高中数学(必修4导学案)

目录

第一章 三角函数

1.1.1 任意角 ..........................................................................................1 1.1.2 弧度角 ..........................................................................................5 1.2.1 任意角的三角函数(1) ........................................................................8 1.2.1 任意角的三角函数(2) ........................................................................12 1.2.2 同角三角函数的关系(1) .....................................................................15 1.2.2 同角三角函数的关系(2) .....................................................................17 1.2.3 三角函数的诱导公式(1) .....................................................................19 1.2.3 三角函数的诱导公式(2) .....................................................................22 1.2.3 三角函数的诱导公式(3) .....................................................................25 1.3.1 三角函数的周期性 ...........................................................................27 1.3.2 三角函数的图象和性质(1) ..................................................................30 1.3.2 三角函数的图象和性质(2) ..................................................................33 1.3.2 三角函数的图象和性质(3) ..................................................................36 1.3.3 函数)sin(?ω+=x A y 的图象(1) ......................................................38 1.3.3 函数)sin(?ω+=x A y 的图象(2) ......................................................41 1.3.4 三角函数的应用.................................................................................44 三角函数复习与小结 (46)

第二章 平面的向量

2.1 向量的概念及表示..............................................................................49 2.2.1 向量的加法.......................................................................................52 2.2.2 向量的减法.......................................................................................55 2.2.3 向量的数乘(1) .................................................................................58 2.2.3 向量的数乘(2) .................................................................................62 2.3.1 平面向量的基本定理 ........................................................................65 2.3.2 向量的坐标表示(1) ........................................................................68 2.3.2 向量的坐标表示(2) ........................................................................70 2.4.1 向量的数量积(1) ...........................................................................72 2.4.1 向量的数量积(2) (75)

第三章 三角恒等变换

3.1.1 两角和与差的余弦公式 .....................................................................77 3.1.2 两角和与差的正弦公式 .....................................................................81 3.1.3 两角和与差的正切公式 .....................................................................85 3.2.1 二倍角的三角函数(1) .....................................................................88 3.2.1 二倍角的三角函数(2) (92)

第一章 三角函数 1.1.1 任意角

【学习目标】

1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念

2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集

合表示

【学习重点、难点】

用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入

问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？

______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？

______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0

720”这样的动作名词，这里的“0

720”，怎么刻画？

______________________________________________________

二、建构数学 1．角的概念

角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。

2．角的分类

按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。

3. 终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 。

4．象限角、轴线角的概念

我们常在 直角坐标系 内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。

如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。

象限角的集合

（1）第一象限角的集合：_______________________________________ （2）第二象限角的集合：_______________________________________ （3）第三象限角的集合：_______________________________________ （4）第四象限角的集合：_______________________________________ 轴线角的集合

（1）终边在x 轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （2）终边在x 轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （3）终边在y 轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （4）终边在y 轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （5）终边在x 轴上的角的集合：_______________________________________ （6）终边在y 轴上的角的集合：_______________________________________ （7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________

三、课前练习

在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。

00000030,150,60,390,390,120---

【典型例题】

例1 （1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？

（2）若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？

例2 在0

3600到的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。

（1）0

650 （2）0

150- （3）0

240- （4）'

15990-

例3 已知0240与α角的终边相同，判断

2

α

是第几象限角。

例4 写出终边落在第一、三象限的角的集合。

例5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）

（1） （2） （3）

【拓展延伸】

已知角α是第二象限角，试判断2

α

为第几象限角？

【巩固练习】

1、设0

60-=α，则与角α终边相同的角的集合可以表示为___________________. 2、把下列各角化成),3600(3600

Z k k ∈<≤?+αα的形式，并指出它们是第几象限的角。

（1）01200 （2）055- （3）01563 （4）0

1590-

3、终边在y 轴上的角的集合_______________;终边在直线x y =上的角的集合________________;终边在四个象限角平分线上的角的集合_________________________.

