)可简单地表示为
(uv )'=u 'v +uv '.
(3) h x v h x v h x v x u x v h x u h x v x u h x v h x u x v x u h h )()()()()()(lim )()()()(lim )()(00
++-+=-++='??????→→ h
x v h x v x v h x v x u x v x u h x u h )()()]()()[()()]()([lim 0+-+--+=→
)
()()()()()()()(lim 0x v h x v h x v h x v x u x v h x u h x u h +-+--+=→ )
()()()()(2x v x v x u x v x u '-'=. 法则(3)可简单地表示为
2
)(v v u v u v u '-'='. (u ±v )'=u '±v ', (uv )'=u 'v +uv ', 2
)(v v u v u v u '-'='. 定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形. 例如, 设u =u (x )、v =v (x )、w =w (x )均可导, 则有
(u +v -w )'=u '+v '-w '.
(uvw )'=[(uv )w]'=(uv )'w +(uv )w '
=(u 'v +uv ')w +uvw '=u 'vw +uv 'w +uvw '.
即 (uvw )' =u 'vw +uv 'w +uvw '.
在法则(2)中, 如果v =C (C 为常数), 则有
(Cu )'=Cu '.
例1 求函数31)(+-=
x x x f 的导数. 解 略
例2. 2
sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2 (πf '. 解: x x x x x f sin 43)2
(sin )cos 4()()(23-='-'+'='π, 44
3)2 (2-='ππf . 例3求函数x a x f log )(=的导数.
解 略
例4求函数x xe x f =)(的导数.
解 略
例5求函数x x x x f ln sin )(=的导数.
解略
补例1．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.
解: y '=(e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )'
= e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x )
=2e x cos x .
例6．y =tan x , 求y '.
解: x x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='='
x x
x x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+
=. 即 (tan x )'=sec 2x .
例7．y =sec x , 求y '.
解: x
x x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '?-'='='='x x 2cos sin ==sec x tan x . 即 (sec x )'=sec x tan x .
用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式:
(cot x )'=-csc 2x ,
(csc x )'=-csc x cot x .
例8求函数x
x x f ln )(=的导数. 解 略
二、复合函数的求导法则
定理4 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为
)()(x g u f dx
dy '?'=或dx du du dy dx dy ?=. 证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [?(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立.
当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, ?u ≠0, 此时有
x
x g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f x y ?-?+?-?+-?+=?-?+=??)()()()()]([)]([)]([)]([ x x g x x g u u f u u f ?-?+??-?+=
)()()()(, x
x g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ?-?+??-?+=??=→?→?→?)()(lim )()(lim lim 000= f '(u )?g '(x ). 简要证明:
x u u y x y dx dy x x ?????=??=→?→?00lim lim )()(l i m l i m 00x g u f x
u u y x u ''=?????=→?→?. 复合函数的求导法则:两个可导函数复合成的复合函数的导数,等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.
复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =?(v ), v =ψ(x ), 则
dx
dv dv du du dy dx du du dy dx dy ??=?=. 在利用复合函数求导法则解决求导问题时，关键之处是应该准确地将这个复合函数分解成几个容易求导的函数。
例9 x y tan =
, 求dx
dy . 解 略.
例10 3x e y =, 求dx dy . 解 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此
32233x u e x x e dx
du du dy dx dy =?=?=. 补例 212sin x x
y +=, 求dx
dy . 解 函数212sin x x
y +=是由y =sin u , 212x
x u +=复合而成的, 因此 2222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos x
x
x x x x x u dx du du dy dx dy +?+-=+-+?=?=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11．y =lnsin(e x ), 求
dx dy . 解: ])[sin()
sin(1])sin([ln '?='=x x x e e e dx dy )cot()()][cos()
sin(1x x x x x e e e e e ='??=. 补例 3221x y -=, 求
dx dy . 解: )21()21(31])21[(2322312'-?-='-=-x x x dx dy 322)
21(34x x --=. 例12．x e
y 2sin =, 求dx dy . 解: )(cos )(sin )(22sin 2sin sin 222'??='?='=x x e x e e dx
dy x x x =x xe 2sin 2sin 例13 已知为常数）a ax y )(sin(=，求
dx dy . 解 略
例14已知22x a y +=，求dx
dy . 解 略
例15设x >0, 证明幂函数的导数公式
(x μ)'=μ x μ-1.
