高中数学第一章三角函数6余弦函数的图像与性质教学案北师大版必修
6 余弦函数的图像与性质
[核心必知]
余弦函数的图像与性质
[问题思考]
1．如何由y ＝cos x ，x ∈R 的图像得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像？
提示：只需将y ＝cos x ，x ∈R 的图像向右平移π
2个单位即可得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像，
并且方法不唯一．
2．余弦函数在第一象限内是减函数吗？
提示：不是．余弦函数y ＝cos x 在[0，π
2]内是减函数，但不能说在第一象限是减函数，如
390°和60°都是第一象限的角，虽然390°>60°，但cos 60°＝12，cos 390°＝3
2.却有cos 60°
3．余弦函数是轴对称图形，不是中心对称图形，这句话对吗？ 提示：不对．余弦函数与正弦函数一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是x ＝k π(k ∈Z )；它的对称中心有无数个，其坐标为(k π＋π 2 ，0)(k ∈Z )． 讲一讲 1．画出函数y ＝1－cos x ，x ∈[0，2π]的图像． [尝试解答] 按五个关键点列表： 如图所示： 1．画余弦函数的图像，与画正弦函数图像的方法一样，关键要确定五个点．这五个点的坐 标是(0，1)，? ????π2，0，(π，－1)，? ?? ??3π2，0，(2π，1)． 2．形如y ＝a cos x ＋b ，x ∈[0，2π]的函数，也可由五点法画图像． 练一练 1．用“五点法”画出y ＝3＋2cos x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)列表 (2)描点，连线，如图所示： 讲一讲 2．(1)求下列函数的定义域． ①y ＝ 3 2 －cos x ； ②y ＝log 12(2cos x －2)． (2)求函数y ＝3－2cos(2x － π3)，x ∈???? ??π6，π2的值域． [尝试解答] (1)①要使函数有意义，则有3 2 －cos x ≥0， ∴cos x ≤ 32.可得2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6 ，k ∈Z . 故所求函数的定义域为 ???? ??x ???2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π 6，k ∈Z . ②要使函数有意义，则有2cos x －2>0， ∴cos x > 2 2 ，故所求定义域为 ???? ??x ???2k π－π4 4，k ∈Z . (2)∵π6≤x ≤π 2， ∴0≤2x －π3≤2π3 . ∵y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， ∴－12≤cos(2x －π 3)≤1， ∴1≤3－2cos(2x －π 3)≤4， 故函数的值域为[1，4]． 1．求三角函数的定义域，应归结为解三角不等式，其关键就是建立使函数有意义的不等式(组)，利用三角函数的图像直观地求得解集． 2．求三角函数的值域，要充分利用sin x 和cos x 的有界性，对于x 有限制范围的，可结合图像求值域． 练一练 2. 求函数y ＝3cos 2 x －4cos x ＋1，x ∈?? ?? ??π3，2π3的最值． 解：y ＝3cos 2 x －4cos x ＋1＝3(cos x －23)2－13 . ∵x ∈??????π3，2π3，cos x ∈???? ??－12，12， 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝15 4； 当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－1 4 . ∴函数在区间??????π3 ，2π3上的最大值为154，最小值为－14. 讲一讲 3．(1)判断函数f (x )＝cos(π－x )－x cos(π 2－x )的奇偶性． (2)求函数y ＝cos(π 6 －x )的单调减区间． [尝试解答] (1)∵f (x )＝cos(π－x )－x cos(π 2－x ) ＝－cos x －x sin x ， ∴f (－x )＝－cos(－x )－(－x )sin(－x ) ＝－cos x －x sin x ＝f (x )． ∴函数f (x )是偶函数． (2)y ＝cos(π6－x )＝cos(x －π 6)， 令2k π≤x －π 6 ≤π＋2k π(k ∈Z )， 得 π6＋2k π≤x ≤7π 6 ＋2k π(k ∈Z )． ∴函数y ＝cos ? ????π6－x 的单调减区间是 ???? ??π6＋2k π，7π6＋2k πk ∈Z . 1．判断三角函数的奇偶性，首先要观察定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的前提下，再根据f (－x )与f (x )的关系确定奇偶性． 2．确定三角函数的单调区间，在理解基本三角函数的单调性的前提下，运用整体代换的思想求解． 练一练 3．比较下列各组值的大小． (1)cos ? ????－7π8与cos 7π6； (2)sin 194°与cos 160°. 解：(1)cos ? ?? ??－7π8 ＝cos 7π8 ＝cos ? ????π－π8 ＝－cos π 8 . 而cos 7π6＝－cos π 6 ∵0<π8<π6<π 2. ∴cos π8>cos π6. ∴cos ? ?? ??－7π8 (2)∵sin 194°＝sin(180°＋14°) ＝－sin 14°＝－cos 76°， cos 160°＝cos(180°－20°) ＝－cos 20°. ∵0°<20°<76°<90°， ∴cos 20°>cos 76°， ∴－cos 20°<－cos 76°， ∴sin 194°>cos 160°. 函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( ) A．4 B．8 C．2π D．4π [解析] 法一： 作出函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图像，函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图像与直线y ＝2围成的平面图形，如图(1)所示的阴影部分． 利用图像的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积， 又∵|OA|＝2，|OC|＝2π， ∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π. 