等比数列的相关公式和性质

等比数列的相关公式和性质 1、等比数列的定义：

()()1

2n

n a q q n a -=≠≥0，q 为公比 2、通项公式：11n n a a q -=，1a 为首项，q 为公比

推广公式：n m n m a a q -=， 从而得n m n

m

a q a -= 3、等比中项

（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：

2A ab =

或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项

有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列{}n a 是等比数列?211n n n a a a -+=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a q

S q

q

--=

=

--= 5、等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有1

1(0)n n n n n

a a qa q q a a ++==≠或为常数，?{}n a 为等比数列

（2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）?{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0n n a A B A B =??≠?{}n a 为等比数列 （4） 前n 项和公式：

()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-?=-或为常数?{}n a 为等比数列

6、 等比数列的证明方法 依据定义：若

()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=?{}n a 为等比数列 7、等比数列相关技巧：

（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：

1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中

的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：

11n n a a q -=

如奇数个数成等比，可设为…，

22

,,,,a a

a aq aq q q

…（公比为q ，中间项用a 表示）；注意隐含条件公比q 的正负 8、等比数列的性质： (1) 当1q ≠时

①等比数列通项公式()1110n n

n n a a a q q A B A B q

-==

=??≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q

q q q

--=

=-=-?=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q

(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3) 若m n s t +=+(,,,m n s t ∈*N ),则n m s t a a a a ?=?。特别的,当2m n k +=时,得2n m k a a a ?=

注：12132n n n a a a a a a --?=?=???

(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n

k a ,{}n k a ?,{}k n a ,{}n n k a b ??{}n n

a b (k 为非零常数) 均为等比数列。

(5) 数列{}n a 为等比数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等比数列

(6) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列 (7) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列 (8) 若{}n a 为等比数列,则数列12n a a a ??????,122n n n a a a ++??????,

21223n n n a a a ++???????成等比数列

(9) ①当1q >时， ②当1q <0<时，

110{}0{}{

n n a a a a ><，则为递增数列

，则为递减数列,

110{}0{}{

n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列。

(10)在等比数列{}n a 中, 当项数为2n (n ∈*N )时,

1

S S q

=奇偶,。 (11)若{}n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+?

注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，一定要考虑到公比1q =的特殊情况。

解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和q 的方程； ②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，

减少运算量。