解 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以
(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ?(μ ln x )'= e μ ln x ?μ x -1=μ x μ-1.
例16已知22ln(x a x y ++=，求dx
dy . 解 略
三、反函数的求导法则
定理5 如果函数x =f (y )在某区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 那么它的反函数y =f -1(x )在对应区间I x ={x |x =f (y ), y ∈I y }内也可导, 并且
)(1])([1y f x f '='-. 或dy
dx dx dy 1=.
简要证明: 由于x =f (y )在I y 内单调、可导(从而连续), 所以x =f (y )的反函数y =f -1(x )存在, 且f -1(x )在I x 内也单调、连续.
任取x ∈I x , 给x 以增量?x (?x ≠0, x +?x ∈I x ), 由y =f -1(x )的单调性可知
?y =f -1(x +?x )-f -1(x )≠0,
于是
y
x
x y ??=??1. 因为y =f -1(x )连续, 故
0lim 0
=?→y x 从而
)
(11lim lim ])([001y f y
x x y x f y x '=??=??='→?→?-. 上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
由这一法则，利用三角函数的导数可以求出反三角函数的导数。
例17．设x =sin y , ]2
,2 [ππ-∈y 为直接函数, 则y =arcsin x 是它的反函数. 函数x =sin y 在开区间)2
,2 (ππ-内单调、可导, 且 (sin y )'=cos y >0.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-1, 1)内有
2
211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -=-=='='. 类似地有: 2
11)(arccos x x --='. 例18．设x =tan y , )2
,2 (ππ-∈y 为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数x =tan y 在区间)2
,2 (ππ-内单调、可导, 且 (tan y )'=sec 2 y ≠0.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞)内有
22211t a n
11s e c 1)(t a n 1)(a r c t a n x y y y x +=+=='='. 类似地有: 2
11)cot arc (x x +-='. 例8设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且
(a y )'=a y ln a ≠0.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有
a
x a a a x y y a ln 1ln 1)(1)(log =='='. 基本初等函数的求导公式及函数的求导法则归纳如下,:
1 基本初等函数的求导公式
1．基本初等函数的导数:
(1) (C )'=0,
(2) (x μ)'=μ x μ-1,
(3) (sin x )'=cos x ,
(4) (cos x )'=-sin x ,
(5) (tan x )'=sec 2x ,
(6) (cot x )'=-csc 2x ,
(7) (sec x )'=sec x ?tan x ,
(8) (csc x )'=-csc x ?cot x ,
(9) (a x )'=a x ln a ,
(10) (e x )'=e x ,
(11) a
x x a ln 1)(log =', (12) x
x 1)(ln =', (13) 2
11)(a r c s i n x x -=', (14) 211)(a r c c o s x x --
='. (15) 211
)(a r c t a n x
x +=', (16) 211
)o t a r c (x
x +-='. 2．函数的和、差、积、商的求导法则
设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则
(1) (u ±v )'=u '±v ',
(2) (C u )'=C u ',
(3) (u v )'=u '?v +u ?v ',
(4) 2
)(v v u v u v u '-'='. 3．反函数的求导法则
设x =f (y )在区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 则它的反函数y =f -1(x )在I x =f (I y )内也可导, 并且
)(1])([1y f x f ='-. 或 dy
dx dx dy 1=. 4．复合函数的求导法则
设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为
dx du du dy dx dy ?= 或 y '(x )=f '(u )?g '(x ). 例20.已知3)2
(arcsin
x y =，求dx dy . 解: 略
例21已知t t t f sin 2sin 2ln
)(-+=，求)3
('πf . 解: 略 例22.求)(2x f y =的导数，其中f 可导. 解: 略
例23 ．设)(x f y =可导,求)()(x f x e e f y =的导数.
解 略
在此应提醒大家注意的是：
)('x e f 与)('x f 的区别，dx x df x f )()('=，x x
x de e df e f )
()('=.
