计算几何之向量的旋转

计算几何之向量的旋转
计算几何之向量的旋转

计算几何之向量的旋转

momodi posted @ Tue, 02 Feb 2010 01:53:55 +0000 in IAlgorithm with tags Computational Geometry , 187 readers

矩阵真的好优美,好多在数学中那些乘乘加加的操作,其本质都是矩阵。这些操作,往往都是把事物进行分解,对每一个基量进行操作,最后再把这些操作整合起来。

向量旋转,这个几何中的基本操作,可以相当优美的用矩阵来操作。究其原因,也是因为向量是多维的。用矩阵来操作,正是把向量分解开来,分别旋转,最后再进行整合。

看下面的矩阵

这个是二维向量的旋转矩阵,它可以将一个向量逆时针旋转一个角度。

将其变形,变会得到二维向量的顺时针旋转的形式:

这里要注意一种特殊的情况,就是当角度为90度的时候,sin和cos的结果只有1, 0, -1三种可能性。所以这个矩阵可以改写成特殊的形式,其意义在于用这样的旋转操作,不会产生精度问题。sin和cos的运算的精度是比较低的,能少用则尽量少用。在计算几何中的向量旋转操作,大部分都可以通过变形,只用到旋转90度,从而避免精度问题。

再来说一点就是,这些旋转矩阵都有一些特点,最明显的莫过于他们的行列式的值都是1。所以在验证正确性的时候,可以用这个操作。也正因为有这一个性质,所以向量才只会进行旋转,不会进行缩放。

三维向量的旋转矩阵:

上面三个公式的旋转方向可以看成按右手定则。

来看第三个公式,这个公式是围绕Z 轴,把X 轴往Y 轴方向移动。我们把拇指向上(表示Z 轴),手指指向X 轴,然后手指自然弯曲方向便是旋转方向。 其它两个公式也是类似。

其实第三个公式,去掉Z 轴,就是开头讲的逆时针旋转的公式。

在其它方向上的旋转都可以由这三个矩阵组合而来。

围绕轴u = (ux, uy, uz)来旋转的矩阵代码如下: ?

1 2 3 4 5 double a[3][3] = {

{SQR(ux) + (1 - SQR(ux)) * c, ux * uy * (1 - c) - uz * s, ux * uz * (1 - c) + uy * s}, {ux * uy * (1 - c) + uz * s, SQR(uy) + (1 - SQR(uy)) * c, uy * uz * (1 - c) - ux * s}, {ux * uz * (1 - c) - uy * s, uy * uz * (1 - c) + ux * s, SQR(uz) + (1 - SQR(uz)) * c}

};

要注意这个ux * ux + uy * uy + uz * uz = 1

有一个比较有意思的问题就是,知道旋转矩阵之后,怎么来确定向量u呢?我们做如下变形之后,可以得到:

R u = I u–> (R – I)u = 0

也就是说我们要找到一个非0的向量,使得他和一个矩阵乘起来得到一个空矩阵。这个问题可以用高斯消元来解决。实际上我们就是要解一个线性方程组。

空间向量和立体几何练习题及答案.

1.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4. (1)求证:M为PB的中点; (2)求二面角B﹣PD﹣A的大小; (3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 【分析】(1)设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连接OM,利用线面平行的性质证明OM∥PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点; (2)取AD中点G,可得PG⊥AD,再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD,则PG⊥AD,连接OG,则PG⊥OG,再证明OG⊥AD.以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系,求出平面PBD与平面PAD的一个法向量,由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小;(3)求出的坐标,由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 【解答】(1)证明:如图,设AC∩BD=O, ∵ABCD为正方形,∴O为BD的中点,连接OM, ∵PD∥平面MAC,PD?平面PBD,平面PBD∩平面AMC=OM, ∴PD∥OM,则,即M为PB的中点; (2)解:取AD中点G, ∵PA=PD,∴PG⊥AD, ∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PG⊥平面ABCD,则PG⊥AD,连接OG,则PG⊥OG, 由G是AD的中点,O是AC的中点,可得OG∥DC,则OG⊥AD. 以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系, 由PA=PD=,AB=4,得D(2,0,0),A(﹣2,0,0),P(0,0,),C(2,

