全等三角形总复习(知识点+基础应用+能力提高)

全等三角形

知识点梳理

（一）、基本概念

1、“全等”的理解

全等的图形必须满足：

（1）形状相同的图形；

（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；

（2）全等三角形对应角相等；

（3）全等三角形的对应边上的高、中线对应相等。

（4）全等三角形对应角的角平分线相等；

（5）全等三角形的周长和面积相等；

3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA）

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL）

4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

（二）灵活运用定理

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找: ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)

（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找: ①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

?→???

→????

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→???

?→???→????

SAS SSS

HL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边 注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA ）和角角角（AAA ）不能作为判定两个三角形全等的方法。

证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：

1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；

2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；

3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证 明的问题）。 常见考法：

（1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等；

（2）利用判定公理来证明两个三角形全等；

（3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。 老师误区提醒：

（1）忽略题目中的隐含条件； （2）不能正确使用判定公理。

全等三角形常见题型分类练习

全等三角形性质的应用

类型一.全等三角形的基本性质应用

1．下列命题正确的是( )

A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相同的两个三角形

C．两个周长相等的三角形是全等三角形 D．全等三角形的对应边相等、对应角相等

2.如图1，ΔABD≌ΔCDB，且AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是：( )

A.ΔABD和ΔCDB的面积相等

B.ΔABD和ΔCDB的周长相等

C.∠A+∠ABD =∠C+∠CBD

D.AD//BC，且AD = BC

3.（2009海南）如图所示，已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）

A.72°

B.60°

C.58°

D.50°

第2题第3题

4.（2009陕西）如图，ACB A C B

'''

△≌△，BCB

∠'=30°，则ACA'

∠的度数为（）A．20° B．30°C．35° D．40°

5．如图，△ABC≌△AEF，AB和AE，AC和AF是对应边，那么∠BAE等于 ( )

A．∠ACB B．∠BAF C．∠F D．∠CAF．

6．已知△ABC≌△EFG，有∠B=70°，∠E=60°，则∠C=（）

A． 60° B． 70° C． 50° D． 65°

7．（2009清远）如图，若

111

ABC A B C

△≌△，且11040

A B

∠=∠=

°，°，则

1

C

∠= ．8．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠E＝______．

第4题第5题第7题

9．（2009邵阳）如图，将Rt△ABC(其中∠B＝34，∠C＝90）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1 C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）

A.56

B.68

C.124

D.180

00

0000

A

B C C

A

B

C

B

B'

A'

C

A

第9题 第12题

10．一个三角形的三边为2、5、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x +y =__________． 11．已知△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为32 cm ，DE =9 cm ，EF =12 cm 则AB =________，BC =______，AC =_______． 12．如图，在正方形网格上有一个△ABC ．⑴在网格中作一个与它全等的三角形；⑵如每一个小正方形的边长为1，则△ABC 的面积是 ．

全等三角形的证明

【基础应用】

1．（2009年江苏省）如图，给出下列四组条件：

①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ）

A ．1组

B ．2组

C ．3组

D ．4组

2.如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( )

A.∠B=∠E,BC=EF

B.BC=EF ，AC=DF

C.∠A=∠D ，∠B=∠E

D.∠A=∠D ，BC=EF

3.（2009广西）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ，AC 、BD 交于点O ，则图中全等三角形共有（ ）

A ．2对

B ．3对

C ．4对

D ．5对

第1、2题 第3题

4.如图：AB=DC ，BE=CF ，AF=DE 。求证：△ABE ≌△DCF 。

A

D

O

F

（图19）

E

D

C

B A

5．如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。求证：MB=MC

6.如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB 。求证：AB=DC 。

7. 已知BE=ED ，∠1=∠2,求证：△ABE ≌△CDE

8.如图；AB=AC ，BF=CF 。求证：∠B=∠C 。

9.如图：在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AD=BD ，CD=DE ，E 是AD 上一点，连结BE 并延长交AC 于点F 。 求证：（1）BE=AC ，（2）BF ⊥AC 。

C

A

A

B

C

D

12F

（图17）

E

D

C

B

A

F

E

D

C B

A

D

A 【能力提高】

类型一、平行线性质的应用

1.如图：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。 求证：△ABC ≌△EDF 。

2.如图（8）A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC=DB ，BE ∥CF ，AE ∥DF 。求证：△ABE ≌△DCF 。

3.(2009武汉)如图，已知点E 、C 在线段BF 上，BE=CF ，AB ∥DE ，∠ACB=∠F ．求证：．

4.如图，AC 和BD 相交于点O ，OA=OC,OB=OD.求证DC ∥AB.

5.如图，点B,E,C,F 在一条直线上，FB=CE,AB ∥ED,AC ∥FD.求证AB=DE,AC=DF.

ABC DEF △≌△F

E （图2）D

C

B

A

A

B

C F

E

D

6.（2009黄石）如图，C 、F 在BE 上，∠A=∠D ，AC ∥DF,BF=EC ．求证：AB=DE ．

7.如图（16）AD ∥BC ，AD=BC ，AE=CF 。求证：（1）DE=DF ，（2）AB ∥CD 。

类型三、角平分线性质应用

1．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ， 若AC = 10cm ，则BD+DE=（ ）

A ．10cm

B ．8cm

C ．6cm

D ．9cm

2．尺规作图作∠AOB 的平分线方法：以为O 圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ,由作法得的根据是( ）

A ．SAS

B ．ASA

C ．AAS

D ．SSS

3.如图, ∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D 到AB 的距离为( )

A. 5cm

B. 3cm

C. 2cm

D. 不能确定

第1题 第2题 第3题 4．如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB 垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）

A ．PA=PB

B ．PO 平分∠APB

C ．OA=OB

D ．AB 垂直平分OP

5．如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°．AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足．则结论：①AD=BF ；②CF=CD ；③AC+CD=AB ；④BE=CF ；⑤BF=2BE ，其中正确结论的个数是( )

A ．1 B.2 C ．3 D ．4

12

CD OCP ODP △≌△E

D

C

B

A

B

C

F

（图16）

E D

C

B

A

6.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB 于E,且AB=5cm,则△DEB 的周长为 __

第4题 第5题 第6题

7.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE

⊥AB 于E ，DF ⊥

AC 于F 。

求证：DE =DF ．

8.如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．

求证：∠OAB =∠OBA

9.已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

10.如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B

O

B

A

P

A

B C

D E C

A

A

D

B

类型四、垂直平分线性质应用

1．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知∠BAE=10°，

则∠C 的度数为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD 的取值范围是 。

第1题 第2题

3.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD

4.如图：A 、E 、F 、B 四点在一条直线上，AC ⊥CE ，BD ⊥DF ，AE=BF ，AC=BD 。求证：△ACF ≌△BDE

类型五、添加辅助线 （一） 连接四边形的对角线

1. 如图，AB//CD ，AD//BC ，求证：AB=CD 。

（二）作垂线，利用角平分线的知识

1. 如图，AP,CP 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，它们交于点P 。求证：BP 为∠MBN 的平分线。

30

40

50

60A

D

D O

E

C

B

A

2.如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ，求证： ∠A ＋∠C ＝180°

3.如图，ABC 中，AB=2AC ，AD 平分∠BAC ，且AD=BD ，求证：CD⊥AC

（三） “截长补短”构造全等三角形

1.如图，AD∥BC， AE, BE 分别平分∠DAB,∠CBA，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC

2.如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB －AC ＞PB －PC

3.已知△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

B

C

D

B

C

B

C