第十一讲 无穷级数

65

第十一章 无穷级数

一、学习目的与要求

1、 加深理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，知道无穷级数的基本性质。

2、 熟悉几何级数和p 级数的收敛性。

3、 掌握正项级数的比较审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法。

4、 掌握交错级数的莱布尼兹定理；了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，及绝 对收敛与收敛的关系。

5、 知道函数正项级数的收敛域及和函数的概念。

6、 熟练掌握较简单幂级数的收敛域的求法。

7、 知道幂级数在其收敛区间的一些基本性质。

8、 知道幂级数和函数的概念，并会求一些常见级数的和函数。 9、 知道函数展开为泰勒级数的充要条件。

10、掌握)1ln(,cos ,sin ,x x x e x +和()n

x +1的麦克劳林展开式，并能利用这些展开式将一

些简单函数展为幂级数。

11、 知道函数展开为傅立叶级数的充要条件，并能将定义在[]l l ,-和[]ππ,-上的函数展

开为傅立叶级数。能将定义在[]l ,0上的函数展开为正弦或余弦级数。

二、学习重点

1、正项级数的比较审敛法和比值审敛法。

2、交错级数的莱布尼兹定理。

3、函数展开成幂级数和傅立叶级数。

三、内容提要

1、级数的概念:设有无穷数列{}n α，则称

∑∞

1

n ＝n

a

为无穷级数，简称级数。称∑=

n

k

n a

S 1

k ＝ 为

部分和。若S S n n =∞

→lim 存在且有限，则称级数收敛，并称S 为级数的和，若n n S ∞

→lim 不存

在或为∞±，则称级数发散。 2、收敛级数的性质 （1）若级数

∑∞

1

n ＝n

a

，

∑∞

1

n ＝n

b

收敛，则对任意常数βα,，

()∑∑∑∞

=∞

∞=+=+1

1

n 1

n n n n n n

b a b a

βαβα＝ 。

（2）改变级数有限多项的值，不影响它的收敛性。 （3）收敛级数可任意添加括号，且和不变。

（4）收敛级数的通项()∞→→n a n 0。数项级数区分为正项级数()0a n ≥，交错级数

()()

0,11

>-=-n n n n

b b a

及任意项级数，这三类级数的收敛性判别亦不同。

66

3、正项级数的判别法

除开因0lim ≠∞

→n n a 而判断级数发散外，常用以下方法判断级数的收敛性。

比较判别法：若n 充分大时有n n b a ≤≤0，则当

∑∞

=1

n n

b

收敛时，∑∞

=?

1

n n

a

也收敛；当

∑∞

1

n ＝n

a

发散时，∑∞

=?

1

n n

b

也发散。

比较判别法的极限形式：若,lim ,0,0l b a b a n

n

n n n =>>∞→则当∞<

1n ＝n b 有相同的敛散性；当l ＝0时，由

∑∞

1

n ＝n

b

收敛，∑∞

=?

1

n n

a

也收敛；当l =+∞时，

由

∑∞

1

n ＝n

b

发散，∑∞

=?

1

n n

a

也发散。

比值判别法：若l a a n

n n =+∞→1

lim

，则当1l 时级数发散,1=l 时级数可能

收敛，也可能发散。

根值判别法：若ρ=∞

→n n n a lim ，则当1<ρ时级数收敛，1>ρ时级数发散，1=ρ时级数

可能收敛也可能发散。

积分判别法：设()x f 在)[+∞

,1上是非负且单调减，()x f a n =，n=1,2,…,则级数∑∞

1

n ＝n a 收

敛的充要条件是

()dx x f ?∞

1收敛。

常用于比较判别法及其极限形式的正项级数是： 几何级数（等比级数）：

∑∞

1

n ＝n

aq

，当1

P-级数：

∑∞

1

n 1

＝p n ，当1>p 级数收敛；当1≤p 时级数发散。 例如：

∑∞

1n ln 1

＝n

n p

，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。

67

4、交错级数的莱布尼兹判别法:若01>≥+n n a a ，n=1,2,…，0lim =∞

→n n a ，则交错级数

()