求导法则与求导公式
§2.2 求导法则与导数的基本公式 教学目标与要求 1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2. 理解反函数的导数并能应用； 3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。 教学重点与难度 1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2. 会求反函数的导数； 3. 会求复合函数的导数 前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。 一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则 定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且 [()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=± 同理可证：' ' ' [()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。 注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即 12''' ' 12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±± ±=±±±， 即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。
例1 求函数4 cos ln 2 y x x x π =+++ 的导数 解 4 c o s l n 2y x x x π'??'=+++ ?? ? ()()()4 cos ln 2x x x π'??'''=+++ ??? 3 1 4s i n x x x =-+ 2.函数积的求导公式 定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且 ''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。 注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时， '''[()]()y cv x cv x ==， 即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得： ''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。 2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 ''' '12 1212 12 ()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。 例2 求下列函数的导数。 1）32 3254sin y x x x x =+-+； 解 ()()()()3 2 3254sin y x x x x '''''=+-+
第二讲 二次函数在导数中的应用
第二讲 二次函数在导数中的应用 1．(2011·辽宁)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是______． 解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点， 而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增,在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞,2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可． 变式：已知函数f (x )＝12mx 2 ＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为______． 解析f ′(x )＝mx ＋1 x －2≥0对一切x >0恒成立， m ≥－(1x )2＋2x ，令g (x )＝－(1x )2＋2x ，则当1 x ＝1时， 函数g (x )取得最大值1，故m ≥1. 2．函数f (x )＝x 2 －2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x ) x 在区间(1，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”) 解析 由函数f (x )＝x 2 －2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a 的取值范围为a <1，∴g (x )＝ f (x ) x ＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－a x 2.易知在x ∈(1，＋∞)上g ′(x )>0，所以g (x )为增函数． 3．若曲线f (x )＝ax 3 ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是___________． 解析f ′(x )＝3ax 2＋1x (x >0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，即3ax 2 ＋1x ＝0有解，a ＝－13x 3， ∵x >0，∴－1 3x 3<0，∴a <0. 4．函数f (x )＝2m cos 2 x 2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m 的值为________． 解析 显然m ≠0，所以f (x )＝2m cos 2 x 2＋1＝m (2cos 2 x 2 －1)＋m ＋1＝m cos x ＋m ＋1， 因此f ′(x )＝－m sin x ，其最大值为1，故有m ＝±1. 一、求参数范围 例1 设函数f (x )＝ln x －px ＋1. (1)求函数f (x )的极值点； (2)当p >0时，若对任意的x >0，恒有f (x )≤0，求p 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝ln x －px ＋1，∴f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －p ＝1－px x ， 当p ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上无极值点； 当p >0时，令f ′(x )＝0，∴x ＝1 p ∈(0，＋∞)， f 从上表可以看出，当p >0时，f (x )有唯一的极大值点x ＝p . (2)当p >0时，f (x )在x ＝1p 处取得极大值f (1p )＝ln 1 p ，此极大值也是最大值．要使f (x )≤0恒成立，只需 f (1p )＝ln 1 p ≤0，∴p ≥1，∴p 的取值范围是[1，＋∞)．
(完整word版)导数的概念、导数公式与应用
