高一数学 对数函数综合练习题1(答案)
对数的运算性质
2．例题分析：
例1．用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式： （1）log a xy
z ； （2）23log a x y z
．
解：（1）log a xy
z
log ()log a a xy z =- log log log a a a x y z =+-；
例2．求下列各式的值：
（1）()
75
2log 42?； （2）5lg 100 ．
解：（1）原式=75
22log 4log 2+=227log 45log 2725119+=?+?=； （2）原式=2
1
22lg10lg105
55
=
= 例3．计算：（1）lg14-21g
18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ； （3）2.1lg 10
lg 38lg 27lg -+． 解：（1）解法一：18lg 7lg 3
7
lg
214lg -+-2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)=?--+-? lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=；
解法二：18lg 7lg 3
7
lg
214lg -+-27lg14lg()lg 7lg183=-+-=18)3
7(714lg
2??lg10==；
说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。
（2）253lg 23lg 53
lg 3lg 9lg 243lg 2
5===； （3）2
.1lg 10lg 38lg 27lg -+=1133
2
2
2
3
(lg32lg 21)
lg(3)lg 23lg103232lg32lg 212lg
10
+-+-==?+-． 例4．已知lg 20.3010=，lg30.4771=，求lg1.44的值。
分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将 1.44进行恰当变形：
22121.44 1.2(3210)-==??，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。
解：2212
lg1.44lg1.2lg(3210)-==??2(lg32lg 21)=+- 2(0.477120.30101)0.1582=+?-=．
说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。
（2）23
log a
x y
z
23log ()log a a x y z =-
23log log log a a a x y z =+-
11
2log log log 23
a a a x y z =+-．
例5．已知log log a a x c b =+，求x ．
分析：由于x 是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式。 解：（法一）由对数定义可知：b
c a a
x +=log log a c b b a a c a =?=?．
（法二）由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c
x
a
=log ，由对数定义知：b a c x =，∴ b x c a =?．
（法三）log b a b a = ，∴log log log b a a a x c a =+log b a c a =?，∴ b
x c a =?．
说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。
1．对数的运算性质：
如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log -log a
a a M
M N N
=； （3）log log ()n a a M n M n R =∈．
证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p
M a =，q
N a =， ∴p
q
p q
MN a a a
+=?=，
∴log ()a MN =p q +，
即证得log log log a a a MN M N =+．
练习：证明性质2． 说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；
（2）注意有时必须逆向运算：如 11025101010==+log log log ； （3）注意定义域： )(log )(log ))((log 5353222-+-=-- 是不成立的， )(log )(log 1021010210-=-是不成立的； （4）当心记忆错误：N log M log )MN (log a a a ?≠，试举反例， N l o g M l o g )N M (l o g a a a ±≠±，试举反例。
例6．（1）已知32a =，用a 表示33log 4log 6-；（2）已知3log 2a =，35b
=，用a 、b 表示 30log 3．
解：（1）∵32a =，∴3log 2a =， ∴ log 3 4 - log 3 6 = 112log 3
2
log 33
-=-=a ． （2）∵35b
=， ∴3log 5b =，
（性质3）
设log a M p =，
由对数的定义可得 p
M a =， ∴n
np
M a =， ∴log n a M np =，
即证得log log n a a M n M =．
又∵3log 2a =，∴30log 3=
()31log 2352??()33311
log 2log 3log 5(1)22
a b =++=++． 换底公式
1．换底公式：log log log m a m N
N a
=
( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)
证明：设log a N x =，则x
a N =，两边取以m 为底的对数得：log log x m m a N =，∴log log m m x a N =，
从而得：a N x m m log log =
， ∴ a
N
N m m a log log log =．
说明：两个较为常用的推论：
（1）log log 1a b b a ?= ； （2）log log m n
a a n
b b m
=
（a 、0b >且均不为1）． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a ；（2） lg lg log log lg lg m n n
a m a
b n b n b b a m a m
===． 2．例题分析： 例1．计算：（1） 0.21log 3
5-； （2）4492log 3log 2log 32?+．
解：（1）原式 =
0.25
1log 3log 3
55
5
151553
=
=
=； （2） 原式 = 2
3
45412log 452log 213log 21232=+=+?．
例2．已知18log 9a =，185b
=，求36log 45（用 a , b 表示）． 解：∵18log 9a =， ∴a =-=2log 12
18
log 1818
， ∴18log 21a =-， 又∵185b
=， ∴18log 5b =， ∴a
b
a -+=
++==
22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836． 例3．设1643>===t z
y x ，求证：
y
x z 21
11=-． 证明：∵1643>===t z
y x ，∴ 6
lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===
，，， ∴
y
t t t t x z 21
lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-． 例4．若8log 3p =，3log 5q =，求lg 5．
解：∵8log 3p =， ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==?=p p p ，
又∵ q ==
