几何原本
2．如图ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，则
BN
NC
= . D
A
C
B
二．（A ） 已知如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC, 以两腰AB,CD 为一边分别向两边作正方形ABGE 和DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q 。 求证：EP=FQ
G
H
二．（B ） 已知如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC, 以两腰AB,CD 为一边分别向两边作正方形ABGE 和DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M 。
求证：M 为EF 的中点。
G
G
二． （C ）已知如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC, 以两腰AB,CD 为一边分别向两边作正方形ABGE 和DCHF ， 连接EF ，设线段EF 的中点为M 。 求证：MA=MD 。
三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t 2)为抛物线y ＝x 2上位于三角形ABC 内（包括边界）的一动点，BP 所在的直线交AC 于E ， CP 所在的直线交AB 于F 。将
BF
CE
表示为自变量t 的函数。
2．如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 为中位线，S △ABD ∶S △BCD =3∶7，
则S 梯形AEFD ∶S 梯形EBCF =______________． A
B
C
D
E
F
2．（20分）如图，△ABC 中，∠C=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD ． 求证：BD=CD ．
如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于点P ，交角为
45°，若2
2PF PE +=8，则AB 等于 ▲ .
如图，在□ABCD 中，∠B =60°，AE ⊥BC ，
（第10题）
AF ⊥CD ，E ，F 为垂足. 设□ABCD 的面积为 S ，则△AEF 的面积为 ▲ .
11．如图，AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高线，要使
△ACD 的面积是△ABC 和△ABD 面积的比例中项， 请你添加一个适当的条件：▲ .
13．（12分）如图，P 为正方形ABCD 内的一点，画
□P AHD ，□PBEA ，□PCFB ，□PDGC ，请证明：
以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是正方形.
15．（18分）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，
EF ⊥EC ，交AB 于点F ，连结CF .
（1）图中的哪些三角形相似？请证明你的判断； （2）当矩形ABCD 满足什么条件时，图中所有的
三角形都两两相似？请说明理由.
16．（18分）设a ，b ，c 都是正整数，关于x 的方程02
=+-c bx ax 有两个小于1
的不等正数根βα,. （1）求证：βα,中一个小于21，另一个大于2
1
； （2）求出a 的最小值.
A B
C
D
D
C
A F
B E
5．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1,则这个正方形的面积为（ ） （A ）
2537+（B ）2
5
3+ （C ）
2
1
5+（D ）()
221+
7．如图，在ABC Rt ?中，∠C=90°∠A=30°∠C 的 平分线与∠B 的外角平分线交于E 点，连结AE ，则是
（A ） 50° （B ）45° （C ）40° （D ）35°
13．如图，在ABC Rt ?中，∠ACB=90°，CD 是角平分线，DE ∥BC 交AC 于点E ，
DF ∥AC 交BC 于点F
求证：（1）四边形CDEF 是正方形； （2）BF AE CD ?=22
10.如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的三等分点，连结OC 并延长交⊙O 于点D 。若OC=3，CD=2，则圆心O 到弦AB 的距离是( )
A.6
B.9-
C.
D.25-3
27.如图，AB 、CD 是半径为1的⊙P 两条直径，且∠CPB=120°，⊙M 与PC 、PB 及弧都
相切，O 、Q 分别为PB 、弧
上的切点。
(1)试求⊙M 半径r ；
b
b
a
b
a
a
Ⅳ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
C A
B
D
C B
A
(2)以AB 为x 轴，OM 为y 轴(分别以OB 、OM 为正方向)建立直角坐标系， ①设直线y=kx+m 过点M 、Q ，求k ，m ；
②设函数y=x 2
+bx+c 的图像经过点Q 、O ，求此函数解析式； ③当y=x 2
+bx+c<0时，求x 的取值范围；
④若直线y=kx+m 与抛物线y=x 2
+bx+c 的另一个交点为E ，求线段EQ 的长度。
竞赛：初中数学竞赛
11、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。
A
B C
E
F
如图，设△ABC 是直角三角形，点D 在斜边BC 上，BD ＝4DC 。已知圆过点C 且与AC 相交于F ，与AN 相切于AB 的中点G 。求证：AD ⊥BF 。
2、如图，D ，E 是△ABC 边BC 上的两点，F 是BC 延长线上的一点，∠DAE=∠CAF 。（1）判断△ABD 的外接圆与△AEC 的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若△ABD 的外接圆的半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE 的长。
A
B
C
D
E
F
3、如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹的锐
角为θ，且∠BEG 与∠CFH 都是锐角。已知EG=k ，FH=l ，四边形EFGH 的面积为S 。
（1）求证：sin θ=kl S
2；
（2）试用S l k ,,来表示正方形的面积。
求所有的正整数a ，b ，c ，使得关于x 的方程0232=+-b ax x ，0232
=+-c bx x ，
0232=+-a cx x 的所有的根都是正整数。
A B
C
D
E
F
G H
|èO
4、在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，DE ⊥AC ，E 为垂足，DF ⊥AB ，F 为垂足。O 为△ABC 的外心。 求证：（1）△AEF ∽△ABC ； （2）AO ⊥EF
5、如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P 。求证：PM ?PN ＝PR ?PS
l
A B
D
M
O C
2、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r ，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为
.
如图，等腰三角形ABC 中，P 为底边BC 上任意点，过P 作两腰的平行线分别与AB ，AC 相交于Q ，R 两点，又P`的对称点，证明：P'在△ABC 的外接圆上。
9．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好
照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成45o，∠A=60o CD=4m ，BC=()
2264-m ，则电线杆AB 的长
为_______m.
11．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P. 问EP 与PD 是否相等？证明你的结论.
