1.2.2_同角三角函数的基本关系导学案1

1.2.2_同角三角函数的基本关系导学案1
1.2.2_同角三角函数的基本关系导学案1

1.2.3同角三角函数的基本关系导学案

一、课前自主学习

基础梳理

1.平方关系: ,即 的正弦、余弦的平方和等于 ;

2.商数关系: ,即 的正弦、余弦的商等于 ; 基础标达

1.已知24sin 25

α=-

,α是第四象限角,则tan α的值是( ) A .247± B .724± C .247- D .724-

2 )

A .cos190

B .sin190

C .sin190-

D .cos190-

3.化简222222sin sin sin cos sin sin αβαβαβ+--的结果为 ;

4.若2sin cos ,ααα+=则tan α= .

二、典型例题

类型一、求值问题

例1 已知3sin 5

α=-,求cos ,tan αα的值;

例2 已知tan 3α=,计算:(1)

4sin 2cos 5cos 3sin αααα

-+;(2)sin cos αα;(3)2(sin cos )αα+;

类型二、利用sin cos sin cos αααα±与的关系解题

例3 已知0απ<<,1sin cos 5

αα+=

,求tan α的值

类型三、证明问题

例4 求证:cos 1sin 1sin cos x x x x

+=-

三、方法规律总结(整理黑板板书要点)

四、巩固练习

1.已知4cos 5

α=-,且α为第二象限角,求sin ,tan αα的值

2.已知tan sin ,cos ???=求的值

3.已知1tan 3α=-

,计算:(1)sin 2cos 5cos sin αααα+-;(2)212sin cos cos ααα

+

4.化简:(1)cos tan θθ; (2)222cos 112sin αα

--; (3)22(1tan )cos αα+

(4其中α为第二象限角

5.证明:(1)2212sin cos 1tan cos sin 1tan x x x x x x

--=-+;(2)2222tan sin tan sin αααα-= (3)4422sin cos 12sin cos x x x +=-;(4)4422sin cos sin cos αααα-=-;

(5)4222

sin sin cos cos 1αααα++=;

6.若3cos 5α=-,且tan 0α>,求3tan cos 1sin ααα

-的值;

7.已知tan α=32ππα<<

,求cos sin αα-的值;

8.已知02x π-

<< ,1sin cos 5x x +=,求sin cos x x -的值.

九年级下数学锐角三角函数导学案 (1)

C B A C B A C B A B 课题:28.1锐角三角函数(1) 【导学过程】 一、自学提纲: 1、如图在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BC=10m ,?求AB 2、如图在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=20m ,?求BC 二、合作交流: 问题: 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,?在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m ,那么需要准备多长的水管? 思考1:如果使出水口的高度为50m ,那么需要准备多长的水管? ; 如果使出水口的高度为a m ,那么需要准备多长的水管? ; 结论:直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值 思考2:在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=45°,∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗??如果是,是多少? 结论:直角三角形中,45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨: 从上面这两个问题的结论中可知,?在一个Rt △ABC 中,∠C=90°,当∠A=30°时,∠A 的对边与斜边的比都等于 1 2 ,是一个固定值;?当∠A=45°时,∠A 的对边与斜边的比都等于22,也是 一个固定值.这就引发我们产生这样一个疑问:当∠A 取其他一定度数的锐角时,?它的对边与斜边 的比是否也是一个固定值? 探究:任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′,使得∠C=∠C ′=90°, ∠A=∠A ′=a ,那么 '' '' BC B C AB A B 与有什么关系. 结论:这就是说,在直角三角形中,当锐角A 的度数一定时,不管三角形

