常微分方程课后习题答案.doc
习题 3.4
(一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）：
1、4
22??
? ??+=dx dy x dx dy
x y
解：令
p dx
dy =，则4
22p x xp y +=，
两边对x 求导，得dx
dp p
x xp
dx
dp x
p p 3
24
4222+++=
()02213=??
?
?
?++p dx dp
x
xp 从0213=+xp 得 0≠p 时，2
3
43,21p
y p
x -
=-
=；
从02=+p dx
dp x
得 2
2
2,c p
c y p
c x +=
=
，
0≠p 为参数，0≠c 为任意常数.
经检验得???
?
???
+==222c p c y p c x ，（0≠p ）是方程奇解.
2、2
??
?
??-=dx dy y x
解：令
p dx
dy =，则2
p x y +=，
两边对x 求导，得dx
dp p p 21+=
p
p dx
dp 21-=
，
解之得 ()c p p x +-+=2
1ln 2，
所以()c p p p y +-++=2
2
1ln 2，
且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. 3、2
1??
? ??++
=dx dy dx
dy x
y
解：这是克莱洛方程，因此它的通解为
2
1c cx y ++=，
从??
???=+-++=0112
2c c
x c cx y 中消去c, 得到奇解2
1x y -=
.
4、02
=-+?
?
?
??y dx dy x dx dy 解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 2c cx y +=，
从???=++=0
22
c x c cx y 中消去c, 得到奇解 042=+y y . 5、022
=-+??
?
??y dx dy x
dx dy 解：令
p dx
dy =，则2
2p xp y +=，
两边对x 求导，得 dx
dp p
dx
dp x
p p 222++=
22--=x p
dp
dx ，
解之得 2
3
2-+-=cp
p x ，
所以 1
2
3
1-+-
=cp
p y ，
可知此方程没有奇解. 6、012
3
=-??
? ??-??? ??dx dy y dx dy x
解：原方2
1??
?
??-
=dx dy dx
dy x
y ，
这是克莱罗方程，因此其通解为2
1c
cx y -
=，
从??
???
=+-=-02132
c x c cx y 中消去c ，得奇解042732=+y x .
7、2
1??? ??+??? ?
?
+=dx dy dx dy x y
解：令
p dx
dy =，则()2
1p p x y =+=，
两边对x 求导，得 22+-=-p ce x p ， 所以 ()212+-+=-p e p c y p ， 可知此方程没有奇解. 8、()02
2
=--??
? ??a x dx dy x
解：()x
a x dx dy 2
2
-=
?
?
? ??
x
a x dx
dy -±
=
dx x a x dy ???
?
?
?
-
±= ???
? ?
?-±=2
123
232ax
x y ()()2
2
349a x x c y -=+
可知此方程没有奇解. 9、3
312??
?
??-+=dx dy dx dy
x y
解：令
p dx
dy =，则3
3
12p p x y -
+=， 两边对x 求导，得 dx
dp p
dx
dp p 2
2-+
=
2
12p
p dx
dp --=
解之得 ()c p p x +--+-=2ln 32
22
，
所以 c p p p p y +------
=2ln 6433
12
3
， 且 3
22-=x y 也是方程的解，但不是方程的奇解.
10、()
012
=-++???
??y dx dy x dx dy 解：2
?
?
?
??++=dx dy dx dy
dx dy
x y
这是克莱罗方程，因此方程的通解为2c c cx y ++=， 从???++++=c
x c c cx y 212
中消去c, 得方程的奇解()0412
=++y x .
（二）求下列曲线族的包络. 1、2c cx y +=
解:对c 求导，得 x+2c=0, 2
x c -
=, 代入原方程得，4
4
2
2
2
2
x
x
x
y -
=+
-
=，
经检验得，4
2
x
y -
=是原方程的包络.
2、0122=-+cx y c
解：对c 求导，得 y
x
c x yc 2,022
2
-
==+，
代入原方程得
01244
2
4=--
y
x
y y
x
，即044
=+y x ，
经检验得044
=+y x 是原方程的包络. 3、()()42
2
=-+-c y c x
解：对c 求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0, 2
y x c +=
,
代入原方程得()82
=-y x .
经检验,得 ()82
=-y x 是原方程的包络.
4、()c y c x 42
2
=+-
解：对c 求导，得 -2(x-c)=4, c=x+2,
代入原方程得()2442+=+x y ，()142+=x y , 经检验，得()142+=x y 是原方程的包络.
(三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.
解：设所求曲线方程为y=y(x),以X 、Y 表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为
()()()()x X x y x y Y -'=-，
它与X 轴、Y 轴的截距分别为y y x X '
-=，y x y Y '-=，
按条件有 a y x y y y x ='-+'
-
，化简得y y a y x y '
-'-
'=1，
这是克莱洛方程，它的通解为一族直线c
ac cx y --
=1，
它的包络是()???
?
???
--
--=--=21101c ac
c a x c ac cx y ，
消去c 后得我们所求的曲线()2
4a y x ax +-=.
(四) 试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.
证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，
从()()?
??'+=+=c f x c f cx y 0 中消去p 后而得的曲线；
c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程
()
()
??