解：
3．如图，AB ，CD 是圆O 的直径，且AB ⊥CD ，P 为CD 延长线上一点，PE 切圆O 为E ，BE 交CD 于F ，AB=6cm,PE=4cm,则EF
．
P B
C
2分
3．等边三角形ABC 中，D 是BC 边上的一点，且BD=2CD ，P 是AD 上的一点。 ∠CPD=∠ABC ，求证：BP ⊥AD
2、锐角ΔABC 中，AB ＞AC ，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，过D 作BC 的垂线交BE 于F ，交CA 的延长线于P ，过E 作BC 的垂线，交CD 于G ，交BA 的延长线于Q ，证明：BC 、DE 、FG 、PQ 四条直线相交于一点。 四、（本题满分25分）如图，AB 是⊙o 的直径，AB=d ，过A 作⊙o 的切线并在其上取一点C ，使AC=AB ，连结OC 叫⊙o 于点D ，BD 的延长线交AC 于E ，求AE 的长。
5、如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角等于 度。
13、如图，三角形ABC 的面积为1，BD ∶DC=2∶1， E 为AC 的中点，AD 与BE 相交于P ，那么四边形PDCE 的面积为 。
18、如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠B+∠C=90°，EF=10，E ，F 分别是
AD ，BC 的中点，则BC －AD ＝________
19、如图，正方形ABCD 的边长为1，P 为AB 上的点， Q 为AD 上的点，且△APQ 的周长为2， 则∠PCQ=_______
B A O E D
21、在长方形内画一些直线，已知边上有三块面积分别
为13，35，49，图中的数据表示所在的小块面积，则图中的阴影部分的面积为 。
北京十一培训学校竞赛辅导——简单的面积问题
例1 已知△ABC 中三边长分别为，，，c b a 对应边上的高分别为
354===c b a h h h ，，．求a ∶b ∶c ．
例2 E 、F 分别是□ABCD 的边AD 、AB 上的点，求证：△EBC 和△FCD 的面积相等．
F
E D C
B
A
例3 如图，□ABCD 的面积为64平方厘米，E 、F 分别为AB 、AD 的中点．求△CEF 的面积．
F E
D C
B
A
例4 如图，已知△ABC 的面积为1，且BD=21DC ，AF=21FD ，CE=2
1
EF ．求△DEF 的面积．
F
E
D
C
B A
例5 用面积方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边．
F
E
C
B
A
例6 如图 在△ABC 中，E 是AB 的中点，D 是AC 上的一点，且AD ∶DC=2∶3，BD 与CE 交于F ， S △ABC =40．求S AEFD ．
F
E
D C
B
A
例7 如图 E ，F 分别是□ABCD 的边AD ，AB 上的点，且BE=DF ，BE 与DF 交于O ．求证：C 点到BE 的距离等于它到DF 的距离．
P
F E
D
C B
A
练习题
1．如图 在△ABC 中，EF ∥BC ，且AE ∶EB=m ，求证：AF ∶FC=m ．
F
E
C
B
A
2．如图 在梯形 ABCD 中， AB ∥CD ．若△DCE 的面积是△DCB 的面积的4
1
，问：△DCE 的面积是△ABD 的面积的几分之几？
E
D C
B
A
3．如图 已知P 为△ABC 内一点，AP 、BP 、CP 分别与对边交于D 、E 、F ，把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC 的面积．
30
3540
84P F E D
C
B
A
4．如图 P 为△ABC 内任意一点，三边c b a ，，的高分别为，，，c b a h h h 且P 到c b a ，，的距离分别为c b a t t t ，，．求证：
1=++c
c
b b a a h t h t h t ． P
C
B
A
5．如图 在梯形ABCD 中，两腰BA ，CD 的延长线相交于O ，OE ∥DB ，OF ∥AC 且分别交直线BC 于E 、F ．求证：BE=CF ．
O F
E
D
C
B A
6．如图 E 是△ABC 的AC 边的中点，EF ⊥AC 交AB 延长线于F ，BD ⊥AC 于D ．求证：
ABC ADF S S ??=
2
1
．
F
E
D C
B
A
P
D
C
B
A
7．平行四边形内任意一点和它的各顶点连线，将四边形分成四个三角形．求证：相对两个三角形面积和等于另两个三角形面积和．
8．E 是□ABCD 中BC 边的中点，AE 交BD 于G ，S △BEG =1．求□ABCD 的面积．
G
E
D
C
B
A
9．如图，ABCD 、BEFG 是两个放在一起的正方形．请你证明ΔDEG 的面积等于大正方形BEFG 面积的一半．
G
F
E
D C B
A
10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，EF ⊥AB 于F ．求证：S 梯形ABCD =AB ·EF ．
F
E D
C
B A
11．如图，已知在边长为a 的正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，P 是CE 的中点，F 是BP 的中点．求△BFD 的面积与正方形ABCD 的面积的之比．
P
E
D
C
B
A
F
12．如图，正方形ABCD 中，AB=3，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE=30o，∠DAF=15o，求△AEF 的面积。
B
B
14．如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=2，AD=1，∠B=45o，动点E 在折线BA-AD-DC 上移动，过点E 作EP ⊥BC 于点P ，设BP=x ，请写出题中所有能用x 的代数式表示的图形的面积。
初三数学竞赛专题讲座
——有关三角形与四边形的竞赛题 [例题精讲]
例1、ΔABC 的面积为1，D 、E 为BC 的三等分点，F 、G 为CA 的三等分点（如图所示）. 求四边形PECF 的面积.
C
G A B
D E
P
F
例2、如图所示，A 、B 、C 、D 是一个凸四边形的四个顶点，在ABCD 所在平面上求一点P ，使得PA+PB+PC+PD 最小.
例3、在ΔABC 中，已知∠A=90o，AB=AC ，BD 是中线，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F.求证：∠ADB=∠CDF.（99年天津市初中数学竞赛题）
例4、已知：如图，以ΔABC 的AB 、AC 为斜边向外作直角三角形ABD 和ACE ，∠ADB=∠AEC=90o，且使∠ABD=
∠ACE ，M 是BC 的中点. 求证：DM=EM.（98年“祖冲之杯”邀请赛试题）
例5、已知：在ΔABC 中，∠ACB=90o，∠ABC=15o，BC=1，则AC 的长为（ ） （A ）2+3 （B ）32-（C ）0.3 （D ）23-
例6、如图，P 是等边三角形ABC 内部的一点，PA=2，PB=32，PC=4.
求ΔABC 的边长.
例7、已知：如图，边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB=60o，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足：AE+CF=a.
求证：无论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形. 1、 如图，ABCD 、BEFG 是两个放在一起的正方形，
2、 请你证明ΔDEG 的面积等于大正方形BEFG 面积的一半.
A
B C
D A C D C B A P A B
C
D E F
P A
B
C
?
D
2、在ΔABC 中，AB=3AC. 问：（1）在ΔABC 中，哪条边是最小边？
（2）
AC
BC
的值在什么范围内变化？
3、已知：在ΔABC 中，AD 为高，且AB+CD=AC+BD. 求证：AB=AC.
4、如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB=10，CD=40，则EF = .