∑∞

--1

n 1

1＝n n a 收敛，且和1a S ≤，余项()

11

1

1+∞

+=-≤-=

∑n n k k k n a a r 。

5、任意项级数的收敛:任意项级数（含交错级数）的收敛性分为绝对收敛和条件收敛，若级

数

∑∞

1

n ＝n

a

收敛，称级数

∑∞

1

n ＝n

a

绝对收敛；若

∑∞

1

n ＝n

a

发散，而

∑∞

1

n ＝n

a

收敛，称

∑∞

1

n ＝n

a

条件

收敛。（注意：绝对收敛的级数必收敛。）

6、函数项级数收敛:()x u n （n=1,2,…）都是定义在X 上的函数，则称

()∑∞

=1

n n x u 为函数项级数。

若给定X x ∈0，数项级数

()∑∞

=1

n n

x u 收敛，称0

x

为函数项级数的收敛点。所有收敛

点的集合E 称为收敛域。对E x ∈，级数的和记为()x S ，称函数()x S ，E x ∈为级数的和函数。

7、幂级数的概念:形如

()

n

n n

x x a ∑∞

=-1

的级数称为()0x x -的幂级数，其中(),...2,1=n a n 为常

数，称为幂级数的系数。幂级数的收敛域是以0x 为中心，以R 为半径的区间，收敛半径R 由公式1

lim

+∞→=n n n a a R 或n

n n a R 1

lim ∞→=给出，当R ＝0时幂级数仅在0x x =点

收敛；当∞<

8、幂级数的性质 （1）幂级数在收敛区间()R x R x +-00,内绝对收敛，在

()()+∞+?-∞-,,00R x R x 内发散，在端点R x ±0处可能收敛，也可能发散。

（2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域上连续。

（3）幂级数在其收敛区间内可逐项微分或逐项积分，而且所得的新的幂级数收敛半径不

变。因而，在该区间内可逐项微分及逐项积分无穷多次。

68

（4）若

()n

n n

x x a ∑∞

=-0

与()

n

n n

x x b ∑∞

=-00

的收敛半径分别为21,R R ，令{}21,m i n R R R =，

则当R x x <-0时，

()()()()n

n n n n

n n n

n n x x b a x x b x x a 00

00

0-±=-±-∑∑∑∞

=∞

=∞

=

()()()n

n n

n

n n

n

n n

x x C x x b x x a 0

-=-?-∑∑∑∞

=∞

=∞

=其中，0110b a b a b a C

n n n n

+++=-

（5）若()x f 在0x 点可以展成幂级数，则必为在0x 点处的泰勒级数，即若

()∑∞

=-=0

0)(n n

n x x a x f ，R x x <-0，则()()

!0n x f a n n =

，在00=x 点处的泰勒级数又称麦克劳林级数。它表示为

()()∑

∞

=0!

0n n

n x n f 。 9、五个重要的幂级数展开式:（1）∑∞

==

0!

n n

x

n x e ()+∞<<∞-x （2）∑∞

=----=

01

21

)!

12()

1(sin n n n n x x ()+∞<<∞-x

（3）∑∞

=-=0

2)!2()1(cos n n

n

n x x ()+∞<<∞-x

（4） -+-=-=+∑∞

=32)1()1ln(3

21

x x x n x x n n n

()11≤<-x

（5）n n x n n x ∑

∞

=+--=+0

!