?'+=+=c f x c f cx y 0中消去c 而得的曲线， 显然它们的结果是一致的，是一单因式，
因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解. 习题4.1
1. 设()t x 和()t y 是区间b t a ≤≤上的连续函数，证明：如果在区间b t a ≤≤上有
()()
≠t y t x 常数或
()()
t x t y 常数，则
()t x 和()t y 在区间b t a ≤≤上线形无关。
证明：假设在()t x ，()t y 在区间b t a ≤≤上线形相关
则存在不全为零的常数α，β，使得()()0=+t y t x βα
那么不妨设()t x 不为零，则有
()()
β
α-
=t x t y
显然β
α-
为常数，与题矛盾，即假设不成立()t x ，()t y 在区间b t a ≤≤上线形无关
2. 证明非齐线形方程的叠加原理：设()t x 1，()t x 2分别是非齐线形方程
()
()=+++--x t a dt
x
d
t a dt
x d n n n n
n
1
1
1()t f 1 （1）
()
()=+++--x t a dt
x
d
t a dt
x d n n n n
n
1
1
1()t f 2 （2）
的解，则()t x 1+()t x 2是方程
()
()=+++--x t a dt
x
d t a dt
x d n n n n
n
1
1
1()t f 1+()t f 2的解。
证明：由题可知()t x 1，()t x 2分别是方程（1），（2）的解
则：
()
()
()
()()()t f t x t a dt t x d
t a dt
t x d n n n n
n
111
11
11=+++-- （3）
()()
()
()()()t f t x t a dt
t x d
t a dt
t x d n n n n
n
221
21
12=+++-- （4）
那么由（3）+（4）得：
()()()
()
()()()
()()()()=++++
++
--t x t x t a dt
t x t x d
t a dt
t x t x d
n n n n
n
211
211
121 ()t f 1+()t f 2
即()t x 1+()t x 2是方程是
()
()=+++--x t a dt
x
d
t a dt
x d n n n n
n
1
1
1()t f 1+()t f 2的解。
3. 试验证=-x dt
x d 22
0的基本解组为t
t e
e -,，并求方程
=-x dt
x d 2
2
t cos 的通解。
证明：由题将t
e 代入方程
=-x dt
x d 2
2
0得：t e -t e =0,即t
e 是该方程的解，
同理求得t
e
-也是该方程的解
又显然t
t e
e -,线形无关，故t
t e
e -,是=-x dt
x d 22
0的基本解组。 由题可设所求通解为：
()=t x ()()t
t
e
t c e t c -+21，则有：
()()??='+'-e t c e t c t t 0
21
解之得：()()()()2211sin cos 4
1;sin cos 41c t t e t c c t t
e
t c t
t
++-
=+--
=-
故所求通解为：()t e c e c t x t t cos 2121-
+=-
4. 试验证=--
-+
x t
dt
dx
t t dt
x d 11122
0有基本解组t ，t
e ，并求方程
=--
-+
x t
dt
dx
t t dt
x d 11
12
2
t-1的通解。
解：由题将t 代入方程
=--
-+
x t
dt
dx
t t dt
x
d 1112
2
0得：
01111122
=-+
-=
---+
t
t t
t
t t
dt
dt
t t dt
t d ，即t 为该方程的解
同理t e 也是该方程的解，又显然t ，t e 线形无关，
故t ，t
e 是方程
=--
-+
x t
dt
dx
t t dt
x d 11122
0的基本解组
由题可设所求通解为()()()t e t c t t c t x 21+=，则有：
()()()()????
?-='+'='+'1
0212
1t e t c t c e t c t t c t t 解之得：()()()2
211,c
e
te
t c c t t c t
t
++-=+-=--
故所求通解为()()2
211+-+=t e c t c t x t
5. 以知方程=-x dt
x d 22
0的基本解组为t
t e
e -,，求此方程适合初始条件()()()()10,0000,10='=='=x x x x 及的
基本解组（称为标准基本解组，即有()10=w ）并求出方程的适合初始条件()()'
='=000,0x x x x 的解。
解：t
t
e e -,时间方程
=-x dt
x d 2
2
0的基本解组，故存在常数21,c c 使得：()t
t
e
c e c t x -+=21
于是：()t
t
e
c e c t x --='21
令t=0,则有方程适合初始条件()()00,10='=x x ，于是有：
?????=-=+0
1
2010
201e c e c e c e c 解得：1c 21,212==c 故()t t e e t x -+=2121 又该方程适合初始条件()()10,00='=x x ，于是：
?????=-=+1
2010
201e c e c e c e c 解得：21,212
1-==c c 故()t t e e t x --=2121 显然()t x 1，()t x 2线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：
()t
t
e
e t x -+
=
2
121， ()t
t
e
e t x --
=
2
12
1
而此方程同时满足初始条件()()'
='=000,0x x x x ，于是：
?????'=-=+0
02010
0201x e c e c x e c e c 解得：2,2002001'-='+=x x c x x c 故()t
t
e
x x e x x t x -'-+
'+=
2
2
00
0满足要求的解。
6. 设()t x i ()n i ,,2,1 =是齐线形方程（4.2）的任意n 个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为()t w ，试证明()t w 满足一阶线形方程()01=+'w t a w ，因而有：
()()()?=-
t
t ds
s a e
t w t w 010()b a t ,∈
解：()()
()
()
()
()()()
()
n n
n n n
n n n n n
n n n
n n
n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t w
1221
111
11111
11
----'
'
=''+
+'
'
''=
'
又()t x i ()n i ,,2,1 =满足()
()01
1
1=+++--i n n i
n n
i n
x t a dt
x d
t a dt
x d
即
()()???
? ??++-=--x t a dt x d t a dt
x d n n i
n n i n
11
1 ()()()121-'n k t a k t w k ，，，为，加到最后一行
行都乘以中第
则：()()()()
()
()()()()t w t a t a x x x x x x x x t w n n
n n n
n n n 11111
2211
1-=-'
'
='----
即()01=+'w t a w 则有：
()()
()dt t a t w t w 1-='
()
()()()()?-=--=t
t ds
s a t w n t w ds s a t t t w t t 0
1010
0ln ,ln 则
积分：到两边从
即：
()()()?=-
t
t ds
s a e
t w t w 010 ()b a t ,∈
7. 假设()01≠t x 是二阶齐线形方程()()021=+'+''x t a x t a x （*）的解，这里()()t a t a 21和
在区间[]b a ,上连续，试证：（1）()t x 2是方程的解的充要条件为：[][]0,,21121=+'x x w a x x w ；（2）方程
的通解可以表示为：
()???
