高中数学含及解析几何三角函数和各种常用公式大全!

高中数学含及解析几何三角函数公式大全！

一. 代数！ 1. 集合，函数

{}

{}{}

()A B B A A B A B x x A x B A B x x A x B A x x U x A card A B card A card B card A B U ???==∈∈=∈∈=∈?=+-，，，且或且 |||()()()

()()

a

a a m n N n a a

a

a m n N n m n m n m n

m n

m

n

=>∈>==

>∈>-0111

01，，，，且且,,

()()

a N N N a

MN M N

M N M N M n M n R N N

b

a N a

b b a a a a a a a n a b a a log log log log log log log log log log log log log log log ==

=+?? ???=-=∈=

，

基本型：()a b f x b a a b f x a ()()log =?=>≠>010，， ()log ()()a b f x b f x a a a =?=>≠01， 同底型：a

a f x g x a a f x g x ()

()()()()=?=>≠01，

()log ()log ()()()a a f x g x f x g x a a =?=>>≠001， 换元型：()f a

x

=0或()f x a

log

=0

2. 数列

（1）等差数列

()()()a a d a a n d

a A

b A a b

m n k l a a a a S a a n

na n n d

n n n m n k l n n +-==+-?=++=+?+=+=

+=+-1111122

1

2

1，，成等差

（2）等比数列

a a q a G

b G ab m n k l a a a a n n m n k l

=?=+=+?=-11

2

，，成等比

()

()()S a q q q na q n n =--≠=???

??11

1111

（3）求和公式

()()()

()k n n k n n n k n n k n

k n

k n

===∑∑∑=

+=

++=+??????1213

1

2

121216

12

3. 不等式

a b b a a b b c a c

a b a c b c a b c a c b a b c d a c b d a b c ac bc

>?<>>?>>?+>++>?>->>?+>+>>?>，，，0

()()

a b c ac bc

a b c d ac bd

a b d b

n Z n a b a b n Z n n

n

n n >>>>?<>>?>∈>>>?>∈>，，，，0000101

()a b a b R a b ab

a b R a b

ab

a b c R a b c abc

a b c R a b c abc a b a b a b

-≥∈?+≥∈?+≥∈?++≥∈?

++≥-≤±≤+2+++22333

3

2233

，，，，，， 4. 复数

()()()()()()()()()()()()a bi c di a c b d a bi a b a bi c di a c b d i a bi c di a c b d i a bi c di ac bd bc ad i

a bi c di ac bd c d bc ad

c b i +=+?==+=++++=++++-+=-+-++=-++++=+++-+，22

2222

()()()a bi a C a

bi C bi n

n

n n n n n +=+++-11

…

()

()()()()[]

()[]()()()()()[]a bi r i r i r i r r i r r n i n r i r i r r i r k n i k n

k n n

n

k n +=++?+=?++++=+++=

-+-=+++??

?

?

?=-cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθωπθπθ1112221212121122221

2

121222011

，，…，

z z z z z z z z z z z z z z z z z z

zz

z z z z z z z z n n

12121

2121212122

2

12121212

=?==-≤±≤+==±=±?=?

z z z 121

2

??

???= 5. 排列组合与二项式定理

()()()()()()A n n n n m A n n m C A m n n n m m C n m n m C C C C C n m n m n

m n m n m n m n m n m n m n n m

=---+=

-==--+=

-=+=+--1211111……!!

!!

!

!!

()a b C a C a b C a b C b T C a

b

n n n n

n n r n r r n n n r n

r

n r

r

+=+++++=--+-0111……

二. 三角函数 1. 同角关系

s i n cos tan sec cot csc sin csc tan sin cos cos sec cot cos sin tan cot 2222221

11111αααααα

ααααααααα

α

αα+=+=+===

==

=，，

2. 诱导公式

()()()()()()()()()s i n s i n cos cos tan tan cos cos sin sin tan tan sin sin cos cos tan tan k k k ??+=??+=??+=-=-=--=-?±=?±=-?±=±360360360180180180αααααααα

αα

αααααααα

()()()()()()()()()s i n s i n cos cos tan tan sin cos cos sin tan cot sin cos cos sin tan cot 360360360909090270270270?-=-?-=?-=-?±=?±=?±=?±=-?±=±?±=αααααααα