导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x )，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从 到的平均变化率。 注意： ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。 （2）平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 注意： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在 处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x 0，y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ， 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ，y )， 即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。
2018届高考数学高考大二轮专题复习课后强化训练专题2第5讲导数的综合应用Word版含解析
第一部分 专题二 第五讲 A 组 1．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( B ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 [解析] ∵f (－x )＝－x －sin(－x )＝－(x －sin x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又f ′(x )＝1－cos x ≥0，∴f (x )单调递增． 故选B ． 2．(2017·河南洛阳质检)若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( B ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞) D ．[4，＋∞) [解析] ∵x >0,2x ln x ≥－x 2＋ax －3，∴a ≤2ln x ＋x ＋3x .设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x ) ＝(x ＋3)(x －1) x 2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0， 函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，所以a ≤h (x )min ＝4， 故a 的取值范围是(－∞，4]． 3．(2017·河北衡水中学调研)已知函数f (x )＝x 33＋mx 2 ＋(m ＋n )x ＋1 2 的两个极值点分别为 x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，点P (m ，n )表示的平面区域为D ，若函数y ＝log a (x ＋4)(a >1)的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是( A ) A ．(1,3) B ．(1,3] C ．(3，＋∞) D ．[3，＋∞) [解析] f ′(x )＝x 2 ＋mx ＋m ＋n 2 ＝0的两根为x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)， 则?? ? f ′(0)>0， f ′(1)<0 ???? ?? m ＋n 2>0，1＋m ＋m ＋n 2 <0，
基本求导公式
这是基本求导公式，只能根据导数的定义来求。导数的定义就是给X一个增Δx，求出ΔY,然后求ΔY/Δx的极限（当Δx→0时）。函数是Y=X^n ΔY=(X+Δx)^n-X^n 把(X+Δx)^n展开（按n为正整数），展开式写起来很麻烦，我给你叙述一下，你应能理解。展开式中，第一项是X^n，最末项是（Δx)^n，中间的项中，X是降幂，Δx是升幂，系数是前后对称，如n=2，系数是1，2，1；n=3，系数是1，3，3，1；等等。注意，n是几，第二项的系数就是几。只需考虑展开式中的前两项。第一项是X^n，它将会与ΔY=(X+Δx)^n-X^n中的-X^n项抵消。第二项是[n X^(n-1)]*Δx,其后的项中，Δx的方次都比1大。现在来考虑比值ΔY/Δx，前边说过，第一项已消失，第二项除以Δx后为[nX^(n-1)]，其后各项除以Δx后都还剩有Δx因子。因此，当Δx→0取极限时，就只剩下[nX^(n-1)]，其后的项都成为0了。这就是你要证的求导公式。（顺便说一下，上述是以n为正整数来证明的，n为任意实数时也是成立的。） (X+Δx)^n的展开式在纸上写起来也并不太麻烦，只是在这里写起来，为避免误会，需加的括号太多，就显得麻烦了。第一项系数是1，第二项系数是n, 第三项系数是[n(n-1)]/(1*2) 10～12是利用函数的商的求导法则。如(secx)'＝secx*tanx。 (secx)'＝(1/cosx)'＝－(cosx)'/(cosx)^2＝sinx/(cosx)^2＝secx*tanx 13～16是利用反函数的求导法则：y＝f(x)的反函数是x＝g(y)，则dx/dy＝1/(dy/dx)。 如(arcsinx)'＝1/√(1－x^2)。
专题2.22 求导函数及函数在某一点处导数(原卷版)
求函数的导函数或某一点处的导数 秒杀题型一：求导函数 秒杀方法：基本初等函数的导数公式: ①若()(f x c =c 为常数),则'()0f x =; ②若()(),f x x Q αα*=∈则'1()f x x αα-=; ③若()sin ,f x x =则'()cos f x x =； ④若()cos ,f x x =则'()sin ;f x x =- ⑤若()x f x a =,则'()ln x f x a a =; ⑥若()x f x e =,则'()x f x e =; ⑦若()log ,a f x x =则'1()ln f x x a =; ⑧若()ln ,f x x =则'1 ()f x x =。 导数运算法则: ①[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±; ②[])()()()()()('''x g x f x g x f x g x f ?+?=?; ③[]' ''2()()()()( ) ()()f x f x g x f x g x g x g x ??-=????。 复合函数的导数: 由()y f u =和()u g x =复合而成的函数:(())y f g x =,其导数为:''' x u x y y u =?。 快速求导法则： [][])()()(''x f x f e x f e x x +=； [][])()()(''x f x f e x f e x x -=--。 1.(母题)求多项式函数1 011()...n n n n f x a x a x a x a --=++++的导数. 2.(母题)求tan y x =的导数. 3.(母题)求tan x y e x =的导数。
常用的基本求导定律
1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21 )1(x x -='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3 ,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）??=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则