)

1()1()1(αααα

()11<<-x

特别地

∑∞=-=+0)1(11n n

n x x ()11<<-x ∑∞

==-0

11n n x x ()11<<-x

10、函数展成幂级数

直接法 先求出()()!0n x f a n n =，得到幂级数()∑∞

=-0

0n n

x x ，并求此级数的收敛域，

69

再证此收敛域内泰勒公式中余项收敛于零，从而得到幂级数展开式。

间接法 利用五个重要函数幂级数展开式，通过适当变量代换、四则运算、复合运算

以及微分、积分等方法将一个函数展成幂级数，并指出其收敛域。

11、和函数的求法

（1） 根据和函数定义，先求级数部分和，再取极限得到。 （2） 通过和差运算将级数化为易求和的若干级数的和与差。

（3） 通过逐项积分或逐项微分将幂级数化为常见函数的幂级数并求和，然后再对它作

相反的分析运算（反演）得到原幂级数的和函数。

12、傅立叶级数：设()x f 是以l 为周期的周期函数，在[]l l ,-上可积，则()x f 的傅立叶系数

为： ()?-=l l n dx l x n x f l a πcos 1， n=0,1,2,… ()?-=l l n dx l

x

n x f l b πsin 1， n=1,2,…

由以上n a ，n b 为系数的三角级数∑∞=???

??++10sin cos 2n n n x l n b x l n a a ππ

称为()x f 的傅立叶级数，记做 ()∑∞=??

?

??++10sin

cos 2~n n n x l

n b x l n a a x f π

π 当x 是以π2为周期的奇函数时，0=n a ，n=0,1,2,…， ?=

l n xdx l

n x f l b 0sin )(2π

， n=1,2,… 此时()∑∞

=0

sin

~

n n

l

x

n b

x f π ，称之为正弦级数。 当x 是以π2为周期的偶函数时，0=n b ，n=1,2,…， ()?=

l n xdx l

n x f l a 0cos 2π

， n=0,1,2,…

此时 ()∑∞=+00cos

2~n n l

x

n a a x f π ，称之为余弦级数。 13、傅立叶级数定理：若()x f 在[]l l ,-上满足狄利克雷条件：① ()x f 只有有限个极值点，

② ()x f 除去有限多个第一类间断点外都是连续的，则()x f 的傅立叶级数在[]l l ,-上

收敛，且有

70

()()()()()()()????

?????±=-++--++=??? ??

++∑∞

=l x l f l f x f x x f x f x f x x f x l n b x l n a a n n n ，的间断点为，的连续点为，2002

00sin cos 210ππ

四、思考题

1、已知数列{}n u ，级数

∑∞

=1

n n

u

，及其部分和∑==

n

k k

n u

S 1，请思考下列问题：

（1）{}n u 与

∑∞

=1n n

u

是否同收敛，同发散？（2）

∑∞

=1

n n

u

与{}n S 是否同收敛，同发散？

（3）级数

∑∞

=1

n n

u

的部分和n S 2，与级数

∑∞

=1

2n n

u

的部分和n σ是否相同？

2、判断下列结论是否正确，并说明原因或举出反例： （1）若

∑∞

=1n n

u

发散，则0lim ≠∞

→n n u ；

（2）若

∑∞

=1

n n

u

与

∑∞

=1

n n

v

都发散，则

()∑∞

=±1

n n n

v u

必发散；若∑∞=1

n n u 收敛，∑∞

=1

n n v 发散，则

()∑∞

=±1

n n n

v u

发散。

（3）添括号后的级数发散，则原级数发散。

（4）指出下列做法是否正确，为什么？ 因为 ()

∑∞

=--=

+1

1

1)1ln(n n

n n x x ，上式中，取x =2，得()n

n

n n 213ln 1

1

-∞

=∑-=. （5）幂级数在其收敛区间内逐项微分（积分）后所得级数与原级数得收敛区间有何异同？ （6）若()()x x ?φ=-，问()x φ与()x ?的傅立叶级数间有何关系？ （7）若()()x x ?φ-=-，问()x φ与()x ?的傅立叶级数间有何关系？

（8）若()x f 在[]ππ,-上有连续的一阶导数，且()()ππf f =-，试问()x f 与()x f '的傅立

叶系数有何关系？

71

五、典型例题分析

例1 判别级数的收敛性：

（1）∑∞

=1sin n n n π

； （2） ∑∞

=+1)

11(1n n n

； （3）∑∞

=+11ln n n n

.