法二： 利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于三角形ABC的面积(如图(2))． ∵|AC|＝2π，B到AC距离等于4. ∴S平面图形＝S△ABC＝ 1 ×2π×4＝4π. 2 法三：利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于矩形ABCD 的面积(如图(3)) ∵|AB |＝π，|AD |＝4. ∴S 平面图形＝S 矩形ABCD ＝4π. [答案] D 1．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．1，－3 C ．1，－1 D ．2，－1 解析：选B ∵－1≤cos x ≤1∴－2≤2cos x ≤2， ∴－3≤2cos x －1≤1， ∴最大值为1，最小值为－3. 2．函数y ＝－cos x 在区间[－π，π]上是( ) A ．增加的 B ．减少的 C ．先增加后减少 D ．先减少后增加 解析：选D 作出y ＝－cos x 的图像可得选项D 正确． 3．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的区间是( ) A.??????2k π－π2，2k π(k ∈Z ) B.? ?????2k π－π，2k π－π2(k ∈Z ) C.??????2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z ) D.? ?????2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) 解析：选 C 在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像，由图像可知在 ???? ??2k π＋π2，2k π＋π上，y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的． 4．函数y ＝cos x 1＋cos x 的定义域是________． 解析：由1＋cos x ≠0得cos x ≠－1 ∴x ≠π＋2k π，k ∈Z ∴ 定义域是{}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z . 答案： {}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z 5．当x ∈[0，2π]时，方程sin x ＝cos x 的解集是________． 解析： 在同一坐标系内画出y ＝sin x 和y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像，如图，可得x ＝π4或x ＝5π 4. 答案： {π4，5π 4 } 6．比较cos ? ????－23π5与cos ? ????－17π4的大小． 解：cos ? ????－ 23π5＝cos 23π5＝cos 3π5. cos ? ????－17π4＝cos 17π4＝cos π4. 因为0<π4<3π 5 <π， 且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减少的． 所以cos π4>cos 3π 5 即cos ? ????－23π5 ??－17π4. 一、选择题 1．下列对y ＝cos x 的图像描述错误的是( ) A ．在[0，2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴仅有一个交点 答案：C 2．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( ) A.??????－π4，π4 B.??????π4 ，3π4 C.??????π，3π2 D.???? ??3π2，2π 解析：选C 作出函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像 可知，A 、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间． 3．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈??????0，π2的值域是( ) A ．(－32，12] B.???? ??－1 2，32 C.?? ?? ? ?32，1 D.??????12，1 解析：选B ∵0≤x ≤π 2， ∴ π6≤x ＋π6≤2π3 ， ∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数． ∴－12≤cos(x ＋π6)≤32 . 4．设方程cos 2x ＝1的解集为M ，方程sin 4x ＝0的解集为P ，则M 与P 的关系为( ) A ．M P B ．M P C ．M ＝P D ．M ∩P ＝? 解析：选A 由cos 2x ＝1得2x ＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π(k ∈Z )；由sin 4x ＝0得4x ＝k π(k ∈Z )，即x ＝ k π 4 (k ∈Z )． ∴M P . 二、填空题 5．函数y ＝x cos x 的奇偶性是________． 解析：∵f (－x )＝－x ×cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )， ∴此函数是奇函数． 答案：奇函数 6．比较大小：sin 3π5________cos π 5 . 解析：∵sin 3π5＝sin(π－2π5)＝sin 2π5＝sin(π2－π10)＝cos π 10， 0< π10<π5<π 2 . ∴cos π10>cos π5， 即sin 3π5>cos π 5. 答案：> 7．方程x 2 ＝cos x 的解的个数是________． 解析：在同一坐标系中画出函数y ＝cos x 与y ＝x 2 的图像(如图)，可知有两个交点． 答案：2 8．函数y ＝1 1－cos x 的值域是________． 解析：∵0<1－cos x ≤2. ∴ 11－cos x ≥1 2 . ∴ 函数的值域为??????12，＋∞. 答案：???? ??12，＋∞ 三、解答题 9．求函数y ＝cos(3x －π 4)的单调减区间． 解：由2k π≤3x －π 4≤2k π＋π，k ∈Z ， 得2k π＋π4≤3x ≤2k π＋5π 4，k ∈Z ， ∴ 2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12 ，k ∈Z . ∴单调递减区间是?? ????2k π3 ＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )． 