6.如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，
F 是CD 上的点，已知S △ABE =S △ADF =
3
1
S ABCD ,则S △AEF
: S △CEF 的值等于
（A ）2 (B)3 (C)4 (D)5
7．如图，△ABC 中，∠A =2∠B ,CD 是∠C 的平分线， ∠C ≠72o
，P 是AB 边的中点，则 （A ）AD =BC -CD (B)AD =BC -CA (C) AD =BC -AP (D)AD =BC -BD
15．如图，P 为平行四边形ABCD 内一点，过点P 分
别作AB 、AD 的平行线交平行四边形E 、F 、G 、
H 四点，若S AHPE =3, S PFCG =5,则S △PBD = ▲
4、一个等腰三角形的周长为16，底边上的高是4，则这个三角形的三边长分别是________，________，_________。
5、已知:如图1，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、 CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ， 若∠EAF=500
，则∠CME +∠CNF =________。
9、已知矩形的周长是72cm ，一边中点与对边的两个端点连线的夹角为直角，则此矩形的长边长为_______cm ，短边长为________cm 。
A C D E
F A
B
C D F
E N
M
图1
A
B
C
D E
F 图3
10、如图3，在矩形ABCD 中，DC=5cm,在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△AED 折叠， 使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F,
若△ABF 的面积为30cm 2,那么折叠的△AED 的面积为_______。 22、(10分)已知：如图7，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ⊥
BD 于O ，
BC= AB=a CD=b a+b=34.，如果，，求：a 、b 的值。
如图，正三角形ABC 的中心O 恰好为扇形ODE 的圆心，∠DOE=120°且点B 在扇形内，将扇形ODE 绕点O 无论怎样旋转，△ABC 与扇形重叠部分的面积为多少？
(08)如图，设AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE 的长为（ ） （A ）185 （B ）4 （C ）215
（D ）245
(08)在△ABC 中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）
（A ）BM > CN （B ）BM = CN （C ）BM < CN （D ）BM 和CN 的大小关系不确定
A
B
C
D
图7
O
E
C
F
B
F
A E
(08)如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且AM
∠MAN = 135°，则四边形AMCN 的面积为 。
（06）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO QP =，则
QA
QC
的值为（ ） （A ）132- （B ）32 （C ）2
3+
（D ）23+
竞赛
15、如图，在等腰三角形ABC 中，延长AB 到点D ，延长CA 到点E ，连结DE 。如果AD=BC=CE=DE ，求∠BAC 的度数。
16、如图，在长方形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，P 为AB 上任意一点，Q 为OC 上任意一点，已知：AC=2，BC=1。（1）求折线OPQB 的长的最小值；（2）当折线OPQB 的长最小时，试确定Q 的位置。
11、如图，抛物线)0(2>+=a bx ax y 与双曲线x
k
y =
相交于点A 、B ，已知点A 坐标（1，4），点B 在第三象限内，且⊿AOB 的面积为3（O 为坐标原点）。⑴求实数a 、b 、k 的值；
⑵过抛物线上点A 作直线A C ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足⊿EOC~⊿AOB 的
点E 的坐标。
C B
D
A
N
M
O
9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则
AE
AD
．
3．如图，AB ，CD 是圆O 的直径，且AB ⊥CD ，P 为CD 延长线上一点，PE 切圆O 为E ，BE 交CD 于F ，AB=6cm,PE=4cm,则EF 的长=
（第9题）
C
几何原本与九章算术的异同
《几何原本》与《九章算术》的异同 《几何原本》和《九章算术》都是经典的数学著作，一部是西方的著作，一部是中国的古代著作，这两部著作都对后来的数学发展做出了很大的贡献，并对人类文明产生深远的影响。《几何原本》和《九章算术》本身是关于纯数学的专著，但高度抽象化的数学是必定是需要和其它的学科相结合的。 下面，我就《几何原本》和《九章算术》的异同做一些阐述，首先，《几何原本》和《九章算术》产生的背景不同： 《几何原本》产生的背景： 欧几里得的生平，现在知道的甚少，欧几里得在公元前300年左右，来到亚历山大里亚教学．人们称赞欧几里得治学精神严谨、谦虚，是一个温良敦厚的数学教育家．欧几里得在从事数学教育中，总是循循善诱地启发学生，提倡刻苦钻研，弄懂弄通，反对投机取巧、急功近利的狭隘思想．欧几里得在从事数学教育中，善于积累数学知识，并进行了拓宽与创新．他的巨著《几何原本》是一生中最重要的工作，这部著作的形成具有无以伦比的历史意义．他精僻地总结了人类长时期积累的数学成就，建立了数学的科学体系，为后世继续学习和研究数学提供了课题和资料，使几何学的发展充满了活的生机．这部著作长时期被人崇拜、信仰，从来没有一本教科书，像《几何原本》那样长期广为传颂．从1482年到19世纪末，欧几里得《几何原本》的印刷本竟用各种文字印刷1000版以上，在此之前，它的手抄本统御几何学也已达近1800年之久．欧几里得继承和发展了前人的数学知识，《几何原本》所用到的材料大部分是希腊前期各学派创建的成果．欧几里得是柏拉图的门徒，他的著作基本沿续了柏拉图的传统思想，承袭了《共和国》中所论及的科学方法．欧几里得在《几何原本》中，发展了柏拉图的以哲学为基础，“数论、几何、音乐、天文”4科为内容的科学思想． 另外，欧几里得还采用了欧多克索斯等学者的一些定理，并加以完善．《几何原本》所采用的公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按严谨的科学体系进行编排，使之系统化、理论化，超过了以前的所有著作，因此，当《几何原本》问世之后，其它诸类逐渐消声匿迹了．
几何学基础简介
几何学基础简介 Lex Li 几何原本简介 古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。 作为基础的五条公理和公设 五条公理 1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等； 3.等量减等量，其差相等； 4.彼此能重合的物体是全等的； 5.整体大于部分。 五条公设 1.过两点能作且只能作一直线； 2.线段(有限直线)可以无限地延长； 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆； 4.凡是直角都相等； 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 《几何原本》的主要内容 欧几里得的《几何原本》共有十三卷。 目录 第一卷几何基础 第二卷几何与代数 第三卷圆与角 第四卷圆与正多边形 第五卷比例
第六卷相似 第七卷数论（一） 第八卷数论（二） 第九卷数论（三） 第十卷无理量 第十一卷立体几何 第十二卷立体的测量 第十三卷建正多面体 各卷简介 第一卷：几何基础。重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理； 第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。 第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。 第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质； 第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是"最重要的数学杰作之一" 第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。 第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。 第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容. 从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。 《几何原本》的意义和影响 在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。 论证方法上的影响 关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。