专题2.22 求导函数及函数在某一点处导数(解析版)
求函数的导函数或某一点处的导数 秒杀题型一：求导函数 秒杀方法：基本初等函数的导数公式: ①若()(f x c =c 为常数),则'()0f x =; ②若()(),f x x Q αα*=∈则'1()f x x αα-=; ③若()sin ,f x x =则'()cos f x x =； ④若()cos ,f x x =则'()sin ;f x x =- ⑤若()x f x a =,则'()ln x f x a a =; ⑥若()x f x e =,则'()x f x e =; ⑦若()log ,a f x x =则' 1()ln f x x a =; ⑧若()ln ,f x x =则' 1()f x x =。 导数运算法则: ①[]' ' ' ()()()()f x g x f x g x ±=±; ②[])()()()()()(' '' x g x f x g x f x g x f ?+?=?; ③[] ' ''2 ()()()()() ()()f x f x g x f x g x g x g x ??-=????。 复合函数的导数: 由()y f u =和()u g x =复合而成的函数:(())y f g x =,其导数为:''' x u x y y u =?。 快速求导法则： [] [] )()()(''x f x f e x f e x x +=； [] [] )()()(''x f x f e x f e x x -=--。 1.(母题)求多项式函数1 011()...n n n n f x a x a x a x a --=++++的导数. 【解析】：()12 110'1)(---+???+-+=n n n a x a n x na x f 。 2.(母题)求tan y x =的导数. 【解析】：= ' y 21 cos x 。 3.(母题)求tan x y e x =的导数。
求导法则及求导公式
§2 求导法则 上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象. 因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数： x x x f cos sin )(1+= x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2?= )sin()(2ax x g = x x x f a log cos )(3= x x g arcsin )(3= x c x f sin )(4= x x g arccos )(4= 一、导数的四则运算 问题1 设x x x f cos sin )(±=,求)('x f . 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== .即 )'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=± 一般地,有如下和的导法则： 定理1（和的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± （求导是线性运算） 证明 令 )()()(x g x f x y += 。时当0)()()()()()()]()([)]()([→?'+'→?-?++ ?-?+=?+-?++?+=??x x g x f x x g x x g x x f x x f x x g x f x x g x x f x y 问题2 设x a x x f ?=sin )(,则a a x a x x f x x ln cos )'()'(sin )('??=?=对吗？
常用的基本求导定律
1 .基本求导公式 ⑴(C) 0 （C 为常 数） ⑵ (x n ) nx ；般地，（x ） x 。 特别地： 2 (x) 1 , (x ) 2x , 1 (―) x 2 , ( '、x) x 2、X ⑶(e x ) x e ； -般地， (a x ) a x ln a (a 0,a 1)。 ⑷(lnx) 1 一般地， (lo g a x)- 1 (a 0,a 1)。 x xln a 2 .求导法则⑴四则运算法则 设 f (x ), g (x )均在点 X 可导，则有：(I) (f(x) g(x)) f (x) g (x); (n) (f (x)g(x)) f (x)g(x) f(x)g (x)，特别(Cf (x)) Cf (x)(C 为常数)； 常用的不定积分公式 5、定积分 b b a f(x)dx F(x) |a F(b) b b & a f (x) dx k 2 a g(x)dx x dx (1) x 3 dx 1 x 1 4 x c 4 ( 1), dx x c, xdx c , x 2 dx (2) ^dx x In | x| C e x dx e x C ; a x dx x a ln a C (a 0,a 1)； (3) kf(x)dx k f (x)dx （k 为常 数） 5)(g(x) f(x) ) f(x)g(x) 2‘ f(x)g(x) ,(g(x) g 2(x) 0） ，特别爲 g (x) 。 3 .微分函数y f （x ）在点x 处的微分: dy y dx (x)dx F(a) b a [k 1 f (x) k 2g(x)]dx a
求导基本法则和公式
四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且
求导法则(一)
§3.2 求导法则（一） 教学内容 1.函数的和、差、积、商的求导法则； 2.反函数的求导法则； 3.复合函数的求导法则. 教学重点与难点 导数的运算法则及导数基本公式. 简要复习上节内容 1.导数的定义； 2.导数的定义的几种形式； 3.可导的充要条件； 4.函数可导与连续的关系； 5.导数的几何意义、物理意义. 一、导数的四则运算法则 设),(x u u =)(x v v =都在x 处可导，则有 ①v u v u '±'='±)(； ②v u v u uv '+'=')(； u c cu '=')(； ③2 )(v v u u v v u '-'='. 我们现在只证明②. 证 设=)(x f )()(x v x u 则 h x f h x f x f h )()(lim )(0-+='→=h x v x u h x v h x u h ) ()()()(lim 0-++→ =h x v x u x v h x u x v h x u h x v h x u h )()()()()()()()(lim 0-+++-++→ =h x v h x v h x u h )()()(lim 0-++→+=-+→h x u h x u x v h ) ()() (lim 0=v u v u '+' 例1 2sin cos 4)(3π -+=x x x f ，求)(x f '，)2(π f '. 解 )(x f '=x x sin 432-， )2(πf '=443 2-π. 例2 求21 log 3tan sin a y x x x x =++的导数. 解 x x x a x x x x y a 2 22sin cos sec 3ln log 2-+++='.