4、 终边在0

30角终边的反向延长线上的角的集合___________________________. 5、 若角α的终边与0

45角的终边关于原点对称，则___________=α；若角βα,的终边

关于直线0=+y x 对称，且0

60-=α，则____________=β。 6、 集合},3690|{00

Z k k A ∈-?==αα，

}180180|{00<<-=ββB ，则._________=?B A

7、若

2

α

是第一象限角，则α的终边在_______________________________

【课后训练】

1、 分针走10分钟所转过的角度为___________;时针转过的角度为____________.

2、若0

13590<<<αβ，则βα-的范围是_________，βα+的范围是________. 3、（1）与'30350

-终边相同的最小正角是________; （2）与0

715终边相同的最大负角是_______________; （3）与0

1000终边相同且绝对值最小的角是__________; （4）与0

1778-终边相同且绝对值最小的角是___________.

4、与015-终边相同的在0

03601080-<≤-β之间的角β为_______________________. 5、已知角βα,的终边相同，则βα-的终边在___________________________. 6、若β是第四象限角，则β-0

180是第_____象限角；β+0

180是第____象限角。 7、若集合},9018030180|{0

Z k k k A ∈+?<<+?=αα， 集合},4536045360|{0

Z k k k B ∈+?<<-?=ββ， 则._____________=?B A

8、已知集合}{锐角=M ，}90{0

的角小于=N ，}{第一象限的角=P ，下列说法：

（1）N P ?，（2）M P N =?，（3）P M ?，（4）P N M ??)(其中正确的是____________.

9、角α小于0

180而大于0

180-，它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角α。 10、已知α与060角的终边相同，分别判断

αα

2,2

是第几象限角。

【课堂小结】

【布置作业】

（编者：吴 笋）

1.1.2 弧度制

【学习目标】

3． 理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数

4． 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题 5． 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系 【学习重点、难点】

弧度的概念，弧度与角度换算 【自主学习】 一、复习引入

请同学们回忆一下初中所学的01的角是如何定义的？

二、建构数学 1．弧度制

角还可以用__________为单位进行度量，

___________________________________叫做1弧度的角，用符号_____表示，读作________。 2．弧度数：正角的弧度数为_________，负角的弧度数为_________，零角的弧度数为_____如果半径为r 的圆心角所对的弧的长为1，那么，角α的弧度数的绝对值是_________。 这里，α的正负由____________________________________决定。 3．角度制与弧度制相互换算

360°＝_________rad 180°＝_________rad 1°＝_________rad 1 rad ＝_________°≈ _________°

4．角的概念推广后,在弧度制下, ________________与______________之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即_______________)与它对应;反过来,每一个实数也都有________________(即_______________)与它对应。 5．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：

角α的弧度数的绝对值||α=______________ （l 为弧长，r 为半径） 弧长公式：____________________________ 扇形面积公式：____________________________

【典型例题】

例1．把下列各角从弧度化为度。 （1）53π （2）12π （3）6

5π- （4）2 （5）5.3

例2．把下列各角从度化为弧度。

（1）0

750- （2）0

1440- （3）0

'