10．求函数y ＝cos 2 x ＋cos x ＋1的最大、最小值及使y 取最值的x 的集合． 解：令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]． ∴y ＝t 2 ＋t ＋1，对称轴t ＝－12 . ①当t ＝－12，即x ∈{x |x ＝±23π＋2k π，k ∈Z }时，y min ＝3 4. ②当t ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3. 三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x 函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+ 2 π ,k∈Z｝ ｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时y max=1 x=2kπ- 2 π 时y min=-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max=1 x=2kπ+π时y min=-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性 在［2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ］上都是增函数；在 ［2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π］上都是减函数(k∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数； 在［2kπ，2kπ+π］上都是减函 数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ，kπ+ 2 π )内都是增函数 (k∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数 (k∈Z) y=arcs inx. 函数y=sinx , x€ [- n /2 , n /2]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny. 习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式 请注意正弦函数y=sinx，x € R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。 反正弦函数只对这样一个函数y=sinx , x€ [- n /2 , n /2]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的主值区间。 理解函数y=arcsinx中，y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正弦值。这点必须牢记 性质 根据反函数的性质，易得函数y=arcsinx的，定义域[-1 , 1],值域[-n /2 , n /2]，是单调递增函数 图像关于原点对称，是奇函数 所以有arcsin(-x)=-arcsinx ，注意x的取值范围:x € [-1 , 1] 导函数： arcsinx = (土匚(-1,1)) vl-x2，导函数不能取|x|=1 * / fim (arcsinx) =-oo lim {arcsinx) = +oo - . ,:T 1 反正弦恒等式 sin(arcsinx)=x , x € [-1 , 1] (arcsinx)'=1/ V (1-x A2) arcsin x=-arcs in(-x) arcs in ( sin x)=x , x 属于[0, n /2] arccosx 反三角函数中的反余弦。意思为：余弦的反函数，函数为y=arccosx，函数图像如右下图。 就是已知余弦数值，反求角度，如cos(a) = b，贝U arccos(b) = a ; 它的值是以弧度表达的角度。定义域：【-1 , 1】。 由于是多值函数，往往取它的单值支，值域为【0, n ],记作y=arccosx，我们称它叫 做反三角函数中的反余弦函数的主值， arcta n x 反三角函数中的反正切。意思为：tan(a) = b;等价于arctan(b) = a fflil 定义域：{x lx € R},值域：y € (- n/2,冗/2) 计算性质： tan( arcta na)=a arcta n(-x)=-arcta nx arctan A + arctan B=arcta n(A+B)/(1-AB) arctan A - arctan B=arcta n(A-B)/(1+AB) 反三角函数在无穷小替换公式中的应用：当x T 0时，arctanx~x 三角和反三角函数图像 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x 函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ+ 2 π ,k ∈Z ｝ ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ,k ∈Z ｝ 值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时y max =1 x=2kπ- 2 π 时y min =-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在［2kπ- 2π,2kπ+2 π ］上都是增函数；在［2kπ+2 π ,2kπ+32π］上都是减函数(k ∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k ∈Z) 在(kπ- 2π，kπ+2 π )内都是增函数(k ∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k ∈Z) 三角、反三角函数图像 ( 附：资料全部来自网络， 仅对排版做了改动， 以方便打印及翻阅， 其中可能出现错误，阅者请自行注意。 ） 1. 六个三角函数值在每个象限的符号： sin α· csc α cos α· sec α tan α· cot α 2. 