3lg 5lg 5log 3，∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q ， ∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pq
pq
3135lg +=
． 例5．计算：4
2
1
938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++．
解：原式2325
4
312
223(log 3log 3)(log 2log 2)log 2=++- 4
5)2l o g 212)(l o g 3l o g 313l o g 21(3322+++
= 2
5
4545452log 233log 6532=+=+?=
． 例6．若 2log log 8log 4log 4843=??m ，求m ． 解：由题意可得：
2
1
8lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =??m ， ∴3lg 21lg =m ，∴3=m ．
对数函数
例1．求下列函数的定义域：
（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域(0,)+∞求解。
解：（1）由2
x >0得0≠x ，∴函数2log x y a =的定义域是{}
0x x ≠；
（2）由04>-x 得4 4x x <； （3）由9-02 >-x 得-33< 33x x -<<． 说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。 例2．求函数251-?? ? ??=x y 和函数2211 2+? ? ? ??=+x y )0( 解：（1）125x y ?? =+ ??? ∴115 ()log (2)f x x -=+ (-2)x >； （2） 21 1-22x y +??= ? ?? ∴-112 ()log (-2)f x x =- 5(2)2 x << ． 例4．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . 解：（1）对数函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数， 于是2log 3.4<2log 8.5； （2）对数函数0.3log y x =在(0,)+∞上是减函数， 于是0.3log 1.8>0.3log 2.7； （3）当1a >时，对数函数log a y x =在(0,)+∞上是增函数， 于是log 5.1a 当1o a <<时，对数函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数， 于是log 5.1a >log 5.9a ． 例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小： （1）6log 7，7log 6； （2）3log π，2log 0.8； （3）0.9 1.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； （4）5log 3，6log 3，7log 3． 解：（1）∵66log 7log 61>=， 77log 6log 71<=，∴6log 7>7log 6； （2）∵33log log 10π>=， 22log 0.8log 10<=，∴3log π>2log 0.8． （3）∵0.9 01.1 1.11>=， 1.1 1.1log 0.9log 10<=， 0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=， ∴0.9 1.1 >0.7log 0.8> 1.1log 0.9． （4）∵3330log 5log 6log 7<<<， ∴5log 3>6log 3>7log 3． 例6．已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。 解：∵log 4log 4m n <， ∴ 4411log log m n <，当1m >，1n >时，得4411 0log log m n << ， ∴44log log n m <， ∴1m n >>．当01m <<，01n <<时，得 4411 0log log m n <<， ∴44log log n m <， ∴01n m <<<．当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <， ∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<． 综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<． 例7．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）2 2log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 解：（1）令3t x =+，则2log y t =， ∵0t >， ∴y R ∈，即函数值域为R ． （2）令2 3t x =-，则03t <≤， ∴2log 3y ≤， 即函数值域为2(,log 3]-∞． （3）令22 47(2)33t x x x =-+=-+≥， 当1a >时，log 3a y ≥， 即值域为[log 3,)a +∞， 当01a <<时，log 3a y ≤， 即值域为(,log 3]a -∞． 例8．判断函数22()log (1)f x x x =+-的奇偶性。 解：∵21x x +>恒成立，故()f x 的定义域为(,)-∞+∞， 22()log (1)f x x x -=++ 2 21log 1x x =-++22 222 1log (1)x x x x +-=-+-22log 1()x x f x =-+-=-，所以，()f x 为奇函数。 例9．求函数213 2log (32)y x x =-+的单调区间。 解：令2 2 31 32()2 4 u x x x =-+=-- 在3[,)2+∞上递增，在3(,]2-∞上递减， 又∵2 320x x -+>， ∴2x >或1x <， 故2 32u x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减， 又∵13 2log y u =为减函数， 所以，函数213 2log (32)y x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减。 说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调 区间。 例10．若函数22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，a 的取值范围。 解：令2 ()u g x x ax a ==--， ∵函数2log y u =-为减函数， ∴2 ()u g x x ax a ==--在区间(,13)-∞-上递减，且满足0u >，∴132(13)0a g ?≥-???-≥? ，解得2232a -≤≤， 所以，a 的取值范围为[223,2]-． 对数函数 1 如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次为( )． （A ） （B ） （C ） （D ） 2.函数y=log x －1(3－x)的定义域是 如果对数)56(log 2 7+++x x x 有意义，求x 的取值范围； 解：要使原函数有意义，则 26507071x x x x ?++>? +>??+≠? 解之得： -7 ∴原函数的定义域为-7，-6) (-6，-5) (-1，+∞) 函数 ]4 5 )2(lg[2+++=x k x y 的定义域为一切实数，求k 的取值范围。 5252k --<<- 利用图像判断方程根的个数 3．已知关于x 的的方程 a x =3log ，讨论a 的值来确定方程根的个数。 解：因为 ?? ?