材料力学第五版(I)孙训方版课后习题答案

材料力学第五版（I ）孙训方版课后习题答案

[习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。

解：由题意可得：

33

233

110

,,3/()3/(/)l

l N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l =====?

?1

有3

[习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。荷载kN F 1000=，材料的密度3/35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。

解：墩身底面的轴力为：

g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图

)(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--=

墩身底面积：)(14.9)114.323(2

2

m A =?+?=

因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。

MPa kPa m

kN

A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-==

σ

[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。

2-7图

解：取长度为dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：

)

()(x EA Fdx l d =

? ，??==?l l x A dx

E F dx x EA F l 00)()(

l

x

r r r r =--121，22112

112d x l d d r x l r r r +-=+?-=， 22

11

222)(u d x l

d d x A ?=??? ??+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112

-==+- du d d l

dx 122-=，

)()(22)(221212u

du d d l du u d d l

x A dx -?-=?-=ππ 因此，

)()(2)()(2

02100u du

d d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l

???--===?π

l

l

d x l d d d d E Fl u d d E Fl 011

221021221)(21)(2??

????

??????+--=???

???-=ππ ????

?

?

??????-+

--=21221)(2111

221d d l l d d d d E Fl π

???

???--=

122122)(2d d d d E Fl π2

14d Ed Fl π=

[习题2-10] 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为ν,E ，试求C 与D 两点间的距离改变量CD ?。

解：EA

F

E A

F νν

νεε-=-=-=/'

式中，δδδa a a A 4)()(2

2=--+=，故：δ

ν

εEa F 4'

-

=

δνεEa F a a 4'-==?， δ

νE F a a a 4'

-=-=?

δνE F a a 4'-

=，a a a CD 12

145)()(24

3

232=+= '12

145

)'()'(243

232''a a a D C =

+= δ

ν

δνE F E F a a CD D C CD 4003.1412145)(12145)('''?

-=?-=-=

-=? [习题2-11] 图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量

GPa E 210=，已知m l 1=，221100mm A A ==，23150mm A =，kN F 20=。试求C

点的水平位移和铅垂位移。

2-11图

解：（1）求各杆的轴力

以AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为AB 平衡，所以

0=∑X ，045cos 3

=o

N ，03=N 由对称性可知，0=?CH ，)(10205.05.021kN F N N =?=== （2）求C 点的水平位移与铅垂位移。

A 点的铅垂位移：mm mm mm N mm

N EA l N l 476.0100/2100001000100002

2111=??==

? B 点的铅垂位移： mm mm

mm N mm

N EA l N l 476.0100/2100001000100002

2222=??==

? 1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，

并且考虑到AB 为刚性杆，可以得到

C 点的水平位移：)(476.045tan 1mm l o

BH AH CH =??=?=?=? C 点的铅垂位移：)(476.01mm l C =?=?

[习题2-12] 图示实心圆杆AB 和AC 在A 点以铰相连接，在A 点作用有铅垂向下的力

kN F 35=。已知杆AB 和AC 的直径分别为mm d 121=和mm d 152=，钢的弹性模量GPa E 210=。试求A 点在铅垂方向的位移。

解：（1）求AB 、AC 杆的轴力

以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出：

0=∑X ：045sin 30sin =-o

AB

o AC N N AB AC N N 2=………………………(a)

0=∑Y ：03545cos 30cos =-+o AB o AC

N N

7023=+AB AC N N ………………(b)

(a) (b)联立解得：

kN N N AB 117.181==；kN N N AC 621.252== （2）由变形能原理求A 点的铅垂方向的位移

222

211212221

EA l N EA l N F A +

=? )(12

22

2

1121EA l N EA l N F A +=?