6730 （4）0252 （5）'15110

例3．（1）已知扇形的周长为cm 8，圆心角为rad 2，求该扇形的面积。

（2）已知扇形周长为cm 4，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。

例4．已知一扇形周长为C （0C >），当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最

大面积。

【巩固练习】

2、若角，则角的终边在第____象限；若，则角的终边在第___象限。

3、将下列各角化成)20(,2παπα<≤+k ，Z k ∈的形式，并指出第几象限角。 （1）319πα=

（2）0

315-=α （3）322πα= （4）2

23πα=

4、圆的半径为10，则2的圆心角所对的弧长为______；扇形的面积为________。

5、用弧度制表示下列角终边的集合。

（1）轴线角 （2）角平分线上的角 （3）直线x y 3=

上的角

6、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么该圆弧的圆心角等于_____。

【课堂小结】

【布置作业】

（编者：吴 笋）

2.2.2任意角的三角函数（1）

【学习目标】

6． 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 7． 会用三角函数线表示任意角三角函数的值

8． 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【学习重点、难点】

任意角的正弦、余弦、正切的定义 【自主学习】

一、复习旧知，导入新课

在初中，我们已经学过锐角三角函数：

角的范围已经推广，那么对任意角α是否也能定义其三角函数呢？

二、建构数学

1．在平面直角坐标系中，设点P 是角α终边上任意一点，坐标为(,)P x y ,它与原点的距离

||OP r ==，一般地，我们规定：

⑴比值___________叫做α的正弦,记作___________,即___________=___________； ⑵比值___________叫做α的余弦,记作___________,即___________=___________； ⑶比值___________叫做α的正切,记作___________,即___________=___________. 2.当

α=___________________时, α的终边在y 轴上,这时点P 的横坐标等于

____________,所以_____________无意义.除此之外,对于确定的角α,上面三个值都是______________.所以, 正弦、余弦、正切都是以_________为自变量,以__________为函数 值的函数,我们将它们统称为___________________.

3.由于________________________与________________________之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为_________________的函数.

4.其中，sin y x =和cos y x =的定义域分别是________________； 而tan y x =的定义域是__________________.

5．根据任意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号。

=y sin α =y cos α

=y tan α

【典型例题】

例1．已知角α的终边经过点()4,3P -，求α的正弦、余弦、正切的值。

变题1 已知角α的终边经过点()()4,30P a a a -≠，求α的正弦、余弦、正切的值。

变题2 已知角α的终边经过点()6,--x P ，且13

5

cos -=α，求x 的值

例2．已知角α的终边在直线x y 3-=上，求α的正弦、余弦、正切的值

例3．确定下列三角函数值的符号： （1）π127cos （2）()?-465sin （3）π3

11

tan （4）5tan 4cos 3sin ??

例4．若ABC ?两内角A 、B 满足sin cos 0A B < ，判断三角的形状。

【巩固练习】

1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为

2、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 A ．sin α B ．cos αC ．tan α D ．

tan 1

α 3、填表：

4、已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是

5、若点P (－3，ｙ)是角α终边上一点，且3

2

sin -=α，则ｙ的值是

6、α是第二象限角，

P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=4

2x ，则sin α的值为_______

【课堂小结】

【布置作业】

（编者：吴 笋）

1．2．1任意角的三角函数（2）

【学习目标】

1、掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义

2、会用三角函数线表示任意角三角函数的值

3、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【学习重点、难点】

会用三角函数线表示任意角三角函数的值 【自主学习】 一、复习回顾

1．单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以________为圆心，以_______为半径的圆。 2．有向线段的概念：把规定了正方向的直线称为___________________；

规定了___________（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。 3．有向线段的数量：若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l _____________，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向_____________或_____________，分别把它的长度添上______或_______，这样所得的__________叫做有向线段的数量。 4．三角函数线的定义：

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，

过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与α的终边（当α为第_______象限角时）或其反向延长线（当α为第______象限角时）相交于点T 。根据三角函数的定义：sin y α==________；cos x α==_______；

tan y

x

α=

=__________。 【典型例题】

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

()3

1π

()π652 ()π323-

()6

4π-

例2．利用三角函数线比较大小

() 30sin 1______ 150sin : () 25sin 2______ 150sin :

()π3

2cos 3______π5

4cos ; ()π3

2tan 4______π3

2tan

例3．解下列三角方程

()23sin 1=

x ()2

1c o s 2=x ()1t a n 3=x

变题1．解下列三角不等式()23sin 1>x ()2

1

c o s 2≤x ()1t a n

3>x

变题2．求函数()x x y cos 211sin 2lg ++-=的定义域.