空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用 【知识网络】 空间向量的定义与运算 空间向量运 算几何意义 空间向量的坐标表示及运算 应用空间向量的运算解决立几问题 证明平行、垂直 求空间角与距离 【考点梳理】 要点一、空间向量 1.空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。要点诠释: ⑴空间的一个平移就是一个向量。 ⑵向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要素:方向,大小。 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.共线向量 (1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共 线向量或平行向量.a 平行于b 记作b a //.当我们说向量a 、b 共线(或a //b )时,表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行直线. (2)共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a //b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb 。 3.向量的数量积 (1)定义:已知向量,a b ,则||||cos ,a b a b ??<> 叫做,a b 的数量积,记作a b ? ,即a b ?= ||||cos ,a b a b ??<> 。 (2)空间向量数量积的性质: ①||cos ,a e a a e ?=<> ;②0a b a b ⊥??= ;③2||a a a =? . (3)空间向量数量积运算律: ①()()()a b a b a b λλλ?=?=? ;②a b b a ?=? (交换律);③()a b c a b a c ?+=?+? (分配律)。

4.空间向量基本定理 如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++ 。若三向量,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 叫 做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 5.空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用 {,,}i j k 表示; (2)在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ,以点O 为原点,分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角 坐标系O xyz -,点O 叫原点,向量,,i j k 都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面; 6.空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使 OA xi yj zk =++ ,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记 作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标. 7.空间向量的直角坐标运算律: (1)若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =--- . 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 (2)若123(,,)a a a a = ,123(,,)b b b b = ,则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ,112233(,,)a b a b a b a b -=--- ,123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ,112233a b a b a b a b ?=++ ,112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈ ,1122330a b a b a b a b ⊥?++= ; ||a == ||b == . 夹角公式:cos ||||a b a b a b ??==? .

用旋转法………作辅助线证明平面几何题

用旋转法………作辅助线证明平面几何题 旋转法就是在图形具有等邻边特征时,可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点,旋转另一位置的引辅助线的方法。 1、旋转方法主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来,从而为证题创造必要的条 件。 2、旋转时要注意旋转中心、旋转方向、旋转角度的大小(三要素:中心、方向、大小); 3、旋转方法常用于竺腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。 例1: 例2 已知,在Rt ABC中 B=AC;∠BAC=90?; D为BC边上任意一点,求证:2AD2=BD2+CD2. 证明:把ABD绕点A逆时钍方向旋转90?,得?ACE,则ABD??ACE,∴BD=CE,∠B=∠ACE; ∠BAD=∠CAE, AD=AE。 又∠BAC=90?;∴∠DAE=90? 所以: D E2=AD2+AE2=2AD2。 因为:∠B+∠ACB=90? 所以:∠DCE=90? CD2+CE2=DE2=2AD2 即: 2AD2=BD2+CD2。 注:也可以把ADC顺时针方向旋转90?来证明。 注 E C D

已知,P 为等边ABC 内一点,PA=5,PB=4,PC=3,求 ∠BPC 的度数。 证明:把 ABP 绕点B 顺时钍方向旋转90 ?,得?CBD ,则 ABP ??CBD ,∴BP=BD AP=CD=5, ∠ABP=∠CBD ,所以 ∠BAP+∠PBC=∠CBD+∠PBC=60?,所以 BPD 为等边三角形。 ∠PBD=60? PD=PB=4所以: C D 2=PD 2+PC 2。因为: ∠DPC=90?所以: ∠BPC=∠BPD+∠DPC=60?+90?=150? 注:也可以把CAP 绕点C 逆时针方向旋转60?来证明。 D C 例3: 如图:在正方形ABCD 中,E 为AD 边上一点,BF 平分∠CBE 交CD 于F 点。求证:BE=CF+AE 证明:把ABE 绕点B 顺时针方向旋转90?得BCN 。则:ABE ?BCN ,所以: ∠ABE=∠CBN ,BE=BN ,AE=CN 。因为:四边形ABCD 是正方形,所以:CD AB ,∠NFB=NBF 因为:∠ABF=∠ABE+∠EBF ,∠NBF=∠NBC+∠CBF ,而:∠EBF=∠FBC ;∠NBF=∠NFB 所以:BN=NF=CN+CF 所以:BE=AE+CF 。注:也可以把BCF 绕点B 逆时针方向旋转90?来证明。