?
???
?+??? ??-
=??
2121110
exp 1
c dt ds s a x c x x t
t ,其中21,c c 为常
数,[]b a t t ,,0∈
证：（１）[][]0,,21121=+'x x w a x x w
()的解。
为即(*)0,00
21212122121212112112112112
12112112121x x x a x a x x a x a x x x x a x x a x x a x x a x x x x a x x a x x x x ≠=+'
+"?=??? ??+'
+"?='
-'++'+"
?='
-'+'"-"?
（２）因为21,x x 为方程的解，则由刘维尔公式
()()()()?='
-'?=''-
-t
t t
t ds
s a ds
s a e
t w x x x x e
t w x x x x 010********
1
21:,即
两边都乘以
2
1
1x 则有：
()()?=
???
?
??-
t
t ds
s a e
x t w dt
x x d 012
1
012，于是：
()()1
221122
2
1
11
2010111x c dt e x c x c dt e
x c x x t
t t
t ds
s a ds
s a ???
? ??+?=+?=--
??
即：
()()()0,
1,0,101012
121
2
1
1221≠?=''
=?===--
?
t
t t
t ds
s a ds
s a e
x x x x t w dt e
x x x c c 又：得：取
从而方程的通解可表示为：
()???
?
???
?+??? ??-=??
2121110
exp 1c dt ds s a x c x x t
t ,其中21,c c 为
常数,[]b a t t ,,0∈。
8. 试证n 阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。
证：设()()()t x t x t x n ,,,21 为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，()t x 是（4.1）的一个解，则：
()()()()()()(),,,,,21t x t x t x t x t x t x t x n +++ （1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。 事实上：假设存在常数121,,,+n c c c ，使得：
()()()()()()()()()()()
()()()()
t x c c t x c c c t x t x c t x c t x t x c t x t x c t x t x c i i
n i i
n
i i n i i
n i i n i i i n
i n n n 11
1
1
1
1
11
1
1
1221100
:0+==+=+=+==+∑∑
-=≠∑=∑=∑+∑=+++++++，则有：否则，若
我们说：即
（*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！ 从而有()01=∑=t x c i i n
i
又()()()t x t x t x n ,,,21 为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组， 故有：0:,0121=====+n n c c c c 进而有 即（1）是线形无关的。
习题4.2
1. 解下列方程
（1）045)4(=+''-x x x
解：特征方程112204543212
4-==-===+-λλλλλλ，，，有根
故通解为x=t
t t
t
e
c e c e
c e
c --+++432221
(2)0333
2
=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333
223=-+-a a a λλλ
有三重根a =λ 故通解为x=at
at
at
e
t c te
c e c 2321++
（3）04)
5(='''-x x
解：特征方程043
5
=-λλ
有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2
故通解为542
32221c t c t c e
c e c x t t ++++=- （4）0102=+'+''x x x
解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i
故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+''x x x
解：特征方程012=++λλ有复数根=
1λ,231i
+
-=
2λ,2
31i
-
-
故通解为t e
c t e
c x t t 2
3
sin
2
3cos
2
122
11--+=
(6) 12+=-''t s a s
解：特征方程022=-a λ有根
1λa,=2λ-a
当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21
Bt A s +=~代入原方程解得21a
B A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(1
2-t a
当a=0时,)(~212
γγ+=t t s 代入原方程解得2
1,6
12
1=
=
γ
γ
故通解为s=t c c 21+-
)3(6
12
+t t
(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x
解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t
t t
te c e c e
c 3221++
又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~
代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=t
t t
te c e c e c 3221++-4-t
(8) 322
)
4(-=+''-t x x x
解：特征方程12120122
4
-===+-λλλλ重根，
重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321
取特解行如c Bt At x ++=2
~
代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12
+t
(9)t x x cos =-'''
解：特征方程013=-λ有复数根=
1λ,231i
+
-=
2λ,231i
-
-13=λ
故齐线性方程的通解为t
t t e c t e
c t e
c x 32
122
112
3sin 2
3cos
++=-- 取特解行如t B t A x sin cos ~
+=代入原方程解得A=2
1,2
1-=B
故通解为t
t t e c t e
c t e
c x 32
122
1
12
3sin
2
3cos
++=--)sin (cos 2
1t t +-
(10) t x x x 2sin 82=-'+''
解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根
取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~
+=代入原方程解得A=5
6,52-
=-B
故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 5
62cos 5
2-
-
（11）t e x x =-'''
解：特征方程013=-λ有复数根=
1λ,231i
+
-=
2λ,231i
-
-13=λ
故齐线性方程的通解为t t t e c t e
c t e c x 32
122
1
12
3sin
2
3cos
++=-- =λ1是特征方程的根，故t
Ate x =~代入
原方程解得A=
3
1
故通解为t
t t e c t e
c t e
c x 32
122
1
12
3sin
2
3cos
++=--+
t
te 3
1
（12）t
e s a s a s =+'+''2
2
解：特征方程022
2=++a a λλ有2重根=λ-a
当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t
t te c e c 21+,
=λ1是特征方程的2重根，故t
e At x 2~=代入原方程解得A=2
1
通解为s=2
212
1t te c e c t
t +
+,
当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at
at
te
c e
c --+21,
=λ1不是特征方程的根，故t
Ae x =~代入原方程解得A=
2
)
1(1+a
故通解为s=at at te c e c --+21+
t
e a 2
)
1(1+
（13）t e x x x 256=+'+''
解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=t
t e c e c 521--+
=λ2不是特征方程的根，故t
Ae x 2~=代入原方程解得A=
21
1 故通解为x=t t e c e c 521--++
t
e
221
1
（14）t e x x x t cos 32-=+'-''
解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i 故齐线性方程的通解为t e c t e c x t
t 2sin
2cos
21+=
i ±-1 不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=
41
4,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos 21+=+t
e t t --
)sin 41
4cos 415( (15) t t x x 2cos sin -=+''
解：特征方程012
=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=
t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得
A=2
1-
B=0 故t t x cos 2
1~
-=
t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31 B=0 故t x 2cos 3
1
~
= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 3
1
+
习题5.1
1.给定方程组
x ‘=????