三角函数的图像和性质： y=sinx y -5 - 2 1 2 -7 o -4 -3 -2 -3 - 2 -1 2 3 7 2 5 2 2 3 4 2 2 x y=cosx y -5 - 2 1 -32 - -4 -7 -2 -3 o 2 2 -1 y y=tanx 3 3 7 2 2 2 5 4 2 2 y y=cotx x - 3 - - 2 2 o 3 2 2 x - - 2 o 3 2 x 2 2 函数 y=sinx y=cosx y=tanx ｛ x ｜ x ∈ R 且 定义域 R R x ≠ k π+,k ∈ Z ｝ ［ -1,1］ 2 ［ -1，1］x=2k π+ 时 x=2k π时 y max =1 2 R y max =1 x=2k π +π时 值域 无最大值 y min =-1 无最小值 x=2k π-时 y min =-1 2 y=cotx ｛ x ｜ x ∈ R 且 x ≠ k π∈,kZ ｝ R 无最大值 无最小值 周期性 周期为 2π 周期为 2π 周期为 π 周期为 π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 1 / 5 在［ 2kπ-,2kπ+ ］在［ 2kπ-π，2kπ］ 在 (k π- ， 在 (k π，kπ+π)内上都是增函数；都是减函数 22 在［ 2kπ，2kπ+π］2 (k ∈ Z) 上都是增函数；在 单调性 2上都是减函数k π+ )内都是增 ［ 2kπ+,2k(k ∈ Z)2 π+ π］ 函数 (k ∈ Z) 23 上都是减函数(k ∈Z) 3.反三角函数的图像和性质： arcsinx arccosx arctanx 名称反正弦函数 y=sinx(x ∈ 〔- ,〕的反函 2 2 定义 数，叫做反正弦函 数，记作 x=arsiny arcsinx 表示属于 理解 ［ -, ］ 22 x 的 且正弦值等于 角 定义域［ -1， 1］ 值域［ -，］ 性 22 单调性 在〔 -1， 1〕上是增 质函数 奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx 周期性都不是周期函数反余弦函数 y=cosx(x ∈ 〔0, π〕)的反 函数，叫做反余 弦函数，记作 x=arccosy arccosx 表示属于 ［ 0，π］，且 余弦值等于 x 的 角 ［-1， 1］ ［0，π］ 在［ -1，1］上 是减函数 arccos(- x)= π- ar ccosx arccotx 反正切函数反余切函数 y=tanx(x ∈ (-, y=cotx(x ∈(0, π )) 的反函数，叫做 2 反余切函数，记 2 )的反函数，叫作 x=arccoty 做反正切函数，记作 x=arctany arctanx表示属于arccotx 表示属于 (-,)，且正切值 (0，π)且余切值等 于 x 的角 22 等于 x 的角 (-∞，+∞)(-∞， +∞) (-，)(0，π) 2 2 在(-∞， +∞)上是增在(-∞，+∞)上是 数减函数 arctan(-x)=-arctanx arccot(- x)= π- arc cotx 2/ 5 高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草 图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 反三角函数公式 反三角函数图像与特征 1 ： 反三角函数的定义域与主值范围 式中n为任意整数. 反三角函数的相互关系 sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function ArcCos(x) 函数 功能：返回一个指定数的反余弦值，以弧度表示，返回类型为Double。 语法：ArcCos(x)。 说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。 程序代码： Function ArcCos(x As Double) As Double If x >= -1 And x < -0.5 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x *x) / x) + 4 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcCos = -Atn(x/ Sqr(1 - x * x)) + 2 * Atn(1) If x> 0.5 And x <= 1 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x*x) / x) End Function 专题九三角函数图像与性质．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 ．三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是 ； 的递增区间是，递减区间是， 的递增区间是， ．函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 ．由＝的图象变换出＝(ω＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进 行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换) 先将＝的图象向左(＞)或向右(＜＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞)，便得＝(ω＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将＝的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞)，再沿轴向左(＞)或向右(＜＝平移 个单位，便得＝(ω＋)的图象。 ．由＝(ω＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式（ω）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，）作为突破口， 要从图象的升降情况找准 ．．第一个零点的位置。 ．对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 ．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； ．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 ．五点法作（ω）的简图： 五点取法是设ω，由取、、π、、π来求相应的值及对应的值，再描点作图。 四．典例解析 三角函数 1. 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值 2. 