<<->==) 10(log ) 1(log log 333x x x x x y 在同一直角坐标系中作出函数与 a y =的图象，如 图可知：①当0 时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数 为0个； ②当0=a 时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数 为1个； ③当0>a 时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数 为2个。 4．若关于x 的方程4)lg()lg(2 =?ax ax 的所有解都大于1，求a 的 取值范围． 解：由原方程可化为 4)lg 2)(lg lg (lg =++x a x a ，变形整理有 04lg lg lg 3lg 222=-+?+a x a x （*） 1>x ，0lg >∴x ，由于方程（*）的根为正根，则 ?????? ??? >->-≥--=?0)4(lg 2 10 lg 2 3 0)4(lg 8lg 92 22a a a a 解之得2lg - 5．求函数)32(log 22 1--=x x y 的单调区间． ．解：设 u y 2 1log =，322--=x x u ，由0>u 得0322>--x x ，知定义域为 ),3()1,(+∞?--∞又4)1(2--=x u ，则当)1,(--∞∈x 时，u 是减函数；当),3(+∞∈x 时，u 是增函数，而u y 2 1log =在+ R 上是减函数 ) 33(2 1 2log --=∴x x y 的单调增区间为)1,(--∞，单调减区间为),3(+∞ 题目2】求函数 1 2 log y x x =215 （-3+） 22 的单调区间。 正解】由 0x x >215-3+22得x ＜1或x ＞5，即函数12log y x x =215 （-3+）2 2的定义域为{x| x ＜1或x ＞5}， 当x ＜1时，t x x = 215-3+22是减函数，1 2log y t =是减函数，所以12log y x x =215 （-3+）22是增函数； 当x ＞5时，t x x = 215-3+22是增函数，12 log y t =是减函数，所以12log y x x =215 （-3+）22是减函数； 所以 1 2 log y x x =215（-3+）22 的增区间是（-∞，1）；减区间是（5，∞，）。 6、设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围． 分析：由值域为 和对数函数的单调性可将问题转化为 能取遍所有正实数的问题． 解： 令 ，依题意 应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集．则有 或 ，解得 ． 已知函数f (x )=lg ［(a 2 －1)x 2 +(a +1)x +1］. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围. 解：(1)(a 2 －1)x 2 +(a +1)x +1＞0对x ∈R 恒成立. a 2－1=0时，a =±1，经检验a =－1时恒成立； a 2－1≠0时， a ＜－1或a ＞ ， ∴a ≤－1或a ＞ . (2)a 2 －1=0，即a =1时满足值域为R ； a 2－1≠0时， 1＜a ≤ . ∴1≤a ≤ . 7 2 log y x x =+2 （a +a 1）的定义域为R ，求a 的取值范围。 【正解】①当a=0时，y=0，满足条件，即函数y=0的定义域为R ； ②当a ≠0时，由题意得：2 00440 a a a a >?? ?< 【评注】参数问题，分类要不重不漏，对于不等式x c x +2 a +b >0不一定是一元二次不等式。 8.函数y =log 2 1［(1－x )(x +3)］的递减区间是( ) A.(－3,－1) B.(－∞,－1) C.(－∞,－3) D.(－1，＋∞) 【解析】设t ＝(1－x )(x ＋3)＝－x 2 －2x ＋3＝－(x ＋1)2 ＋4由(1－x )(x ＋3)＞0得－3＜x ＜1当x ∈(－3，－1)时，t ＝(1－x )(x ＋3)递增∴y ＝log 2 1［(1－x )(x ＋3)］的递减区间是(－3，－1) 9.已知函数y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ) A.0＜a ＜1 B.a ＞1 C.1＜a ＜2 D.1＜a ≤2 【解析】若0＜a ＜1，则函数在定义域上是增函数；若a ＞1，则当0≤x ≤1时，2－ax ＞0恒成立即x ＜a 2 ，因此 a 2＞1∴1＜a ＜2 10.求函数y=log a (2-a x -a 2x )的值域。 【解】由于2-a x -a 2x >0，得-2 <1。∴t=2-a x -a 2x =(a x + 2 1)2 + 4 9∈（0，2）。 又当a>1时，y=log a t 递增，∴y 2x ·log 2 4 x (x ∈［1,8］)的最大值和最小值. 【解】 令t =log 2x ,x ∈［1,8］,则0≤log 2x ≤log 28即t ∈［0,3］ ∴y =(log 2x －1)(log 2x －2)=(t －1)(t －2)=t 2 －3t +2=(t － 2 3 )2 － 4 1 t ∈［0,3］ ∴当t = 23,即log 2 x =23,x =223 =22时，y 有最小值=－ 4 1 . 当t =0或t =3，即log 2x =0或log 2x =3,也即x =1或x =8时，y 有最大值=2. 12.设函数y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),（1）求f(x)的表达式及定义域；（2）求f(x)的值域。 【解】（1）若lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)有意义， 则? ??>< ? ??>>->.1,30,0lg ,03, 0y x y x x 即又∵lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),∴lgy=3x(3-x)。∴y=10 3x(3-x) (0 （2）∵3x(3-x)=-3x 2 +9x=-3(x-2 3 )2+ 4 27(0 +9x ≤ 4 27 。∴1 4 27。 ∴y=f(x)的定义域为（0，3），值域为（1，10 4 27 ）。 13函数 在区间 上的最大值比最小值大2，则实数 =___．或 ； 14已知函数 ．① 判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调性； ② 当 时，求 的最大值，最小值及相应的 值． ①在 上单调递减，在 上单调递增．②当 时， ，当 时， ． 15、已知函数y=log a (1－a x )(a ＞0且a ≠1)。(1)求函数的定义域和值域；(2)证明函数图象关于直线y=x 对称。 (1)当a ＞1时，函数的定义域和值域均为(－∞，0)；当0＜a ＜1时，函数的定义域和值域均为(0，+∞)。 (2)由y=log a (1－a x )，得1－a x =a y ，即a x =1－a y ，∴x=log a (1－a y )，∴f －1(x)=log a (1－a x )=f(x)。 ∵f(x)与f －1 的图象关于直线y=x 对称，函数y=loga(1－a x )的图象关于直线y=x 对称。 16、.设??????∈91,271x ，求函数) 3(log 27log )(33x x x f ??? ?? =的最大值。 、12 17、已知函数 )(log )1(log 11 log )(222 x p x x x x f -+-+-+=。 (1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的值域。 (1)函数的定义域为(1，p)。(2)当p ＞3时，f(x)的值域为(－∞，2log 2(p+1)－2)； 当1＜p=≤时，f(x)的值域为(－∞，1+log2(p+1))。 18、已知 3log 7)(log 22 122 1≤++x x ， 求函数 ) 4 (log )2(log 2 12x x y ?=的最大值和最小值 、41 ,2- 19：已知[] y a x x a =-l o g ()201在，上是的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（0，2） D ． [)2， +∞ 答案：B 。 