8-1 数项级数(3)交错级数

正项数收敛判别方法

数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目:正项级数收敛的判别方法

摘要: 各项都由正数组成的级数称为正项级数,它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题,通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法,并结合相关实例,判断所给级数的敛散性。 关键字:正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质,下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1:给定一个数列{}n u ,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ (1) 称为数项级数或无穷级数(简称级数),其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和,记为1 n n k k S u == ∑,称为(1)的前n 项部分和。 定义2:若(1)的部分和数列{}n S 收敛于S (即lim n n S S →∞ =),则称数项级数(1)收 敛,并称S 为(1)的和,记为1 n n S u ∞ == ∑,若{}n S 为发散数列,则称数列(1)发散。 根据级数(1)的收敛性,可以得到收敛级数的一些性质: (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数(1)收敛的充要条件是:0ε?>,0N ?>,n N ?>,p Z + ?>,有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件:若级数 1 n n u ∞ =∑收敛,则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和(正项级数也满足)。 (v) 运算性质: 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛,c d 是常数,则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛,且满足

无穷级数求和问题的几种方法

目录 摘要 (2) 1无穷级数求和问题的几种方法 (2) 1.1利用级数和的定义求和 (2) 1.2利用函数的幂级数展开式求和 (3) 1.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 (4) 1.4逐项求极限 (5) 1.5利用Flourier级数求和 (7) 1.6构建微分方程 (9) 1.7拆项法 (9) 1.8将一般项写成某数列相邻项之差 (10) 2总结 (12) 3参考文献 (12)

无穷级数求和问题的几种方法 摘要:无穷级数是数学分析中的一个重要内容,同时无穷级数求和问题,也是学生学习级数过程中较难掌握的部分.然而,无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子,根据无穷级数的不同特点,介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 关键词:数项级数;幂级数;级数求和 无穷级数是数学分析中的一个重要内容,它是以极限理论为基础,用以表示函数,研究函数的性质以及进行数值计算的一种重要工具.然而数学分析中注重函数的敛散问题,却对无穷级数求和问题的方法介绍的比较少,所以求和问题是学生学习级数过程中较难掌握的部分.无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子,根据不同的无穷级数的不同特点,介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 1利用级数和的定义求和 定义[1] 若级数1 n n u ∞ =∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ,即1 l i m l i m n n n n n S u S ∞ →∞ →∞ == =∑, 则称级数1 n n u ∞ =∑收敛,记为1 n n u S ∞ ==∑,此时S 称为级数的和数;若部分和数数列 {}n S 发散,则称级数1 n n u ∞ =∑发散. 例1 求级数()∑∞ =--1 112n n q n ,1≤q 的和 . 解: 2311357(21)n n S q q q n q -=+++++- (1) 2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=+++++-+- (2) (1)-(2)得: 1 1(1)12(21)1n n n q q S q n q q ---=+--- 12 112(21)1(1)1n n n q q S q n q q q --=+----- 2 12lim 1(1)n n q S q q →∞ = +-- 即级数和 2 121(1) q S q q = +--.

将调和级数中分母含有数字9的项去掉,所得的级数必收敛

证明:将调和级数中分母含有数字9的项去掉,所得的级数必收敛! 求出一个级数(不特别的)收敛值. 从没做过这样的题(一般证一致收敛)-----(求一般项1/N^2的级数和值倒是见过) 楼主的题目以前做过,不过方法忘了.现在证明方法比较偏,如下: 只要证明第K项级数小于1/k*[ln(k)]^2 即分母大于k*[ln(k)]^2就可以了! (要得分,最好是:分母大于k^2, 一样证明) 很明显分母中不出现9 等价于9进制(很重要). 所以9进制数的表示法,k可表示为:k=n'0 * 9^0 + n'1 * 9^1 + .... +n'i * 9^i (n'i 为自然数) 而第K项数值的分母记为m: m = n'0 * 10^0 + n'1 * 10^1 + .... +n'i * 10^i 当K足够大时候有 m/k >{(10/9)^(i-1)> k*[ln(k)]^2/k= [ln(k)]^2 } (后面那个不等式,左边增长速度快右边[很重要].而去掉有限项对级数收敛性无影响) 所以m>k*[ln(k)]^2. 由于级数1/k*[ln(k)]^2 收敛,所以的命题得求证! 我也来解解,大家看错没错。谢谢!! r1=一位数倒数的和, r2=二位数倒数的和, ...... rn=n位数倒数的和 ...... n位数中不含9的项共有8*(9的n-1次方) n位数倒数大于1/99.....99,小于1/100......00. 所以 rn小于8*(9的n-1次方)*1/100......00=8*[(9/10)的n-1次方] 原级数=r1+r2+....+rn+.... 很容易看出收敛的。 如果我的方法没错的话, 题目可以改成这样的。 证明:将调和级数中分母含有数字n的项去掉,所得的级数必收敛!