角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π rad ②1°=π/180rad ③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3° 弧长公式 l a R = 扇形的面积公式 12 s lR = 3. 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 所谓奇偶指是整数k 的奇偶性（k ·π/2+a ） 所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角，k ·π/2+a 之和所在象限） 注： ①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了 4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈） ①： 三角函数 x y sin = x y cos = x y tan = cot y x = 函 数 图 象 定义域 R R 2 x k π π≠+ x k π ≠ 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 2π 2π π π 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 单 调 性 2,222k k ππππ? ?-+↑????2,222k k ππππ??-+↑???? []2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓ ,22k k ππππ? ?-+↑???? [],k k πππ+↓ 对 称 性 :2 x k π π=+ 对称轴 对称中心:(,0)k π :x k π =对称轴 : 对称中心(+ ,0) 2k π π : 对称中心( ,0)2 k π 零值点 πk x = 2 π π+ =k x πk x = 2 π π+ =k x 最 值 点 2 π π+ =k x ,1max =y 2 π π- =k x ,1min -=y πk x 2=，1max =y ； 2y k ππ=+，1min -=y x ?正弦、余弦、正切函数图象和性质 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 -5 3 7 ~2~ ” - 丁1 T V x 2*伽 -4 -7 -3 ' 、一 -2 -3 - -1 o '2 5 3 J. ‘ 4 2 2 2 y=ta nx J J J 1 Jr jr y y ； 1 1 / / / I ? r / / / y\ y=cotx 1 1 1 \ i 1 ! i I 1 3f-2 1 f J 1 J f f o 2 f I \ I i 1 I L o I I X2 1 三角函数的性质 1定义域与值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y= tanx ；偶函数：y= cosx. ⑺八黒 ' -型三角函数的奇偶性 （i）g（x 丄^ 丁（x€ R） (x)为偶函数- U 山呂in（曲+ 训+ P =」tan （处: + &） +匕尸二（处卄洞+& 的周期为91 . （2）认知 （i ） ?卜巳-，?| 型函数的周期 y = pisin (伽+ 剑| j = A cos(d&r+ 4?)| 的周期为 7T y = |j4tan(dft + 训,y=血 ot 〔伽 + 训 的周期为 ? = |了（曲+卩）+円往无0）的周期 》=|￡血（血工+朝胡』=|1（：0￡（处+?+上| y = |^tan(&r + ^) +円 j =凶诃(你+昉+刈 的周期为’； 7T 的周期为'? 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数 的周期不变?注意这一点与（i ）的区别? （ii ） 若函数为-’二 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ） 探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明 ? （3）特殊情形研究 y 二门」 彳J 的解析式施加绝对值后，该函 JT (i) y = tanx — cotx 的最小正周期为 ； y = sin z|+|co5z| 7T 的最小正周期为二； 7T （iii ） y = sin 4X + cos 4x 的最小正周期为 二. 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 . 4、单调性 （1） 基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ① 选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期； ② 写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③ 获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 . 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域 （2） 』— 丁 型三角函数的单调区间 反三角函数的图像和性质 yx,arccos yx,arctanyx,arcsin ,1,1,1,1,,,,R 定义域 ,,,,，，,, ,,,,值域 [0，π] ,,,,2222，，,, 在上单调递增在上单调递减 ,1,1,1,1,,,,在R上单调递增单调性 无减区间无减区间无增区间 3奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数 32, 32,,21212,-1 图象 -22468-224682O11 -1,-1-,2-2 -22468-1 -1O2-2 -1 arcsin()arcsin,,,xxarccos()arccos,,,xx,arctan()arctan,,,xx 运算公x,,[1,1]x,,[1,1] xR,式1 运算公,,,, arccos(cos),[0,]xxx,,, arctan(tan),(,)xxx,,,arcsin(sin),[,]xxx,,,2222式2 运算公 sin(arcsin),[1,1]xxx,,,cos(arccos),[1,1]xxx,,,tan(arctan),xxxR,, 式3 , arctancotxarcx，,运算公,2 arcsinarccos,[1,1]xxx，,,,2式4 xR, 三角函数的图像和性质 4 yx,cosy,tanx yx,sin kZ,343 3222 1一个周11(((113,,2,,,期的图-22468,-22468(-4-2246823,,O,2,O2O--12-12-1-1-1 22像 -2-2 -2 -3,,,x|x,k，,k,Z ,定义域 R R ,,2,, [1,1],[1,1], 值域 R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 , 2,2,周期 对 ,直线xk，kZ, ,，,称直线，无 xk,,kZ,2 轴对 称对 性称k,,(,0)k,，kZ, 点，kZ, 点(,0)k，(,0)点，kZ, ,22中 心 ,,,,,在上 [2,2]kk,，[2,22]kk,,,,，，,,,上在,上在(,)kk,，,,2222单调性 ,,3,在上，，[2,2]kk,,,，,[2,2]kk,,在上无减区间 22 高一数学 三角函数的图像和性质练习题 1．