式中，)(141445sin /10001mm l o ==；)(160030sin /8002mm l o

== 2211131214.325.0mm A =??=；2

221771514.325.0mm A =??=

故：)(366.1)177

2100001600

25621113210000141418117(3500012

2mm A =??+??=

? [习题2-13] 图示A 和B 两点之间原有水平方向的一根直径mm d 1=的钢丝，在钢丝的中点C 加一竖向荷载F 。已知钢丝产生的线应变为0035.0=ε，其材料的弹性模量GPa E 210=， 钢丝的自重不计。试求：

（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）； （2）钢丝在C 点下降的距离?； （3）荷载F 的值。 解：（1）求钢丝横截面上的应力

)(7350035.0210000

MPa E =?==εσ （2）求钢丝在C 点下降的距离? )(7210000

2000

735mm E l EA Nl l =?=?==

?σ。其中，AC 和BC 各mm 5.3。

996512207.05

.10031000

cos ==

α

o 7867339.4)5

.10031000

arccos(

==α )(7.837867339.4tan 1000mm o

==?

（3）求荷载F 的值

以C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：

0=∑Y ：0sin 2=-P a N

ασsin 2sin 2A a N P ==

)(239.96787.4sin 114.325.0735202N =?????=

[习题2-15]水平刚性杆AB 由三根BC,BD 和ED 支撑，如图，在杆的A 端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量E=210Gpa ，求：

（1） 端点A 的水平和铅垂位移。

（2） 应用功能原理求端点A 的铅垂位移。 解：（1）

3

3

233

110

3123111171196

1222,3/()3/(/)cos 450sin 4500.450.150

60,401,0,60100.15 3.87210101210401l

l

N N N N N N N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l F F F F F F F F KN F KN F KN F l l EA F l l EA -=====?=?-+-+=??-?+?=?

∴=-=-=-???===?????==??

1有3

由胡克定理，

796

x 2y 2100.15 4.762101012104.762320.23A l A l l -?=????=?=?=??+??=↓从而得，，（）

（2）

y 1122y +020.33V F A F l F l A ε=??-????=?=↓（）

[习题2-17] 简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC 的长度l 保持不变，斜杆AB 的长度

可随夹角θ的变化而改变。两杆由同一种材料制造，

且材料的许用拉应力和许用压应力相等。

要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求： （1）两杆的夹角；

（2）两杆横截面面积的比值。

解：（1）求轴力

取节点B 为研究对象，由其平衡条件得：

∑=0Y

0sin =-F N AB θ θ

sin F

N AB =

∑=0X

0cos =--BC AB N N θ θθθ

θcot cos sin cos F F

N N AB BC =?=-= 2-17 （2）求工作应力

θ

σsin AB AB AB AB A F

A N =

=

BC

BC BC BC A F A N θ

σcot =

=

（3）求杆系的总重量

)(BC BC AB AB l A l A V W +=?=γγ 。γ是重力密度（简称重度，单位：3

/m kN ）。

)cos (l A l

A BC AB

+=θ

γ )cos 1

(BC AB A A l +?=θ

γ

（4）代入题设条件求两杆的夹角 条件①：

][sin σθσ===

AB AB AB AB A F

A N ，θσsin ][F A A

B =

][cot σθσ===

BC

BC BC BC A F A N ， ][c o t

σθF A BC = 条件⑵：W 的总重量为最小。 )cos 1(BC AB A A l W +?=θγ)cos 1

(BC AB A A l +?=θ

γ )][cot cos 1sin ][(

σθθθσγF F l +??=)sin cos cos sin 1(][θ

θ

θθσγ+=Fl

[]???? ??+=

θθθ

σγcos sin cos 12Fl []???

? ??+=θθ

σγ

2sin cos 122Fl 从W 的表达式可知，W 是θ角的一元函数。当W 的一阶导数等于零时，W 取得

最小值。

[]02sin 22cos )cos 1(2sin sin cos 2222=???

?