??0110－x x=??
?
???21x x （*） a)试验证u(t)=????
??-t t sin cos ,v(t)=??????t t cos sin 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)=??????01, v(0)=??
????10的解.
b)试验证w(t)＝c 1u(t)+c 2v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)=??
?
???21c c 的解，其中21,c c 是任意常数.
解：a) u(0)=????
??-0sin 0cos =???
???01
u '(t)=????
??--t t cos sin =??
?
???-=??????-????
??-01
10
sin cos 01
10
t t u(t) 又 v(0)=??????0cos sin o =??
?
???10
v '(t)=?
???
??-t t sin cos = ??????0110
－??????t t cos sin =??
?
???0110
－v(t) 因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.
b) w(0)=1c u(0)+2c u(0)= 1c ??
?
???01+2
c ??????10=??
????21c c w '(t)= 1c u '(t)+ 2c v '(t)
= 1c ??
?
???--t t cos sin +2
c ??
?
???-t t sin cos =??
??
??--+t c t c t c sin cos cos
sint c 2121－ =????
??0110－???
?
??+-+t c t c t c t c cos sin sin cos 2121 =??
?
?
??01
10－w(t) 因此 w(t)是给定方程初值问题的解.
2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：
a) x ’‘+2x ‘
+7tx=e t －,x(1)=7, x ‘(1)=-2
b) x
）
（4+x=te t ,x(0)=1, x ‘(0)=-1,x ’‘(0)=2,x ‘’
‘(0)=0
c) ???t
cos x 15y 13y 2y e y 6x 7y 5x t
＝－＋－＝＋－＋‘
’‘’‘’ x(0)=1, x ‘(0)=0,y(0)=0,y ‘
(0)=1
解：a ）令 x 1＝x, x 2= x ‘, 得
???+--====-t
e
x tx x x x x x 21'''22
'
'127 即 ??
?
???+??????????
??--=??????-t e x x t x x 02710
21'
21 又 x 1＝x(1)=7 x 2(1)= x ‘
(1)=-2
于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ‘＝,0x 27
10??????????
??-t e ＋－－ x(1)＝??
?
???-27 其中 x ＝??
?
???21x x .
b) 令1x ＝x 2x ＝'x 3x ＝''x 4x ＝'''x 则得：
??
??
???+-=+-=======t
t te x te x x x x x x x x x x x 1'4
4
'
'''33'
''22'
'1 且 1x (0)=x(0)=1, 2x ='x (0)=-1, 3x (0)= ''x (0)=2, 4x (0)= '
''x (0)=0
于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： 'x =??????????????
??????????t te 000x 00
1
100001000010
＋－ x(0)=?
???
?
?
??????021
1－, 其中 x=????????????4321x x x x .
c) 令w 1＝x ， w 2＝'x ，w 3＝y ，w 4＝y ‘
，则原初值问题可化为： ???????++-====+-+-====t w w w y w w y w e w w w x w w x t cos 15132675w 143'''4
4
'
'3314'''22''1 且???????========1
)0()0(0)0()0(0
)0()0(1)0()0('43'21y w y w x w x w
即 w ?????
???????+?????????
???---=t e
w t cos 00132
15
10005607
0010'
w(0)=?
?
??
?
?
??????100
1 其中 w ＝????????????4321w w w w
3. 试用逐步逼近法求方程组 'x ＝????
??01
10－x x ＝??
?
???21x x 满足初始条件 x(0)=??
?
???21x x
的第三次近似解. 解：???
???=10)(0t ψ
??
?
???=??????+??????=???????????
?-+
??
????=?1010100110010)(1t t ds t t ψ ???
?
???
?-
=????????-+??????=???????????
?-+
??
?
???=?2121010110010)(2
22t t
t t ds s t t ψ ??????
??????
?--+??????=???????
?-?????
?-+
??
?
???=21610210110010)(23
2
3t t t ds s s t t ψ
习题5.2
02412—02 02412—03
1.试验证()t Φ=??
?
?
??122
t t t 是方程组x '
=???
?????-t t
22
10
2x,x=???
???21x x ，在任何不包含原点的区间a b t ≤≤上的基解矩阵。
解：令()t Φ的第一列为1?(t)=???
? ??t t 22 ,这时'1?(t)=???? ??22t =???
?
??-
t t 22102 1?(t)故1?(t)是一个解。同样如果以
2?(t)表示()t Φ第二列，我们有2?(t)=???? ??01= ???
?
??-t t 22102
2?(t)这样2?(t)也是一个解。因此()t Φ是解矩阵。又因为det ()t Φ=-t 2故()t Φ是基解矩阵。
2.考虑方程组x '=A(t)x (5.15)其中A(t)是区间a b t ≤≤上的连续n ?n 矩阵，它的元素为a ij (t),i ,j=1,2,…,n a) 如果x
1(t),x
2(t),…,x
n
(t)是(5.15)的任意n 个解，那么它们的伏朗斯基行列式
W[x 1(t),x 2(t),…,x n (t)]≡W(t)满足下面的一阶线性微分方程W '=[a 11(t)+a 22(t)+…+a nn (t)]W b) 解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：W(t)=W(t 0)e
ds
s a s a s a nn t
t )](...)()([22110++? t 0,t ∈[a,b]
解：w '(t)=
nn
n n n n x x x x x x x x x ...