若cosx=0，则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ） B ． 2π+k π（k ∈Z ） C ．2π+2k π（k ∈Z ） D ．－2π+2k π（k ∈Z ） 2．使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．m ≤0 C ．－1＜m ＜1 D ．m ＜－1或m ＞1 3．函数y=3cos （ 52x －6π）的最小正周期是( ) A ．5 π2 B ．2π5 C ．2π D ．5π 4．函数y=2sin 2x+2cosx －3的最大值是( ) A ．－1 B ．21 C ．－21 D ．－5 5．下列函数中，同时满足①在（0， 2π）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y=tanx B ．y=cosx C ．y=tan 2x D ．y=|sinx| 6．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象做以下平移得到（ ） A.向右平移π6 B. 向左平移 π12 C. 向右平移 π12 D. 向左平移π6 7．函数y=sin(π4 -2x)的单调增区间是（ ） A. [kπ-3π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) B. [kπ+π8 , kπ+5π8 ] (k∈Z) C. [kπ-π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) D. [kπ+3π8 , kπ+7π8 ] (k∈Z) 8．函数 y=15 sin2x 图象的一条对称轴是（ ） A.x= - π2 B. x= - π4 C. x = π8 D. x= - 5π4 9．函数 y=15 sin(3x-π3 ) 的定义域是__________，值域是________，最小正周期是________，振幅是________，频率是________，初相是_________． 10．函数y=sin2x 的图象向左平移 π6 ，所得的曲线对应的函数解析式是____ _____． 11．关于函数f(x)=4sin(2x+π3 )，(x∈R)，有下列命题： （1）y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π6 ); （2）y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； （3）y=f(x)的图象关于点(-π6 ,0)对称; （4）y=f(x)的图象关于直线x=-π6 对称;其中正确的命题序号是___________． 12． 已知函数y=3sin （21x －4 π）. （1）用“五点法”作函数的图象； （2）说出此图象是由y=sinx 的图象经过怎样的变化得到的； （3）求此函数的最小正周期； （4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 13. 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分，求它的振幅、最小正周期和初 相。 三角函数公式和图象总结 1．与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为S={β|β=α+k ×360，k ∈Z} 2．弧长公式：α?=r l 扇形面积公式lR S 21 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。 3．三角函数定义： sin ,cos ,tan y x y r r x ααα===，其中P (,)x y 是α终边上一点，||r OP = 4．同角三角函数的两个基本关系式 22 sin sin cos 1 tan cos ααααα +== sin sin αsin β tan tan α sin cos), a x b x x? +=+其中tan b a ?=，?所在的象限与点(,) a b所在的象限一 致。 12．①sin()(0)y A x b A ω?=++>、cos()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为 || ω，最大值为A+b ，最小值为-A+b. ②tan()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为|| π ω 13．正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 14．余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- bc a c b A 2cos 2 22-+= 15．S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2 A sin B sin C sin =))()((c p b p a p p ---(其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 反三角函数图像与反三角函数特征 反正弦曲线 反余弦曲线 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点 三角函数的图像和性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，)1,2 (π ，(π，0)，) 1,23( -π，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π ，(2π，1)． 