《几何原本》读后感3000字
《几何原本》读后感3000字 导读：读书笔记《几何原本》读后感3000字，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 《几何原本》读后感3000字： 公理化结构是近代数学的主要特征。而《原本》是完成公理化结构的最早典范，它产生于两千多年前，这是难能可贵的。不过用现代的标准去衡量，也有不少缺点。首先，一个公理系统都有若干原始概念，或称不定义概念，作为其他概念定义的基础。点、线、面就属于这一类。而在《原本》中一一给出定义，这些定义本身就是含混不清的。其次是公理系统不完备，没有运动、顺序、连续性等公理，所以许多证明不得不借助于直观。此外，有的公理不是独立的，即可以由别的公理推出。这些缺陷直到1899年希尔伯特（Hilbert）的《几何基础》出版才得到了补救。尽管如此，毕竟瑕不掩瑜，《原本》开创了数学公理化的正确道路，对整个数学发展的影响，超过了历史上任何其他著作。 《原本》的两个理论支柱--比例论和穷竭法。为了论述相似形的理论，欧几里得安排了比例论，引用了欧多克索斯的比例论。这个理论是无比的成功，它避开了无理数，而建立了可公度与不可公度的正确的比例论，因而顺利地建立了相似形的理论。在几何发展的历史上，解决曲边围成的面积和曲面围成的体积等问题，一直是人们关注的重要课题。这也是微积分最初涉及的问题。它的解决依赖于极限理论，
这已是17世纪的事了。然而在古希腊于公元前三四世纪对一些重要的面积、体积问题的证明却没有明显的极限过程，他们解决这些问题的理念和方法是如此的超前，并且深刻地影响着数学的发展。 化圆为方问题是古希腊数学家欧多克索斯提出的，后来以“穷竭法”而得名的方法。“穷竭法”的依据是阿基米得公理和反证法。在《几何原本》中欧几里得利用“穷竭法”证明了许多命题，如圆与圆的面积之比等于直径平方比。两球体积之比等于它们的直径的立方比。阿基米德应用“穷竭法”更加熟练，而且技巧很高。并且用它解决了一批重要的面积和体积命题。当然，利用“穷竭法”证明命题，首先要知道命题的结论，而结论往往是由推测、判断等确定的。阿基米德在此做了重要的工作，他在《方法》一文中阐述了发现结论的一般方法，这实际又包含了积分的思想。他在数学上的贡献，奠定了他在数学史上的突出地位。 作图问题的研究与终结。欧几里得在《原本》中谈了正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正十五边形的作图，未提及其他正多边形的作法。可见他已尝试着作过其他正多边形，碰到了“不能”作出的情形。但当时还无法判断真正的“不能作”，还是暂时找不到作图方法。 高斯并未满足于寻求个别正多边形的作图方法，他希望能找到一种判别准则，哪些正多边形用直尺和圆规可以作出、哪些正多边形不能作出。也就是说，他已经意识到直尺和圆规的“效能”不是万能的，可能对某些正多边形不能作出，而不是人们找不到作图方法。1801
《几何原本》读后感
万物皆有秩序 ——《几何原本》读后感 几何，是空间之秩序，是物质之规律，是造化之解析，是宇宙之始基，是逻辑之诗篇，是理性之美感。——题记 几何证明的引入，是初中数学的一个分水岭，许多同学的成绩出现了明显的下滑，也逐渐产生了对数学的恐惧，这不再只是一门计算的课程，而要开始与那些老师口中“大同小异”但学生眼中“大相径庭”的各类几何图形作斗争。学生们把对几何的困惑归结为“没感觉”，甚至开始有了遇到几何题就放弃的思想；一些家长也开始“妖魔化”几何，在孩子还没学几何时就开始不断吓唬他们：“不要以为数学很简单，等以后学了几何就困难了”云云。那究竟几何是否真的如此难学？还有无挽回学生学习几何的热情的可能？我想回到几何学的本源，从两千多年前伟大的数学家欧几里得的巨著《几何原本》中去寻找答案。 欧几里得，是一个熟悉的名字，常常出现在与数学有关的各个角落，我也曾在课堂上为学生演示“勾股定理”的证明时，使用过“欧几里得证法”；这也是一个陌生的名字，他的生平已经失传，仅存的著作便是这部《几何原本》，但仅凭这部著作便足以让他被冠以“几何之父”的头衔。 中国古代的数学体系以算术、代数为主，重视应用，如《九章算术》提出的谷物粮食按比例分配的算法、如何解决合理摊派赋税等问题。而古希腊的数学体系脱胎于哲学，对计算类问题涉及不深，旨在寻找宇宙的基本构成和数量关系。也许是因为古希腊的数学家们在面对浩瀚的星空时感受到了自身的渺小，所以想藉由建立起物质与精神世界的确定体系来获得些许自信。于是通过自明的简单公理进行演绎推理得出结论的方法诞生了，逻辑的三段论由亚里士多德提出，并被欧几里得应用于实际知识体系构建，这也是我们现在所运用的几何证明的推理演绎法的起源。 书中提出了五条公设和五条公理，这些都是无需证明的显在事实，如“凡直角都相等”、“整体大于部分”……这些都不需要什么数学基础，只要稍有生活常识的人都很明了。就是靠着这些简单的基础原理，通过演绎推理的方法，在本书中论证了465个命题。我在此不愿过多赘述这些论证的过程，因为这并不是一本数学教本，我更愿把它作为一本建立秩序的书。万物都要依托空间而存在，《几何原本》是一部建立空间秩序最久远的方案之书，也意味着为万物的秩序建立树立了标榜。 几何中的空间秩序是客观存在的，欧几里得不满足于发现这些秩序，更试图去证明这些秩序的正确性。我们生活中常有这样的现象：我们常被告知要遵守某些秩序，但在不明就里时我们会有一种抵触情绪；一旦我们了解了这些秩序的由来或原因后，往往会更愿意遵守。一个简单的例子，有些国家习惯靠左行，有些国家习惯靠右行，仅仅以“因为大家都这样所以你也要这样”来解释实在太牵强，一些人尤其是孩子就不容易接受。如果告诉了他们英国人靠右行因为骑士骑马习惯左脚先上马镫，所以要靠路左上马；而法国本来也是这个习惯，后来拿破仑大革命后，为了彻底打破贵族习俗，开创了靠右行的习惯并沿用至今，那么知道这些后，有理可循，自然更容易接受这些秩序。所以有理有据的秩序才更容易被人接受，这个道理早在两千多年前就被欧几里得表述在了《几何原本》中。再联系到我们几何的教学，一些学生记不住定理或者不会用定理，也许也是因为在学习定理的初始阶段，没有向他们阐述清楚定理证明的过程，对定理的证明理解得越透彻，也就会越理解在怎样的情况下更适合运用哪些定理。先学会证明定理，再学会应用它，这就是学习几何的秩序。 每个人都有求知欲、都有探索客观世界的意愿、都有对美的向往，因此不应该有人对几
欧几里得与欧几里得几何
欧几里得与欧几里得几何 亚历山大里亚的欧几里得（约公元前330年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。 欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何学的开创者。欧几里得生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。他在有攀滋入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里。他潜心求索，以继器粕拉图的学术为奋斗目标，除此之外，他哪儿也不去，什么也不干。熬翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿，可以说，连柏拉图的亲传攀擎也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。经过对柏拉图思想的深入探究，他得出结论：图形是神绘制的，所有一切籀象的逻辑规律都体现在图形之中。因此，对智慧的训练，就应该从戡图形为主要研究对象的几何学开始。他确实领悟到了柏拉图思想的要旨，并开始沿着柏拉图当年走过的道路，把几何学的研究作为自醺羽主要任务，并最终取得了世人敬仰的成就。 最早的几何学兴起于公元前7年的古埃及，后经古希腊等人传到古希腊的都城，又借毕达哥拉斯学派纂糯典。在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然黔这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之问、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。因此，随着社会经济的繁荣和发展，特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成为科学进步的大势所趋。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。他下定决心，要在有生之年完成这一工作。为了完成这一重任，欧几里得不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠—亚历山大城，为的就是在这座新兴的，但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷。在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的理解，哪怕是尚肤浅的理解。经过欧几里得忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书。这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学，简称欧氏几何。 不朽的平面几何学著作 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。