解析：本题作为选择题，用排除法求解较简，由于这里虽然有a a >≠01，，故u a x =-2在[0，1]上定为减函数，依题设必有a >1，故应排除A 和C ，在B 、D 中要作选择，可取a =3，则已知函数为y x =-l o g ()3 23，但是此函数的定义域为-∞? ? ? ? ?，23，它当然不可能在区间[0，1]上是减函数，故又排除了D ，从而决定选B 。 20．函数 （ ）图象的对称轴方程为 ，求 的值． 解：解法一：由于函数图象关于 对称，则 ，即 ，解得 ， 或 又 ， 解法二： 函数 的图象关于直线 对称，则函数 的图象关于 轴对称，则它为 偶函数，即 ， 21 已知f (x )= ［3－(x －1)2 ］，求f (x )的值域及单调区间. 分析：分清内层与外层函数. 解：令u (x )=－(x －1)2 +3≤3，则f (x )≥ 3=－1，∴f (x )值域为［－1，+∞). f (x )的定义域u (x )＞0，即－(x －1)2+3＞0，x ∈(1－ ，1+ ).u (x )在(1－ ，1］上递增，在(1，1+ )上递减. ∵0＜ ＜1，∴f (x )在(1－ ，1］上递减，在(1，1+ )上递增. 22已知y =log 0.5(x 2 －ax －a )在区间(－∞，－ )上是增函数，求实数a 的取值范围. 解：函数y =log0.5(x 2－ax －a )由y =log 0.5t 与t =x 2－ax －a 复合而成，其中y =log 0.5t 为减函数，又y =log 0.5(x 2 －ax －a )在(－∞，－ )上 是增函数，故t =x 2 －ax －a 在区间(－∞，－ )上是减函数.从而 a ∈［－1， ］. 23.已知函数f (x )=log a (ax 2 －x )， 是否存在实数a ，使它在区间［2，4］上是增函数?如果存在，说明a 可取哪些值;如果不存在，说明理由. 解：设g (x )=ax 2 －x . 当a ＞1时，为使函数y =f (x )=log a (ax 2 －x )在x ∈［2，4］上为增函数，只需g (x ) =ax 2 －x 在［2，4］上为增函数，故应满足 得a ＞ .∴a ＞1. 当0＜a ＜1时，为使函数y =f (x )=log a (ax 2 －x )在x ∈［2，4］上为增函数，只需g (x )=ax 2 －x 在x ∈［2，4］上为减函数， 故 无解.∴a 不存在. ∴当a ＞1时，f (x )=log a (ax 2 －x )在x ∈［2， 4］上为增函数. 对数函数的图象变换及在实际中的应用 对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质。为研究它的数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。 一． 利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质 （一） 图象的平移变换 例1． 画出函数 )2(log 2+=x y 与)2(log 2-=x y 的图像，并指出两个图像之间的关系？ 解：函数 x y 2log =的图象如果向右平移2个单位就得到)2(log 2-=x y 的图像；如果向左平移2个单位就得到) 2(log 2+=x y 的图像，所以把 )2(log 2+=x y 的图象向右平移4个单位得到)2(log 2-=x y 的图象 注：图象的平移变换：1.水平平移：函数)(b x f y ±=，)0(>a 的图像，可由)(x f y =的图像向左（+）或向右()-平移a 个单位 而得到. 2.竖直平移：函数 b x f y ±=)(，)0(>b 的图像，可由)(x f y =的图像向上（+）或向下()-平移b 个单位而得到. （二）图像的对称变换 例2．画出函数22log x y =的图像，并根据图像指出它的单调区间. 解：当0≠x 时，函数22log x y =满足)(log )(log )(2222x f x x x f ==-=-，所以22log x y =是偶函数，它的图象关于y 轴对称。当0 >x 时， x x y 22 2l o g 2l o g ==。因此先画出 x y 2l o g 2=， 22log x y =的图像， （0>x ）的图象为1c ，再作出1c 关于y 轴对称2c ，1c 与2c 构成函数 如图： 由图象可以知道函数22log x y =的单调减区间是()0,∞-， 单调增区间是),0(+∞ 例3．画出函数 x y 3log =与x y 3 1log =的图像，并指出两个图像之间 的关系？ 解：图象如图：把函数 x y 3log =的图象作关于x 轴对称得到 x y 3 1log =的图像 注：图象的对称变换：①)(x f y -=与)(x f y =关于y 轴对称 ②)(x f y -=与)(x f y =关于x 轴对称 ③ )(x f y --=与)(x f y =关于原点轴对称 ④)(1x f y -=与)(x f y =关于直线x y =轴对称 ⑤ )(x f y =的图像可将 )(x f y =，0≥x 的部分作出，再利用偶 函数的图像关于y 轴对称，作出0 二． 利用对数函数的图象解决有关问题 （一） 利用图像求参数的值 例4．已知函数 )(log b x y a +=的图像如图所示，求函数a 与b 的值. 解：由图象可知，函数的图象过 )0,3(-点与)3,0(点，所以得方程)3(log 0b a +-=与 b a log 3=，解出2=a ，4=b 。 （二）利用图像比较实数的大小 例5．已知2log 2log n m >，1,>n m ，试确定实数m 和n 的大小关系. 解：在同一直角坐标系中作出函数 x y m log =与x y n log =的图象，再作2=x 的直线，可得n m <。 注：不同底的对数函数图象的规律是：①底都大于1时，底大图低（即在1>x 的部分底越大图象就越接近x 轴）②底都小于1时，底大 图高（即在10 < （三）利用图像解有关的不等式 例6．解关于x 的不等式1)6(log 2+<+x x 解：在同一直角坐标系中作出函数 )6(log 2+=x y 与 1+=x y 的图象，如 {}2>x x 图：两图象交点的横坐标为2，所以原不等式的解集为（四）利用图像判断方程根的个数 例7．已知关于x 的的方程 a x =3log ，讨论a 的值来确 定方程根的个数。 解：因为? ??<<->==)10(log ) 1(log log 333x x x x x y 在同一直 角坐标系中作出函数 与 a y =的图象，如图可知：①当0 所以原方程根的个数为0个； ②当0=a 时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数 为1个； ③当0>a 时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数 为2个。 能准确地作出对数函数的图象，利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质。运用数形结合的 数学思想，来研究对数函数的有关问题。 数学高一函数练习题（高一升高二衔接） 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x ； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 对数函数练习题(有答案) 1．函数y ＝log (2x －1)(3x －2)的定义域是( ) A ．????12，＋∞ B ．????23，＋∞ C ．????23，1∪(1，＋∞) D ．??? ?12，1∪(1，＋∞) 2．若集合A ＝{ x |log 2x ＝2－x }，且 x ∈A ，则有( ) A ．1＞x 2＞x B ．x 2＞x ＞1 C ．x 2＞1＞x D ．x ＞1＞x 2 3．若log a 3＞log b 3＞0，则 a 、b 、1的大小关系为( ) A ．1＜a ＜b B ．1 ＜b ＜a C ．0 ＜a ＜b ＜1 D ．0 ＜b ＜a ＜1 4．若log a 45＜1，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＞1 B ．0＜a ＜45 C ．45＜a D ．0＜a ＜45 或a ＞1 5．已知函数f (x )＝log a (x －1)(a ＞0且 a ≠1)在x ∈(1，2)时，f (x )＜0，则f (x )是 " A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增 D ．