2．三角函数的图象和性质 (1)周期性 函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π |ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周 期为π |ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式． 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 双基自测 1．函数)3cos(π +=x y ，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既不是奇函数也不是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数) 4 tan( x y -=π 的定义域为( )． A ． } ,4 |{Z k k x x ∈- ≠π π B ．},4 2|{Z k k x x ∈-≠π π C ．},4 |{Z k k x x ∈+ ≠π π D ．},4 2|{Z k k x x ∈+ ≠π π 3．)4sin(π -=x y 的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B ．)0,4 3(π- C ．)0,2 3( π D ．)0,2 (π 4．函数f (x )＝cos )6 2(π + x 的最小正周期为________． 考向一 三角函数的周期 【例1】?求下列函数的周期： (1)) 2 3 sin( x y π π - =；(2))6 3tan(π -=x y 考向二 三角函数的定义域与值域 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： 反三角函数的概念和性质 ． 一．基础知识自测题： 1．函数y＝arcsin x的定义域是 [－1, 1] ，值域是. 2．函数y＝arccos x的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] . 3．函数y＝arctg x的定义域是R，值域是. 4．函数y＝arcctg x的定义域是R，值域是 (0, π) . 5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝. 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝. 7．若cos x＝－, x∈(, π)，则x＝. 8．若sin x＝－, x∈(－, 0)，则x＝. 9．若3ctg x＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝. 二．基本要求： 1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系； 2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝ arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围； 3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，] 上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； 5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sin x)＝x, x∈[－，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件； 6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用； 7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝的应用。 例一．下列各式中成立的是（C）。 （A）arcctg(－1)＝－（B）arccos(－)＝－ （C）sin[arcsin(－)]＝－（D）arctg(tgπ)＝π 解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π], (D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。 【课题】5.6三角函数的图像和性质 【教学目标】 知识目标： (1) 理解正弦函数的图像和性质； (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法； (3) 了解余弦函数的图像和性质． 能力目标： (1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数； (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图； (3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力． 情感目标： （1）经历利用“图像法”分析三角函数的性质的探究过程，体验“数形结合”的探究方法，享受成功的喜悦。 （2）体验三角函数的性质，特别经历对周期现象的研究，感受科学思维方法。 （3）结识正弦、余弦曲线，感受数学图形的曲线美、对称美、和谐美 【教学重点】 （1）正弦函数的图像及性质； （2）用“五点法”作出函数y=sin x在[] 0,2π上的简图． 【教学难点】 周期性的理解． 【教学设计】 （1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数； （2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期； （3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像； 【教学备品】 课件，实物投影仪，三角板，常规教具． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 过 程 行为 行为 意图 间 观察发现，正弦函数x y sin =在[]0,2π上的图像中有五个关键点：(0,0), ,12π?? ???, (),0π, 3,12π?? - ??? , ()2,0π． 描出这五个点后，正弦函数x y sin =,[]0,2π在上的图像的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，经常首先描出这关键的五个点，然后用光滑的曲线把它们联结起来，从而得到正弦函数在[]0,2π上的简图．