2014年北约自主招生数学试题及解析(完美word版)

2014年北约自主招生数学试题

1.圆心角为60的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.

2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.

3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.

4.设2()2()

()33

a b f a f b f ++=

,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .

5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1

xy xy

+的最值.

6.已知22()arctan 14x f x c x

+=+-在11

(,)44-上是奇函数,求c .

7.证明tan 3是无理数.

8.已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足3()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根,如果已知()0f x =有两个不同的实根,求证()0g x =没有实根.

9.1213,,

,a a a 是等差数列,{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:716

0,,23

是否可以同时在

M 中,并证明你的结论.

10.已知12,,,n x x x R +∈,且121n x x x =,求证:12)(2)1)n n x x x +≥.

2014年北约自主招生试题参考答案

1.【解】设扇形的半径为r ,则由2

1623

r ππ=?,得6r =. 于是扇形的弧长为623

l π

π=

?=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1, 所以底面面积为21ππ?=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.

2.【解】由题知所有分组方法有334

10742

2

2100C C C N A ==种. 3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ?=--≥,解得1a ≥或0a ≤.

4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)

(2)(

)333

f f f f +?+===; 124(1)2(4)

(3)()5

33

f f f f +?+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.

5.【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-?+=?+=,

所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=?≤

=,即1

(0,]4

xy ∈, 令1(0,]4

t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1

(0,]4上递减,

于是1xy xy +有最小值117

444

+=,无最大值.

6.【解】奇函数(0)0f =,故arctan 2c =-.

7.【证明】由三角公式22tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβ

ααβααβ

+=+=--?,

若tan 3是有理数,则tan6,tan12,tan 24为有理数,再由tan 6和tan 24可得tan 30为有

理数,这与3

tan 30=

为无理数矛盾!因此,tan 3是无理数. 8.【证】由题可设2211223()()(),()()()f x g x a x b f x g x a x b +=--=-,其中120,0a a ≠≠,

则22221222112211

()[()()],()[()3()]44

f x a x b a x b

g x a x b a x b =-+-=---,

由()0f x =有两个不同的实根,则必有12,a a 异号,且120a a +≠,

此时22212112211221

()[()2()]4

f x a a x a b a b x a b a b =+-+++,

即2222112212112212124()4()()4()0a b a b a a a b a b a a b b ?=+-++=-->,所以12b b ≠,

故此时观察2211221

()[()3()]4

g x a x b a x b =---可知,

12,3a a -同号,且1230a a -≠,12b b ≠,故()0g x >恒成立,即证明()0g x =没有实根.

9.【解】不可以同时在M 中,下面给予证明.假设716

0,,23

同时在M 中,

设*(113,)k a a kd k k N =+≤≤∈,其中d 为公差,则

*{3()|113}{3|636,}M a i j k d i j k a md m m N =+++≤<<≤=+≤≤∈

于是存在正整数6,,36x y z ≤≤,使得30,73,21633a xd a yd a zd ?

?+=??+=??

?+=??

从而7(),2

16()3y x d z x d ?

-=????-=??

也所以21

32

y x z x -=-,由于21,32互质,且,y x z x --为整数,则有||21,||32y x z x -≥-≥,

但||36630z x -≤-=,矛盾!假设错误,即证明716

0,,

3

不可以同时在M

中.

10.【证】(

一法:数学归纳法)①当1n =时,111x ≥

=右边,不等式成立;

②假设*(1,)n k k k N

=≥∈时,不等式12)(2)1)k k x x x +≥成立.

那么当1n k =+时,则1211k k x x x x +=,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k k

x x x x x

x +++--≤?+≥+

,所以 1212)

(

2(2)

k k x x x x +

+

12

1

1

2)[2

2()]

k

k k k x x x x x x ++=+++ 1

12

1

2)(2(2(1)1)(21)

k k k k x x x

x ++≥

+≥= 其中推导上式时利用了1211()1k k k x x x x x -+=

及n k =

时的假设, 故1n

k =+时不等式也成立.

综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立.

(二法)左边展开得12)(2)n x x x +

12

121

212

1

11(

)(2)(

)k k n

n n n n k i i j i i i n i i j n

i i i n

x x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++

++∑∑

∑

由平均值不等式得

11

1212

12121

1

1211(

)

(()

)

k k

k

n

n n

k k k k C C C

k k k i i i n i i

i n n n i i i n

i i i n

x x x C x x x C x x x C

--≤<<

<≤≤<<

<≤≥==∑

∏

故122)(2)n x x x ++

112

2

)

)2)(2)(21

)n n n n k

k

n

n n n n

n

C C C C ---≥+

++

+=+

,即证. (三法)由平均值不等式有

1

1

1

()n n

n

k k n

==≥……①;111()n n

n k k

n ==

≥……② ①+

②得2

1

)

()

n

n n

k k x n n x =≥,即12)(2)1)n n x x x +≥成立.