三角函数的定义导学案

5,则 b的值。 3的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标? 2 ,-3),,则定义:叫做角α的余弦,记作cosα,即cosα=; α=- 5 2,则sin α,tanα的值分别为(另外,角α的正割:secα= 1 cosαx 角α的余割:cscα= 1 sinαy 角α的余切:cotα= 1 2C- 3 A 1 高一数学学案 必修四第一章第3节三角函数的定义(1) 制作人:适用范围:高一使用日期:4.17 【教学目标】 1、三角函数定义; 2、利用定义求角的六个三角函数; 3、特殊角的三角函数值。 4、通过角定义的学习,进一步体会数形结合的思想方法 【教学重难点】 1、用定义求三角函数值; 2、特殊角三角函数值。 【教学内容】 1.任意角三角函数的定义 任意角三角函数的定义 如图所示,以任意角α的顶点O为坐标原点,以角α的始边的方向作为x轴的正方向,建立直 角坐标系.设P(x,y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点. 变式训练2:若角α的终边经过点P(-b,4)且cosα=- 3 例2、求下列各角的六个三角函数值: (1)0;(2)π;(3) 3π 2 变式训练3:若点P在角 π 【课堂练习】 1、(1)已知角α终边经过点p( 1 cosα=______,sinα=______,tanα=______, cotα=______,secα=______,cscα=______。 其中,r=OP=x2+y2>0. x x r r y y r叫做角α的正弦,记作sinα,即sinα=r; 2、设π A、-1;不存在 B、1;不存在 C、-1;0 D、1;0 )。 y y x叫做角α的正切,记作tanα,即tanα=x. r =; r =; x tanα=y. 例1、已知角α终边过点P(2,-3),求角α的六个三角函数值。 3、如果角α的终边过点(2sin30°,-2cos30°),则sinα的值等于() 13 2 B- 2 D 2 4、若角α的终边经过点M(0,m)(m≠0),则下列式子无意义的是() A、sinα B、cosα C、tanα D、cotα 15.已知角 α的终边上一点的坐标为( 3 ,- 1 ),则角α的最小正值为( 22)变式训练1:设角α的终边经过点P(3x,-4x)(x<0),则sinα-cosα的值?

三角函数的定义学案

学习目标:理解任意角的三角函数的定义,了解终边相同的角的同一三角函数值相等,掌握三角函数(正弦、余弦、正切)的定义域,会运用任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。 课前预习 阅读课本P14—P17,填充下列空格 1.三角函数的定义(如图所示) 设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是()y x ,,它与原点的距离是r (=r ),如上图所示,那么 ①比值 叫做α的正弦,记作 ,即 ; ②比值 叫做α的余弦,记作 ,即 ; ③比值 叫做α的正切,记作 ,即 ; ④比值 叫做α的余切,记作 ,即 ; ⑤比值 叫做α的正割,记作 ,即 ; ⑥比值 叫做α的余割,记作 ,即 。 2.三角函数的定义域 3.三角函数在各象限的符号 合作探究展示 角的终边 x y 0 αsin x y 0 αcos x y α tan

探究一 .已知角α的终边经过点P(4,-3),求sin α、cos α、tan α的值; 变式一 已知角α的终边经过点P(4a,-3a)(a ≠0),求2sin α+cos α的值; 探究二 求下列各角的六个三角函数值:⑴0; ⑵π; ⑶2 3π。 求 43π和56 π角的正弦、余弦和正切值. 引申 填表:

探究三 确定下 列各三角函数值的符号: ⑴516cos π; ⑵?? ? ??-34sin π; ⑶21556tan ' 已知点p (tan tan ,cos αα )在第四象限,则角α 在第 象限 当堂练习 (一)选择题 1、已知角α的终边过点P (-1,2),cos α的值为 ( ) A .- 55 B .- 5 C .552 D .2 5 2、α是第二象限角,P (x , 5 ) 为其终边上一点,且cos α= 4 2 x ,则sin α的值为 ( ) A . 410 B .46 C .4 2 D .-410 3.若0sin <α且0tan >α,则α是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 4.设角θ终边上一点()()06,8<-a a a P ,则ααcos sin 2+的值为( ) A. 52 B.52或52- C.52 - D.与a 无关 二.填空题

