2016年四川决赛(B卷)参考答案及评分细则

2016年全国初中数学联合竞赛

试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设7分和0分两档；解答题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

一、选择题(本题满分42分，每小题7分)

1、D

2、C

3、B

4、D

5、B

6、D

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

7、1 8、0 9、100 10、1

三、解答题（本题共三小题，第11题20分，第12、13题各25分，共70分）

11、已知二次函数214y ax x b =++与2

24y bx x a =++都有最小值，记1y 、2y 的最小值分别为m 、n ．

（1）若0m n +=，求证：对任意的实数x ，都有120y y +≥；

（2）若,m n 均大于0，且2mn =，记M 为,m n 中的最大者，求M 的最小值． 解：（1）由条件知0,0a b >>，24444ab ab m a a ??==，4ab n b

?=， 由0m n +=知4411(4)()0ab ab ab a b a b

??+=?+=，所以4ab =． （5分） 因为212()8()y y a b x x a b +=++++，其判别式

22164()640a b Δ=?+≤?=，

所以，对任意的实数x ，都有120y y +≥． （10分）

（2）由2mn =知2

(4)2ab ab

?=，即2()10160ab ab ?+=，解得8ab =或2ab =， 注意到,0m n >，则2ab =应舍去，故8ab =． （15分） 此时44,m n a b =

=，于是44,M M a b ≥≥，故244162M a b ab ≥?==．

于是M ≥，当a b ==时，M =．

所以M ． （20分）

12、证明：（1）存在无穷多组正整数(,)m n ，其中m n ≠，使得

22()mn m n m mn n +++是整数； （2）对任意两个互质的正整数m 与n ，22()mn m n m mn n

+++都不是整数． 证明：（1）法一：令n km =，k 为正整数，且2k ≥．

则2222(1)m mn n k k m ++=++， 3()(1)mn m n k k m +=+， （5分） 取21m k k =++，则32n k k k =++， 此时222()(1)(1)(1)

mn m n k k m k k m mn n k k ++==+++++为整数． 所以，存在无穷多组正整数(,)m n ，使得

22

()mn m n m mn n +++是整数． （10分） 法二：注意到若存在一组正整数(,)m n 使得22()mn m n m mn n

+++为整数． 则对任意的正整数k ，正整数组(,)km kn 也使得22()mn m n m mn n +++为整数． （5分） 因此，只须找出一组正整数(,)m n ，m n ≠，符合条件即可．

取7,14m n ==时可使

22

()mn m n m mn n +++为整数． （10分） 法三：取7,14(m k n k k ==为正整数），可验证知22()mn m n m mn n

+++为整数． （10分） （2）（反证法）假设存在两个互质的正整数m 与n ，使得22()mn m n m mn n +++是整数． 即有22

|()m mn n mn m n +++，

从而2222|()()m mn n mn m n n m mn n +++?++，即223|m mn n n ++（15分） 同理 223|m mn n m ++，于是2233|(,)m mn n n m ++， （20分） 于是由(,)1m n =知33(,)1m n =，故22|1m mn n ++．

于是221m mn n ++=，这与m 、n 为正整数矛盾！

所以假设不成立，从而原结论成立． （25分）

13、如图，已知ABC Δ中AB AC =，

点D 是边AC 上一动点，过D 作//DE AB 交BC 于点E ，点F 为BD 的中点．点1O 、点2O 分别为CDE Δ、BDE Δ的外接圆圆心．

求证：（1）190AFO ∠= ；（2）12

FA FO FD FO =． 证明：(1)延长AF 至G ，使得FG AF =，则四边形ABGD 为平行四边形． 又由//DE AB 知,,D E G 三点共线，于是DG AB AC ==.

由条件知DE DC =，于是11DO E DO C Δ?Δ,

从而111GDO DEO ACO ∠=∠=∠, （5分）

又11DO CO =,故11DO G CO A Δ?Δ(SAS)

于是11O G O A =，而AF FG =，

所以1O F AG ⊥，即190AFO ∠= ． （10分）

（2）法一：因为⊙O 1过D ，E ，⊙O 2过D ，E ，

所以DE ⊥O 1O 2，又DE ∥AB ，所以AB ⊥O 1O 2． （15分）

注意到AF ⊥O 1F ，FB ⊥FO 2．即△ABF 与△O 1O 2F 的对应边分别垂直， 因此△ABF ∽△O 1O 2F ． （20分）

所以AF BF =12O F O F

． 又BF =FD ，所以12

FA FO FD FO =． （25分） 法二：由11DO G CO A Δ?Δ知11DO G CO A ∠=∠，

又由11DO C DO E ∠=∠知11DO A GO E ∠=∠, （15分）

注意到111CDO O DE DEO ∠=∠=∠,于是11DAO DGO ∠=，从而1,,,A G O D 四点共圆． 于是1190FAO GDO ACB ∠==?∠ ,从而1AO F ACB ∠=∠.

又22112(180)22

DO F DO B DEB DEC ACB ∠=∠=??∠=∠=∠ , 故12AO F DO F ∠=∠． （20分）

又2190O FD O FA ∠==∠ ,故 21O FD O FA ΔΔ～，于是12

FA FO FD FO =． （25分）