(完整版)数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧 一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 (利用常用公式) =x x x n --1)1(= 2 11)211(21--n =1-n 21 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解:由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(2 1 ++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++= n n S n S n f =64 342++n n n = n n 64341+ += 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ,即n =8时,501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和:1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解:由题可知,{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② (设制错位) ①-②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得:n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解:由题可知,{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

级数求和的常用方法

四川师范大学本科毕业论文级数求和的常用方法 学生姓名刘学江 院系名称数学与软件科学学院 专业名称数学与应用数学 班级2008级01班 学号2008060122 指导教师李红梅 完成时间2012年4月30日

级数求和的常用方法 学生姓名:刘学江指导老师:李红梅内容摘要:级数在数值计算中有广泛的运用,级数首先要考虑其收敛性, 在收敛级数中寻求可求和的方法.但在国内很多教材或其它数学书籍中没有专门的板块涉及级数求和的内容,即使是国内权威数学分析教材也只是作了级数逼近的工作.力求寻求级数求和的常用方法加以总结提炼,揭开级数和的神秘面纱.本文整体布局可分为部分:一、数项级数求和的常用方法二、函数项级数求和的常用方法.由于级数的敛散性是分析级数求和的先导,但是本文重在于讨论级数求和,所以级数敛散性内容讨论从简,且本文涉及的级数均收敛.在借鉴国内外优秀数学书籍的基础上,选取一些典型题目加以分析,使每一种方法尽可能以事实形式呈现出一种“方法技巧的实战运用”景象,在实例中说明方法,用实例体会方法. 关键词:级数求和数项级数求和函数项级数求和 Common Methods of Summing of Series Abstract: Series widely used in the numerical calculation, the series must first consider its convergence, covergent series for the sum mability method.In many textbooks or other mathematical books for the summation of our national content, even if the domestic authority of mathematical analysis textbooks just made a series approximation .Under the guidance of the teachers Honmei Li, and strike to seek the summation of the commonly used method to sum up refining, opened the mystery of series The overall of this article can be divided into two parts: several summation of commonly used methods,common methods summation for funtional sreies, series summation’s theory,The convergence and divergence of the series is the summation anlysis of the pilot,but important point is to discuss the summation, so the convergence of the series discussion is simple in this text. Based on excellent books from home and abroad ,every method for series summation show the fact that “method of skill in actual use” scene as far as possible. Keywords:sum of series sum of numerial series sum of function series

调和级数的逼近函数

函数分布及解码 这里讨论的基本上是调和级数。 (1)素数分布具有一定规律,但是它的分布规律就是没有相同点,我们即便是找到一些局部的规律性,但是它依然不能应用到全部,在寻找规律时,我们一般都采用函数逼近法去解码,但是即便是解码成功,它的余函数一样不可以描述它。以下是素数分布的逼近解码函数: n n n ()ln()0.56152ln(ln()) P n n P P ε=+- 以上解码函数是8879503以内所有素数归纳出来