人教版必修四 同角三角函数的基本关系教案

1.2.2同角三角函数的基本关系(3) 教学目的: 知识目标:根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明; 能力目标:(1)了解已知一个三角函数关系式求三角函数(式)值的方法。 (2)灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力; 德育目标:训练三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:如何运用公式对三角式进行化简和证明。 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.同角三角函数的基本关系式。 (1)倒数关系:sin csc 1αα?=,cos sec 1αα?=,tan cot 1αα?=. (2)商数关系: sin tan cos ααα=,cos cot sin ααα =. (3)平方关系:22sin cos 1αα+=,221tan sec αα+=,221cot csc αα+=. (练习)已知tan α43=,求cos α 2.tan αcos α= ,cot αsec α= ,(sec α+tan α)·( )=1 二、讲解新课: 例82tan α=-,试确定使等式成立的角α的集合。 =|1sin ||1sin |cos ||cos |αααα+-- =1sin 1sin |cos |ααα+-+=2sin |cos | αα. 2tan α-=-, ∴2sin |cos |αα2sin 0cos αα +=, 即得sin 0α=或|cos |cos 0αα=-≠. 所以,角α的集合为:{|k ααπ=或322,}22 k k k Z πππαπ+<<+∈. 例9.化简(1cot csc )(1tan sec )αααα-+-+. 解:原式=cos 1sin 1(1)(1)sin sin cos cos αααααα -+-+ 2sin cos 1cos sin 11(sin cos )sin cos sin cos αααααααααα-+-+--=?=?112sin cos 2sin cos αααα-+?==?. 说明:化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点: (1)所含三角函数的种类最少; (2)能求值(指准确值)尽量求值; (3)不含特殊角的三角函数值。 例10.求证: cos 1sin 1sin cos x x x x +=-. 证法一:由题义知cos 0x ≠,所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠.

高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数导学案

1.2.1任意角的三角函数(A层学案) 学习目标:1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义; 2.记住诱导公式一并会应用。 学习重点:任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。 学习难点:任意角的三角函数的定义。 一、课前预习案 1.任意角三角函数 (1)在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: ①y叫做α的________,记作______,即sinα=y; ②x叫做α的________,记作______,即cosα=x; ③y x 叫做α的________,记作______,即tanα= y x (x≠0). (2)在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边上任意一点P(x,y),它到原点的距离r(r>0),r=,那么任意角α的三角函数的定义为: sinα= cosα= tanα= 2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 记忆口诀:。 3.诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________,即: sin(α+k·2π)=________,cos(α+k·2π)=________, tan(α+k·2π)=________,其中k∈Z. 角α0π 6 π 4 π 3 π 2 2 3 π 3 4 π 5 6 ππ 3 2 π2π sin αcos αtan α

二、课内探究案 知识点一利用定义求角的三角函数值 例1:已知角α的终边经过点P(-4,3),求sin α、cos α、tan α的值.变式训练1: (1)已知角α的终边过点 0(3,4) P--,求角α的正弦、余弦和正切值. (2)已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sinα、cosα、tanα的值. 知识点二:三角函数值的符号问题 例2. (1)α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin α B.cos α C.tan α D.cos α或tan α (2)若sin θ·tan θ>0,cos θ·tan θ<0,则sin θ·cos θ______0 (填“>”“<”或“=”). (3)函数的值域是_______. 变式训练2:判断下列各式的符号. (1)sin 370°+cos 370°.

1.2.2同角的三角函数的基本关系 学案

1.2.2同角的三角函数的基本关系 课前预习学案 预习目标: 通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线,为本节所要学习的同角三角函数的基本关系式做好铺垫。 预习内容: 复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线: 提出疑惑: 与初中学习锐角三角函数一样,我们能不能研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化呢? 课内探究学案 学习目标: ⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义; 2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能,提高运用公式的灵活性; 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中,注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程中,注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力. 学习过程: 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化. 【探究新知】 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从 圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构 成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=, 因此221x y +=,即 . 根据三角函数的定义,当()2a k k Z π π≠+∈时,有 . 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1,商等于角α的正切. 【例题讲评】 例1化简: 440sin 12- 例2 已知α ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角,化简 例3求证:α αααcos sin 1sin 1cos +=- 例4已知方程0)13(22=++-m x x 的两根分别是θθcos sin , ,

1.2.2同角的三角函数的基本关系 教案

1. 2.2同角的三角函数的基本关系 一、教学目标: ⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义; 2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能,提高运用公式的灵活性; 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中,注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程中,注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力. 二、教学重、难点 重点:公式1cos sin 2 2=+αα及 αα α tan cos sin =的推导及运用: (1)已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个;(2)化简三角函数式;(3)证明简单的三角恒等式. 难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具 利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 2 2 =+αα及 αα α tan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学过程 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化. 【探究新知】 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从 圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由2 2 1MP OM +=, 因此2 2 1x y +=,即22 sin cos 1αα+=. 根据三角函数的定义,当()2a k k Z π π≠+ ∈时,有 sin tan cos α αα =. 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1,商等于角α的正切. 【例题讲评】 例1化简: 440sin 12- 解:原式 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角,化简