(2)
1
222'
21'
1'
12'
11
+
'...
(2)
1
2'
22'
2111211nn
n n n n x x x x x x x x x +…+
nn
n n
n n x x x x x x x x x '''...
(212222111211)
=
nn
n n n nn
n n n n n n n x x x x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a ...
(2)
1
2222112121112
1221212111121121111+++++++++…+
nn
nn nn n n nn n n nn n n n x a x a x a x a x a x a x x x x x x ++++++......
......
..
.
(12)
21111112222111211=
nn
n n n x x x x x x n x a x a x a ...
.......1 (2)
1
2222111121111
11+…+
nn nn n nn n nn n n x a x a x a x x x x x x (2)
1
2222111211整理后原式变为
（a 11+…+a nn ）
nn
n n n n x x x x x x x x x ...
(2)
1
2222111211
=（a 11+…+a nn ）w(t)
=（a 11(t)+…+a nn (t)）w(t)
b)由于w '(t)=[ a 11(t)+…+a nn (t)] w(t),即
)
()(t w t dw =[ a 11(t)+…+a nn (t)]dt
两边从t 0到t 积分ln )(t w -ln )(0t w =?++t
t nn ds s a s a 0
)](...)([11即w(t)=w(t 0)e
ds
s a s a t
t nn ])(...)([011?++,t ∈[a,b]
3.设A(t)为区间a b t ≤≤上的连续n ?n 实矩阵，()t Φ为方程x '=A(t)x 的基解矩阵，而x=?(t)为其一解，试证：
a) 对于方程y '=-A T (t)y 的任一解y=ψ(t)必有ψ
T
(t) ?(t)=常数；
b)ψ(t)为方程y '=-A T (t)y 的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C ，使ψT
(t) ?(t)=C.
解a)[ ψ
T
(t) ?(t)]'= ψ
'
T
?(t)+ ψ
T
?'
(t)= ψ
T
'?(t)+ ψ
T
(t)A(t)?
又因为ψ'=-A T (t) ψ(t)，所以ψT
'=-ψ
T
(t) A(t)
[ ψ
T
(t) ?(t)]'=- ψ
T
(t) ?(t)A(t)+ ψT
(t) A(t) ?(t)=0,
所以对于方程y '=-A T (t)y 的任一解y=ψ(t)必有ψT
(t) ?(t)=常数
b) “?”假设为方程y '=-A T (t)y 的基解矩阵，则 [ ψ
T
(t) ?(t)]'= [ψ
T
(t)]' ()t Φ+ψ
T
(t) 'Φ(t)=[- A T (t) ψ(t)]()t Φ+ ψ
T
(t) A T (t) )()t Φ+
ψ
T
(t)[ A(t) ?(t)]=- ψ
T
(t) A T (t) ()t Φ+ψ
T
(t) A T (t) ()t Φ=0,故ψ
T
(t) ?(t)=C
“?”若存在非奇异常数矩阵C ，detc ≠0,使ψT
(t) ?(t)=C ，
则[ ψ
T
(t) ?(t)]'= ψ
'
T
?(t)+ ψ
T
?
'
(t)=0，故ψ
'
T
(t)?(t)=- ψ
T
(t) ?(t)A(t) ψ
'
T
(t)=-
ψ
T
(t) A(t) 所以ψT
'(t)=- ψ
T
(t) A(t), ψ'(t)=- ψT
(t) A T (t)即ψ(t)为方程y '=-A T (t)y 的基解
矩阵
4.设()t Φ为方程x '=Ax （A 为n ?n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）=E ），证明:
()t Φ1
-Φ
(t 0)=Φ(t- t 0)其中t 0为某一值.
证明：（1）()t Φ,Φ(t- t 0)是基解矩阵。
（2）由于()t Φ为方程x '=Ax 的解矩阵，所以()t Φ1-Φ(t 0)也是x '=Ax 的解矩阵，而当t= t 0时，
Φ(t 0)1
-Φ
(t 0)=E, Φ(t- t 0)=Φ（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得()t Φ1-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)
5.设A(t),f(t)分别为在区间a b t ≤≤上连续的n ?n 矩阵和n 维列向量，证明方程组x '=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。
证明：设x 1,x 2,…x n 是x '
=A(t)x 的n 个线性无关解， x 是x '
=A(t)x+f(t)的一个解，则x 1+x , x 2+x ,…,
x n +x ,x 都是非齐线性方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数C i ,(I=1,2,…,n)
使得)(1
∑=+n
i i i x x c +c 1-n x =0,从而x 1+x , x 2+x ,…, x n +x ,x 在a b t ≤≤上线性相关，此与已知矛盾，
因此x 1+x , x 2+x ,…, x n +x ,x 线性无关，所以方程组x '=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。 6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理：
)()(1'
t f x t A x += )()(2't f x t A x +=
的解，则)()(21t x t x +是方程组
)()()(21'
t f t f x t A x ++=
的解。
证明：)()(1't f x t A x += （1） )()(2't f x t A x += （2） 分别将)(),(21t x t x 代入（1）和（2）
则)()(11'
1t f x t A x += )()(2'
2t f x t A x += 则)()()]()()[(2121'
2'
1t f t f t x t x t A x x +++=+
)()()]()()[()]()([2121'
21t f t f t x t x t A t x t x +++=+
令)()(21t x t x x +=
即证 )()()(21'
t f t f x t A x ++= 7．考虑方程组)('
t f Ax x +=，其中
????
??=20
12A ??
????=21x x x ???
???=t t t f cos sin )(
a)试验证 ??
??
??=Φt
t t
e
te e t 2220
)(是Ax x ='
的基解矩阵； b)试求)('
t f Ax x +=的满足初始条件??
?
?
??-=11)0(?的解)(t ?。 证明：a)首先验证它是基解矩阵 以)(1t ?表示)(t φ的第一列 ???