分析 要判断级数

∑∞

=1

n n

u

的收敛性，首先看n n u 0

lim →是否为零，若不为零，则级数

∑∞

=1

n n

u

发

解 （1）ππππ?==n

n n

n u n sin

sin 由于 0sin

lim lim ≠==∞→∞→πππ

πn n u n n

n )1sin lim (0=→x x x

所以，级数

∑∞

=1

sin

n n

n π

是发散的。

（2）n

n n

u )11(1+=

由重要极限e n

n

n =+∞→)11(lim ，知0lim ≠=∞→e u n n ，

所以，级数

∑∞

=+1

)11(1

n n

n

发散。 （3）1

ln

+=n n u n 显然0lim 0

=→n n u ，此时不能做出收敛的结论。

由定义，级数的部分和1ln 43ln 32ln 21ln

+++++=n n S n ,1

1ln )13221ln

+=+?=n n n （ 当∞→n 时，011→+n ，11ln lim +∞→n n 不存在，所以级数∑∞

=+1

1ln n n n

是发散的。

例2 判别级数的收敛性：

（1）∑∞

=?+1222

2n n n n n ； （2）∑∞

=??

? ??-121

1n n

n . 分析 熟悉无穷级数的基本性质以及p 级数、等比级数的收敛性，对判别本题级数的收敛性

72

是至关重要的。

解：（1）22212122n n n u n n n n +=?+= 因为∑∞=121n n 收敛（等比级数，公比q ＝21<1），∑∞

=121

n n

收

敛（p 级数，p=2>1），所以级数∑∞

=?+1222

2n n n

n n 收敛。

（2）n n n u 211-=因为∑∞=11n n 发散（p 级数，p=1，为调和级数），∑∞

=-1

21

n n 收敛（收敛级

数∑∞

=121n n 各项乘以-1），所以级数∑∞=??

?

??-1211n n

n 发散。 例3 判别级数的收敛性：

（1）()∑∞

=-+1!121n n n n ；（2）∑∞=---1)1(2n n n

；（3）∑∞

=+112tan n n n π ；（4）∑∞=1

!tan n n n n n e n .

分析 对于正项级数收敛性的判别，一般先用比值法或根值法去判断，若判断不出来，可再

考虑用比较判别法。若级数明显地用比较判别法即可得出结论时，自然不必用比值法或根值法。 解 （1）级数为正项级数，且一般项的分母含有因子)!1(-n ，宜用比值法。

()1!

12!22lim lim 11+-??

?+=+∞→+∞→n n n n u u n n n n

n n ,10)1(22lim <=++=∞→n n n n 所以级数收敛。

（2）级数为正项级数，且含有以n 为指数的因子，易用根值法。 ,12

1

2

lim 2

lim lim )1(1)

1(<=

==--

-∞

→---∞

→∞

→n

n n

n n n n n n n

u 所以级数收敛。 （3）解法1 用比值法

??

? ????+=?+=++∞→++∞→+∞→2212122tan 2tan

1lim 2tan 2tan

1

lim

lim n n n n n n n

n n n n n n u u ππ

ππ

,12

12tan

2)

2tan 1(2tan

1

lim 2

22

2

<=-?

+=+++∞→n n n n n

n π

π

π

所以级数收敛。

73

解法2 用比较法的极限形式,12

tan 2tan

lim 1

1=?++∞→n n n n n ππ

原级数与级数∑∞=+1

12n n n π同时收敛

或发散，对级数

∑∞

=+1

1

2

n n n

π

用比值法

121

121lim 2/2)1(lim

12<=+?=+∞→++∞→n

n n n n n n n ππ

故级数

∑∞

=+1

1

2

n n n

π

收敛，从而原级数收敛。

（4） 用比值法 111lim !)1()!1(lim lim 111=??