利用空间向量解立体几何 完整版

向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积: cos a b a b θ?= 2.射影公式:向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ,方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直(共面与异面)?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离

点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离: 方法:在直线上取一点(),Q x y , 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离: 方法:在平面α上去一点(),Q x y ,得向量PQ u u u r , 计算平面α的法向量n , 计算PQ u u u r 在α上的射影,即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角(共面与异面) 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤: ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角; ②再求其余角,即是线面的夹角. 3.面面夹角(二面角) 若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量的夹角;法

立体几何与空间向量

10 第七部分 立体几何与空间向量 一、知识梳理 (一)基本知识梳理:见《步步高》文科P123—124 ;理科P135—137 . (二)要点梳理: 1。平面的基本性质是高考中立体几何的重点容.要掌握平面的基本性质,特别注意:不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时,要注意讨论点在平面的同侧还是两侧,会根据不同的情况作出相应的图形. [例]已知线段AB 长为3,A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2,则AB 所在直线与平面α所成角的大小为_____; 解析:要注意到点A 、B 是平面α同侧还是在平面α的两侧的情况.当A 、B 在平面α的同侧时,AB 所在直线与平面α所成角大小为31arcsin ;当A 、B 在平面α的两侧时,AB 所在直线与平面α所成角为 2 π. 2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”;三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行,最终化归为线线平行;线面垂直、面面垂直,最终化归为线线垂直. [例]已知平面βα,,直线b a ,.有下列命题:(1) βαβα////a a ?????;(2)αββα//a a ?? ?? ⊥⊥ (3)βαβα////??????⊥⊥b a b a ;(4)βαβα////??? ? ?? ??b a b a .其中正确的命题序号是______. 解析:立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点,基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及,要充分理解符号语言所体现的几何意义.(1)体现的是两平面平行的一个性质:若两平面平行,则一个平面的任一直线与另一平面平行.(2)要注意的是直线a 可能在平面α.(3)注意到直线与平面之间的关系:若两平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.(4)根据两平面平行的判定知,一个平面两相交直线与另一个平面平行,两平面才平行.由此知:正确的命题是(1)与(3). 3。直线与平面所成角的围是]2, 0[π ;两异面直线所成角的围是]2 ,0(π .一般情况下,求二面角往往是指定 的二面角,若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角(直角)情况即可. [例]设A 、B 、C 、D 分别表示下列角的取值围:(1)A 是直线倾斜角的取值围;(2)B 是锐角;(3)C 是直线与平面所成角的取值围;(4)D 是两异面直线所成角的取值围.用“?”把集合A 、B 、C 、D 连接起来得到___. (答案:A C D B ???) 4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解,也可以利用空间向量的方法,特别要注意的是两异面直线所成角的围.当求出的余弦值为a 时,其所成角的大小应为||arccos a . [例]正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是AB 中点,则异面直线DE 与BD 1所成角的大小为_____. (答案:515 arccos ) 特别需要注意的是:两向量所成的角是两向量方向所成的角,它与两向量所在的异面直线所成角的概念是 不一样的.本题中的向量1BD 与所成的角大小是两异面直线DE 与BD 1所成角的补角. 5。直线与平面所成角的求解过程中,要抓住直线在平面上的射影,转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法,也可以利用三棱锥的体积转化. C A 1 B 1 C 1 E