模式1中考数学第一轮复习导学案-锐角三导学案-锐角三角函数100

锐角三角函数 ◆ 课前热身 1.sin30°的值为( ) A . 32 B . 22 C . 12 D . 33 2.在等腰直角三角形ABC 中,∠C =90o,则sin A 等于( ) A . 12 B . 22 C .32 D .1 3.在Rt ABC △中,9032C AB BC ∠===°,,,则cos A 的值是 . 4.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=8,cosA= 4 3 ,则AC 的长是 5.计算:tan 60°=________. 【参考答案】 ** 2.B 3. 4.6 5. ◆考点聚焦 知识点 锐角三角函数、锐角三角函数值的符号、锐角三角函数值的变化规律、特殊角三角函数值 大纲要求 1.了解锐角三角函数的定义,并能通过画图找出直角三角形中边、角关系,?这也是本节的重点和难点. 2.准确记忆30°、45°、60°的三角函数值. 3.会用计算器求出已知锐角的三角函数值. 4.已知三角函数值会求出相应锐角. 5.掌握三角函数与直角三角形的相关应用,这是本节的热点. 考查重点与常见题型 1.求三角函数值,常以填空题或选择题形式出现; 2.考查互余或同角三角函数间关系,常以填空题或选择题形式出现; 3.求特殊角三角函数值的混合运算,常以中档解答题或填空题出现.

◆备考兵法 充分利用数形结合的思想,对本节知识加以理解记忆. ◆考点链接 1.sin α,cos α,tan α定义 sin α=____,cos α=_______,tan α=______ . 2.特殊角三角函数值 ◆典例精析 例1(内蒙古包头)已知在Rt ABC △中,3 90sin 5 C A ∠==°,,则tan B 的值为( ) A .43 B .45 C .54 D . 34 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理,在RTΔABC 中,∠C=90°,则sin a A c =, tan b B a =和222a b c +=; 由3 sin 5 A =知,如果设3a x =,则5c x =,结合222a b c +=得4b x =;∴44 tan 33 b x B a x ===,所以选A . 【答案】A 例2(湖北荆门)104cos30sin 60(2)(20092008)-??+---=______. 【解析】本题考查特殊角的三角函数值.零指数幂.负整数指数幂的有关运算, 104cos30sin 60(2)(20092008)-??+---=3313412222 ??? ?+--= ???,故填3 2. 【答案】 3 2 例3(黑龙江哈尔滨)先化简.再求代数式的值.22 ()211 1a a a a a ++÷+-- 其中a =tan60° -2sin30°. 30° 45° 60° sin α cos α tan α α a b c

职高第五章三角函数导学案

5.1.1任意角的概念 教学目标:(1)引导学生用运动变化的观点了解角的概念的推广 (2)明白“任意角”、“象限角”的概念 教学重点:“任意角”、“象限角”的概念 教学难点:“象限角”的判断 预习案: 一、复习: 问题1:回忆初中我们是如何定义一个角的? ______________________________________________________ 所学的角的范围是什么? ______________________________________________________ 问题2:在体操、跳水中,有“转体0720”这样的动作名词,这里的“0720”,怎么刻画? ______________________________________________________ 二、新知: 1.角的概念 角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2.角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角, 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个_________,它的______和_______重合。这样,我们就把角的概念推广到了_______,包括_______、________和________。 3、角的表示 (1)常用字母A 、B 、C 等表示 (2)用字母αβγ?θ、、、、等表示 (3)当角作变量时可用字母x 表示 4.象限角、轴线角(非象限角)的概念 我们常在 直角坐标系 内讨论角。为了讨论问题的方便,使角的________与__________重合,角的___________与_______________________重合。那么,角的_________(除端点外)落在第几象限,我们就说这个角是__________________。如果角的终边落在坐标轴上,则称这个角为____________________。 合作探究: 1.在直角坐标系中画出下列各角,并说出这个角是第几象限角。 00000030,150,60,390,390,120---