先增后减 6．如图所示，已知0＜a ＜1，则在同一直角坐标系中，函数y ＝a －x 和y ＝log a (－x )的图象只可能为( ) 7．函数y ＝f (2x )的定义域为[1，2]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为 ( ) A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 8．若函数f (x )＝log 12 ()x 3－ax 上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[9，12] B ．[4，12] C ．[4，27] D ．[9，27] 9．函数y ＝a x －3＋3(a ＞0，且a ≠1)恒过定点__________． 10．不等式????1310－3x ＜3－2x 的解集是_________________________． | 11．(1)将函数f (x )＝2x 的图象向______平移________个单位，就可以得到函数g (x )＝2x －x 的图象．(2)函数 f (x )＝????12|x －1| ，使f (x )是增区间是_________． 12．设 f (log 2x )＝2x (x ＞0)．则f (3)的值为 ． 13．已知集合A ＝{x |2≤x ≤π，x ∈R}．定义在集合A 上的函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)的最大值比最小值大1，则底数a 为__________． 对数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于 （ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（ ） A 、lg5lg7 B 、lg35 C 、35 D 、35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么12 x -等于（ ） A 、1 3 B C D 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log x y -= ） A 、()2,11,3??+∞ ? ?? B 、()1,11,2?? +∞ ? ?? C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 高中数学对数函数教案 数学对数函数教案【教学目标】 1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用. (1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个 函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象. (2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题. 2.通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想， 注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力. 3.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性. 数学对数函数教案【教学建议】 教材分析 (1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生 已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的.故 是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识 与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加 完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关 自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程， 对数不等式的基础. (2)本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图 象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又 是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的 重点. (3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题 都应围绕着这条主线展开.而通过互为反函数的两个函数的关系由已 知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点. 教法建议 (1)对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过 对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数 图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多 选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找 出共性，归纳性质. (2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这 条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他 们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣. 数学对数函数教案【教学设计示例】 一.引入新课 一.对数函数的概念 1.定义：函数的反函数叫做对数函数. 由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的 认识是什么? 教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故 有着相同的限制条件. 在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质. 新课标高一数学------函数的基本性质 一、典型选择题 1．在区间上为增函数的是（） A． B． C． D． （考点：基本初等函数单调性） 2．函数是单调函数时，的取值范围（） A． B． C ． D． （考点：二次函数单调性） 3．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（） A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D．没有最小值 （考点：函数最值） 4．函数，是（） A．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数 D．与有关 （考点：函数奇偶性） 5．函数在和都是增函数，若，且那么（） A． B． C． D．无法确定 （考点：抽象函数单调性） 6．函数在区间是增函数，则的递增区间是（） A． B． C． D． （考点：复合函数单调性） 7．函数在实数集上是增函数，则（） A．B．C． D． （考点：函数单调性） 8．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（） A． B． C．D． （考点：函数奇偶、单调性综合） 9．已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（） A． B． C． D． （考点：抽象函数单调性） 二、典型填空题 1．函数在R上为奇函数，且，则当， . （考点：利用函数奇偶性求解析式） 2．函数，单调递减区间为，最大值和最小值的情况为 . （考点：函数单调性，最值） 三、典型解答题 1．（12分）已知，求函数得单调递减区间. （考点：复合函数单调区间求法） 2．（12分）已知，，求. （考点：函数奇偶性，数学整体代换的思想） 3．