第2讲 第2课时 导数与函数的极值、最值
第2课时 导数与函数的极值、最值 利用导数解决函数的极值问题(多维探究) 角度一 根据图象判断函数的极值 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x ) 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 【解析】 由题图可知，当x <－2时，1－x >3，此时f ′(x )>0；当－2
第二讲函数与导数2.docx
第二讲函数与导数 导数 (19)、(06全国1)(本小题满分14分) 设Q为实数，函数/(x) = x3-ax2+(^2-l)x在(-8,0)和(l,+oo)都是增函数, 求d的取值范围。 (19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力. 满分12分。 解：(I) ???f(x)+2x>0的解集为(1, 3), ???f(x)+2x=a(x?l)(x?3),且a<0.因而f(x)=a(x-1 )(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. ① 由方程f(x)+6a=0得 ax2-(2+4a)x+9a=0. ② 因为方程②有两个相等的根，所以△=[-(2+4a)J2-4a?9a=0, 即5a2-4a-l=0. 解得a=l或a=- —. 5 由于a<0,舍去a=l .将a二丄代入①得f(x)的解析式 3 - 5 - X 6 - 5 2?X 1 - 5 ■ (II)由 f(x)=ax2-2(l+2a)x+3a 1 + 2Q 9 cT+4G +1 =a(x- ----- 厂 ---------- a a 及go,可得f(x)的最大值为?"1 a ci~ + 4ci +1 . -------------- >0, 由] a a < 0, 解得a<-2- V3 或?2+ V3 导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、=n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、 ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1'（） 5、ln =x x 1 '（） 6、 sin cos =x x '（） 7、 cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211'（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±（） 2、 =u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu '' ） 4、u -v =u v u v v 2'''（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b 内，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的 单调增区间。 2、如果在(,)a b 内，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的 单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x15 = （2） ) - y x x 3 =≠0 （ （3） ) y x x 5 4 =0 （ （4） ) y x x 2 3 =0 （ （5） ) - y x x 2 3 =0 （ （6）y x5 = （7） sin y x = （8） cos y x = （9） x y=2 （10） ln y x = （11） x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 1 4 =，x=16 （2）sin y x = ， x π=2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ， x π=4 （5）3y x = ，1128（，） （6） +x y x 2=1 ，x =1 （7）y x 2= ，,24（） 3、计算下列各类函数的导数； （1）x +-y x x 765 =3 第一讲函数、极限与连续 重要公式与结论 一、函数的奇偶性、周期性与导数、积分的联系 1.设)(x f 是可导的偶函数，则)(x f '为奇函数，且0)0(='f ； 设)(x f 是可导的奇函数，则)(x f '为偶函数。 2.设)(x f 连续：如)(x f 为偶函数，则dt t f x )(0?为奇函数；如)(x f 为奇函数，则对任意的a ，dt t f x )(0?为偶函数。 3.设)(x f 在[]a a ,—上连续，则 ? ?-?? ???=a a a x f x f dx x f dx x f , )(,0,)(, )(2)(0 为奇函数为偶函数 4.可导的周期函数的导函数仍为同周期函数。 5.设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则 ? ??? ? ===-+nT T T T T T a a dx x f n dx x f dx x f dx x f dx x f 0 22 . )()(, )()()( 二、在自变量不同变化过程中的函数极限及其联系 1..)(lim )(lim )(lim 0 A x f x f A x f x x x x x x ==?=-+→→→ 2..)(lim )(lim )(lim A x f x f A x f x x x ==?=-∞→+∞→∞→ 3..)(lim )(lim A x f A x f n x =?=∞ →∞→ 4.设.)(lim )(lim ,)(lim ,lim 0 0A x f x f A x f x x x x n n x x n n ====→∞→→∞→则 [评注]由结论3，4知可利用函数极限求数列极限。 