同角三角函数基本关系教案

同角三角函数基本关系

1. 教学分析: 教材分析 同角三角函数基本关系式是学习三角函数定义后,安排的一节继续深入 学习的内容,三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数的基础,在教材中起承上启下的作用.同时,它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用. 学情分析 学生从认知角度上看,已经比较熟练的掌握了三角函数定义.从方法上 看,学生已经对数形结合,猜想证明有所了解.从能力上看,学生主动学习能力、探究能力有待于提高. 2.教学目标 1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的求值. 2.同角三角函数的基本关系式主要有两个方面的应用:(1)求值(知一求二); (2)证明三角恒等式.本节主要学习三角函数的求值,通过这节课学生应明了如何进行三角函数的求值. 3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法. 3.教学重点与难点 教学重点: 公式1cos sin 22=+αα及 ααα tan cos sin =的推导及运用. 教学难点:公式1cos sin 22=+αα及αα α tan cos sin =的推导,运用同角三角函 数基本关系求三角函数值. 4.教学基本流程 (1)情境引入:大家都听过一句话:南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶,偶尔 扇动几下翅膀,可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就

是著名的“蝴蝶效应”, 两个似乎毫不相干的事物,却有着这样的联系.那么我们来看看前些天我们所学习的三角函数.在三个式子中有着“同一个角”其中的联系应该更为紧密! (2)回顾复习:三角函数定义、三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P (,)x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,它与角α的终边或其反向延长线交与点T . y 叫做α的正弦,记做sin α,即 sin =y α x 叫做α的余弦,记做cos α,即 cos x α= 叫做α的正切,记做tan α,即 tan y x α= 我们就分别称有向线段MP 、OM 、AT 为正弦线、余弦线、正切线. 初中时我们学过以下两个公式: 2 2 sin cos 1αα+= sin tan cos α αα = 请同学们思考:这两个等式是否对任意角α都成立怎么证明,在三角函数中有什么作用 这就是本节课要学习的内容:同角三角函数基本关系. (3)新课: 如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =. x y

《锐角三角函数》第一课时导学案

28.1《锐角三角函数》第一课时——正弦 【学习目标】 1:经历当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实。 2:能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】 理解正弦(sinA)概念,知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值这一事实. 【学习难点】 当直角三角形的锐角固定时,,它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 B 【导学过程】 一、自学提纲:A C 1、如图在△ R t ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=10m,?求AB 2、如图在△ R t ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=20m,?求BC A B C 二、合作交流: 问题:为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,?在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管? 思考1:如果使出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管?;如果使出水口的高度为a m,那么需要准备多长的水管?; 结论:直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值 思考2:在△ R t ABC中,∠C=90°,∠A=45°,∠A对边与斜边的比值是一个定值吗??如果是,是多少?B A C 结论:直角三角形中,45°角的对边与斜边的比值

BC B ' C ' 三、教师点拨: 从上面这两个问题的结论中可知,?在一个 △R t ABC 中,∠C=90°,当∠A=30° 时,∠A 的对边与斜边的比都等于 1 2 ,是一个固定值;?当∠A=45°时,∠A 的 对边与斜边的比都等于 2 2 ,也是一个固定值.这就引发我们产生这样一个疑问: 当∠A 取其他一定度数的锐角时,?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值? 探究:任意画 Rt△ABC 和 Rt △A ′B′C′,使得∠C=∠C′=90°, ∠A=∠A′=a,那么 与 AB A ' B ' 有什么关系.你能解释一下吗? 结论:这就是说,在直角三角形中,当锐角 A 的度数一定时,不管三角形的大 小如何,?∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念: 规定:在 Rt △B C 中,∠C=90, ∠A 的对边记作 a ,∠B 的对边记作 b ,∠C 的对边记作 A 斜边c b B 对边a C c . 在 △R t BC 中,∠C=90°,我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦, 记作 sinA ,即 sinA= = a c . sinA = ∠ A 的对边 a = ∠ A 的斜边 c 例如,当∠A=30°时,我们有 sinA=sin30°= ; 当∠A=45°时,我们有 sinA=sin45°= . 四、学生展示: 例 1 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,求 sinA 和 sinB 的值. B 3 B 3 5 13 A 4 C C A (1) (2)