αααααααααα

3. 和差公式

()()()s i n s i n

cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβ

αβ

±=±±=±=

± 1

4. 倍角公式

s i n s i n cos cos cos

sin cos sin tan tan tan 22221122212

2222ααα

ααααααα

α

==-=-=-=

-

5. 半角公式

s i n c o s c o s c o s t a n c o s c o s t a n c o s s i n s i n c o s

α

ααααααθθθθθ2

12

212211211=±-=±

+=±

-+=-=+

6. 万能公式

()

s i n t a n t a n c o s t a n

t a n t a n

t a n t a n s i n c o s s i n ααααα

ααα

αααα?=+=-+=-+=++22121212

2212

22

2222，a b a b

7. 正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：

a A

b B c

C

sin sin sin == 8. 余弦定理：

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：

a b c bc A

b c a ca B c a b ab C

222222222222=+-=+-=+-cos cos cos

三. 向量运算 1. 向量的加法

()()

a a a

b b a

a b c a b c +=++=+++=++00

2. 向量减法

()()()()

--=+-=-+=-=+-a a

a a a a a

b a b 0

3. 实数与向量的积：以下公式λ、u 为实数，a b 、为向量

()()()λλλλλλa a ua u a u a a ua

==+=+

()λλλa b a b +=+

线段的定比分点：设

，P P P 13、、的坐标分别为()x y 11，，()x y ，，

()x y 22，，则有：

x x x y y y =

++=

++121211λλλλ

向量的数量积及运算律

数量积（内积）：a b a b ?=cos θ 向量b 在a 方向的投影为b cos θ

设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 （1）e a a e a ?=?=cos θ （2）a b a b ⊥??=0

（3）当a 与b 同向时，a b a b ?=； 当a 与b 反向时，a b a b ?=-；

a a a a a a a

?===?22

（4）cos θ=

?a b

a b

（5）a b a b ?≤

数量积运算律：（a ，b ，c 为向量，λ为实数） a b b a ?=?（交换律）

()()()

()λλλa b a b a b a b c a c b c

?=?=?+?=?+?

四. 解析几何 1. 直线方程

()y y k x x y kx b y y y y x x x x x a y b

Ax By C -=-=+--=

--+=++=111211

21

10

2. 两点距离、定比分点

()()

AB x x P P x x y y B A =-=

-+-12212212

x x x y y y =++=++???????121

211λλλλ

x x x y y y =+=+???????121

222

3. 两直线关系 l l A A B B C C 1212121

2

//?

=≠

或k k 12=且b b 12≠ l 1与l 2重合?

==

A A

B B

C C 12121

2

或k k 12=且b b 12= l 1与l 2相交?≠A A B

B 1212

或k k 12≠

l l A A B B 1212120⊥?+= 或k k 121=- l 1到l 2的角 ()t a n θ=

-++≠k k k k k k 21

12

12110

l 1到l 2的夹角 ()t a n θ=

-++≠k k k k k k 21

12

12110

点到直线的距离

d Ax By C A B

=

+++002

2

4. 圆锥曲线 （1）圆

()()x a y b R -+-=2

2

2

圆心为()a b ，，半径为R （2）椭圆

()x a y b

a b 222

210+=>>

焦点()()F c F c 1200-，，， (

)b a c 222

=-

离心率e c

a

=

准线方程x a c

=±2

焦半径MF a ex MF a ex 1020=+=-， （3）双曲线：

x a y b

222

21-=

（4）抛物线

抛物线y px p 2

20=>() 焦点F p 20，??

?

?

?

准线方程x p

=-

2

五. 立体几何

1. 空间两直线平行判定 （1）a b b c a c //////，?

（2）

a b a b ⊥⊥?

??

?αα//

（3）a b a b ////ααβαβ?=?

??

?

??

（4）αβγαγβ//// ==?

??

?

??a b a b

2. 空间两直线垂直判定 （1）

a b a b ⊥??

??

?⊥αα （2）a b l l b //⊥?

??

?⊥α

3. 直线与平面平行 （1）判定

a b a b a a a ???

??

?

????

??

?ααααβαβ//////// （2）性质

a a

b a b ////βααβ?=?