的,随着素数的增加,逼近函数可能还会有一些微小的变动。这是目前最为接近的中值逼近解码函数。余函数是素数分布的本身,是无法描述的,但是我们通过解码,了解到它具有波动性,和周期性。。。。。 (2)自然数倒数和 ()()1 11ln 21lim ln 2+ln 2+2222n o n c n n k α→∞-==∑ ()()011ln 21lim ln 21+ln 21+21 222n j n c n n k α→∞+=+=++∑ln 20.05796575782920672 o c α-=≈- ln 20.635181422730742 j c α+=≈ c ≈0.577215664901532860606512090082402431042159335是欧拉-马歇罗尼常数 ()1 11lim ln 2+22n o n n k α→∞=∑ ()j 111lim ln 2+1+2+1 2n n n k α→∞=∑ 以上是极限状态下得函数取值,但是实际中我们并不能达到极限状态,对于有限区间如何取值,我们就需要对函数解码,以下是自然

数倒数在有限范围内的解码函数。。。。 ()5.6 1.22911 1.017()ln(2ln(1ln(ln(1.445ln 2))))0.0172n 6ln 2()ln(20.1)n n n F n n n c n k n ε-+==+++++++-++∑解码函数比原函数偏大,函数在n=1 时误差为-0.0382064988721671,n (2,7)时误差为0.0257360642441862~0.0106247817461118,n>=7时误差为 0.00942087240133116左右,n>=70 时0.000998481033276377左右n 特别大时逐渐时趋于0。误差就是余函数ε(n )的取值。解码逼近函数比原函数稍偏小,误差最大区间是1~7之间。

比较几种判定正项级数收敛性的方法

比较几种判定正项级数收敛性的方法 【摘要】通过对:1:比较判别法;2:根植判别法3:达朗伯耳判别法的应用范围的比较,加以对其分析, 找出若干类型题加以分类,确定哪类适合这两种判定法,归纳其特点,以便以后做题能够快速入手,遇到题目以后具体运用哪种方法更便捷提供了途径. 【关键词】比较判别法 根植判别法 达朗贝尔 例题 一:比较判别法. 1:定义 若从某一项起11n n n n n n a b a kb a b ++≤≤(或者) (k >0),则由1 n n b ∞ =∑的收敛性可推出1 n n a ∞ =∑收敛,若从某一项起n n a kb ≥11()n n n n a b a b ++≥ 或者 (k >0),则由1 n n b ∞ =∑发散可推出1 n n a ∞ =∑发散. 2:比较判别法的极限形势 设lim n n n a b →∞ =λ(+λ∞为有限数或)则: (i ):0λ<<+∞时,n n a b 则和收敛性相同. (ii ):1 1 =0b n n n n a λ∞ ∞ ==∑∑时,由收敛可推出收敛. (iii ):1 1 b n n n n a λ∞ ∞ ===+∞∑∑时,由发散课推出发散. 3:例题 (1):证明:若级数1 n n a ∞ =∑收敛,则把该级数的项通过组合而不改变其先后顺序所得的级 数1 n n A ∞ =∑其中 1 1 n n p n i i p A a -+==∑ (11p =,12p p <<…)也收敛且具有相同的和,反之不真,举 出例子. 证 设级数1 n n A ∞ =∑的部分和序列为1,2l l ,…,n l ,…,则

交错级数的实质是无穷项n到2n的调和级数 (1)