苏教版必修四3.2《二倍角的三角函数》word学案

一、学习目标 1、让学生自己由和角公式而导出倍角公式,了解它们的内在联系; 2、会利用倍角公式进行求值运算,培养运算和逻辑推理能力; 3、领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。 二、学习重点 倍角公式的形成,及公式的变形形式的运用。 三、学习难点 倍角公式的形成,及公式的变形形式的运用。 四、学习过程 问题1:两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么? 问题2:若β=α,结果会如何,你能得出什么结论? α2S : α2C : α2T : 问题3:你能利用同角三角函数公式对α2C 进行变形吗? 总结:公式α2S 、α2C 、α2T 叫做 ,简称 。 注意:(1)这里的“倍角”,实际上专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名称时,“三”字等不能省去。 (2)倍角公式是和角公式的特例。 (3)倍角公式中的“倍角”的意义是相对的,如:4α是8α 的二倍角。 (4)倍角公式的公式特征:“倍角”与“二次”的关系。 试一试:不查表,求值: (1)sin 2230cos 2230''?= ; (2)=-π18cos 22 ; (3)=π-π8 cos 8sin 22 ;(4)= 40cos 20cos 10sin 。 例1:已知)0,2 (135cos παα-∈=且,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值。

例2:化简απ απ α222sin )3(cos )3(cos -++-。 例3:证明下列恒等式 (1)θθθθθtan 2cos 2sin 12cos 2sin 1=++-+; (2)1)10tan 3(40sin =- 。 例4:求函数2sin (sin cos )y x x x =+的最小正周期,以及最值。 例5:在半圆形钢板上截取一块矩形材料,怎样截取使这个矩形面积最大? 五、巩固练习 1、化简(1; (2; (3; (4。

高中数学同角三角函数的基本关系教案

同角三角函数的基本关系 教学目的: 知识目标:1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关 系式及它们之间的联系; 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函 数值的方法。 能力目标: 牢固掌握同角三角函数的两个关系式,并能灵活运用 于解题,提高学生分析、解决三角的思维能力; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程: 一、复习引入: 1.任意角的三角函数定义: 设角α是一个任意角,α终边上任意一点(,)P x y ,它与原点的距离为 (0)r r ==>,那么:sin y r α=,cos x r α=,tan y x α=, 2.当角α分别在不同的象限时,sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的? 3.背景:如果5 3sin =A ,A 为第一象限的角,如何求角A 的其它三角函数值; 4.问题:由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的,则角α的三个三角函数之间有什么关系? 二、讲解新课:

(一)同角三角函数的基本关系式: (板书课题:同角的三角函数的基本关系) 1. 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系: (1)商数关系:α ααcon sin tan = (2)平方关系:1sin 22=+ααcon 说明: ①注意“同角”,至于角的形式无关重要,如22sin 4cos 41αα+=等; ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如 tan cot 1(,)2 k k Z πααα?=≠∈; ③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、 变形用),如: cos α= 22sin 1cos αα=-, sin cos tan ααα =等。 2.例题分析: 一、求值问题 例1.(1)已知12sin 13α= ,并且α是第二象限角,求cos ,tan ,cot ααα. (2)已知4 cos 5α=-,求sin ,tan αα. 解:(1)∵22sin cos 1αα+=, ∴2222125cos 1sin 1()()1313 αα=-=-= 又∵α是第二象限角, ∴cos 0α<,即有5cos 13 α=-,从而 sin 12tan cos 5ααα==-, 15cot tan 12αα==- (2)∵22sin cos 1αα+=, ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=, 又∵4cos 05α=-<, ∴α在第二或三象限角。 当α在第二象限时,即有sin 0α>,从而3sin 5 α=,sin 3tan cos 4 ααα==-; 当α在第四象限时,即有sin 0α<,从而3sin 5α=-,sin 3tan cos 4ααα==. 总结: 1. 已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它 三角函数值。在求值中,确定角的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解的情况不止一种。

《用锐角三角函数解决问题(3)》导学案

7.6 用锐角三角函数解决问题(3)学案 学习目标: 进一步掌握解直角三角形的方法,比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 学习过程: 课前准备 仰角、俯角的定义:如右图,从下往上看,视线与 水平线的夹角叫仰角,从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.右图中的∠1就是仰角,∠2就是俯角. 探究新知 例题1、为了测量停留在空中的气球的高度,小明先站在地面上某点观测气球,测得仰角为27°,然后他向气球方向前进了50m ,此时观测气球,测得仰角为40°。若小明的眼睛离地面1.6m ,小明如何计算气球的高度呢? 例2、在学习实践科学发展观的活动中,某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ,张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°,测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公 x m h m A D B 27 50m 40

