复合函数的零根探究(1)

复合函数的零根探究

例1.已知函数 f(x)=??

?>≤+)

0(log )

0(12x x x x ,求函数y=f(f(x))+1的零根个数。

例2.已知函数y=?

??>≤+)0(ln )

0(x x x k kx （k ≠0）,若函数y=f(f(x))+1的零点个数是4，则k

的取值范围为

例3.已知定义在（0，+∞）上的单调函数f(x),若对任意x ∈（0，+∞）都有 f(f(x)+x 2

1log )=3,则方程f(x)=2+

x 的解集为

例4. 已知函数f(x)=x+

x 1-2，如果关于x 的方程f(|12-x

|)+t(31

24--x )=0有三个相

异的实数根，求t 的范围。

例5．已知定义在R 上的函数y=f(x)存在零点，且对任意m ，n ∈R 都满足f(mf(m)+f(n))=)(2

x f +n ，若关于x 的方程|f(f(x))-3|=1-x a log (a>0，a ≠1)恰有三个不同的根，求a 的取值范围。

例6。已知函数y=f(x)是定义域R 的偶函数，当x ≥0时，f(x)=??????

?>--≤≤-)2(43)2

1()20(412

x x x x ，若

关于x 的方程式[f(x)]2+af(x)+a 16

7

=0，a,b ∈R 有且仅有8个不同实数根，则实数a 的取值范围是

例7.(2015年南通二模第19题第三问）设a ∈R ，函数()f x x x a a =--．当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．

8。设定义在R 上的函数()f x ＝1

1|1|1 1.x x x ?≠?

-??=?，，，

若关于x 的方程2()f x ＋()bf x ＋c ＝0有

3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则1x ＋2x ＋3x ＝ ．

复合函数的零根探究

对于函数y=f(x)与y=g(x)称函数y=f(g(x))为函数y=f(x)对y=g(x)的复合函数,可以看作由函数y=f(u)与u=g(x)复合而成，对于函数y=f(x),我们把方程f(x)=0的实数根x 叫做函数y=f(x)的零点。复合函数和零点都是高中函数的重要内容，这部分内容一直是学生难以理解和难以掌握的内容，下面就复合函数的零点问题作一探究。 例1.

已知函数 f(x)=??

?>≤+)

0(log )

0(12x x x x ,求函数y=f(f(x))+1的零根个数。

分析一：函数y=f(x)为分段函数，用分段方法求出y=f(f(x))的表达式，进而求解。

解法一：(1)当x ≤0时f(x)=x+1,y=f(f(x))+1=f(x+1)+1,①当x+1≤0即x ≤－1时y=f(x+1)+1=x+1+1=x+2=0,所以1x ＝－2；②当x+1>0即-1

)1(log 2+x +1＝0，所以2x ＝2

1-

。 （2）当x>0时f(x)=x 2log ,y=f(f(x))+1=f(x 2log )+1,①当x 2log ≤0即0＜x ≤1时y=f(x 2log )+1=x 2log +2=0,所以3x ＝4

1

；②当x 2l o g ＞0即x>1时y=f(x 2log )+1=)(log log 22x +1=0,所以24=

x 。综上所述函数y=f(f(x))+1的零根有4

个。

分析二：可以作出y=f(x)

解法二：作出函数y=f(x)的图象，如图（1）所示 由y=f(f(x))+1=0得f(f(x))=-1， 由图象知：f(x)=-1

时 x=-2或x=

21,由f(x)=-2或f(x)=2

1

综上所述函数y=f(f(x))+1的零根有4个。

例2.

已知函数y=?

??>≤+)0(ln )