这种作图方法叫做“五点法”． 质疑 引领 总结 观察 思考 体会 五点 可以 教给 学生 自我 发现 总结 35 *巩固知识 典型例题 例1 利用“五点法”作函数x y sin 1+=在[]0,2π上的图像． 分析 x y sin =图像中的五个关键点的横坐标分别是0，2 π ，π，23π ，2π，这里要求出x y sin 1+=在五个相应的函数值， 从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像． 解 列表 x 0 π 2 π 3π2 2π x sin 0 1 0 ?1 0 x y sin 1+= 1 2 1 1 以表5-6中每组对应的x ,y 值为坐标，描出点),(y x ，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数 x y sin 1+=在[]0,2π上的图像． 例2 已知sin 4x a =-, 求a 的取值范围． 解 因为x sin ≤1，所以4a -≤1，即 141a --剟， 解得 35a 剟． 说明 讲解 引领 质疑 分析 归纳 观察 思考 主动 求解 理解 讨论 求解 思考 安排 与知 识点 对应 例题 巩固 新知 注重 画图 时对 细节 的强 调和 引领 不等 式的 求解 过程 可以 教给 正切、余切函数图象和性质反三角函数 [知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图 象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函 数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: 上单减 ，奇函数 注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的. 3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数. 三角、反三角函数图像 (附：资料全部来自网络，仅对排版做了改动，以方便打印及翻阅，其中可能出现错误，阅者请自行注意。） 1.六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 2.三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x 函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R ｛x ｜x∈R 且x≠kπ+2 π ,k∈Z ｝ ｛x ｜x∈R 且x≠kπ,k∈Z｝ 值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时y max =1 x=2kπ-2 π 时y min =-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在 ［2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ］ 上都是增函数；在 ［2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π］上都是减函数 (k∈Z) 在［2kπ -π， 2kπ］上都是增 函数；在［2kπ， 2kπ+π］上都是 减函数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ， kπ+ 2 π )内都是 增函数(k∈Z) 在(kπ，kπ+π) 内都是减函数 (k∈Z) 3.反三角函数的图像和性质： arcsinx arccosx arctanx arccotx 名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数 定义 y=sinx(x∈ 〔- 2 π , 2 π 〕的反 函数，叫做反正弦 函数，记作 x=arsiny y=cosx(x∈ 〔0,π〕)的反函 数，叫做反余弦 函数，记作 x=arccosy y=tanx(x∈(- 2 π , 2 π )的反函数，叫 做反正切函数，记作 x=arctany y=cotx(x∈(0, π))的反函数， 叫做反余切函 数，记作 x=arccoty 理解 arcsinx表示属于 ［- 2 π , 2 π ］ 且正弦值等于x的 角 arccosx表示属 于［0，π］，且 余弦值等于x的 角 arctanx表示属于 (- 2 π , 2 π )，且正切 值等于x的角 arccotx表示属 于(0，π)且余切 值等于x的角 性 质 定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞) 值域［- 2 π ， 2 π ］［0，π］(- 2 π ， 2 π )(0，π)单调性 在〔-1，1〕上是增 函数 在［-1，1］上是 减函数 在(-∞，+∞)上是增 数 在(-∞，+∞)上 是减函数 反三角函数的概念和性质 反三角函数的概念和性质 一．基本知识： 1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系； 2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围； 3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； 1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π], (D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－ ，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。 例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。 （A）y＝sin x, x∈[－π, 0]（B）y＝sin x, x∈[, ] （C）y＝sin x, x∈[,] （D）y＝sin x, x∈[,] 解：本题是判断函数y＝sin x在哪个区间上是单调函数，由于y＝sin x在区间[,]上是单调递减函数，所以选D。 例三． arcsin(sin10)等于（C）。 （A）2π－10 （B）10－2π（C）3π－10 （D）10－3π 解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相三角和反三角函数图像
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