【巩固练习】

1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线

()π6

111- ()π3

22

2．利用余弦线比较cos64,cos 285

的大小； 3．若

4

2

π

π

θ<<

，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；

4．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：

（1）cos θ<； （2）tan 1θ>- ； （3）sin θ>

5．当角α，β满足什么条件时，有βαsin sin =

6．若cos θ<

sin θ>，写出角θ的取值范围。

【课堂小结】

【布置作业】

（编者：吴 笋）

1.2.2同角三角函数的关系（1）

【学习目标】

1、 掌握同角三角函数的两个基本关系式

2、 能准确应用同角三角函数关系进行化简、求值

3、 对于同角三角函数来说，认清什么叫“同角”，学会运用整体观点看待角

4、 结合三角函数值的符号问题，求三角函数值

【重点难点】同角三角函数的两个基本关系式和应用

【自主学习】 一、数学建构：

同角三角函数的两个基本关系式：_______________________________________; _______________________________________.

二、课前预习： 1、),0(,5

4

cos παα∈=

，则tan α的值等于

2、化简：=ααtan cos

【典型例题】 例1、 已知2

1

sin =α，并且α是第二象限角，求ααtan ,cos 的值

变：已知2

1

sin =α，求ααtan ,cos 的值

例2、已知5

12

tan =α，求ααcos ,sin 的值．

解题回顾与反思：通过以上两个例题，你能简单归纳一下对于ααcos ,sin 和αtan 的“知一求二”问题的解题方法吗？

例2、化简

（1 （2

（3）1sin 1tan 2-α

α（α

是第二象限角） （4）αα

ααsin 1sin 1sin 1sin 1+-+-+

【课堂练习】 1、已知4

cos 5

α=-

，求αsin 和αtan 的值

2、化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β= ．

3、若θ为二象限角，且2cos 2sin 212sin

2

cos θθθ

θ

-=-，那么2

θ

是第几象限角。

【课堂小结】

（编者：许琳）

1.2.2同角三角函数的关系（2）

【学习目标】

1、 能用同角三角函数关系解决简单的计算、化简与证明

2、 掌握“知一求二”的问题 【重点难点】

奇次式的处理方法和“知一求二”的问题 【自主学习】

一、 复习回顾：

1、 同角三角函数的两个基本关系式：

2、 ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin -+有何关系？（用等式表示）

二、

课前练习

1、已知,3

1

cos sin =

+αα则=ααcos sin _________________________ 2、若15tan =α，则=αcos

；=αsin

．

【典型例题】

例1、 已知,3tan =α求下列各式的值

（1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2-- （2）α

ααα2

222cos 9sin 4cos 3sin 2-- （3）αα2

2cos 3sin 2-

例2、求证：（1）ααααsin cos 1cos 1sin -=+ （2）α

αα

αααααsin tan sin tan sin tan sin tan ?+=

-?

例3、已知,0πθ<<5

1

cos sin =

+θθ,求θtan 的值

例4、若),3(3

1

cos ,31sin ≠--=-+=k k k k k αα （1）求k 的值； （2）求1

tan 1

tan +-αα的值

【课堂练习】

1、已知,0πα<

12

-,则cos α－sin α的值等于

2、已知θ是第三象限角，且9

5

cos sin 4

4

=+θθ，则=θθcos sin

3、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么1

tan tan θθ

+

的值是

4、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为

5、 求证：

1

tan 1

tan cos sin cos sin 212

2-+=-+αααααα

【课堂小结】

（编者：许琳）

1.2.3三角函数的诱导公式（1）

【学习目标】

1、 巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式

2、 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值

3、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程

4、 准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值 口诀：函数名不变，符号看象限 【重点难点】诱导公式的推导与运用

【自主学习】

1、 利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值：),(y x P 为角α的终边与单位圆的交点，

则___________cos _,__________sin ==αα

2、 诱导公式

由三角函数定义可以知道：

（1） 终边相同的角的同一三角函数值相等。 公式一（παk 2+）：__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.

(2)当角α的终边与角β的终边关于x 轴对称时，α与β的关系为：__________________ 公式二（ ）：__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.

(3)当角α的终边与角β的终边关于y 轴对称时，α与β的关系为：__________________ 公式三（ ）：__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.

(4)当角α的终边与角β的终边关于原点对称时，α与β的关系为：_________________ 公式四（ ）：__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.

思考：这四组公式可以用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？