???+-?-=θθθθθθσγθFl d dW 022cos 2

2cos 32sin 2=??+-

-θθ

θ 02cos 2cos 32sin 22=---θθθ 12cos 3-=θ ，3333.02cos -=θ

o 47.109)3333.0arccos(2=-=θ，'445474.54o o ==θ

（5）求两杆横截面面积的比值 θσsin ][F A AB =

，]

[cot σθ

F A BC =

θθθσθθ

σcos 1cot sin 1]

[cot sin ][===F F

A A BC

AB

因为： 12cos 3-=θ，311cos 22

-

=-θ，3

1cos 2

=θ 3

1cos =

θ，

3cos 1

=θ

所以：

3=BC

AB

A A [习题2-18] 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力

MPa 170][=σ，试选择AC 和CD 的角钢

型号。 解：（1）求支座反力 由对称性可知， )(220↑==kN R R B A （2）求AC 杆和CD 杆的轴力

以A 节点为研究对象，由其平 衡条件得：

0=∑Y 2-18

0cos =-αAC A N R )(667.3665

/3220

sin kN R N A AC ===

α 以C 节点为研究对象，由其平衡条件得：

0=∑X

0cos =-αAC CD N N )(333.2935/45

/3220

cos kN N N AC CD =?=

=α （3）由强度条件确定AC 、CD 杆的角钢型号 AC 杆： 2

22

569.2186.2156/170366667][cm mm mm

N N N A AC AC ===≥

σ 选用2∟780?（面积2

72.2186.102cm =?）。 CD 杆： 2

22

255.17488.1725/170293333][cm mm mm

N N N A CD CD ===≥

σ 选用2∟675?（面积2

594.17797.82cm =?）。

[习题2-19] 一结构受力如图所示，杆件AB 、CD 、EF 、GH 都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力MPa 170][=σ，材料的弹性模

量GPa E 210=，杆AC 及EG 可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D 、C 、A 处的铅垂位移D ?、C ?、A ?。 解：（1）求各杆的轴力 )(24030042

.3kN N AB =?= )(603004

8.0kN N CD =?=

0=∑F

M

02.1605.13003=?-?-?G H N 2-19

)(174)72450(3

1

kN N GH =+=

0=∑Y

030060174=--+EF N

)(186kN N EF =

（2）由强度条件确定AC 、CD 杆的角钢型号 AB 杆： 222

12.14765.1411/170240000][cm mm mm

N N

N A AB AB ===≥

σ 选用2∟55690??（面积2

424.14212.72cm =?）。 CD 杆： 2

22

529.3941.352/17060000][cm mm mm

N N N A CD CD ===≥

σ 选用2∟32540??（面积2

78.389.12cm =?）。

EF 杆：

2

22

412.10118.1094/170186000][cm mm mm

N N N A EF EF ===≥

σ 选用2∟54570??（面积2

218.11609.52cm =?）。

GH 杆： 2

22

353.10529.1023/170174000][cm mm mm

N N N A GH GH ===≥

σ 选用2∟54570??（面积2

218.11609.52cm =?）。

（3）求点D 、C 、A 处的铅垂位移D ?、C ?、A ? )(7.2694.24.14422100003400

240000mm EA l N l AB AB AB AB ≈=??==

?

)(907.03782100001200

60000mm EA l N l CD CD CD CD =??==

?

)(580.18

.11212100002000

186000mm EA l N l EF EF EF EF =??==

?

)(477.18

.11212100002000

174000mm EA l N l GH GH GH GH =??==

?

EG 杆的变形协调图如图所示。

3

8

.1=

--?GH EF GH D l l l 3

8

.1477.1580.1477.1=--?D

)(54.1mm D =?

)(45.2907.054.1mm l CD D C =+=+?=? )(7.2mm l AB A ==?

[习题2-21] （1）刚性梁AB 用两根钢杆AC 、BD 悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC 和BD 的直径分别为mm d 251=和mm d 182=，钢的许用应力MPa 170][=σ，弹性模量

GPa E 210=。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形AC l ?、BD l ?及A 、B 两点的竖向位

移A ?、B ?。

解：（1）校核钢杆的强度

① 求轴力

)(667.661005.43

kN N AC =?=

)(333.331005

.45.1kN N BC

=?= ② 计算工作应力

2

22514.325.066667mm N

A N AC AC AC ??=

=

σ MPa 882.135=

2

21814.325.033333mm

N

A N BD BD BD ??==

σ 2-21 M P a 057.131=

③ 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa ，即][σσ≤AC ；

][σσ≤BD ，所以AC 及BD 杆的强度足够，不会发生破坏。

（2）计算AC l ?、BD l ?