传到今天的欧几里得著作并不多，然而我们却可以从这部书详细的写作笔调中，看出他真实的思想底蕴。 全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。在每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。而在整部书的内容安排上，也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭 法等内容。其中有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源。仅仅从这些卷帙的内容安排上，我们就不难发现，这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——前后总共400多年的数学发展历史。这其中，颇有代表性的便是在第1卷到第4卷中，欧几里得对直边形和圆的论述。正是在这几卷中，他总结和发挥了前人的思维成果，巧妙地论证了毕达哥拉斯定理，也称“勾股定理”。即在一直角三角形中，斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的两个正方形的面积之和。他的这一证明，从此确定了勾股定理的正确性并延续了2000多年。《几何原本》是一部在科学史上千古流芳的巨著。它不仅保存了许多古希腊
几何原本读后感
几何原本读后感 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，大约成书于公元前 300 年左右，下面是关于几何原本读后感的内容，欢迎阅读！ 几何原本读后感1 读《几何原本》的作者欧几里得能够代表整个古希腊人民，那么我可以说，古希腊是古代文化中最灿烂的一支——因为古希腊的数学中，所包含的不仅仅是数学，还有着难得的逻辑，更有着耐人寻味的哲学。 《几何原本》这本数学著作，以几个显而易见、众所周知的定义、公设和公理，互相搭桥，展开了一系列的命题：由简单到复杂，相辅而成。其逻辑的严密，不能不令我们佩服。 就我目前拜访的几个命题来看，欧几里得证明关于线段“一样长”的题，最常用、也是最基本的，便是画圆：因为，一个圆的所有半径都相等。一般的数学思想，都是很复杂的，这边刚讲一点，就又跑到那边去了；而《几何原本》非常容易就被我接受，其原因大概就在于欧几里得反复运用一种思想、使读者不断接受的缘故吧。 不过，我要着重讲的，是他的哲学。 书中有这样几个命题：如，“等腰三角形的两底角相等，将腰延长，与底边形成的两个补角亦相等”，再如，“如果在一个三角形里，有两个角相等，那么也有两条边相等”。这
些命题，我在读时，内心一直承受着几何外的震撼。 我们七年级已经学了几何。想想那时做这类证明题，需要证明一个三角形中的两个角相等的时候，我们总是会这么写：“因为它是一个等腰三角形，所以两底角相等”——我们总是习惯性的认为，等腰三角形的两个底角就是相等的；而看《几何原本》，他思考的是“等腰三角形的两个底角为什么相等”。想想看吧，一个思想习以为常，一个思想在思考为什么，这难道还不够说明现代人的问题吗？ 大多数现代人，好奇心似乎已经泯灭了。这里所说的好奇心不单单是指那种对新奇的事物感兴趣，同样指对平常的事物感兴趣。比如说，许多人会问“宇航员在空中为什么会飘起来”，但也许不会问“我们为什么能够站在地上而不会飘起来”；许多人会问“吃什么东西能减肥”，但也许不会问“羊为什么吃草而不吃肉”。 我们对身边的事物太习以为常了，以致不会对许多“平常”的事物感兴趣，进而去琢磨透它。牛顿为什么会发现万有引力？很大一部分原因，就在于他有好奇心。 如果仅把《几何原本》当做数学书看，那可就大错特错了：因为古希腊的数学渗透着哲学，学数学，就是学哲学。 哲学第一课：人要建立好奇心，不仅探索新奇的事物，更要探索身边的平常事，这就是我读《几何原本》意外的收获吧！
世界数学发展史
第一节数学发展的主要阶段 2009-10-12 10:05:28 来源：中外数学网浏览：7次 乔治·萨顿曾说过：“科学史是人类认识自然的经验的历史回顾。”数学史是数学发展历史的回顾，它研究数学产生发展的历史过程，探求其发展的规律。研究数学史，可以通过历史留下的丰富材料，了解数学何时兴旺发达，何时停滞衰退，从中总结经验教训，以利于数学更进一步的发展。关于数学发展史的分期，一般来说，可以按照数学本身由低级到高级分阶段进行，也就是分成四个本质不同的发展时期，每一新时期的开始都以卓越的科学成就作标志，这些成就确定了数学向本质上崭新的状态过渡．这里我们主要介绍世界数学史的发展。 一、数学的萌芽时期 这一时期大体上从远古到公元前六世纪．根据目前考古学的成果，可以追溯到几十万年以前．这一时期可以分为两段，一是史前时期，从几十万年前到公元前大约五千年；二是从公元前五千年到公元前六世纪． 数学萌芽时期的特点，是人类在长期的生产实践中，逐步形成了数的概念，并初步掌握了数的运算方法，积累了一些数学知识．由于土地丈量和天文观测的需要，几何知识初步兴起，但是这些知识是片断和零碎的，缺乏逻辑因素，基本上看不到命题的证明．这个时期的数学还未形成演绎的科学． 这一时期对数学的发展作出贡献的主要是中国、埃及、巴比伦和印度．从很久以前的年代起，我们中华民族勤劳的祖先就已经懂得数和形的概念了． 在漫长的萌芽时期中，数学迈出了十分重要的一步，形成了最初的数学概念，如自然数、分数；最简单的几何图形，如正方形、矩形、三角形、圆形等．一些简单的数学计算知识也开始产生了，如数的符号、记数方法、计算方法等等．中小学数学中关于算术和几何的最简单的概念，就是在这个时期的日常生活实践基础上形成的． 总之，这一时期是最初的数学知识积累时期，是数学发展过程中的渐变阶段． 二、初等数学时期 从公元前六世纪到公元十七世纪初，是数学发展的第二个时期，通常称为常量数学或初等数学时期．这一时期也可以分成两段，一是初等数学的开创时代，二是初等数学的交流和发展时代． 1．初等数学的开创时代． 这一时代主要是希腊数学．从泰勒斯(Thales，公元前636—前546)到公元641年亚历山大图书馆被焚，前后延续千余年之久，一般把它划分为以下几个阶段： (1)爱奥尼亚阶段(公元前600—前480年)； (2)雅典阶段(公元前480—前330年)； (3)希腊化阶段(公元前330—前200年)； (4)罗马阶段(公元前200—公元600年)． 爱奥尼亚阶段的主要代表有米利都学派、毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前572—前497)学派和巧辩学派．在这个阶段上数学取得了极为重要的成就，其中有：开始了命题的逻辑证明，发现了不可通约量，提出了几何作图的三大难题——三等分任意角、倍立方和化圆为方，并且试图用“穷竭法”去解决化圆为方的问题．所有这些成就，对数学后来的发展产生了深远的影响． 雅典阶段的主要代表有柏拉图(Plato，公元前427—前347)学派、亚里斯多德(Aristotle，公元前384—前322)的吕园学派、埃利亚学派和原子学派．他们在数学上取得的成果，十分令人赞叹，如柏拉图强调几何对培养逻辑思维能力的重要作用；亚里斯多德建立了形式逻辑，并且把它作为证明的工具．所有这些成就把数学向前推进了一大步． 上述两个阶段称为古典时期．这一时期的数学发展，在希腊化阶段上开花结果，取得了
几何原本48个命题
48个几何命题 1．在一个已知有限直线上作一个等边三角形。 2．由一个已知点（作为端点）作一线段等于已知线段。 3．已知两条不相等的线段，试由大的上边截取一条线段使它等于另外一条。 4．如果两个三角形有两边分别等于两边，而且这些相等的线段所夹的角相等，那么，它们的底边等于底边，三角形全等于三角形，而且其余的角等于其余的角，即那等边所对的角。 5．在等腰三角形中，两底角彼此相等；并且，若向下延长两腰，则在底以下的两角也彼此相等。 6．如果在一个三角形中，有两角彼此相等，则等角所对的边也彼此相等。 7．在已知线段上（从它的两个端点）作出相交于一点的二线段，则不可能在该线段（从它的两个端点）的同侧作出相交于另一点的另二条线段，使得作出的二线段分别等于前面二线段。即每个交点到相同端点的线段相等。 8．如果两个三角形的一个有两边分别等于另一个的两边，并且一个的底等于另一个的底，则夹在等边中间的角也相等。 9．一个角可切分成两个相等的角。 10．一条线段可以被分成两条相等的线段。 11．由已知直线上一已知点可以作一直线和已知直线成直角。 12．由已知直线外一已知点可以作该直线的垂线。 13．一条直线和另一条直线所交成的邻角，或者是两个直角或者它们等于两个直角的和。 14．如果过任意直线上点有两条直线不在这一直线的同侧，且和直线所成邻角和等于二直角，则这两条直线在同一直线上。 15．如果两直线相交，则它们交成的对顶角相等。 16．在任意的三角形中，若延长一边，则外角大于任何一个内对角。 17．在任何三角形中，任何两角之和小于两直角。 18．在任何三角形中，大边对大角。 19．在任何三角形中，大角对大边。 20．在任何三角形中，任意两边之和大于第三边。 21．如果由三角形的一条边的两个端点作相交于三角形内的两条线段，由交点到两端点的线段的和小于三角形其余两边的和。但是，其夹角大于三角形的顶角。 22．试由分别等于已知三条线段的三条线段作一个三角形：在这样的三条已知线段中，任二条线段之和必须大于另外一条线段。 23．在已知直线和它上面一点，作一个角等于己知角。 24．如果两个三角形中，一个的两条边分别与另一个的两条边相等，且一个的夹角大于另一个的夹角，则夹角大的所对的边也较大。
几何《原本》简介.