交错级数的实质是无穷项n到2n的调和级数 摘要交错级数1-1/2+1/3-1 /4+1/5-1/6+....+[(-1)^(n-1)]/n=ln2= 1/(n+1)+....+1/(2n-1), 这一科学成果是依据调和级数的数频理论得出的,它揭示了交错级数与调和级数的一种联系。这一数频理论的原理是等式或等价,有别与经典的近似理论。它是数学发展的未来趋势。 关键词交错级数;调和级数;数频公式;无穷大;ln2; 欧拉系数 1.调和级数的数频公式 先来研究调和级数的直接数频公式,这是没有先例的,尽管之前有一些间接的,但都不是依据等式得来的,不足为凭。 n ≥3,设S3=1+1/2+1/3, 1/2*S3=1/2+1/4+1/6,(1) 1/2* S3=S3-1/2*S3=(1+1/2+1/3)-(1/2+1/4+1/6) =1+1/3-(1/4+1/6)=1/2+1/4+1/6﹙2﹚﹙1﹚=﹙2﹚, 可得交错级数数列, ∴1-1/2+1/3=2﹙1/4+1/6﹚=1/2+1/3; 再设S5=1+1/2+1/3+1/4+1/5, 1/2*S5=1/2+1/4+1/6+1/8+1/10=S5-1/2*S5 , ﹙3﹚S5-1/2*S5=﹙1+1/2+1/3+1/4+/5﹚-﹙1/2+1/4+1/6+1/8+/10﹚ =1+1/3+1/5-﹙1/6+/8+1/10﹚, ﹙4﹚∵﹙3﹚=﹙4﹚, ∴1+1/3+1/5-﹙1/6+1/8+1/10﹚=1/2+1/4+1/6+1/8+1/10 , 可得交错级数数列,1-1/2+1/3-1/4+1/5=2﹙1/6+1/8+1/10﹚。 再设S7=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7, 1/2*S7=1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+1/12+1/14,=S7-1/2*S7, 可得1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/=1/4+1/5+1/6+1/7 ; 同理可得交错级数数列1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+1/9 =1/5+1/6+1/7+1/8+1/ 9;.. ...................................... 当n为奇数时,n→∞, 1-1/2+1/3-1/4+······+1/﹙2n-1﹚ =1/﹙n+1﹚+1/﹙n+2﹚+.....+1/﹙2n-1﹚; (5) 当n为偶数时, n→∞, ∑[﹙-1﹚^﹙n-1﹚]*﹙1/2n﹚=∑[﹙-1﹚^﹙n-1﹚]*[1/﹙2n-1﹚] -1/2n =1-1/2+1/3-1/4+……+1/﹙2n-1﹚-1/2n, =1/﹙n+1﹚+1/﹙n+2﹚+....+1/﹙2n-1﹚-1/2n. ﹙6﹚ 以上﹙5﹚、﹙6﹚公式就是调和级数的数频公式。 这一数频公式首次突破了调和级数没有直接的完整的公式的表达的历史空白,突破了调和级数至今只有近似的理论向完整理论转变的局限,无疑,这奠定了数频理论的正确的发展基础。 如果在假设的条件下,认可欧拉的结论是正确的,即早在1665年,牛顿在他的《流数法》中推导出第一个幂级数, ln﹙1+x﹚=1 -x2/2+x3/3-……+[﹙-1﹚^﹙n-1﹚]*﹙x^n)/n] 欧拉在1734年利用牛顿的成果,首先获得了 1-1/2+1/3-1/4+……+[﹙-1﹚^﹙n-1﹚]/n=ln2; n→∞. ﹙7﹚

高数辅导之专题二十:交错级数、任意项级数的敛散性判别法

专题二十 基础知识 定理1(交错级数的莱布尼兹定理)若交错级数 ∑∞ =-1 ) 1(n n n u ( ,3,2,1=n ) 满足: (1)1+≥n n u u ( ,3,2,1=n ) (2)0lim =∞ →n n u 则 ∑∞ =-1 ) 1(n n n u 收敛,且11 )1(u u n n n ≤-∑∞ =。 注:交错级数 ∑∞ =-1 ) 1(n n n u 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。 对于任意项级数 ∑∞ =1 n n u ,引入绝对值级数的概念:级数 ∑∞ =1 ||n n u 称为∑∞ =1 n n u 的绝对值级数。 定理2若级数 ∑∞ =1 ||n n u 收敛,则∑∞ =1 n n u 亦收敛。 由定理2知收敛级数 ∑∞ =1n n u 分为两种: (1)条件收敛:要求 ∑∞ =1n n u 收敛, ∑∞ =1 ||n n u 发散。 (2)绝对收敛:要求 ∑∞ =1 ||n n u 。 总结:判定级数 ∑∞ =1 n n u 的敛散性,可按如下步骤进行: (1)首先讨论n n u ∞ →lim 。若n n u ∞ →lim 不存在或0lim ≠∞ →n n u ,级数 ∑∞ =1 n n u 发散;若0lim =∞ →n n u , 转入第二步。