)(618.1625.4902100002500

66667mm EA l N l AC AC AC AC =??==

?

)(560.134

.2542100002500

33333mm EA l N l BD BD BD BD =??==

?

（3）计算A 、B 两点的竖向位移A ?、B ?

)(618.1mm l AC A =?=?，)(560.1mm l BD B =?=?

[习题3-2] 实心圆轴的直径mm d 100=，长m l 1=，其两端所受外力偶矩m kN M e ?=14，

材料的切变模量GPa G 80=。试求：

（1）最大切应力及两端面间的相对转角；

（2）图示截面上A 、B 、C 三点处切应力的数值及方向； （3）C 点处的切应变。 解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角 p

e p W M W T

==

max τ。 式中，)(19634910014159.316

1

161333mm d W p =??==π。 3-2 故：MPa mm

mm N W M p e 302.71196349101436max

=??==τ p

GI l

T ?=

?，式中，)(981746910014159.3321321444mm d I p =??==π。故：

o p rad m

m N m

m N GI l T 02.1)(0178254.010*******/10801140004

1229==?????=?=

-? （2）求图示截面上A 、B 、C 三点处切应力的数值及方向

M P a B A 302.71max ===τττ， 由横截面上切应力分布规律可知：

MPa B C 66.35302.715.02

1=?==ττ， A 、B 、C 三点的切应力方向如图所示。

（3）计算C 点处的切应变 3

43

10446.0104575.4108066.35--?≈?=?=

=

MPa

MPa G

C

C τγ [习题3-3] 空心钢轴的外径mm

D 100=，内径mm d 50=。已知间距为m l 7.2=的两横截

面的相对扭转角o

8.1=?，材料的切变模量GPa G 80=。试求：

（1）轴内的最大切应力；

（2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率。 解；（1）计算轴内的最大切应力

)(9203877)5.01(10014159.3321

)1(32144444mm D I p =-???=-=

απ。 )(184078)5.01(10014159.3161

)1(16134343mm D W p =-???=-=απ

式中，D d /=α。 p

GI l

T ?=

?， mm

mm mm N l

GI T p

27009203877/80000180/14159.38.142???=

=

?

mm N ?=45.8563014)(563.8m kN ?=

MPa mm mm N W T p 518.4618407845.85630143

max =?==

τ （2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率 )(563.880

549.9549

.9m kN N

n N M T k k e ?=?=== )(74.71549.9/80563.8kW N k =?=

[习题3-5] 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F 均为0.2kN ，已知轴材料的许用切应力MPa 40][=τ，试求：

（1）AB 轴的直径；

（2）绞车所能吊起的最大重量。 解：（1）计算AB 轴的直径

AB 轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等：

)(08.04.02.0m kN M M e e ?=?==右左 )(16.02m kN M M e e ?==右主动轮

扭矩图如图所示。 3-5 由AB 轴的强度条件得： ][163

max τπτ≤==

d

M W M e p e 右

右 mm mm N mm N M d e 7.21/4014159.38000016][1632

3

=???=≥τπ右

（2）计算绞车所能吊起的最大重量

主动轮与从动轮之间的啮合力相等：

35

.02

.0从动轮主动轮

e e M M =

，)(28.016.020

.035

.0m kN M e ?=?=

从动轮 由卷扬机转筒的平衡条件得：

从动轮e M P =?25.0，28.025.0=?P )(12.125.0/28.0kN P ==

[习题3-6] 已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径mm D 60=，内径mm d 50=，功率kW P 355.7=，转速min /180r n =，钻杆入土深度m l 40=，钻杆材料的GMPa G 80=，许用切应力MPa 40][=τ。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求： （1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m ；

（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）两端截面的相对扭转角。 解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m

)(390.0180

355

.7549.9549

.9m kN n N M k e ?=?== 设钻杆轴为x 轴，则：

0=∑x

M

，e M ml =，

)/(00975.040

390

.0m kN l M m e ===

（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核

①作钻杆扭矩图

x x mx x T 00975.040

39

.0)(-=-

=-=。]40,0[∈x 0)0(=T ； )(390.0)40(m kN M T e ?-==

扭矩图如图所示。 ②强度校核，p

e

W M =max τ 式中，)(21958])60

50

(1[6014159.3161)1(16134343mm D W p =-???=-=

απ MPa mm mm N W M p e 761.17219583900003

max =?==

τ 因为MPa 761.17max =τ，MPa 40][=τ，即][max ττ≤，所以轴的强度足够，不

会发生破坏。

（3）计算两端截面的相对扭转角

?