? ??+=?++=∞→++∞→+∞→n n n n n n n n

n n n e

n e n n n e u u ， 比值法失效，注意到对正整数n ，有e n n <+

)11(，即 e n n n <+)1(， e <12，e <2)23(，e <3

)3

4(，…，e n n <+)1(， 将上述各不等式两边分别相乘，得

n n

e n n <+!)1(，得!)1(n e n n n <+， n n n n n n e n n !)1(<+,即1)1(!>+>n n n

n e n n n .所以， 0!

lim ≠∞→n n n n n e

故原级数是发散的。

例4 判别级数的收敛性 （1）

∑∞

=--1

2

)1(21)

1(n n

n n ； （2） 61514131211-++-+；（3）∑∞

=--1

212)1(n n n n . 分析 对于任意项级数，可研究它的绝对值级数。如果绝对值级数收敛，则原级数也收敛；

如果绝对值级数发散，原级数的收敛性不能确定。而对于绝对值级数，因为是正项级数，因此可以用正项级数得收敛性判别法进行判别。值得注意的是，用比值法或根值

法判得绝对值级数为发散时，则原级数必发散，这是因为此时∑∞

=1

n n

u

的通项n u 不趋于

零的缘故。

解 （1）级数为任意项级数。n n u 21=，∑∑∞

=∞==112

1

n n n n u

74

为公比是21

的等比级数，故∑∞

=1

n n u 收敛，从而原级数收敛，且绝对收敛

（2）考察加括号的级数 +-++-++-+

)9

1

8171()615141()31211( +--+-+)31

131231(

n

n n （*） 它可写为 +?-+-+?++?+

)3)13(1231()65141()3211(n

n n 由于n n n n n 312313)13(1231>->?-+-，而级数∑∞

=131

n n

发散，故级数（*）发散，

于是原级数发散。

（3）由 122/)1(2lim lim

2211>=+=+∞→+∞

→n n u u n

n n n

n n 知绝对值级数∑∞

=122n n n

发散，所以原级数发散（n u 不趋于零）。

例5 判别级数绝对收敛还是条件收敛

（1） ∑∞

=-1ln )1(n n

n n ； （2）∑∞

=--1

2

1

)1(n n n . 分析 对于交错级数，可用莱布尼兹定理去判别其收敛性。如果满足定理条件，则级数收敛。

解 （1） 0ln lim =∞→n n n ，对于x x ln ，因0ln 1ln 2'

<-=??

? ??x x

x x (0>x )故x x ln 单调减少有1)1ln(ln ++≥n n n n ，由莱布尼兹判别法知级数收敛。但因∑∑∞

=∞==-2

2ln ln )1(n n n n n n n 发散，故级数条件收敛 （2）因

∑∑

∞

=∞

=+=-12

1

211

)1(n n n n

n 收敛，故级数绝对收敛。 例6 设),2,1(0 =≥n u n ，证明：如果级数∑∞

=1

n n u 收敛，则级数

∑∞

=1

2

n n u 与级数∑

∞

=1

n n n

u 都

收敛。 证 先证

∑∞

=1

2n n

u

收敛；因已知级数∑∞

=1

n n u 收敛，故n 充分大时，1

，由比

75

较判别法知级数

∑∞

=1

2

n n u 收敛。

再证

∑

∞

=1

n n n u 收敛；因 0)1(

2≥-n u n , n n u n u n

212≥+ 故

)1(212n n

u n n u +≤.由于∑∞=121

n n 和∑∞=1n n u 均收敛，所以级数∑∞=1n n n

u 收敛。 例7 应用级数理论证明极限： （1） 0)

13(852!

lim

=-??∞→n n n ；（2）0!lim =∞→n n n n .

分析 如果级数∑∞

=1

n n u 收敛，则0lim =∞

→n n u ，这个结果称为级数收敛的必要条件。把数列的通

项看成某级数的通项，而对此级数的收敛性的判别又较容易，则由级数收敛的必要条

件，立即得出数列的极限。 解 （1）考虑级数∑∞

=1n n u ，)

13(852!