(2)其次讨论 ∑∞ =1 ||n n u 的敛散性,可运用正项级数的一系列敛散性判别法。若∑∞ =1 ||n n u 收敛, 则 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛;若 ∑∞ =1 ||n n u 发散,转入第三步。 (3)最后讨论 ∑∞ =1n n u 的敛散性,可能用到交错级数的莱布尼兹定理。若 ∑∞ =1 n n u 收敛,则 ∑∞ =1 n n u 条件收敛;若∑∞ =1 n n u 发散,当然 ∑∞ =1 n n u 发散。 例题 1. 设α为常数,判定级数 ∑∞ =-1 2 ]1 sin [ n n n na 的敛散性。 解:∑∑∑∞=∞ =∞ =-=-1 1212 1 sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于2 21 |sin |n n na ≤,∑∞ =121n n 收敛,由比较判别法知级数∑∞=12sin n n na 收敛(绝对收敛),而∑ ∑ ∞ =∞ ==12 1 1 11n n n n 为一发散的p 级数,故 ∑∞ =-1 2 ]1 sin [ n n n na 发散。 2. 若级数∑∞ =-+-1 166)2(n n n n n a n 收敛,求a 。 解:∑∑∑∞=∞ =-∞ =-+-=+-11111666)2(66)2(n n n n n n n n n n n a n n n a n ∑∑∞ =∞=-+-=1111 )31(61n n n n a ∑∞ =--1 1)31(n n 收敛(1|31 |<-),故∑∑∑∞=∞=-∞=-=--+-111111)31(6166)2(n n n n n n n n a n a n 收敛,而∑∞ =11n n 发散,从而0=a 。(倘若0≠a ,则∑∑∞ =∞ =?=111 11n n n a a n 收敛,矛盾)

论级数求和的解题策略开题报告

论级数求和的解题策略开题报告 开题报告 论级数求和的解题策略 一、选题的背景、意义 级数理论是数学研究的重要对象,它不但在日常的生产、生活中都有广泛的应用,而且还是研究函数性质进行数值计算的有力工具。其中级数求和是级数理论的基本问题之一,也是较难解决的问题,因为除等比级数、等差级数等一些常见的特殊级数外,一般级数都难以求出它的部分和,所以级数求和的方法比较灵活,技巧性也比较强,因此懂得一些解题策略和掌握一些解题方法也就显得尤为重要。 无穷级数出现的很早,往往都是出现在对个别问题的研究中。到了中世纪,无穷级数引起了当时哲学家与数学家的兴趣。17世纪微积分诞生之后,无穷级数作为一种工具在数学的前进中起到了巨大的推动作用。为了把早期的微积分方法应用于超越函数,常常需要把这些函数表示为可以逐项微分或积分的无穷级数,泰勒定理为此做出了贡献。将函数展成无穷级数之后,人们又在考虑这个问题的逆问题,即级数的求和问题[1]。 现今数学理论的学习与研究中,无穷级数也是一个有效工具,无穷级数求和更是一块重要内容,它促使数学家在数学发展上进行大胆的尝试,虽然产生许多悖论,但使数学产生了很多分支,丰富了数学理论的发展。经过历史的研究与发展,结合历史上大量数学家的研究理论与所得结论。当今学者还对级数问题与级

数求和问题都做出了深入的考察与进一步的探究,创造性地提出了许多级数求和的策略与方法。此外,发散级数在天文、物理上的广泛应用,推动了人类发展的进步。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 本课题尝试对级数求和问题策略方法及理论逻辑进行归纳梳理,并通过深入理解、构造、举例……从多方面、各角度对各类级数求和的思维转化策略及问题转化的技巧作出大胆的研究和探索。 (一)、利用收敛定义求数项级数的和: 由级数收敛定义,若数项级数的部分数列收敛于(即),则称数项级数收敛,称为数项级数的和(即)[2] 其要点即求部分和,而求的方法有: 1、形如的数项级数可用待定系数法(即交差相消法)来求[3]; 2、当求较困难时,可用先求和(为适当系数)的分项相减法(即错位相减法)来求[3]; 3、利用熟悉的等差、等比数列及三角公式等来求[4]。 (二)、利用幂级数求数项级数的和: 找一个适当的幂级数,使收敛域内某一点对应的数项级数恰好为所要求的数项级数,因此可以借助幂级数的和函数求数项级数的和, 即求出幂级数的和函数,则有[5]。 (三)、利用傅里叶级数求数项级数的和: 1、将函数展开成傅里叶级数; 2、将函数经奇(偶)延拓后展开成正弦(余弦)级数,