=40

)(p

GI dx

x T ? 式中，)(658752])60

50

(1[6014159.3321)1(32144444mm D I p =-???=-=

απ 40

240

4122640

]2

[10658752/108000975.000975.01|)(|x m m kN xdx GI GI dx x T p

p ?

?

-???==

=? 05.8)(148.0≈=rad

[习题3-8] 直径mm d 50=的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶m kN M e ?=6，而在圆杆表面上的A 点将移动到A 1点，如图所示。已知mm AA s 31==??

，圆杆材料的弹性模量GPa E 210=，试求泊松比ν（提示：各向同性材料的三个弹性常数E 、G 、ν间存在如下关系：)

1(2ν+=

E

G 。

解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：m kN M T e ?==6。设1,O O 两截面之间的相对对转角为?，则2

d s ?

=??，d s ??=

2?，d

s

GI l T P ?=?=2? 式 中，)(6135925014159.332

1

321444mm d I p =??==

π 3-8

GPa MPa mm

mm mm mm mm N s I d l T G p 4874.81372.814873613592250100010624

6==??????=???= 由)

1(2ν+=

E

G 得：289.014874.81221012=-?=-=G E ν [习题3-10] 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d ；空心轴的外径为D ，内径为d 0，且

8.00

=D

d 。试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（][max ττ=），扭矩T 相等时的重量比和刚度比。 解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求D 。

p

W T =

max τ 式中，)1(16

1

43απ-=

D W p ，故： ][1.27)8.01(163

43max,τππτ==-=

D

T

D T 空 ]

[1.273τπT

D =

3-10 （1）求实心圆轴的最大切应力

p

W T

=

max τ，式中，3161d W p π= ，故：][161633max,τππτ===d T d T 实 ][163τπT d =

，69375.116][][1.27)(3=?=

T

T d D τπτπ，192.1=d D （3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比

512.0192.136.0)(36.0)8.01()(25.0)(25.02

2222

2

02=?==-=????-=d D d D l d l d D W W γ

πγπ实空 （4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比

44401845.0)8.01(321D D I p ππ=-=

空，4403125.032

1

d d I p ππ==实 192.1192.15904.0)(5904.003125.001845.0444

4=?===d D d

D GI GI p p ππ实

空 [习题3-11] 全长为l ，两端面直径分别为21,d d 的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩e M ，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。

解：如图所示，取微元体dx ，则其两端面之间的扭转角为：

P

e GI dx

M d =

? 式中，432

1

d I p π=

l

x

r r r r =--121

2

2112112d

x l d d r x l r r r +-=+?-=

11

22d x l

d d r d +-=

= 4411

24)(

u d x l

d d d =+-= dx l d d du 12-=

，du d d l

dx 1

2-= 故

：

?????-=-?====l e l

e l

e

l

p e

l p

e u du d d G l M du d d l

u G

M d dx G

M I dx G M

GI dx M 0412********)(3213232πππ? l

e l e l e d x l d d d d G l M u d d G l M u du d d G l M 0311212031204121)(332]31[)(32)(32??

?

??

????????

???? ??+---=--=-=?πππ =???

? ??++=???? ??-?-=???? ??-?--32312

221213231323121313212332)(33211)(332d d d d d d G l M d d d d d d G l M d d d d G l M e e e πππ [习题3-12] 已知实心圆轴的转速min /300r n =，传递的功率kW p 330=，轴材料的许用

切应力MPa 60][=τ，切变模量GPa G 80=。若要求在2m 长度的相对扭转角不超过o

1，

试求该轴的直径。 解：180

1π

??