? ?
?=0
)(21t
e t ?
课后习题答案
项目一 任务一 一．判断题(下列判断正确的话打“√”，错误的打“×”) 1．P型半导体中的多数载流子是电子。（×） 2．PN结具有单向导电性，其导通方向为N区指向P区。（×）3．二极管反向击穿就说明管子已经损坏。（×） 4．小电流硅二极管的死区电压约为0．5V，正向压降约为0．7V。(√ ) 5．发光二极管发光时处于正向导通状态，光敏二极管工作时应加上反向电压。（√） 二．填空题 1．半导体中的载流子有_____________和___________。（自由电子、空穴） 2．晶体三极管内部的PN结有___________个。（2） 3．晶体管型号2CZ50表示___________。（50 A的硅整流二极管）4．．PN结的反向漏电流是由___________产生的。（少数载流子）三．简答题 1．常用片状元件有哪些？和普通电气元件相比，有什么优点？ 答：片状元器件属于无引线或短引线的新型微型电子元件，是表面组装技术SMT（Surface Mounted Technology）的专用元器件。可分为片状无源器件、片状有源器件和片状组件等三类。片状无源器件包括片状电阻器、片状网络电阻器、片状热敏电阻器、片状电位器、
片状电容器、片状微调电容器和片状电感器等。片状有源器件包括片状二极管、片状开关二极管、片状快恢复二极管、片状稳压二极管、片状三极管和片状场效应管等。 片状元器件的主要特点是其外形结构不同于传统的插装式产品，其体积小，重量轻，无引线或引线短，可靠性高，耐振动冲击，抗干扰性好，易于实现半自动化和自动化的低成本、高密度组装，其焊点失效率达到百万分之十以下；利用片状元器件贴装可使电子线路的工作频率提高到3000MHz（通孔插装的为500MHz），而且能够有效地降低寄生参数，有利于提高设备的高频特性和工作速度；片状元器件产品的器件形状、尺寸精度和一致性高。大部分可编带包装，有利于提高生产装配效率，且能够从根本上解决元器件与整机间的共存可靠性问题。 2．举例说明二极管、三极管的型号含义。 答：例如：2AP9(N型锗材料普通二极管2CW56(N型硅材料稳压二极管) 例如：3AX31B（PNP型锗材料低频小功率管）3DD15A（NPN 型硅材料低频大功率管） 任务二 一．判断题(下列判断正确的谓打“√”，错误的打“×”) 1.用万用表测量电阻时，读数的有效范围为中心阻值的0.1～10倍左右。(√ ) 2.用万用表测量直流电压，250V挡的电表内阻是50V挡的电表
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
常微分方程试题库
常微分方程试题库 二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'； 选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解， （2分） 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ， （2分） 积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分） （分） （22 3. 解方程： 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t
常微分方程习题及答案
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是 。
8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+x dy y dx 的通解为 。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。
课后习题答案
某大学为了了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机 抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据： 已知：36=n ， 当α为0.1、0.05、0.01时，相应的645.121.0=z 、96.1205.0=z 58.2201.0=z 。 根据样本数据计算得：32.3=x ，61.1=s 。 由于36=n 为大样本，所以平均上网时间的90%的置信区间为： 44.032.336 61.1645.132.32 ±=?±=±n s z x α，即（2.88，3.76）。 平均上网时间的95%的置信区间为： 53.032.336 61.196.132.3±=?±=±n s z x α，即（2.79，3.85）。 平均上网时间的99%的置信区间为：
69.032.336 61.158.232.3±=? ±=±n s z x α，即（2.63，4.01）。 7.16一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。他假设所有顾客月存款额的标准差为1000元，要求的估计误差在200元以内，置信水平为99%。应选取多大的样本？ 解：已知：σ=1000，估计误差E =200，α=0.01，Z α/2=2.58 应抽取的样本量为：167200100058.22 2 22 222≈?== E z n σ α 7.17计算下列条件下所需的样本量。 （1）E =0.02，π=0.40，置信水平为96% （2）E =0.04，π未知，置信水平为95% （3）E =0.05，π=0.55，置信水平为90% 解：（1）已知：E =0.02，π=0.4，α=0.04，Z α/2=2.05 应抽取的样本量为：( )()252202.04.014.005.212 22 22≈-?=-= E z n ππα （2）已知：E =0.04，π未知，α=0.05，Z α/2=1.96 由于π未知，可以使用0.5（因为对于服从二项分布的随机变量，当π取0.5时，其方差达到最大值。因此，在无法得到总体比例的值时，可以用0.5代替计算。这样得出的必要样本容量虽然可能比实际需要的容量大一些，但可以充分保证有足够高的置信水平和尽可能小的置信区间），故应抽取的样本量为： ( )()60104 .05.015.096.112 22 22≈-?=-= E z n ππα
3.1 常微分方程 课后答案
习题3.1 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;
)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0 σ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023 x x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，
常微分方程第三版答案
常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.