调和级数发散性的多种证明方法

邯郸学院本科毕业论文 高昌 摘要调和级数是数学分析中一个典型的正项发散级数,证明它发散性的方法有很多.本文主要给出了证明调和级数发散的11种比较常见的方法.笔者将搜集到的证明调和级数发散的方法进行了进一步的整理,使之成为一套具有简单逻辑性的体系.根据各种方法的特点,笔者把这些方法分别归在了比较类、柯西类、积分类和级数和为无穷大类四个大类下.在每个大类下都有两个到四个不同的证明方法.为了方便将各种方法放在一起进行比较,笔者在对各种方法进行整理时,对原来有些方法的书写和步骤都有所改动,呈现形式与原证不同. 关键词调和级数发散性判别收敛 Proofs of the divergency of harmonic series Gao chang Directed by Associate Prof. Lou Xijuan Abstract Harmonic series is the mathematical analysis of a typical positive divergent series, proof it divergent method has a lot of. This article mainly gives proof harmonic diverges 11 kinds of common methods. The author will gather to proof method of harmonic diverges underwent further consolidation, make it become a set of has a simple logical system. According to the characteristics of various methods, the author put these methods shall compared respectively in classes, cauchy class, integral classes and series and four categories such as infinite. In each categories below two to four different methods of proof. In order to facilitate the comparison of various methods, the author put together in various methods to the original collation, some methods of writing and steps are varies, present form and the original

幂级数求和函数方法概括与总结

幂级数求和函数方法概括与总结

常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分,它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”,其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法,即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦,他首先发展了幂级数的概念,对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时,他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪,高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则,使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今,级数的理论已经发展的相当丰富和完整,在工程实践中有着广泛的应用,级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数,在幂级数理论中,对给定幂级数分析其收敛性,求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少,仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上,求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的,一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解,因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 (一)、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列,则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数,简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

调和级数、三种排序算法

调和级数 由于调和级数发散(证明见本条目“发散性”一节),即n趋于无穷大时级数也趋于无穷大,所以这个比值也必定在某个时刻超过1;也就是说,蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。然而,在这个时刻的n的值极其之大,约为e100,超过1040(1后面有40个零)。这也说明了,尽管调和级数确确实实是发散的,但它发散的速度非常慢。 另一个例子:假设你有一堆完全相同的骨牌,可以肯定的是,你可以把它们叠在一起,并使得每个骨牌都突出其下方骨牌外一定长度,最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。违反直觉的是,只要你的骨牌足够多,你就可以使最上层的骨牌可以离最底层骨牌无穷远。[2][3]一个较简单的证明如下: 三种排序算法 快速排序是由东尼·霍尔所发展的一种排序算法。在平均状况下,排序n个项目要Ο(n log n)次比较。在最坏状况下则需要Ο(n2)次比较,但这种状况并不常见。事实上,快速排序通常明显比其他Ο(n log n) 算法更快,因为它的内部循环(inner loop)可以在大部分的架构上很有效率地被实作出来,且在大部分真实世界的资料,可以决定设计的选择,减少所需时间的二次方项之可能性。 步骤为: 1.从数列中挑出一个元素,称为 "基准"(pivot),