几何《原本》简介 欧几里得（Euclid，希腊人，生于公元前300年前后），著名的数学家． 欧几里得以数学经典名著几何《原本（Elements）》闻名于世．但他的生平后世所知并不多，从一些典籍中知道他是托勒密一世时代的人（公元前323—公元前285在位），他对柏拉图（Plato，公元前427—前347）的学说颇有研究，曾给托勒密讲授几何学．当托勒密问他说，除了几何原本之外，还有没有什么学习几何的快捷方式时，他说出了“几何无王者之道！”（“There is no royal road to geometry．”）的千古名言． 几何原本前6卷讲几何，7至10卷是用几何方式来叙述数论，其余各卷也是几何，基本上一本几何书．它的内容和中国传统的算学书大异其趣，为了区别起见，所以应创新词来代表，由于“几何”二字既和geometric的字音相近，又反映了数量大小的意思，采用它可以音意兼顾． 第1卷，首先给出23个定义．如“点是没有部分的”，“线只有长度而没有宽度”等，以及平面、直角、垂直、锐角、钝角、平行线等定义．接着是5个公设，前4个是显而易见的，第5个就很复杂:“一直线与两直线相交，所构成的同侧内角和若小于两直角，则这两直线延长后一定会在这两个同侧内角的那一侧相交”，这就是后来引起许多纠纷的“欧几里得平行公设”或简称第5公设．公设之后有5个公理，之后给出48个命题．第47命题就是著名的勾股定理:“直角三角形斜边上的正方形等于两股上正方形的和”．第2卷，包括14个命题，用几何的语言叙述代数的恒等式．第11命题是分线段为中末比，也就是后来所称的黄金分割；第12、13命题相当于余弦定理． 第3卷，包含37个命题，讨论圆、弦、切线、圆周角、圆内接四边形及与圆有关的图形． 第4卷，有16个命题，包括圆内接与外切三角形、正方形的研究，及圆内接正多边形（5边、10边、15边）的作图． 第5卷，比例论，有25个命题． 第6卷，把第5卷中已建立的理论用到平面图形上，共33个命题． 第7、8、9卷，这三卷是数论，分别有39、27、36个命题，完全用几何的方法来叙述．第7卷，第1命题是欧几里得辗转相除法的出处．第9卷第20命题是数论中的欧几里得定理:“质数的个数有无限多．” 第10卷，包含115个命题，分量占全书的四分之一，主要讨论无理量．第1命题“给
《几何原本》 第一卷《几何基础》
《几何原本》第一卷《几何基础》 23条定义 1、点是没有部分的 2、线只有长度而没有宽度 3、一线的两端是点 4、直线是它上面的点一样地平放着的线 5、面只有长度和宽度 6、面的边缘是线 7、平面是它上面的线一样地平放着的面 8、平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度. 9、当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角. 10、当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。 11、大于直角的角叫钝角。 12、小于直角的角叫锐角 13、边界是物体的边缘 14、图形是一个边界或者几个边界所围成的 15、圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。 16、这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。 17、圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分。 18、半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。（暂无注释，可能是接着17的） 19、直线形是由线段围成的，三边形是由三条线段围成的，四边形是由四条线围成的，多边形是由四条以上线段围成的。 20、在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形. 21、此外，在三边形中，有一角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；有三个角是锐角的，叫做锐角三角形。 22、在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形. 23、平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线. 五条公理
《几何原本》读后感3篇
《几何原本》读后感3篇 《几何原本》读后感一 《几何原本》读后感一 今天我读了一本书，叫《几何原本》。它是古希腊数学家、哲学家欧几里德的一本不朽之作，集合希腊数学家的成果和精神于一书。 《几何原本》收录了原著13卷全部内容，包含了5条公理、5 条公设、23个定义和467个命题，即先提出公理、公设和定义，再由简到繁予以证明，并在此基础上形成欧氏几何学体系。欧几里德认为，数学是一个高贵的世界，即使身为世俗的君主，在这里也毫无特权。与时间中速朽的物质相比，数学所揭示的世界才是永恒的。 《几何原本》既是数学著作，又极富哲学精神，并第一次完成了人类对空间的认识。古希腊数学脱胎于哲学，它使用各种可能的描述，解析了我们的宇宙，使它不在混沌、分离，它完全有别于起源并应用于世俗的中国和古埃及数学。它建立起物质与精神世界的确定体系，致使渺小如人类也能从中获得些许自信。 本书命题1便提出了如何作等边三角形，由此产生了三角形全等定理。即角、边、角或边、角、边或边、边、边相等，并进一步提出了等腰三角形——等边即等角；等角即等边。就这样欧几里德分别从点、线、面、角四个部分，由浅入深，提出了自己的几何理论。前面的命题为后面的铺垫；后面的命题由前面的推导，环环相扣，十分严谨。 这本书博大精深，我只能看懂十分之一左右，非常震撼，欧几里
德不愧为几何之父！他就是数学史上最亮的一颗星。我要向他学习，沿着自己的目标坚定的走下去。 《几何原本》读后感二 《几何原本》读后感二 《几何原本》的作者欧几里得能够代表整个古希腊人民，那么我可以说，古希腊是古代文化中最灿烂的一支——因为古希腊的数学中，所包含的不仅仅是数学，还有着难得的逻辑，更有着耐人寻味的哲学。 《几何原本》这本数学著作，以几个显而易见、众所周知的定义、公设和公理，互相搭桥，展开了一系列的命题：由简单到复杂，相辅而成。其逻辑的严密，不能不令我们佩服。 就我目前拜访的几个命题来看，欧几里得证明关于线段“一样长”的题，最常用、也是最基本的，便是画圆：因为，一个圆的所有半径都相等。一般的数学思想，都是很复杂的，这边刚讲一点，就又跑到那边去了；而《几何原本》非常容易就被我接受，其原因大概就在于欧几里得反复运用一种思想、使读者不断接受的缘故吧。 不过，我要着重讲的，是他的哲学。 书中有这样几个命题：如，“等腰三角形的两底角相等，将腰延长，与底边形成的两个补角亦相等”，再如，“如果在一个三角形里，有两个角相等，那么也有两条边相等”。这些命题，我在读时，内心 一直承受着几何外的震撼。 我们七年级已经学了几何。想想那时做这类证明题，需要证明一个三角形中的两个角相等的时候，我们总是会这么写：“因为它是一
几何原本证明