（14分）在经济学中，函数的边际函数为，定义为，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产台的收入函数为（单位元），其成本函数为 （单位元），利润的等于收入与成本之差. ①求出利润函数及其边际利润函数； ②求出的利润函数及其边际利润函数是否具有相同的最大值； ③你认为本题中边际利润函数最大值的实际意义. （考点：函数解析式，二次函数最值） 4．（14分）已知函数，且，，试问，是否存在实数，使得在上为减函数，并且在上为增函数. （考点：复合函数解析式，单调性定义法） 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、 _ _ _； ________； 3、若函数(1)f x +(21)f x -的定义域是 ；函数1 (2)f x +的定义域为 。 4、 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4 、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸2 1)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3 44 2 ++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3 ) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2 (2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1 ()(0)f x x x x =+ ≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 指数与对数函数 I 题型 一、利用指数和对数函数性质比较大小 1. （2010 3 52 2 53 2 52 ， ， c 的大小 安徽文）设 a （ ） , b （ ）， c （ ） ，则 5 5 5 a b 关系是（ ） A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 2、下列大小关系正确的是（ ） A. 0.42 30.4 log 4 0.3 ； B. 0.42 log 4 0.3 30.4 ； C. log 4 0.3 0.42 30.4 ； D. log 4 0.3 30.4 0.42 3、比较下列比较下列各组数中两个值的大小： （ 1） log 6 7 ， log 7 6 ； （ 2） log 5 3 ， log 6 3， log 7 3 ． 4. 设 a 0 3 , b log 3, c 1，则 a,b, c 的大小关系是（ ） A. a b c B. a c b C. b a c D. b c a 二、指数与对数运算 1、若 m ＝ lg5 － lg2 ，则 10m 的值是（ ） 5 B 、 3 C 、 10 D 、 1 A 、 2 1 2、 若 log 4 [log 3 (log 2 x)] 0 ，则 x 2 等于（ ） A 、 1 2 B 、 1 2 C 、 8 D 、 4 4 2 3、化简计算： log 2 1 · log 3 1 · log 5 1 25 8 9 4. 化简： log 2 5+log 4 0.2 log 5 2+log 250.5 5、已知 3a 2 ，那么 log 3 8 2log 3 6 用 a 表示是（ ） A 、 a 2 B 、 5a 2 C 、 3a (1 a) 2 D 、 3a a 2 6、 2log a ( M 2N ) log a M log a N ，则 M 的值为（ ） A 、 1 N B 、4 C 、 1 D 、 4 或 1 4 1 高一数学必修1 函数及其表示练习题 1、判断下列对应:f A B →是否是从集合Ａ到集合Ｂ的函数： （１）{} ,0,:,:;A R B x R x f x x f A B ==∈>→→ （２）*,,:1,:.A N B N f x x f A B ==→-→ （３）{} 2 0,,:,:.A x R x B R f x x f A B =∈>=→→ 2、已知函数()()()3,10, ,85,10,x x f x x N f f f x x -≥??=∈=? +? ==-?????? 指数函数和对数函数单元测试题 一选择题 1 如果，那么a、b间的关系是【】 A B C D 2 已知，则函数的图象必定不经过【】 A第一象限 B第二象限 C第三象限D第四象限 3 与函数y＝x有相同图象的一个函数是【】 A B，且 C D，且 4 已知函数的反函数为，则的解集是【】 A B C D 5已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是【】 A B C D 6 已知函数的值域是，则它的定义域是【】 A B C D 7已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是【】 A B C D 8 已知，则方程的实数根的个数是【】 A1 B 2 C 3D 4 9 函数的定义域为E，函数的定义域为F，则【】 A B C D 10有下列命题：（1）若，则函数的图象关于y轴对称；（2）若，则函数的图象关于原点对称；（3）函数与的图 象关于x轴对称；（4）函数与函数的图象关于直线对称。其中真命题是【】 A（1）（2） B（1）（2）（3）C（1）（3）（4） D （1）（2）（3）（4） 二填空题 11函数的反函数是______ 。12 的定义域是______ 。 13 函数的单调减区间是________。 14 函数的值域为R，则实数a的取值范围是__________. 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 （1）（2） 2 求下列函数的单调区间 （1）（2） 3 已知函数 （1）求的定义域；（2）讨论的单调性；（3）解不等式。 4 已知函数 （1）证明：在上为增函数；（2）证明：方程＝0没有负数根。 参考答案 一选择题BADBC BCBDD 二填空题11121314或 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 （1）（2） 定义域定义域 值域值域且 2 求下列函数的单调区间 （1）（2） 减区间，增区间减区间， 3 已知函数 （1）求的定义域；（2）讨论的单调性；（3）解不等式。解（1），又，所以，所以定义域。 （2）在上单调增。 （3），，即 ，所以，所以解集 2 已知函数 （1）证明：在上为增函数；（2）证明：方程＝0没有负数根。 4．下列函数中,在区间 (0,1)上是增函数的是（ ） A ．x y = B ．x y -3= C ．x y 1= D ．4+-=2x y 6．若一次函数y=kx ＋b 在集合Ｒ上单调递减，则点（k ，b ）在直角坐标系中的 ( ) Ａ．第一或二象限 Ｂ．第二或三象限 Ｃ．第一或四象限 Ｄ．第三或四象限 7. 函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ） A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．选递增再递 减． （1）f(x)=x 3+2x; (2) f(x)=2x 4+3x 2; (3) f(x)=x 2+2x+5; (4) f(x)=x 2,x ()∞+,0∈; (5) f(x)=x 1; (6) f(x)=x+x 1; 6．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3-,7-上是（ ） A ．增函数且最小值是5- B ．增函数且最大值是5- C ．减函数且最大值是5- D ．减函数且最小值是5- 7 ． 已知函数()f x 对一切R y x ∈,，都有)(+)(=)+(y f x f y x f ， 求证：（1）()f x 是奇函数；（2）若a f =-3)(，用a 表示(12)f ． 答案:1.C 2.C 3.B 4.A 5.+∞,0[) 6.B 7.C 8.(0,2 1) 答案: 1.C 2.C 3.C 4.B 5.(1)(5)(6) 6.A 7.(1)证明:令x=y=0,)0(f = )0(f +)0(f =2)0(f ,∴)0(f =0. 