-??=

n n u n

由于131

!)13(852)23)(13(852)!1(lim lim

1<=-???+-??+=∞→+∞→n n n n n u u n n

n n ,

所以级数∑∞

=1

n n u 收敛，由级数收敛的必要条件知0)

13(852!

lim

lim =-??=∞→∞

→n n u n n n .

（2）考虑级数∑

∞

=1!n n

n

n 由于 22321!n n n n n n n n ≤?????= , 而级数∑

∞

=122n n 收敛，所以级数∑∞=1!n n n

n 收敛，由级数收敛的必要条件即知 0!lim =∞→n

n n n 例8 求函数项级数的收敛域：

（1） ∑∞

=1n n x

n

， （2）

∑∞

=1

2sin 2n n n n x . 分析 求函数项级数)(1

x u n n ∑∞

=的收敛域的基本方法是比值法，下面我们用比值法来解本题。

解 （1）n n x n

x u =

)(，x x

n x n x u x u n n n n n n 1/1lim )()(lim 11=+=+∞→+∞→

76

令

11

，得1>x .当x =1时，1;)(-==x n x u n 时，n x u n n )1()(-=，级数均发散。所以，

∑∞

=1

n n

x

n

的收敛域是1>x 。

（2）2sin 2)(n x

x u n

n

n =，x n x n x n n n n n sin 2sin 2/)

1(sin 2lim 2211=+++∞→ 令1sin 2

x ，得 6

6π

πππ+<<-k x k （ ,2,1,0±±=k ）当6π

π±=k x 时，1sin 2=x ，级数∑∞

=121n n

和∑∞

=-12

1)1(n n n 均收敛。所以，级数∑∞

=1

2

sin 2n n

n n x 的收敛域是66ππππ+≤≤-k x k （ ,2,1,0±±=k ）

例9 求幂级数的收敛半径和收敛区间：

（1）

n n n n x n ∑∞=-+1

)1(3； （2）∑∞

=+1n n

n n b a x （0,0>>b a ） ； （3）

n n n

x 21

)1(4

1

-∑∞

= .

解 （1）n a n

n n )1(3-+=，n n

n n n n n n n n a a )

1(31)1(3lim lim 111-+?+-+=++∞→+∞→ 33)

3

1(1)31

(11lim 1

1=?-+-+?+=+∞→n n n n n 收敛半径3

1

=R 。

当31=x 时，级数为∑∑∞=∞=??????-+=-+11)31(11)31()1(3n n n n n n n n

n ，因为∑∞=11n n 发散，

n n n )31(11-∑∞

=收敛，所以级数n n n n n )31()1(31

∑∞=-+发散。

当31-=x 时，级数为∑∑∞=∞=?????

?+-=--+11)31(1)1()31()1(3n n n n n n n n n n ，因为∑∞=-1)1(n n n

77

及n n n )31(11?∑∞

=都收敛，所以级数n n n n n )31()1(31

--+∑∞=收敛。

综上所述，知所给级数的收敛区间为??

?

???-

31,31。 （2）n n n b a a +=1； 11

1lim lim ++∞→+∞→++=n n n

n n n

n n b a b a a a ?

????

??????

>=++≥=++=+∞→-∞

→a b 11)(11)(lim 0a 1)(1)(11lim 1

1

，，b

b a b b a b a a

b a b a a n n n n n n

收敛半径为{}b a ,max R ＝。

当x=R 时，若b a ≥，级数为∑∞

=+1n n n n b a a ，由于01lim ≠=+∞→n n n n b a a ，所以∑∞

=+1n n n

n b

a a 发散；若a<

b ，级数为∑∞

=+1n n n n b a b ，由于01lim ≠=+∞→n n n n b a b ，所以级数∑∞

=+1n n n

n b

a b 发散。同样地讨论知x=－R 时，所给级数发散，故所给级数的收敛区间为（－R ，R ），

{}b a ,m a x

R ＝。

（3）此级数为（x －1）的幂级数，因缺少奇次幂项，不能直接应用关于幂级数求收敛半径的

方法，而要用比值法来求收敛区间，n n n n n

n n x n

x u u 2)