??

?

??

4. 直线与平面垂直 （1）判定

m n m n B l m l n l a b a b ??=⊥⊥?

???⊥⊥?

??

?⊥ααα

αα，，， //

（2）性质

a b a b ⊥⊥?

??

?αα// 5. 平面与平面平行 （1）判定

<>?=?

??

???<>⊥⊥???

?<>??

??

??123a b a b a b A a a ,//,//////////////βαααβ

αβαβ

αγβγαβαβ <>????3αγβγαβ////// （2）性质

<>==?

??

???<>????

?12αβγαγβαβααβ

//////// a b a b

a 6. 平面与平面垂直 （1）判定

<>?⊥?

??

?⊥1a a αβαβ

<2>二面角的平面角θ=?90 （2）性质

<>

⊥=∈⊥?

??

?⊥<>∈∈⊥⊥?

??

?

???12αβαβαβ

ααββα

，，， b a a b a A a A a a 7. 几何体的侧面积

S Ch

S Ch 正棱柱侧正棱锥侧

==1

2

' S Rh

S Rl S R 圆柱侧圆锥侧球===242

πππ

8. 几何体的体积

V Sh V Sh V R h V R h

V R 棱柱棱锥圆柱

圆锥球==

===13

1

343

223

πππ

六. 概率与统计 1. 概率性质

（1）p i i ≥=012，，，……； （2）p p 121++=…… 2. 二次分布

()C p q b k n p n k k n k

-=；，

3. 期望

()E x p x p x p E a b aE b

n n ξξξ=+++++=+1122…………

若()ξ~B n p ，，则E np ξ= 4. 方差

()()()D x E p x E p x E p n n ξξξξ=-?+-?++-?+12

122

22

………… 5. 正态分布 ()()f x e x x u ()=

∈-∞+∞-

-1

22

2πσ

σ，，

式中的实数u ，σσ(>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差。 正态分布常记作(

)N u ，σ

2

标准正态分布，当σ==10，u 时，()f x e x x ()=∈-∞+∞-1222

π

，，

七. 极限

任何一个常数数列的极限都是这个常数本身。 即lim n c c →∞

=（c 是常数）

lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a →→→=?==-+

极限四则运算

如果lim ()lim ()x x x x f x a g x b →→==0

，，那么

[]lim ()()x x f x g x a b →±=±0

[]lim ()()lim ()()()x x x x f x g x a b

f x

g x a

b

b →→?=?=≠0

00 如果lim lim n n n n a a b b →∞

→∞

==，，那么

()()lim lim lim

()n n n n n n n n n a b a b

a b a b

a b a

b b →∞→∞

→∞±=±?=?=≠0

八. 导数

c '=0（c 为常数） ()

x nx

n Q n

n '()=∈-1

()()()()()()sin 'cos cos 'sin ln 'log 'log ''ln x x x x x x

x x

e

e e a a

a

a a x x

x

x

==-=

===11

()()u v u v uv u v uv u v u v uv v v ±=±=+?? ???=-≠''''''

'''()2

复合函数的导数y y u x u x '''=?

九. 微分和积分 1. 微分：

dy f x dx ='()（其中y f x =()）

()()d u v du dv

d uv udv dv

d u v vdu udv v v ±=±=+?? ???=-≠μ2

0()

2. 不定积分： 0dx c =?（c 为常数）

()x dx m x c m Q m m m ?=

++∈≠-+1

1

11， 1

01x dx x c

e

dx e c

a dx a a

c a a xdx x c xdx x c

x

x x

x

?????=+=+=+>≠=+=-+ln ln ()cos sin sin cos ，

kf x dx k f x dx k ()()()??=≠0

[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx +=+???

3. 定积分： kf x dx k f x dx a

b a

b

()()??=（k 为常数）

[]f x g x dx f x dx g x dx a

b a

b a

b

()()()()±=±???

f x dx f x dx f x dx a

b

a

c c

b

()()()?

??=+（其中a c b <<）

设f x ()在区间[]a b ，上的连续函数，F x ()是函数f x ()在区间[]

a b ，上的任一原函数，即F x f x '()()=，则

f x dx F b F a a

b

()()()?=-

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