令y= -x, =)+(y x f )0(f =(+)(f x f -)x , 即(+)(f x f -)x =0, ∴(f -)x =)(x f , ∴)(x f 为奇函数. (2) -4a 对数函数精选练习题（带答案） 1．函数y ＝ log 23 (2x －1)的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.????12，1 D.??? ?1 2，1 答案 D 解析 要使函数解析式有意义，须有log 23 (2x －1)≥0，所以0<2x －1≤1，所以1 2 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 解析：选A.????? x －1>04－x ≥0 ，解得1 有关高一数学对数函数的概念以及一些常见的解题方法和延伸，基本的知识点及简单的例题，希望对高中生们有帮助。 1对数的概念 如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 由定义知： ①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化 式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaM/N=logaM-logaN. (3)logaM^n=nlogaM (n∈R). 问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0? ②logaan=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较.(学生填表) 式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数 b— N—a—对数的底数 b— N—运 算 性 质am·an=am+n am÷an= (am)n= (a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1? 理由如下： ①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log- ②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数 ③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数 解题方法技巧 1 (1)将下列指数式写成对数式： ①54=625；②2-6=164；③3x=27；④ （2）将下列对数式写成指数式： ①log1216=-4；②log2128=7； ③log327=x；④lg0.01=-2； ⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k. 解析由对数定义：aN=b. 解答(1)①log5625=4.②log2164=-6. ③log327=x.④log135.73=m. 解题方法 指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：①12-4=16. ②27=128.③3x=27. ④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π. 2 根据下列条件分别求x的值： (1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0； (3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1. 解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=? (2)log5x=20=1. x=? (3)31+log32=3×3log32=?27=x? (4)2+3=x-1=1x. x=? 解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14. (2)log5x=20=1，x=51=5. (3)logx27=3×3log32=3×2=6， ∴x6=27=33=(3)6,故x=3. (4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3. 解题技巧 ①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化. ②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3 已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值. 解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值； 高一数学函数练习题 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 高一数学第二章函数练习题 一、选择题 1、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素 n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2、已知不等式为2733 1<≤x ，则x 的取值范围 （A ）321<≤- x （B ）32 1 <≤x （C ）R （D ） 31 21<≤x 3、函数1 1 2 -=x y 在定义域上的单调性为 （A ）在()1,∞-上是增函数，在()+∞,1上是增函数 （B ）减函数 （C ）在()1,∞-上是减增函数，在()+∞,1上是减函数 （D ）增函数 4、函数x x x f -+= 11)(的定义域为A ，函数)]([x f f y =的定义域为B ，则 （A ）B B A = （B ）B A ? （C ）B B A = （D ）B A = 5、若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(- 6、下列式子或表格 ①)1)(1(log 1>-+-=a x a y a x ②x y 2=，其中}3,2,1,0{∈x ,}4,2,0{∈y ③122=+y x ④)0(122≥=+y y x ⑤ 其中表示y 是x 的函数的是 （A ）①②③④⑤ （B ）②③⑤ （C ）③④ （D ）④⑤ 7、已知函数)(x f y =的反函数)(1 x f -的定义域为]1,0[，那么函数 ))((R m m x f y ∈+=的值域是 （A ）]1,[m m -- （B ）]0,1[- （C ）]1,0[ （D ）R 8、已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是 （A ）3≤a （B ）33≤≤-a （C ）30≤a ，且1≠a )的图象必经过点 (A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2) 11、下列函数中值域为()∞+， 0的是 (A) x y -=21 5 (B) x y -? ? ? ??=131 (C) 121-?? ? ??=x y (D) x y 21-= 12、甲乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且二人骑车速度均比跑步速度快。若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙各 对数的运算性质 1．例题分析： 例1．用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式： （1）log a xy z ； （2）23log a x y z ． 解：（1）log a xy z log ()log a a xy z =- log log log a a a x y z =+-； 例2．求下列各式的值： （1）() 75 2log 42?； （2）5lg 100 ． 解：（1）原式=7522log 4log 2+=227log 45log 2725119+=?+?=； （2）原式=2 1 22lg10lg105 55 = = 例3．计算：（1）lg14-21g 18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ； （3）2.1lg 10 lg 38lg 27lg -+． 