?请分析《原本》中命题1,2,3,4的证明及其严谨性。 命题1在一个已知有限直线上作一个等边三角形。 证明：设AB是已知直线，那么要求在线段AB上作一个等边三角形。 以A为圆心，且以AB为距离画圆BCD；（公设3） 再以B为心，且以BA为距离画圆BCD；（公设3） 由两圆的交点C到A，B连线CA，CB。（公设1） 因为点A时圆CDB的圆心，AC等于AB；（定义15） 又点Ｂ是圆ＣＡＥ的圆心，ＢＣ等于ＢＡ；（定义１５） 但是，已经证明了ＣＡ等于ＡＢ，所以线段ＣＡ，ＣＢ都等于ＡＢ，而且等于同量的量彼此相等。（公理１） 三条线段ＣＡ，ＡＢ，ＢＣ彼此相等。 所以三角形ＡＢＣ是等边的，即在已知有限直线ＡＢ上作出了这个三角形。 分析：在两圆相交于点Ｃ时不严谨，因为此时要用到连续性，而在这之前的定义、公设和公理里面都还没有连续性的描述，这里《原本》只是根据几何直观和经验确定两圆相交的。其余各处都严谨。 命题２由一个已知点（作为端点）作一线段等于已知直线。 证明：设Ａ是已知点，ＢＣ是已知线段，那么要求由点Ａ（作为端点）作一线段等于已知线段ＢＣ。
由点Ａ到点B连线AB，（公设1） 在AB上作等边三角形DAB，（命题1） 延长DA，DB成直线AE，BF，（公设2） 以B为圆心，以BC的距离画圆CGH。（公设3） 再以D为圆心，以DG为距离画圆GKL。（公设3） 因为点B是圆CGH的心，故BC=BG。（定义15） 且点D是圆GKL的心，故DL=DG。（定义15） 又DA等于DB，所以余量AL=余量BG。（公理3） 所以线段AL、BC的每一个都等于BG，又因等于同量的两彼此相等。（公理1） 所以，AL也等于BC。 分析：在证明中用到了命题1的结论。此外，隐含着两圆内切。关于G 点的确定，就是圆与直线的交点，也必须用到连续性才能正确说明，这里不严谨。 命题3已知两条不相等的线段，试由大的上边截取一条线段使它对于另一条线段。 证明：设AB,c是两条不相等的线段，且AB大于c。这样要求由较大的AB上截取一段等于较小的c。 由点A取AD等于线段C（命题2）
几何学发展史简介
“几何”一词，拉丁文是geometric，其源于希腊文ycouerpua（土地测量术）。我国明末科学家徐光启（1562-1637）与意大利传教士利玛窦（R.Matteo，1553- 1610）1607年合译《几何原本》时首次采用。几何学是一门古老而崭新的数学分支，其产生可追溯到距今8000年前的新石器时代。最早始于人类生存及生产的需要，在长期生活、生产实践中，人们逐渐对图形有了一定的认识，形成了一些粗略的几何概念，归纳出一些有关图形的知识和经验，产生了初步的几何。再经历代数学家的提炼和加工，逐渐形成了一门研究现实世界空间形式，即物体形状、大小和位置关系的数学分支，进而发展成为研究一般空间结构的数学分支。 几何学的发展大致经历了4个基本阶段。 1.实验几何的形成与发展 几何学最早的产生可以用“积累几何事实，并企图建立起各个事实间的某种联系”来概括和描述。源于人们观察天体位置、丈量土地、测量容积、制造生产工具等实践活动。据考古资料记载，出土的十万年前的一些器皿上已出现的简略几何图案。相传公元前2000年前大禹治水时，就已经能够使用规和矩等绘图工具进行测量和设计工作。另外，从现存的古埃及、古巴比伦等国的史料可看出，在天文、测量中也大量地反映了几何图形与计算的知识。 然而，这一历史时期，尽管人们在观察实验的基础上积累了丰富的几何经验。 但在现存的史料中，未见这一时期总结出几何知识真实性的推理证明；某些计算公式仅是粗略和近似的；直至公元前7世纪以前，可以说是单纯地由经验积累，通过归纳而产生几何知识的阶段，被称为实验（归纳）几何阶段。 2.理论几何的形成与发展 到了公元前7世纪，随着古埃及、古希腊之间贸易与文化的交流，埃及的几何知识逐渐传入希腊并得到巨大的发展。这一时期，人们对几何知识开始了逻辑推理与论证，古希腊的泰勒斯（Thales，约公元前625一前547）首先证明了“对顶角相等”、“等腰三角形两底角相等”、“半圆上的圆周角是直角”等，因而被人们称为第一位几何学家；毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前580一前501）学派首先证明了“三角形内角和等于二直角”、“勾股定理”、“只有五种正多面体”等。特别是柏拉图（Plato，公元前427-前347）学派把形式逻辑的思想方法引入几何学，确立了缜密的定义和明晰的公理作为几何学基础。后来古希腊大数学家欧几里得（Euclid，约公元前330一前275）在前人研究的基础上，按照严密地逻辑公理系统编写成了不朽的巨著《几何原本》13卷，至此理论几何已基本形成。 尽管《几何原本》存在公理不够完善、论证有时借助于直观等不足，但它集古代数学之大成，论证严密，影响深远，所运用的公理化方法为以后的数学发展指出了方向，以至成为整个人类文明发展史上的里程碑、人类文化遗产中的瑰宝。 3.解析几何的产生与发展 公元前3世纪，《几何原本》的出现，为理论几何奠定了基础。与此同时，人们对圆锥曲线也作了一定的研究，发现了圆锥曲线的许多性质。在后来较长时间里，由于封建社会中神学占有统治地位，科学得不到应有的重视，几何学也一直没有得到突破性的进展。直到16世纪随着欧洲文艺复兴运动的发展，生产实际的需要，自然科学才得到迅速发展。法国数学家笛卡儿（R.Descartes，1596-1650）在研究中发现，欧氏几何过分依赖于图形，而代数又完全受公式、法则所左右，他竭力主张几何、代数结合起来取长补短，认为这是促进数学发展的一个新的途径。笛卡儿把以往对立着的两个研究对象“数”与“形”统一起来了，并在数学中引入了变量的概念，从而完成了数学史上一项划时代的变革——解析几何产生
人物简介 古希腊最伟大的数学家——欧多克斯
人物简介: 古希腊最伟大的数学家——欧多克斯 欧多克斯(Eudoxus，约公元前400～前347年)，古希腊数学家、天文学家。 大约在公元前400年，欧多克斯出生于小亚细亚的尼多斯的一个医生家庭。早年曾学习医学，后来跟随当时著名的数学家阿尔希塔斯学习几何。当他来到雅典时，又怀着极大的热情进入刚成立不久的柏拉图学园，正是这个鼓励数学学习的地方，造就了一代伟大数学家。 柏拉图是当时雅典最伟大的哲学家。他曾漫游世界多年，向许多伟大思想家学习，后来逐渐形成自己的哲学思想体系。公元前378年，他返回雅典，建立了世界闻名的柏拉图学园。学园创立不久，就成为当时的思想中心，许多学者慕名而至，欧多克斯就是其中之一。柏拉图非常推崇数学的严密逻辑和美感，认为数学是锻炼人的思维的最佳途径，并将懂数学作为进入学园学习的必要条件。柏拉图不是数学家，但他创立的柏拉图学园却以其独特的风格培养了包括欧多克斯在内的许多杰出数学家。 在柏拉图学园求学时，欧多克斯生活贫困，为了节省费用，被迫在离学园十多公里远的地方住宿，每天不得不往返于两地之间，但他还是坚持了下来。后来，欧多克斯还曾到过埃及，在那里学习天文学。 欧多克斯被认为是仅次于阿基米德的数学家，他的数学贡献主要包括比例论和穷竭法两个方面。他还是一位天文学家。 比例论 欧多克斯探讨了公理法，他首先提出了现在被表述为“对于任意两个正数a，b，必存在自然数n，使得na＞b成立”。这一重要的公理。运用公理法，欧多克斯建立了比例理论，其中包含了相当严密的实数定义。