课后练习题答案
第三章 练习题 1．某公司拟购置一项设备，目前有A 、B 两种可供选择。Ａ设备的价格比Ｂ设备高50000元，但每年可节约维修保养费等费用10000元。假设A 、B 设备的经济寿命均为6年，利率为8%，该公司在A 、B 两种设备中必须择一的情况下，应选择哪一种设备？ [答案：] 如果选择A 项目，则多支付投资额50000元，而可以每年节约保养费用1000元， -37714.622910000-5000068%P/A 1000050000-=?+=?+），，（ 所以，A 方案不可选。 2．某人现在存入银行一笔现金，计划8年后每年年末从银行提取现金6000元，连续提取10年，在利率为7%的情况下，现在应存入银行多少元？ [答案：] 10 -10) 1(1 i i)(1-16000 107%P/F 107%P/A 6000i +?+?=?），，）（，，（ 41.24526582.00236.76000元=??= 3．某人5年后需用现金40000元，如果每年年末存款一次，在年利率为6%的情况下，此人每年年末应存入现金多少元？ [答案：] 元，，7095.855 6%F/A 40000 A == 4．某企业集团准备对外投资，现有三家公司可供选择，分别为甲公司、乙
公司、丙公司，这三家公司的年预期收益及其概率的资料如表3-4所示： 表3-4 某企业集团预期收益及其概率资料 要求：假定你是该企业集团的稳健型决策者，请依据风险与收益原理作出选择 [答案：] 230.250.5200.340E =?+?+?=甲 240.25-0.5200.350E =?+?+?=）（乙 80.230-0.520-0.380E =?+?+?=）（）（丙 12.490.223-50.523-200.323-40222=?+?+?=）（）（）（甲σ 19.470.224-5-0.524-200.324-50222=?+?+?=）（）（）（甲σ 0.5432312.49 == 甲q 0.8112419.47==乙q 选择甲方案。 第四章 练 习 题 某企业2007年度资产负债表如下： ××公司资产负债表 （2007年12月31日）
常微分方程期末考试练习题及答案
一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程
1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知
有机课后习题答案
1. 某化合物的分子量为60，含碳%、含氮%、含氧%，确定该化合物的分子式。 解：① 由各元素的百分含量，根据下列计算求得实验式 1:2:133.3:7.6:34.316 2 .53:17.6:121.40== 该化合物实验式为：CH 2O ② 由分子量计算出该化合物的分子式 216 121260 =+?+ 该化合物的分子式应为实验式的2倍，即：C 2H 4O 2 2. 在C —H 、C —O 、O —H 、C —Br 、C —N 等共价键中，极性最强的是哪一个？ 解：由表1-4可以查得上述共价键极性最强的是O —H 键。 3. 将共价键⑴ C —H ⑵ N —H ⑶ F —H ⑷ O —H 按极性由大到小的顺序进行排列。 解：根据电负性顺序F > O > N > C ，可推知共价键的极性顺序为： F —H > O —H > N —H > C —H 4. 化合物CH 3Cl 、CH 4、CHBr 3、HCl 、CH 3OCH 3中，哪个是非极性分子？ 解：CH 4分子为高度对称的正四面体空间结构，4个C —H 的向量之和为零，因此是非极性分子。 5. 指出下列化合物所含官能团的名称和该化合物所属类型。 CH 3 OH (2) 碳碳三键，炔烃 羟基 ，酚 (1) CH 3CH 2C CH
(4) COOH 酮基 ，酮 羧基 ，羧酸 (6) CH 3CH 2CHCH 3 OH 醛基 ，醛 羟基 ，醇 (7) CH 3CH 2NH 2 氨基 ，胺 6. 甲醚（CH 3OCH 3）分子中，两个O —C 键的夹角为°。甲醚是否为极性分 子？若是，用表示偶极矩的方向。 解：氧原子的电负性大于碳原子的电负性，因此O —C 键的偶极矩的方向是由碳原子指向氧原子。甲醚分子的偶极矩是其分子中各个共价键偶极矩的向量之和，甲醚分子中的两个O —C 键的夹角为°，显然分子是具有极性的，其偶极矩的方向如下图所示。 3 7. 什么叫诱导效应？什么叫共轭效应？各举一例说明之。（研读教材第11～12页有关内容） 8. 有机化学中的离子型反应与无机化学中的离子反应有何区别？ 解：无机化学中的离子反应是指有离子参加的反应，反应物中必须有离子。而有机化学中的离子型反应是指反应物结构中的共价键在反应过程中发生异裂，反应物本身并非一定是离子。 (3) CH 3COCH 3(5) CH 3CH 2CHO
常微分习题解答
《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版) 高等教育出版社
习题 1 求下列可分离变量微分方程的通解： (1) xdx ydy = 解：积分，得 12 22 121c x y += 即 c y x =-22 (2) y y dx dy ln = 解： 1, 0==y y 为特解，当1, 0≠≠y y 时， dx y y dy =ln ， 积分，得0ln ,ln ln 11≠=±=+=c ce e e y c x y x x c ，即x ce e y = (3) y x e dx dy -= 解： 变形得 dx e dy e x y =积分，得c e e x y =- (4) 0cot tan =-xdy ydx 解：变形得 x y dx dy cot tan = ，0=y 为特解，当0≠y 时，dx x x dy y y cos sin sin cos =. 积分，得11cos sin ln ,cos ln sin ln c x y c x y =+-=, 即0,cos sin 1 ≠=±=c c e x y c 2．求下列方程满足给定初值条件的解： (1) 1)0(),1(=-=y y y dx dy 解： 1, 0==y y 为特解，当1, 0≠≠y y 时，dx dy y y =--)1 11( ， 积分，得 0,1 ,1 ln 11≠=±=-+=-c ce e e y y c x y y x x c 将1)0(=y 代入，得 0=c ，即1=y 为所求的解。 (2) 1)0(,02)1(2 2 ==+'-y xy y x 解： 0,1 222 =--=y x xy dx dy 为特解，当0≠y 时， dx x x y dy 1 222--=， 积分，得 c x y +--=- 1ln 1 2
常微分方程习题集
《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程， 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程， 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为 欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2
一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程． 三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）
四、求解微分方程组 满足初始条件的解. （10%） 五、证明题：（10%） 设，是方程 的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3） （4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.