楼水平距离多远的地方进行测量?(精确到整数米)(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.20,sin30°=0.50,cos30°≈0.87,tan30°≈0.58) 知识运用 1.如图,小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC为10m,测角仪的高度CD为1.5m,测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB。 (参考数据:sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65) 2、为了改善楼梯的安全性能,准备将楼梯的倾斜角由65度调整为40度,已知原来的楼梯的长为4米,调整后的楼梯要占多长的一段楼梯地面. 当堂反馈 1、如图,热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为? 60,看这栋高楼底部的俯角为? 30,热气球与高 楼的水平距离为66 m,这栋高楼有多高?(结果精确到 C A B

人教九年级下册数学-特殊角的三角函数值导学案

28.1锐角三角函数 原创不容易,为有更多动力,请【关注、关注、关注】,谢谢! 古之学者必严其师,师严然后道尊。欧阳修 第3课时特殊角的三角函数 【学习目标】 ⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应锐角度数。 ⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【学习重点】 熟记30°、45°、60°角的三角函数值,能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【学习难点】 30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程 【导学过程】 一、自学提纲: 一个直角三角形中, 一个锐角正弦是怎么定义的? 一个锐角余弦是怎么定义的? 一个锐角正切是怎么定义的? 二、合作交流: 思考: 两块三角尺中有几个不同的锐角? 是多少度? 你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码?.

三、教师点拨: 归纳结果 30°45°60°siaA cosA tanA 例3:求下列各式的值. (1)cos260°+sin260°.(2)cos45 sin45 ? ? -tan45°. 例4:(1)如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90,63A的度数. (2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB3倍,求a. 四、学生展示: 一、课本67页第1 题 课本67页第 2题 二、选择题. 1.已知:Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=3 5 ,AB=15,则AC的长是(). A.3 B.6 C.9 D.12

2.下列各式中不正确的是(). A.sin260°+cos260°=1 B.sin30+cos30°=1 C.sin35°=cos55° D.tan45°>sin45°3.计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是(). A.2 B32.1 4.已知∠A为锐角,且cosA≤1 2 ,那么() A.0°<∠A≤60°B.60°≤A<90° C.0°<∠A≤30°D.30°≤∠A<90° 5.在△ABC中,∠A、∠B都是锐角,且sinA=错误!未定义书签。, cosB=3 2 ,则△ABC的形状是() A.直角三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形 D.不能确定 6.如图Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BC=3AC=4,设∠BCDa,则tana?的值为(). A.3 4 B. 4 3 C. 3 5 D. 4 5 7.当锐角a>60°时,cosa的值(). A.小于1 2 B.大于 1 2 C.大于 3 2 D.大于1 8.在△AB中,三边之比为a:b:c=132,则sinA+tanA等于(). A.32313331 .3. 6222 B C D + 9.已知梯形ABCD中,腰BC长为2,梯形对角线BD垂直平分AC,若梯形的高是3?则∠CAB等于() A.30° B.60° C.45° D.以上都不对 10.sin272°+sin218°的值是(). A.1 B.0 C.1 2 D. 3 2

同角三角函数的基本关系教案

同角三角函数的基本关系 东宁县绥阳中学 教学目的: 知识目标:1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关 系式及它们之间的联系; 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函 数值的方法。 能力目标: 牢固掌握同角三角函数的两个关系式,并能灵活运用 于解题,提高学生分析、解决三角的思维能力; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程: 一、复习引入: 1.任意角的三角函数定义: 设角α是一个任意角,α终边上任意一点(,)P x y ,它与原点的距离为 (0)r r ==>,那么:sin y r α=,cos x r α=,tan y x α=, 2.当角α分别在不同的象限时,sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的? 3.背景:如果5 3sin =A ,A 为第一象限的角,如何求角A 的其它三角函数值; 4.问题:由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的,则角α的三个三角函数之间有什么关系? 二、讲解新课: (一)同角三角函数的基本关系式:

(板书课题:同角的三角函数的基本关系) 1. 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系: (1)商数关系:α ααcon sin tan = (2)平方关系:1sin 22=+ααcon 说明: ①注意“同角”,至于角的形式无关重要,如22sin 4cos 41αα+=等; ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如 tan cot 1(,)2 k k Z πααα?=≠∈; ③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、 变形用),如: cos α= 22sin 1cos αα=-, sin cos tan ααα =等。 2.例题分析: 一、求值问题 例1.(1)已知12sin 13α= ,并且α是第二象限角,求cos ,tan ,cot ααα. (2)已知4 cos 5α=-,求sin ,tan αα. 解:(1)∵22sin cos 1αα+=, ∴2222125cos 1sin 1()()1313 αα=-=-= 又∵α是第二象限角, ∴cos 0α<,即有5cos 13 α=- ,从而 sin 12tan cos 5ααα==-, 15cot tan 12αα==- (2)∵22sin cos 1αα+=, ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=, 又∵4cos 05α=-<, ∴α在第二或三象限角。 当α在第二象限时,即有sin 0α>,从而3sin 5 α=,sin 3tan cos 4 ααα==-; 当α在第四象限时,即有sin 0α<,从而3sin 5α=-,sin 3tan cos 4ααα==. 总结: 1. 已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中,确定角的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是:①没有确定好或不去确定角的终边位置;②利用平方关系开平方时,漏掉了负的平方根。 例2.已知tan α为非零实数,用tan α表示sin ,cos αα.

《锐角三角函数》学案

1.1锐角三角函数(1)学案 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义,并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1.千年古寺青檀寺中有一座报国塔,小明很想知道 古塔的高度,但小明没有足够长的尺子,怎么办呢?于 是聪明的小明想了这样的办法:小明在塔前的A 处仰望 塔顶,测得仰角∠1的大小,再往塔的方向前进50米到 B 处又测得仰角的大小,根据这些他就求出了塔的高 度.你知道他是怎么做的吗? 通过本章的学习,我们就会揭开小明这样做的谜 底.从今天这节课开始,我们就来学习九年级(下)第一章的内容:直角三角形的边角关系. 2.你能比较两个梯子哪个更陡吗?你有哪些办法? 3⑴如图:梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的? ⑵以下三组中,梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的? A B 1 2

二、呈现问题,探索新知 ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系? ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? (5)概念的生成 由于直角三角形中的锐角A 确定以后,它的对边与邻边之比也随 之确定,因此我们有如下定义: 如图,在Rt△ABC 中,如果锐角A 确定,那么∠A 的对边与邻边之 比便随之确定,这个比叫做∠A 的 (tangent),记作tanA ,即 tanA = . 三、巩固提高,应用新知 例1 如图是甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 坡度 如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如,有一山坡在水平方向 上每前进100m 就升高60m ,那么山坡的坡度i (即tan α)就是: 603tan 1005 i α===.

高中数学学案:三角函数的最值问题

高中数学学案:三角函数的最值问题 1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域. 2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题. 1. 阅读:必修4第24~33页、第103~116页、第119~122页. 2. 解悟:①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么?②三角函数y =A sin (ωx +φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件;③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么?辅助角公式是否熟练?④二倍角公式是什么?由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么?必修4第123页练习第4题怎么解? 3. 践习:在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题. 基础诊断 1. 函数f(x)=sin x,x ∈? ????π6,2π3的值域为? ?? ??12,1__. 2. 函数f(x)=sin x -cos ? ?? ??x +π6的值域为3]__. 解析:因为f(x)=sin x -cos (x +π6)=sin x -32cos x +12sin x =32sin x -32cos x =3sin (x -π6), 所以函数f(x)=sin x -cos (x +π6)的值域为[-3,3]. 3. 若函数f(x)=(1+3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__. 解析:f(x)=(1+3tan x)cos x =cos x +3sin x =2sin ? ????x +π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x +π6<2π3,所以sin ? ????x +π6∈???? ??12,1, 所以当sin ? ?? ??x +π6=1时,f(x)有最大值2. 4. 函数y =2sin 2x -3sin 2x 范例导航 考向? 形如y =a sin 2x +b cos x +c 的三角函数的最值

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