他引入“量”的概念，指出它代表线段、角、时间、面积、体积等能够连续变化的东西，而不是具体的数，由此而发，他定义了两个量的比，这样就把可公度比与不可公度比统一了起来。这样就处理了无理量的问题，解决了因毕达哥拉斯学派发现的不可通约量造成的第一次数学危机。这些理论构成了欧几里得《几何原本》第五卷的主要内容。 欧多克斯还研究了“中末比”的问题，即将一已知直线分成两部分，使其中一部分是全线段与另一部分的比例中项。小线段与大线段之比即我们所熟知的黄金分割比，当时被称为中末比。若设大线段长度为1，小线段长度为X，则整个线段的长度是1＋X，根据题意可得到方程：X2＋X＋1＝0，其正根为 5－1 2＝0.6180339……，即所谓中末比。欧多克斯发现了这种分割的许多特殊 性质，均被记载于欧几里得的《几何原本》中。黄金分割被广泛地应用于绘画、建筑，成为人们构造优美造型的最佳选择。黄金分割还具有另外一个赫赫有名的应用，那就是用于优选法，被称为0.618法。从20世纪70年代在我国推广，取得了很大成功。著名天文学家开普勒曾说：“毕达哥拉斯定理和中末比是几何中的双宝。前者好比黄金，后者堪称珠玉。”
几何原本
《几何原本》介绍 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，大约成书于公元前300年左右，是一部划时代的著作，是最早用公理法建立起演绎数学体系的典范。它从少数几个原始假定出发，通过严密的逻辑推理，得到一系列的命题，从而保证了结论的准确可靠。 《几何原本》的原著有13卷，共包含有23个定义、5个公设、5个公理、286个命题。是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。它历经多次翻译和修订，自1482年第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本。除了《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，却是《圣经》所无法比拟的。 《几何原本》的希腊原始抄本已经流失了，它的所有现代版本都是以希腊评注家泰奥恩（Theon，约比欧几里得晚七百年）编写的修订本为依据的。《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷，总共有465个命题，其内容是阐述平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识。 第一卷首先给出了一些必要的基本定义、解释、公设和公理，还包括一些关于全等形、平行线和直线形的熟知的定理。该卷的最后两个命题是毕达哥拉斯定理及其逆定理。这里我们想到了关于英国哲学家T．霍布斯的一个小故事：有一天，霍布斯在偶然翻阅欧几里得的《几何原本》，看到毕达哥拉斯定理，
感到十分惊讶，他说：“上帝啊！这是不可能的。”他由后向前仔细阅读第一章的每个命题的证明，直到公理和公设，他终于完全信服了。 第二卷篇幅不大，主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学。 第三卷包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理。这些定理大多都能在现在的中学数学课本中找到。 第四卷则讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。 第五卷对欧多克斯的比例理论作了精彩的解释，被认为是最重要的数学杰作之一。据说，捷克斯洛伐克的一位并不出名的数学家和牧师波尔查诺（Bolzano，1781－1848），在布拉格度假时，恰好生病，为了分散注意力，他拿起《几何原本》阅读了第五卷的内容。他说，这种高明的方法使他兴奋无比，以致于从病痛中完全解脱出来。此后，每当他朋友生病时，他总是把这作为一剂灵丹妙药问病人推荐。 第七、八、九卷讨论的是初等数论，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”，讨论了比例、几何级数，还给出了许多关于数论的重要定理。 第十卷讨论无理量，即不可公度的线段，是很难读懂的一卷。 最后三卷，即第十一、十二和十三卷，论述立体几何。目前中学几何课本中的内容，绝大多数都可以在《几何原本》中找到。
《九章算术》与《几何原本》的比较解析
包头师范学院本科毕业论文 二〇一三年三月
摘要 《九章算术》与《几何原本》是数学史上东西辉映的两大巨著，是现代数学思想的两大源泉。两书同是古代数学名著，却有着截然不同的风格。将从数学教育的角度，解读一下两书在成书背景、结构和内容等方面的不同，并从比较研究中得到一些对当代数学教育改革的启示。 关键词：九章算术；几何原本；形式逻辑；数学教育
Abstract Nine Chapters of Arithmetic”and”Principles of Geometry”are two famous books in the world history of mathematics，serving as two origins of modem mathematics education．The two books belong to famous ancient mathematics books，but with different styles．From the perspective of mathematics education，a compari-son is made of the two books in their backgrounds，structures and content，and some enlightenment is derivedfrom them for current mathematics education reforill．
目录 引言（绪论） (5) 一《几何原本》 (6) (一)《几何原本》的基本内容 (6) (二)《几何原本》的特点 (7) 1.封闭的演绎体系 (7) 2.抽象化的内容 (8) 3.公理化的方法 (8) (三)《几何原本》的意义 (9) 二、《九章算术》 (10) (一)《九章算术》的基本内容 (11) (二)《九章算术》的特点 (11) 1.开放的归纳体系 (11) 2.算法化的内容 (12) 3.模型化的方法 (12) (三)《九章算术》的意义 (12) 1.《九章算术》的影响巨大而深远 (12) 2.《九章算术》中的数学成就是多方面的 (12) 3.《九章算术》对中国周边国家数学及社会的发展也有一定的作用 (13) 4.《九章算术》的思想方法不仅对古代数学的发展产生了重大影响，而且也是 现代数学思想发展的源泉 (13) 三.《九章算术》与《几何原本》的比较 (13) （一）形成《九章算术》与《几何原本》迥异的背景 (13) （二）两书体例的比较 (14) （三）两书内容的比较 (15) （四）对当代数学教育改革的启示 (15) 1.数学教育观 (15) 2.数学教育目的 (16) 3.数学教材 (17) 4.数学文化 (18) 参考文献 (19)