巧用旋转法解几何题

百度文库-让每个人平等地提升自我 巧用旋转法解几何题 将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转,由旋转的性质可知旋转前后的 图形全 等,对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相 等的线段特征时,可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点, 旋转另一位置的引辅助线的方法, 主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来,从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三 角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明,供同学们参 考。 例1.如图,在Rt △ ABC 中,/ C=90°, D 是AB 的中点,E , F 分别 AC 和BC 上,且 DEL DF, 求证:EF 2=A ^+B F" 分析:从 所证的结论来看,令人联想到勾股定理,但注意到 EF , AE BF 三条线段不在同一个三角 形中,由于D 是中点,我们可以考虑以 D 为旋转中心,将 BF 旋转到和AE 相邻的位置,构造一个直 角三角形,问题便迎刃而解。 证明:延长 FD 到G 使DG=DF 连接AG EG ?/ AD=DB / ADG=/ BDF ???" ADd " BDF ( SAS ???/ DAG=/ DBF BF=AG ? AG// BC ???/ C=90°A Z EAG=90 ? EG=Ah+AG=AE+BF ?/ DEI DF ? EG=EF 2 2 2 ? EF=AE+BF 例 2,如图 2,在"ABC 中,/ ACB=90 , AC=BC P 是"ABC 内一点,且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC 的度数. 分析:题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角,但已知的三条线段不在同一三角形中, 故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中,由于" ACB 是等腰直角三角形,宜以直角顶点 C 为旋转 中心。 解:作 MC L CP,使 MC=CP 连接 PM , BM F E A

空间向量与立体几何知识总结

已知两异面直线 b a,,,,, A B a C D b ∈∈,则异面直线所成的角θ为:cos AB CD AB CD θ? = u u u r u u u r u u u r u u u r 例题 【空间向量基本定理】 例1.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M、N分别为PC、PD上的点,且M分成定比2,N分PD成定比1,求满足的实数x、y、z的值。 分析;结合图形,从向量出发,利用向量运算法则不断进行分解,直到全部向量都用、、表示出来,即可求出x、y、z的值。 如图所示,取PC的中点E,连接NE,则。 点评:选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的一项基本功,要结合已知和所求,观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量。再对照目标,将不符合目标要求的向量当作新的所需向量,如此继续下去,直到所有向量都符合目标要求为止,这就是向量的分解。有分解才有组合,组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明,用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量,而且a,b,c的系数是惟一的。 【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例2.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F。 (1)证明:PA方形ABCD—中,E、F分别是,的中点,求:(1)异面直线AE与CF所成角的余弦值; (2)二面角C—AE—F的余弦值的大小。

点评:(1)两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得,即。 (2)直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得,即 或 (3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得,它等于两法向量的夹角或其补角。 【用空间向量求距离】 例4.长方体ABCD —中,AB=4,AD=6,,M 是A 1C 1的中点,P 在线段BC 上,且|CP|=2,Q 是DD 1的中点, 求: (1)异面直线AM 与PQ 所成角的余弦值; (2)M 到直线PQ 的距离; (3)M 到平面AB 1P 的距离。 本题用纯几何方法求解有一定难度,因此考虑建立空间直角坐标系,运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角,在新高考试题中已多次出现,但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离,线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深,随着新教材的推广使用,这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。 (1)平面的法向量的求法:设,利用n 与平面内的两个向量a ,b 垂直,其数量积为零,列出两个三元 一次方程,联立后取其一组解。 (2)线面角的求法:设n 是平面的一个法向量,AB 是平面 的斜线l 的一个方向向量,则直线与平面 所成 角为n AB n AB ??= θθsin 则 (3)二面角的求法:①AB,CD 分别是二面角 的两个面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角的大小为

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距 离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)