解：（1）解法一：18lg 7lg 3 7 lg 214lg -+-2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)=?--+-? lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=； 解法二：18 lg 7lg 3 7 lg 214lg -+-27lg14lg()lg 7lg183=-+-=18)3 7(714lg 2??lg10==； 说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。 （2）253lg 23lg 53 lg 3lg 9lg 243lg 2 5===； （3）2 .1lg 10lg 38lg 27lg -+=1133 2 2 23 (lg32lg 21) lg(3)lg 23lg103232lg32lg 212lg 10 +-+-== ?+-． 例4．已知lg 20.3010=，lg30.4771=，求lg1.44的值。 分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将 1.44进行恰当变形： 22121.44 1.2(3210)-==??，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。 解：2212 lg1.44lg1.2lg(3210)-==??2(lg32lg 21)=+- 2(0.477120.30101)0.1582=+?-=． 说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。 例5．已知log log a a x c b =+，求x ． 分析：由于x 是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困 （2）23 log a x y z 23log ()log a a x y z =- 23log log log a a a x y z =+- 11 2log log log 23 a a a x y z =+-． 2019年高中数学单元测试试题 指数函数和对数函数 （含答案） 学校： __________ 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题 1．若函数f(x)=21 2 log ,0,log (),0x x x x >?? ?-f(-a),则实数a 的取值范围是（ ） （A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1）（2010天津理8） 2．若点(),a b 在lg y x =图象上，1a ≠，则下列点也在此图象上的是（ ） （A ）1,b a ?? ??? （B ）()10,1a b - （C ）10,1b a ?? + ??? （D ）)2,(2b a （2011安徽文5） 3．对实数a 与b ，定义新运算“?”：,1, , 1.a a b a b b a b -≤??=? ->? 设函数 ()()22()2,.f x x x x x R =-?-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则 实数c 的取值范围是（ ）(2011年高考天津卷理科8) A ．(]3,21, 2? ?-∞-?- ??? B ．(]3,21,4? ?-∞-?-- ??? C ．11,,44???? -∞?+∞ ? ????? D. 4 ． 已 知 0, a a >≠，则 l a a 等于 ( ) A ．2 B ． 1 2 C ． D ．与a 的具体数值有关 5．若函数()|21|x f x =-,当a b c <<时,有()()()f a f c f b >>,则下列各式中正确的是( ) A.22a c > B.22a b > C.222a c +< D.2 2a c -< 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 6．方程lg(42)lg 2lg3x x +=+的解x = . 7．函数x y a log =和)1,0(log 1≠>=a a x y a 的图象关于 对称. 8．3)72.0(-与3)75.0(-的大小关系为_____________ 9．比较下列各组值的大小； （1）3 .02 2,3.0； （2）5 25 2529.1,8.3,1.4- . 10．函数)0(1 21 )(≠+-= x a x f x 是奇函数,则a = . 311,,44???? --?+∞ ?? ????? 高一数学对数函数教案 教学目标 1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用. (1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个 函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象. (2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题. 2.通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想， 注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力. 3.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性. 教学建议 教材分析 (1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生 已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的.故 是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识 与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加 完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关 自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程， 对数不等式的基础. (2)本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图 象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又 是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的 重点. (3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题 都应围绕着这条主线展开.而通过互为反函数的两个函数的关系由已 知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点. 教法建议 (1)对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过 对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数 图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多 选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找 出共性，归纳性质. (2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这 条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他 们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣.看过"高一数学对数函数教案"的还 看了:高一数学函数练习题及答案
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