≤=?=

p e P GI l M GI l T 式中，)(504.10300

330

549.9549

.9m kN n N M k e ?=?==；4321d I p π=。故：

G l M I e p π180≥

，G

l M d e ππ180321

4≥?

mm mm N mm mm N G l M d e 292.111/8000014.3200010504.10180321803242

2642=??????=?≥π

取mm d 3.111=。

[习题3-16] 一端固定的圆截面杆AB ，承受集度为m 的均布外

力偶作用，如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G 。

解：G d dx

x m d G dx x m GI dx

x T dV p

4

224

2221632

122)(ππε=??==

p l GI l m G d l m G

d l m dx x G d m V 632

16316163

243243

20242=?===?πππε 3-16

[习题3-18] 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F 如图，簧丝直径mm d 10=，材料的许用切应力MPa 500][=τ，切变模量为G ，弹簧的有效圈数为n 。试求：

（1）弹簧的许可切应力； （2）证明弹簧的伸长))((162

221214

R R R R Gd

Fn ++=?。 解：（1）求弹簧的许可应力

用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离

体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上：

剪力F Q =扭矩FR T =

最大扭矩：2max FR T =

][)41(16164232322max "'max τπππτττ≤+=+=+=

+=R d d

FR d FR d F W T A Q p ， N mm mm

mm mm N mm R d R d F 3.957)

1004101(10016/5001014.3)41(16]

[][2

33223=?+???=+=τπ

因为102010/200/>==d D ，所以上式中小括号里的第二项，即由Q

所产生的剪应力可以忽略不计。此时

N mm

mm N mm R d R d F 25.98110016/5001014.3)

41(16][][2

332

23=???=+=τπ

（2）证明弹簧的伸长))((162

221214

R R R R Gd

Fn ++=

? 外力功：?=F W 21 ， p

GI d R T dU 2)

(2α?=

ααπααπππd n

R R R GI F d R GI F GI d R FR U n

p

n

p

n

p 3

20

1

21220

3

2

20

2]2[222)()(?

?

?

?-+=

=

?=

1

2414

2

24R R R R GI n F p --?

=π U W =，1

2414

2

2421R R R R GI n F F p --?

=?π ))((162212

2214

12414

2R R R R d

G n F R R R R GI n F p ++=--?=?πππ [习题3-19] 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶m kN M e ?=3。已知材料的切变模量

GPa G 80=，试求：

（1） 杆内最大切应力的大小、位置和方向；

（2） 横截面短边中点处的切应力； （3） 杆的单位长度扭转角。

解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向

，

，

，

由表得，

，

长边中点处的切应力，在上面，由外指向里 （2）计算横截面短边中点处的切应力

MPa

短边中点处的切应力，在前面由上往上 （3）求单位长度的转角

单位长度的转角

[习题3-23] 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求： （1） 最大切应力之比；

（2） 相对扭转角之比。 解：（1）求最大切应力之比

开口：t

e I M δ

τ=

开口max, 30303

2

231δπδπr r I t =??=

依题意：a r 420=π，故：

3

30303

432231δδπδπa r r I t ==??=

2

3max,4343

δδδδτa M a M I M e e t e =

==

开口 闭口：δδτ20max,22a M A M e

e ==闭口

，δ

δδττ2324322

max,max,a M a a M e e =?=闭口开口 （3） 求相对扭转角之比 开口：330303432231δδπδπa r r I t ==??=

，3'43δ?Ga M GI M GI T e t e t ===开口 闭口：δ

δδδ?34202

0'

4444Ga M Ga a M GA s M GA Ts

e e e =?===

闭口 22

33

''

4343δ

δδ??a M Ga Ga M e e =?=闭口开口 4-1试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩 a （5）=h （4）

001100110002

22220002213

2241111

22312

114

0,222233RA RB S S q F F a q a q F q a a q a

a M q a q a q a

F M q a a q a a q a ----==

?==-?==-???===?-???

=

b （5）=f （4）

4-2试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图 a （5）=a （4）

b （5）=b （4）