3. 如图,在长方体 ABCD-ABCD 中,AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明:DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时,求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时,二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本 来法向量就己经存在了 ,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧 ,但法向量找出来了 , 和 那个己经存在的法向量有很大的差别 ,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里?) 4. 如图,直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中,底面ABCD 是等腰梯形,AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点,F 为AB 的中点,/ DAB = 60° (1)求证:EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-,求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N : 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角,求AD 与BC 所 成角的大小。 (1) (2) (3) A B

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多,给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难,下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法,起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积: cos a b a b θ?= 2.射影公式:向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ,方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直(共面与异面)?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离: 方法:在直线上取一点(),Q x y , 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离: 方法:在平面α上去一点(),Q x y ,得向量PQ , 计算平面α的法向量n , 计算PQ 在α上的射影,即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角(共面与异面) 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤:

空间向量与立体几何教案(强烈推荐)

空间向量与立体几何 一、知识网络: 二.考纲要求: (1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量; ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容,高考对本章的考查形式为:以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处

理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标:1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2.了解空间向量的基本定理; 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点:理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法 三、教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资P128页,教师点评,增强目标和参与意识。 (二)、知识梳理,方法定位。(学生完成复资P128页填空题,教师准对问题讲评)。 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。 2.向量运算和运算率 说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意:当我们说a 、b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当 我们说a 、b 平行时,也具有同样的意义。 共线向量定理:对空间任意两个向量a (a ≠)、b ,a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b =λa (1)对于确定的λ和a ,b =λa 表示空间与a 平行或共线,长度为 |λa |,当λ>0时与a 同向, 当λ<0时与a 反向的所有向量。 (3)若直线l ∥a ,l A ∈,P 为l 上任一点,O 为空间任一点,下面根据上述定理来推导的表达式。

空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用 【重要知识】 一、求平面法向量的方法与步骤: 1、选向量:求平面的法向量时,要选取两个相交的向量,如, 2、设坐标:设平面法向量的坐标为),,(z y x = 3、解方程:联立方程组?????=?=?0 0,并解方程组 4、定结论:求出的法向量中三个坐标不就是具体的数值,而就是比例关系。设定某个坐标为常 数得到其她坐标 二、利用向量求空间角: 1、求异面直线所成的角: 设b a ,为异面直线,点C A ,为a 上任意两点,点D B ,为b 上任意两点,b a ,所成的角为θ, 则=θcos 【注】由于异面直线所成的角θ的范围就是:?≤=<21,n n θ或><-21,n n π, 其中21,cos n n < 三、利用向量求空间距离: 1、求点到平面的距离 设平面α的法向量为,,α?A α∈B ,则点A 到平面α 2、求两条异面直线的距离

设21,l l 就是两条异面直线,n 就是公垂线段AB 的方向向量,D C ,分别为21,l l 上的任意两点,则21l l 与的距离为n n CD AB ?= 【重要题型】 1、(2012广东,理)如图所示,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为矩形,ABCD PA 平面⊥,点E 在线段PC 上,BDE PC 平面⊥ (1)证明:PAC BD 平面⊥ (2)若2,1==AD PA ,求二面角A PC B --的正切值 2、(2013广东,理)如图①,在等腰三角形ABC 中,?=∠90A ,6=BC ,E D ,分别就是AB AC ,上的 点,2==BE CD ,O 为BC 的中点。将ADE ?沿 DE 折起,得到如图②所示的四棱锥BCDE A -',其中 3='O A 。 (1)证明:BCDE O A 平面⊥' (2)求二面角B CD A --'的平面角的余弦值 3、(2009广东,理)如图,已知正方体 1111D C B A ABCD -的棱长为2,点 E 就是正方形11B BCC 的中心,点 G F ,分别就是棱11D C 、1AA 的中 点,设,1E 1G 分别就是点G E ,在平面11D DCC 内的正投影。 (1)求以E 为顶点,以四边形FGAE 在平面11D DCC 内的正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线11FEE FG 平面⊥; (3)求异面直线11G E 与EA 所成角的正弦值。