0(x x x k kx （k ≠0）,若函数y=f(f(x))+1的零点个数是4，则k

的取值范围为

分析：由于本题为填空题，可采用图象法解决。 解：（1）先画出k>0时y=f(x)的图象，如图（2）所示，

图（1）

由y=f(f(x))+1=0得f(f(x))=-1,由图象知：f(x)=-1时

x=k k 1+-

或x=e 1,∵k>0,∴k k 1

+-<0, 由图象知： f(x)= k k 1+-必有两个解；f(x)= e

1

两解时才能保证

函数y=f(f(x))+1的零点个数是4个，要保证函数f(x)= e

1

两解必有： k ≥

e

1。 （2）再画出k<0时y=f(x)的图象，如图（3）所示， 由y=f(f(x))+1=0得f(f(x))=-1,由图象知：当k>-1时直线

f(x)=-1与y=f(x)的图象只有一个交点，无法满足题意要求， 只有当k ≤-1时直线 f(x)=-1与y=f(x)的图象有两个交点，

其交点横坐标为x=k k 1+-或x=e 1,由图象知：f(x)= k k 1

+- 要有两个解，必须满足k

k 1+-≥k ，化简得：012

=++k k

恒成立；f(x)= e

1

恒有两解；∴当k ≤-1时函数y=f(f(x))+1的

零点个数是4个。

综上所述：k 的范围为k ≤-1 或k ≥

e

1

例3.已知定义在（0，+∞）上的单调函数f(x),若对任意x ∈（0，+∞）都有 f(f(x)+x 2

1log )=3,则方程f(x)=2+

x 的解集为

解：令f(x)+x 2

1log ＝c ，则f(c)=3,在上式中令x=c ，则f(c)+c 2

1log =c ，c 2

1log ＝c-3，

解得c=2，故f(x)=2－x 2

1log ，2－x 2

1log ＝2+

x ，x 2log ＝x ，在同一坐标系中作

出函数y=x 2log 和y=x 的图象，可知这两个图象有2个交点，即（4，2）和（16，4），

则方程f(x)=2+

x 的解集为{4，16}

例4. 已知函数f(x)=x+

x 1-2，如果关于x 的方程f(|12-x

|)+t(31

24--x )=0有三个相

异的实数根，求t 的范围。

分析：此方程可看作是函数y=f(g(x))与g(x)= |12-x

|复合而成，方程的根也可看作是函

数的零点，此类问题的解决仍然采用数形结合方法。

解：令|12-x

|＝m ，则f(m)+t(

)34-m =0，m+m 1-2+t()34

-m

=0，去分母得：014)23(2=+++-t m t m ，此方程最多有两个根，由函数m=|12-x |图象（如图（4）

）图（3）

可知，方程014)23(2=+++-t m t m 的两根必须有一根m ≥1，另一根0

???

????

<+<>=??

?<>1

22

300)0(0

)1(0)1(0)0(t g g g g 或解得：041

<<-m

例5．已知定义在R 上的函数y=f(x)存在零点，且对任意m ，n ∈R 都满足f(mf(m)+f(n))=)(2

x f +n ，若关于x 的方程|f(f(x))-3|=1-x a log (a>0，a ≠1)恰有三个不同的根，求a 的取值范围。

解：令函数y=f(x)的零点为m ，即f(m)=0，对任意m ，n ∈R 都满足f(mf(m)+f(n))=)(2

x f +n ，则f(f(n))=n 恒成立，即f(f(x))=x ，若关于x 的方程|f(f(x))-3|=1-x a log (a>0，a ≠1)恰有三个不同的根，即|x-3|=1-x a log (a>0，a ≠1)恰有三个不同的实根。

（1）当0

图（5

）

x

图（6）

（2）当1

（3）当a>3时，函数y=|x-3|-1与y=-x a log 图象如图（6）所示，两图象有三个交点， （4）当a=3时，函数y=|x-3|-1与y=-x a log 图象只有二个交点，不满足条件。 综上所述，函数有三个零点时a 的范围为a>3

例6.解：画函数y=f(x)的图象，如图（8

）所示，要使方程有八个不同的解，必须使y=f(x)在x ∈（-1，43-

）上有两个不同的解，转化为根的分布问题来求解，结果为??

? ??91647， 例7. 解：设[]()()F x f f x a =+，

令()t f x a x x a =+

=- 则()y f t ==t t a a --，4a >， 第一步，令()0f t =t t a a ?-=，所以，当t a <时，20t at a -+=，判别式(4)0a a ?=->，

解得1t =，2t ；当t a ≥时，由()0f t =得，即()t t a a -=， 解得3t =

第二步，易得12302a t t a t <<<<<，且2

4

a a <，

图（7）

t

1 2 3

①若1x x a t -=，其中2104

a t <<， 当x a <时，210x ax t -+=，记21()p x x ax t =-+，因为对称轴2

a x a =<，

1()0p a t =>，且21140a t ?=->，所以方程210t at t -+=有2个不同的实根； 当x a ≥时，210x ax t --=，记21()q x x ax t =--，因为对称轴2

a x a =<，

1()0q a t =-<，且22140a t ?=+>，所以方程210x ax t --=有1个实根， 从而方程1x x a t -=有3个不同的实根；

② 若2x x a t -=，其中2

204

a t <<，由①知，方程2x x a t -=有3个不同的实根； ③ 若3x x a t -=，

当x a >时，230x ax t --=，记23()r x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，

3()0r a t =-<，且23340a t ?=+>，所以方程230x ax t --=有1个实根； 当x a ≤时，230x ax t -+=，记23()s x x ax t =--，因为对称轴a x a =<，

3()0s a t =>，且2334a t ?=-，2340a t ->?324160a a --<， 14分 记32()416m a a a =--，则()(38)0m a a a

'=->故()m a 为(4 )+∞，上增函数，且(4)160m =-<，(5)90m =>， 所以()0m a =有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a ∈，，

若04a a <<，即30?<，方程230x ax t -+=有0个实根； 若0a a =，即30?=，方程230x ax t -+=有1个实根；

若0a a >，即30?>，方程230x ax t -+=有2个实根，

所以，当04a a <<时，方程3x x a t -=有1个实根 当0a a =时，方程3x x a t -=有2个实根；当0a a >时，方程3x x a t -=有3个实根．

综上，当04a a <<时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为7；当0a a =时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为8； 当0a a >时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为9．16分