2.重新排序数列,所有元素比基准值小的摆放在基准前面,所有元素比基准 值大的摆在基准的后面(相同的数可以到任一边)。在这个分割结束之后,该基准就处于数列的中间位置。这个称为分割(partition)操作。 3.递归地(recursive)把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子 数列排序。 递回的最底部情形,是数列的大小是零或一,也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递回下去,但是这个算法总会结束,因为在每次的迭代(iteration)中,它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。 快速排序的最直接竞争者是堆排序(Heapsort)。堆排序通常比快速排序稍微慢,但是最坏情况的执行时间总是O(n log n)。快速排序是经常比较快,除了introsort变化版本外,仍然有最坏情况效能的机会。如果事先知道堆排序将会是需要使用的,那么直接地使用堆排序比等待 introsort 再切换到它还要快。堆排序也拥有重要的特点,仅使用固定额外的空间(堆排序是原地排序),而即使是最佳的快速排序变化版本也需要Θ(log n)的空间。然而,堆排序需要有效率的随机存取才能变成可行。 快速排序也与归并排序(Mergesort)竞争,这是另外一种递回排序算法,但有坏情况O(n log n)执行时间的优势。不像快速排序或堆排序,归并排序是一个稳定排序,且可以轻易地被采用在链表(linked list)和储存在慢速存取媒体上像是磁盘储存或网络连接储存的非常巨大数列。尽管快速排序可以被重新改写使用在炼串行上,但是它通常会因为无法随机存取而导致差的基准选择。归并排序的主要缺点,是在最佳情况下需要Ω(n)额外的空间。

数列求和的七种基本方法

数列求和的七种基本方法 甘志国部分内容(已发表于数理天地(高中),2014(11) : 14-15) 数列求和是数列问题中的基本题型,但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点,本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法. 1运用公式法 很多数列的前n项和S n的求法,就是套等差、等比数列S n的公式,因此以下常用公式 应当熟记: L 1 123n n(n 2 1) 135L(2n1) n2 1222L2n1 2n1 111 L 11 1 22232n2 还要记住一些正整数的幕和公式: 2 2 2 2 1 1 2 3 n n(n 1)( 2n 1) 6 小3 小3 3 1 2 “八2 1 2 3 n n (n 1) 4 例1已知数列{a n}的前n项和S n32n n2,求数列{a n}的前n项和T n. (1) 所以 2 由S n 32n n ,可得a n 16 时,T n=S n 17时, T n T n 求S n 1 33 2n, a n 0 16,所以: 32n a1 (a1 S]6 2S16 2 n 32 n 2 n a2 a2 (S n S n 32n n2 32n 2 (n 1) a n a? S6) 512 512 3 (n 2) (ai7 a18 a n) (n (n 1,2,L 17,且n N ) ,16)

k(n 1 k) k(n 1) k2,本题即求数列{a/的前n项和.解设a k

S n (12 3 n)(n 1) (12 22 32 n 2) 1 1 n(n 1) (n 1) n(n 1)(2n 1) 2 6 1 :n(n 1)(n 2) 6 答案:S n n 2. 答案:S n n 3n . (1) 求 a n ; ⑵设b h log 3a n ,求数列{bj 的前n 项和S n . 答案: (1) 2 n 1 n n a n 3 ; (2) S n 2 . 咼考题4 (2014年高考重庆卷文科第 16题)已知a n 是首项为1,公差为2的等差数 列,S n 表示a n 的前n 项和. (1)求 a n 及 S n ; 2 (2)设b n 是首项为2的等比数列,公比 q 满足q @4 1)q S 4 0,求b n 的通 项公式及其前n 项和T n . 答案:(1) a n 2n 1,S n n 2 ; (2) b n 22n1 ,T n 2 (4n 1). 3 2倒序相加法 事实上,等差数列的前 n 项和S n 的公式推导方法就是倒序相加法 ? 例3 求正整数 m 与n (m n )之间的分母为3的所有既约分数的和 S . 解显然,这些既约分数为: 1 2 4 4 2 1 m ,m ,m , ,n ,n ,n 3 3 3 3 3 3 高考题1 (2014年高考浙江卷文科第 19题(部分))求数列2n 1的前n 项和S n . 高考题2 (2014年高考四川卷理科第 19题(部分))求数列2n 4的前n 项和S n . 咼考题3 (2014年咼考福建卷文科第 17题)在等比数列{a n }中,a 2 3,a 5 81.