巧用旋转法解几何题

巧用旋转法解几何题 将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转,由旋转的性质可知旋转前后的 图形全 等,对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相 等的线段特征时,可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点, 旋转另一位置的引辅助线的方法, 主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来,从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三 角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明,供同学们参 考。 例1.如图,在Rt △ ABC 中,/ C=90°, D 是AB 的中点,E , F 分别 AC 和BC 上,且 DEL DF, 求证:EF 2=A ^+B F" 分析:从 所证的结论来看,令人联想到勾股定理,但注意到 EF , AE BF 三条线段不在同一个三角 形中,由于D 是中点,我们可以考虑以 D 为旋转中心,将 BF 旋转到和AE 相邻的位置,构造一个直 角三角形,问题便迎刃而解。 证明:延长 FD 到G 使DG=DF 连接AG EG ?/ AD=DB / ADG=/ BDF ???" ADd " BDF ( SAS ???/ DAG=/ DBF BF=AG ? AG// BC ???/ C=90°A Z EAG=90 ? EG=Ah+AG=AE+BF ?/ DEI DF ? EG=EF 2 2 2 ? EF=AE+BF 例 2,如图 2,在"ABC 中,/ ACB=90 , AC=BC P 是"ABC 内一点,且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC 的度数. 分析:题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角,但已知的三条线段不在同一三角形中, 故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中,由于" ACB 是等腰直角三角形,宜以直角顶点 C 为旋转 中心。 解:作 MC L CP,使 MC=CP 连接 PM , BM F E A

空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结 一.知识要点。 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注:(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等 的向量。 (2)向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律:⑴加法交换律:a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律:)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律:b a b a ? ???λλλ+=+)( 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向 量也叫做共线向量或平行向量,a ρ 平行于b ρ,记作b a ρ?//。 (2)共线向量定理:空间任意两个向量a ρ、b ρ (b ρ≠0ρ), a ρ b ρa ρb ρλ=)1(=++=y x y x 其中 a ± 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。

(2)共面向量定理:如果两个向量,a b r r 不共线,p r 与向量,a b r r 共面的条件 是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 (3)四点共面:若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理:如果三个向量,,a b c r r r 不共面,那么对空间任一向量 p r ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面,我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底,,,a b c r r r 叫 做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论:设,,,O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三 个有序实数,,x y z ,使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6. 空间向量的直角坐标系: (1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组 (,,)x y z ,使++=,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐 标系O xyz -中的坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标。 注:①点A (x,y,z )关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z) (2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位 正交基底,用{,,}i j k r r r 表示。空间中任一向量k z j y i x a ++==(x,y,z ) (3)空间向量的直角坐标运算律: ①若123(,,)a a a a =r ,123(,,)b b b b =r ,则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ,

《向量的加法运算及其几何意义》教学设计

《向量的加法运算及其几何意义》教学设计 教学目标: 1、掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题的能力; 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法; 教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点:理解向量加法的定义. 学 法: 数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?数的加法启发我们,从运算的角度看,位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法,让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具:多媒体或实物投影仪,尺规 授课类型:新授课 教学思路: 一、设置情景: 1、 复习:向量的定义以及有关概念 强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置 2、情景设置: (1)某人从A 到B ,再从B 按原方向到C , 则两次的位移和:AC BC AB =+ (2)若上题改为从A 到B ,再从B 按反方向到C , 则两次的位移和:AC BC AB =+ (3)某车从A 到B ,再从B 改变方向到C , 则两次的位移和:AC BC AB =+ (4)船速为AB ,水速为BC ,则两速度和:AC BC AB =+ A B C C A B A B C A B C

空间向量与立体几何知识点汇总

立体几何空间向量知识点总结 知识网络: 知识点拨: 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则,三角形法则以及相关的运算律仍然成立.空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广,空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广. 2、当a 、b 为非零向量时.0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一,这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题. 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可以求两异面直线所成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别),再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等. 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题. 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即0a b a b ?=?⊥.