常微分方程课后答案
习题 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;
)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0φσ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023πx x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，
课后习题答案
复习思考题： 1.什么是信托？信托业务有哪些分类？ 信托是指委托人与受托人基于信任的基础上，委托人将其财产权委托给受托人，由受托人按委托人的意愿以自己的名义，为受益人的利益或者特定目的，进行管理或者处分的行为。信托是以资财为核心，以信任为基础，以委托为方式的财产管理制度。信托当事人一般有三个，即委托人、受托人、受益人。委托人是提出信托要求者，也是信托资财的所有者，其为了一定的目的，将属于自己的资金财产授权受托人代为经营与管理；受托人是接受委托人的委托，并按照委托人的指示对信托资财进行管理和处理的人；受益人是享受信托资财利益的一方，由委托人指定，即可以是第三方也可以是委托人自己，但不可以是受托人。 1)信托业务按业务内容不同，可分为“信托”、“代理”和“租赁”三大类。 2)信托业务按事项的法律立场为标准，信托可以分为民事信托和商事信托。 3)信托业务按委托人的不同，可分为个人信托和法人信托。 4) 信托业务按受益对象划分，可分为私益信托和公益信托（按受益人是否为委托人本人，亦可分为自益信托和他益信托）。 5)信托业务按标的物的不同，可分为资金信托、实物信托、债权信托和经济事务信托四种。 6) 信托业务按信托关系成立的方式划分可以分为自由信托和法定信托。 2.信托业务会计核算的特点有哪些？ 1）信托投资公司因接受信托而取得的财产，以及因信托资产的
管理、处分或者其他情形而取得的财产，称为信托资产。信托资产不属于信托投资公司的自有财产，也不属于信托投资公司对受益人的负债。信托投资公司终止时，信托资产不属于其清算资产。 2）信托投资公司的自有资产与信托资产应分开管理、分别核算。信托投资公司管理不同类型的信托业务，应分别按项目设置信托业务明细账进行核算管理。 3）信托投资公司对不同信托资产按来源和运用设置相应会计科目进行核算反映。 来源类科目应按类别、委托人等设置明细账。具体分为短期信托资产来源、长期信托资产来源。短期信托资产来源指不超过一年的信托资产来源，包括短期信托存款、代扣代缴税金、待分配信托收益、应付受托人收益及应付其他受益人款项等。长期信托资产来源指一年以上的信托资产来源，包括长期信托存款、委托存款、财产信托、公益信托、投资基金信托、有价证券信托等。 运用类科目应按其类别、使用人和委托人等设置明细账。具体分为短期信托资产运用、长期信托资产运用。短期信托资产运用是指不超过一年的信托资产运用，包括信托货币资金、拆出信托资金、短期信托贷款、短期信托投资、信托财产等。长期信托资产运用是指一年期以上的资金运用，包括长期信托贷款、委托贷款、长期信托投资、信托租赁财产等。 3.保险业务的分类有哪些？保险业务会计核算的特点有哪些？ 保险可按照不同的标准具有下面主要分类方法： 1）按保险保障范围分类，可分为财产保险、人身保险两大类。这是最基本的分类方法。 2）按照业务承保方式进行分类，可分为原保险、再保险和共同
常微分方程(第三版)课后答案
常微分方程 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为：
x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 322 32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+?+=+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。 代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得 两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。 另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为： 解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：
课后习题及答案
1 文件系统阶段的数据管理有些什么缺陷试举例说明。 文件系统有三个缺陷： （1）数据冗余性（redundancy)。由于文件之间缺乏联系，造成每个应用程序都有对应的文件，有可能同样的数据在多个文件中重复存储。 （2）数据不一致性（inconsistency)。这往往是由数据冗余造成的，在进行更新操作时，稍不谨慎，就可能使同样的数据在不同的文件中不一样。 （3）数据联系弱(poor data relationship)。这是由文件之间相互独立，缺乏联系造成的。 2 计算机系统安全性 （1）为计算机系统建立和采取的各种安全保护措施，以保护计算机系统中的硬件、软件及数据； （2）防止其因偶然或恶意的原因使系统遭到破坏，数据遭到更改或泄露等。 3. 自主存取控制缺点 （1）可能存在数据的“无意泄露” （2）原因：这种机制仅仅通过对数据的存取权限来进行安全控制，而数据本身并无安全性标记 （3）解决：对系统控制下的所有主客体实施强制存取控制策略 4. 数据字典的内容和作用是什么 数据项、数据结构 数据流数据存储和加工过程。 5. 一条完整性规则可以用一个五元组（D，O，A，C，P）来形式化地表示。 对于“学号不能为空”的这条完整性约束用五元组描述 D：代表约束作用的数据对象为SNO属性； O（operation）：当用户插入或修改数据时需要检查该完整性规则； A（assertion）：SNO不能为空； C（condition）：A可作用于所有记录的SNO属性； P（procdure）：拒绝执行用户请求。 6.数据库管理系统（DBMS） ：①即数据库管理系统（Database Management System)，是位于用户与操作系统之间的一层数据管理软件，②为用户或应用程序提供访问DB的方法，包括DB的建立、查询、更新及各种数据控制。 DBMS总是基于某种数据模型，可以分为层次型、网状型、关系型、面向对象型DBMS。 7.关系模型：①用二维表格结构表示实体集，②外键表示实体间联系的数据模型称为关系模型。 8.联接查询：①查询时先对表进行笛卡尔积操作，②然后再做等值联接、选择、投影等操作。联接查询的效率比嵌套查询低。 9. 数据库设计：①数据库设计是指对于一个给定的应用环境，②提供一个确定最优数据模型与处理模式的逻辑设计，以及一个确定数据库存储结构与存取方法的物理设计，建立起既能反映现实世界信息和信息联系，满足用户数据要求和加工要求，又能被某个数据库管理系统所接受，同时能实现系统目标，并有效存取数据的数据库。 10．事务的特征有哪些 事务概念 原子性一致性隔离性持续性 11．已知3个域： D1=商品集合=电脑，打印机
常微分方程第三版课后习题答案#(精选.)
习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0
解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y