悬臂梁在均布荷载作用下有限元分析

悬臂梁承受集中荷载作用问题的弹塑性分析

何方平邹里

（湘潭大学土木工程与力学学院，湖南湘潭411105）

[摘要]本文针对曲杆在水平力作用下的受力性能，结合弹性力学基本方程和塑性力学中Mises屈服条件，得到了弹性阶段应力、位移之间的关系，以及材料发生塑性变形时，处于临界状态点的应力、应变值。同时，利用有限元分析软件ABAQUS，进行了数值模拟，分析结果与理论值吻合较好，证明所建立的有限元模型是合理的。

关键词：悬臂梁；集中荷载

THE ELASTIC-PLASTIC ANALYSIS OF THE CANTILEVER

BEAM UNDER concentrated load

He Fang-Ping Zhou Li

（College of Civil Engineering & Mechanics, XiangTan University,

Xiangtan 411105, China）

【Abstract】This article in view of the force performance of CANTILEVER BEAM UNDER concentrated load, combined with elastic mechanics basic equations and the plastic mechanics Mises yield conditions, obtained the elastic stage between stress and displacement, and the relationship between material happen plastic deformation, a critical state points of stress and strain value. At the same time, the finite element analysis software ABAQUS, the numerical simulation and analysis results and a good agreement with the theoretical value, show that the established finite element model is reasonable.

Keywords: CANTILEVER BEAM concentrated load

题目：试考察应力函数)43(h

2223

y h xy F

-=

φ能满足相容方程，并求出应力分量（不记体力），画出例题3-2图所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。

图1

1 弹性力学解

（1）考察相容条件，将应力函数

)43(h 22

23

y h xy F -=

φ代入相容方程

4

4224442x y y x ??+???+??φ

φφ=0显然满足。 （2）体力不计，求得应力分量表达式：

xy h F y 322x 12-=??=φσ 0

=y

σ

???

?

??--

=224123h y h F xy

τ

（3）由应力分量求解应变分量

????

?????????

??-+=+==-=-=-=223412)1(6)1(20

)(1

12)(1h y Eh F E E xy

Eh F

E xy xy x y y y x x μτμγμσσεμσσε （4）边界条件：

a. 在

2y h

±

=的主要边界上，应该满足应力边界条件如下：

()

2

y =±=h

y σ

0412322=???? ?

?--

=h y h

F xy

τ

b.在l x ==,0x 应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件如下：

()

2h 2

,0=?-=dy h l

x x σ （a ）

()0

22

==-?ydy z h h z σ，

()

Fl

ydy h h l

x x -=?-=22

σ (b)

()

F

dy h h l

x xy -=?-=22

,0τ (c)

对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变化的水平面合力为一力偶，和铅直面力。所以，能解决悬臂梁在自由端受集中力作用的问题。

3 塑性解析解

由弹性阶段的应力、应变分量关系可知，矩形截面偏压柱中纵向截面中任意一点的应力状态和应变状态都是相同的。材料为理想弹塑性材料，0.3μ=，屈服应力为10000MPa 。根据Mises 屈服条件，有：

当构件变形进入塑性阶段后，屈服条件：

2222122331()()()20s σσσσσσσ-+-+--=

在平面应力状态下，有一个主应力为零，假定30σ= 则Mises 屈服条件变为：

22

21122s σσσσσ-+=

在直角坐标系中：

122

x y

σσσ+=

，弹性解析解中：y σ=0

综合以上各式，可得：2

2s x σσ=

由理想弹塑性模型（见图3-1），可知，当s σσ≤时，E σε=，s εε≤；当=s σσ时，s εε≥。

图2 理想弹塑性模型

弹性解析解中：

xy h F

y 322x 12-=??=φσ 选取y=-5这一路径上的点，

如该处的应力达到材料的屈服应力（y s σσ=），x

h 60F 3

x σ=

则有当x=100时，得出临界力F=1.67KN ，从而

可以得知，在临界条件下，04286.0x =ε。 理论解与有限元解的比较

假定一组数据：h=10mm, L=100mm,b=1mm F=1KN ，E=210000Mpa ，μ=0.3那么可以得到计算结果如下：

表1 路径一的各节点理论值(固定端)

表2 路径一的各节点有限元值

图3 路径一各点正应力理论解与有限元拟合

图4 路径一各点剪应力理论解与有限元拟合

图5 路径一各点正应变理论解与有限元拟合表3 路径二的各节点理论值(上边界)

表4 路径二的各节点有限元值(上边界)

图 6 路径二各点正应力理论解与有限元拟合

图7 路径二各点剪应力理论解与有限元拟合

图8 路径二各点正应变理论解与有限元拟合

从上图可以看出，abaqus模拟的结果与理论结果比较吻合，通过表1与表2、表3与表4的数据，可以得到路径一上的σ的理论值绝对值平均值为36000MPa，

τ的理论平均值为90MPa，模模拟平均值为35460MPa，两者误差为0.13%。

xy

ε的理论平均值绝对值为拟平均值为87.55636MPa，两者误差为2.7%，正应变

x

0.015584，有限元模拟值为0.015351，两者误差为1.5%。。路径二上的σ的理论平均值

τ的理论平均值为3000MPa，模拟平均值为2969.722MPa，两者误差为1.0%。

xy

ε的理论平均为0MPa，模拟平均值为1.13919E-16MPa，两者误差很小，应变

x

值为0.014285，有限元模拟值为0.01445，两者误差为1.1%。分析误差原因可能是因为有限元分析本来就是近似分析带来的系统误差等，但是误差均在允许范围之内，所以abaqus模拟值是合理的。

4 弹塑性有限元分析

(1) 定义单元类型：

通过查阅abaqus的单元库对单元的性质和应用范围进行了解,选择八结点双向二次平面应力四边形单元，缩减积分。

(2) 定义材料参数：

主要输入的是弹性模量，泊松比，假定弹性模量为210GPa，泊松比为0.3。

(3) 建立模型：

该模型为平面应力模型，通过abaqus建立二维几何平面应力模型，在abaqus 中生成有限元模型。

(4) 划分网格

利用abaqus的网格划分工具，设置网格，采用结构方式划分网格，划分网格后的模型如图2所示。

有限元网格划分

(5) 加载数据

在悬臂梁自由端施加一个大小为1kN的集中力，设定加载时间为1秒，分1个子步，每个子步1秒。

(6) 求解

(7) 后处理

求解后，abaqus得到了结构在当前边界条件下受力的详细情况，如各节点和单元的应力应变值，受力后结构的变形情况，等等。现列举几个重要结果如下。

应力变形变形云图

应变云图

5总结

通过对上述问题进行弹塑性分析和有限元的模拟，我们可以知道受集中荷载的悬臂梁的最大应力在固定端处，最大位移在自由端。在工程设计中，解决最大应力处的强度问题之至关重要，如果工程中对悬臂梁的变形有要求，则可以参照上面的位移数据。

此外，加深了我们对弹塑性力学及有限元理论的认识和理解，通过abaqus 的模拟过程，逐步熟练对abaqus的操作。通过各种软件的综合运用，能够对一些简单的弹塑性问题进行模拟分析，解决实际问题。