级数求和的常用方法

1.7方程式法 (3) 1.8原级数转化为子序列求和 (3) 1.9数项级数化为函数项级数求和 (3) 1.10化数项级数为积分函数求原级数和 (4) 1.11三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1.12构造函数计算级数和 (5) 1.13级数讨论其子序列 (5) 1.14裂项法求级数和 (6) 1.15裂项+分拆组合法 (7) 1.16夹逼法求解级数和 (7) 2函数项级数求和 (8) 2.1方程式法 (8) 2.2积分型级数求和 (8) 2.3逐项求导求级数和 (9) 2.4逐项积分求级数和 (9) 2.5将原级数分解转化为已知级数 (10) 2.6利用傅里叶级数求级数和 (10) 2.7三角级数对应复数求级数和 (11) 2.8利用三角公式化简级数 (12) 2.9针对2.7的延伸 (12) 2.10添加项处理系数 (12) 2.11应用留数定理计算级数和 (13) 2.12利用Beta函数求级数和 (14) 参考文献 (15)

级数求和的常用方法 级数要首先考虑敛散性,但本文以级数求和为中心,故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题. 由于无穷级数求和是个无穷问题,我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难,故本文只做一些特殊情况的讨论,而无级数求和的一般通用方法,各种方法主要以例题形式给出,以期达到较高的事实性. 1数项级数求和 1.1等差级数求和 等差级数为简单级数类型,通过比较各项得到其公差,并运用公式可求和. 11((1) 22n n a a n n s na d +-=+= ),其中1a 为首项,d 为公差 证明:12=++...+n s a a a ①,21s=+...++n a a a ② ①+②得:()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+) 因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2 n n a a s += ) 此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2. 1.2首尾相加法 此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同,便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++. 解:01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++,210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++,两式相加得:2101 2(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+?,即: 01235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+. 1.3等比级数求和 等比级数为简单级数类型,通过比较各项得到其公比并运用公式可求和. 当q =1,1s na =;当q ≠1,1(1) 1n a q s q -=-,其中1a 为首项,q 为公比. 证明:当q =1,易得1s na =, 当q ≠1,11111=++...+n s a a q a q - ①, 2111=++...+n qs a q a q a q ②, ①-②得11(1)n q s a a q -=-.可以导出一种方法“错位相减”见下1.4

浅谈交错级数敛散性的判定

浅谈交错级数敛散性的判定 摘要:交错级数的敛散性主要用莱布尼兹定理来判别,本文给出了几个有用的结论来 判断某些特殊的交错级数的敛散性,并总结了关于交错级数敛散性判别的一些常用方法。归纳了如何使用该定理证明交错级数的敛散性,并在莱布尼兹审敛法失效时,提供了判定交错级数敛散性的方法。 关键词:交错级数 收敛 莱布尼兹审敛法 单调递减 1引言 在数学分析中,对级数敛散性的判别是一个重要的内容。级数敛散性的柯西判别准则虽然给出了判断级数收敛的充要条件,从逻辑上讲,它适应于一切级数敛散性的判断,但是通常在判别具体级数的敛散性时,使用柯西判别准则是有困难的,甚至是无法进行的,因为要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易。特别是判别一个交错级数是否收敛时使用柯西判别准则往往失效。在常用的数学分析教材中判别交错级数是否收敛方法很少,一般地只有莱布尼茨判别法。莱布尼茨判别法只针对莱布尼茨型级数有效,对于更多的非莱布尼茨型级数敛散性的判别存在困难。在用莱布尼兹审敛法证明交错级数敛散性的过程中,验证两个条件成立有一定的难度。在两个条件失效时,那么该如何判断呢?下面就来谈谈如何使用莱布尼兹审敛法验证交错级数的敛散性。 2基本概念及定理 定义1: 若级数的各项符合正负相间,即: 1 112341...(1)....(1)n n n n n u u u u u u ∞ --=-+-+-+=-∑(n>0,n=1,2,3,4……) 则称级数11 (1)n n n u ∞ -=-∑为交错级数。 定义2:若级数 1 n n u ∞ =∑通项的绝对值构成的级数1 n n u ∞=∑收敛,则称级数1 n n u ∞ =∑为绝 对收敛;若级数1 n n u ∞=∑收敛而1 n n u ∞ =∑发散,则称1 n n u ∞ =∑为条件收敛。

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