三、连续的隐含条件 如题中给了连续条件，应充分利用以下结论： 盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1 )(-='n n nx x ；一般地，1 )(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2 ='，21 )1(x x - ='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln = '；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）? ?=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则 ?? -=b a b a b a x du x v x v x u x dv x u )()()()()()( 基本求导公式 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 这是基本求导公式，只能根据导数的定义来求。导数的定义就是给X一个增Δx，求出ΔY,然后求ΔY/Δx的极限（当Δx→0时）。函数是Y=X^nΔY=(X+Δx)^n-X^n把(X+Δx)^n展开（按n为正整数），展开式写起来很麻烦，我给你叙述一下，你应能理解。展开式中，第一项是X^n，最末项是（Δx)^n，中间的项中，X是降幂，Δx是升幂，系数是前后对称，如n=2，系数是1，2，1；n=3，系数是1，3，3，1；等等。注意，n是几，第二项的系数就是几。只需考虑展开式中的前两项。第一项是X^n，它将会与ΔY=(X+Δx)^n-X^n中的-X^n项抵消。第二项是[nX^(n-1)]*Δx,其后的项中，Δx的方次都比1大。现在来考虑比值ΔY/Δx，前边说过，第一项已消失，第二项除以Δx后为[nX^(n-1)]，其后各项除以Δx后都还剩有Δx因子。因此，当Δx→0取极限时，就只剩下[nX^(n-1)]，其后的项都成为0了。这就是你要证的求导公式。（顺便说一下，上述是以n为正整数来证明的，n为任意实数时也是成立的。）(X+Δx)^n的展开式在纸上写起来也并不太麻烦，只是在这里写起来，为避免误会，需加的括号太多，就显得麻烦了。第一项系数是1，第二项系数是n,第三项系数是[n(n-1)]/(1*2) 10～12是利用函数的商的求导法则。如(secx)'＝secx*tanx。(secx)'＝(1/cosx)'＝－(cosx)'/(cosx)^2＝sinx/(cosx)^2＝secx*tanx 13～16是利用反函数的求导法则：y＝f(x)的反函数是x＝g(y)，则dx/dy＝1/(dy/dx)。如(arcsinx)'＝1/√(1－x^2)。y＝arcsin x的反函数是x＝siny。已知dx/dy＝(siny)'＝cosy＝√(1－x^2)。所以dy/dx＝1/(dx/dy)＝1/√(1－x^2)。即(arcsinx)'＝1/√(1－x ^2) f(x)=c,则f'(x)=0f(x)=x^n,则f'(x)=nx^n-1f(x)=sinx,则f'(x)=cosxf(x)=cosx,则f'(x)=-sinxf(x)=a^x,则f'(x)=a^xlna(a>0)f(x)=e^x,则f'(x)=e^xf(x)=logax,则f'(x)=1/xlna(a>0且a不等于1) f(x)=lnx,则f'(x)=1/x 四、基本求导法则与导数公式 １.基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作 用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如 下： 基本初等函数求导公式 (1) ) (=' C (2) 1 ) (- ='μ μμx x (3) x x cos ) (sin=' (4) x x sin ) (cos- = ' (5) x x2 sec ) (tan=' (6) x x2 csc ) (cot- =' (7) x x x tan sec ) (sec= ' (8) x x x cot csc ) (csc- =' (9)(10)(e)e x x '= (11)(12) x x 1 ) (ln=' ， 2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图象与性质课时作业 理 A 组——高考热点基础练 1．(2016·济南3月模拟)函数y ＝log 3x －的定义域为( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C.? ?? ??12，＋∞ D.? ?? ??12，1 解析：由log 3(2x －1)≥0得2x －1≥1，x ≥1.因此函数的定义域是[1，＋∞)，故选A. 答案：A 2．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝????? log 12x ，x >0， 3x ，x ≤0， 则f (f (4))的值为( ) A ．－1 9 B ．－9 C.19 D ．9 解析：因为f (x )＝????? log 12x ，x >0， 3x ，x ≤0， 所以f (f (4))＝f (－2)＝1 9 . 答案：C 3．(2016·湖南东部六校联考)函数y ＝lg|x |( ) A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 解析：因为lg|－x |＝lg|x |，所以函数y ＝lg|x |为偶函数，又函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y 轴对称，可得y ＝lg|x |在区间(－∞，0)上单调递减，故选B. 答案：B 4．函数f (x )＝2|log 2x |－? ??? ??x －1x 的图象为( ) 解析：由题设条件，当x ≥1时，f (x )＝2log 2x －? ????x －1x ＝1 x ；当0 基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且基本初等函数的导数公式表
微积分重要公式
常用的基本求导公式
基本求导公式
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图象与性
基本求导法则与导数公式