(3)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量; ③利用共面向量定理,即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量.(4)线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线方向向量与平面法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 6、运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? , 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???, 故实质上应有:cos cos,a b θ=<> . (2)求线面角 求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ,即可求出直线与平面所成的角θ,其关系是sinθ=| cosφ|.(3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角的定义,在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补.7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离. (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模. (2)点与面的距离 点面距离的求解步骤是: ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离. 备考建议:

《向量的加法运算及其几何意义》教案

2.2.1向量加法运算及其几何意义 知识目标: 1、掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的 和,培养数形结合解决问题的能力; 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向 量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算, 渗透类比的数学方法; 教学重点与难点: 教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点:理解向量加法的定义. 教学过程 一、复习引入 问题1:向量的定义以及相等向量的定义是什么? 1、什么叫向量? 2、长度为零的向量叫做。零向量的方向具有性。 3、长度等于一个单位的向量叫做。 4、方向相同或相反的非零向量叫做,也叫。 5、长度相等且方向相同的向量叫做。 强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量

可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置 问题2:数能进行运算,向量是否也能进行运算呢? 二、探究新知 活动一 元旦假期将到,某人计划外出去三亚旅游,从重 庆(记作A )到昆明(记作B ),再从B 到三亚(记作 C ),这两次的位移和可以用哪个向量表示? 形成概念: 1. 向量加法的定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法。 2. 向量加法的法则 (1) 向量加法的三角形法则 如图3,已知非零向量a 、b ,在平面内任取一点A,作=a ,=b ,则向量叫做a 与b 的和,记作a +b ,即a +b =+=.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则 (2) 向量加法的平行四边形法则 如图4,以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为 邻边作平行四边形,则以O 为起点的对角线就是a 与b 的和.把这种求向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 问题4: 对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢? 对于零向量与任意向量a ,我们规定:a +0=0+a =a . 总结: 三角形法则 : 图 4

巧用旋转法解几何题

巧用旋转法解几何题

∵AD=DB ,∠ADG=∠BDF ∴⊿ADG ≌⊿BDF (SAS ) ∴∠DAG=∠DBF ,BF=AG ∴AG ∥BC ∵∠C=90°∴∠EAG=90° ∴EG 2 =AE 2 +AG 2 =AE 2 +BF 2 ∵DE ⊥DF ∴EG=EF ∴EF 2 =AE 2 +BF 2 例2,如图2,在⊿ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC ,P 是⊿ABC 内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC 的度数. 分析:题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角,但已知的三条线段不在同一三角形中,故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中,由于⊿ACB 是等腰直角三角形,宜以直角顶点C 为旋转中心。 解:作MC ⊥CP ,使MC=CP ,连接PM ,BM ∵∠ACB=90°,∠PCM=90°∴∠1=∠2 ∵AC=BC , ∴⊿CAP ≌⊿CBM (SAS ) ∴MB=AP=3 G F E D C B A

∵PC=MC ,∠PCM=90° ∴∠MPC=45° 由勾 股定理 PM== 2 2MC PC = 2 2PC =22, 在⊿MPB 中,PB 2 +PM 2 =(22)2 +12=9=BM 2 ∴⊿MPB 是直角三角形 ∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135° 例3,如图3,直角三角形ABC 中,AB=AC ,∠BAC=90°,∠EAF=45°,求证:EF 2=BE 2+CF 2 分析:本题求证的结论和例1十分相似,无法直接用勾股定理,可通过旋转变换将BE ,CF 转移到同一个直角三角形中,由于⊿BAC 是等腰直角三角形,不妨以A 为旋转中心,将∠BAE 和∠CAF 合在一起,取零为整。 证明:过A 作AP ⊥AE 交BC 的垂线CP 于P ,连结 PF ∵∠EAP=90°,∠EAF=45° ∴∠PAF=45° ∵∠BAC=90° ∴∠BAE=∠PAC A P M C B A

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