1(21

1)1(41

/)1(4

1lim

lim

--=++∞

→+∞

→ ()22141141-=-=

x x 。当()114

12

<-x ，即-2

=1

1n ，是发散级数。当x ＝3时，级数为∑∞

=1

1n ，是发散级数。 综上所述，知级数的收敛区间为（－1，3）。

例10 下列幂级数的和函数

78

（1） ∑

∞

=0

2

!

n n

n x [)∞,0 ;（2） n n n

n

x ∑∞

=-0

2

1)

1(

2

n

n n

n x

n 211

31)

1(∑∞

=-?- 3≤x . 解 （1）n n n

n n n

t n x n n x ∑∑∑∞

=∞=∞

===0002!

1)(!1!x

t e

e == , [)∞,0

同理，（2）2

22

11)2()1(21)1(0

0+=

+

=

-=-∑∑∞=∞=x x

x x n n n n n n n , 2

n x n x n )3()1(31)1(21

11

21

∑∑∞=-∞

=--=?- )31ln(2x += , 3≤x 例11 求∑

∞

=+11

n n x n n

在其收敛域1

分析 对此级数直接采用变量代换与逐项微分或积分均不可行，这时就应考虑将级数的通项

进行适当变形，或拆项化简或升高（降低）通项中x 的幂次，然后再进行分析运算。

解 变形 n n n n

n n n n x n x x n n x n n ∑∑∑∑∞=∞

=∞=∞

=+-=+-+=+11

11111111,

∑∞=+=11n n x

x

x )1(

=∞=++=+111

1111

1n n n n x n x x n (0≠x )

令 11111)(+∞

=∑+=n n x n x s ,则x x

x x s n n -=='∑∞=1)(1

1

从而 ?---=-=

x

x x dx x x

x s 01)1ln(1)( .

所以

)]1ln([11111

x x x x x x n n n -+--=+∑∞

= , )1,0(<≠x x . 当x ＝0时，s(0)=0 .

例12 求级数

∑∞

=1

22n n

nx 的和函数，并求数项级数∑

∞

=19

n n

n

的和。 分析 首先应讨论此级数的收敛域，在收敛域内仍须变形后再利用逐项积分及逐项微分法，

79

此题还可用代数运算法。

解法1 级数

∑∞

=1

22n n

nx 的收敛域为（－1，1）

。 ∑∑∞

=-∞

==1

121

222n n n n

nx x nx

,

令 ∑∞

=-=

1

1

22)(n n nx

x s

逐项积分

?

∑∑?∞

=∞

=--=

==x n n n

x

n x x x

dx nx

dx x s 0

1

1

2

2

20

1

212)( 两边求导，得 2

2221)

1(2)'1()(x x

x x x s -=-= , 所以

2

22

11

2)1(2)(2x x x xs nx

n n

-=

=∑∞

= , （－1，1）。 从而 649)9

11(91221)

31(2219

2

121=-?

=

=∑∑∞=∞

=n n

n n n n . 通过如下代数运算，使其求和过程非常简便。

解法2 令 +++++=n

nx

x x x x s 26

4

2

2642)( ,

------=-+)

1(28

6

4

2

2642)(n nx x x x x s x ,

2

2

26

4

2

2

12)(2)()1(x

x x

x x x x s x n

-=+++++=- , 所以 2

22

)

1(2)(x x x s -= , （－1，1）。 例13 求级数

∑∞

=-1

21

2n n

n 的和。 分析 题为求数项级数的和，通常可作一个以此数项级数的各项为系数的幂级数。至于，所

作幂级数的形式如何选，取决于系数的具体形式，其原则是幂级数的和函数易求。如

本题，为了通过分析运算消去2n －1，可作幂级数

2

21

212-∞

=∑-n n n

x n 。

80

解 作幂级数

2

21

212-∞

=∑-n n n

x n ，并设和函数为S(x)。 则 ?∑?∑∞

=∞

=--=-=x

n x

n n n n n

x dx x n dx x s 01011

2222

1212)(2

121

)2(122

12x

x x x x n n -

?==∑∞= )0(≠x 两边求导，得 2

22

2)

2(2)'2()(x x x x x S -+=-= )2(

==-=

1

321

2)1(n n

n S 例14 将下列函数展开成幂级数。（1）将函数()2

x e x f =展开成x 的幂级数；（2）将函数

()x x f arctan =展开成x 的幂级数；（3）将函数()x x f ln =展开成（x －1）的幂级数。

解 （1）如同不定积分中的换元法，将2

x 视为u ，由x

e 的展开式可知

n n n n x x n x n e

2020!1

)(!12

∑∑∞

=∞

=== ,)(+∞<<-∞x 对于很多其他函数，同样可以如下处理，这种方法就是变量代换法。

如 n n n n

n x

x n x n e

∑∑∞

=∞===002!2)2(!1 ,)(+∞<<-∞x n n n n

n a

x x x n a a x n e

a ∑∑∞=∞

====0

0ln !)(ln )ln (!1 ,)1,0(≠>a a )(+∞<<-∞x

∑∞

=++-=01

222

)()!12()1(sin n n n x n x ∑∞

=++-=024)!

12()1(n n n x

n )(+∞<<-∞x （2）对于x arctan 无法直接利用变量代换法展开，但 2

11

)(arctan x x +=

' 而

2

11

x

+的展开式容易利用x -11的展式得到，再利用逐项积分法变可得到

81

x arctan 的展开式。 ∑∞

==-011

n n x x (11<<-x )；

∑∞

=-=-0

22

)1(11n n

n x x (11<<-x ) 所以， ??+='=x

x

x dx dx x x 0021)(arctan arctan ?∑∞=-=x n n n dx x 0

2])1([ ∑=++-=x

n n n x

n 01

21

2)1( , (11≤≤-x ) 小结 利用逐项微分（积分）的方法可以解决很多函数的展开问题，例如记住

x

-11

的幂级数展开式，便可通过逐项微分得到

2

)

1(1

x +的幂级数展式，或逐项积分得到)1ln(x +的幂级数展式，等等。至于积分时下限为何取00=x ？是否可取其他数？其实0x 可 取幂级数收敛域内任何一点，只是由于00=x 时，使得计算简便。

（3）要将x ln 在10=x 处展开，须对x ln 进行代数变形，从而利用)1ln(x +在00=x 处

所展成的幂级数，此为代数运算。

∑∞

=---=-+=0

1

)1()1()]1(1ln[ln n n n x n x x )201

11(≤<≤-<-x x ，即. 又如 n x n )1(!1

e e

e e

e 0

n 1

-x 1)

-(x 1x -=?==∑∞

=+ )0x (0+∞<<∞-=x 处展开，

在 )]4

cos()4[sin(22)]4(4sin[

sin π

πππ

-+-=-+=x x x x ])4()!

2()1()4()!12()1([2202012∑∑∞=∞=+--+---=n n n n n n x n x n π

π

n

n n n x n n ∑∞

=-+--+=

2

]

)1([)4

(!1)1(22π )4x (0+∞<<∞-=x 处展开，

在π

82

例15 将函数()2

22

)2(2x x x f -+=展成x 的幂级数。

分析 函数形式较为复杂，不妨从几个方面分析：（1）将()x f 化为部分分式，那么应该有四

项，显然比较繁琐；（2）将()x f 求导，其形式更为复杂，不可取；（3）对()x f 进行积分，此法可行。 解

()∑∑?

?∞=∞

=++==-

=-=-+=00

1

21

2220

2220

21)2(2]2

11[22)2(2n n n n n x

x x x x x x x x dx x x dx x f , 所以 ())2

1()2(201

21

222'=-+=∑∞=++n n n x x x x f ∑∞

=++=021212n n n x n , 2

-=

x x

dx x f 0

2

1，()00=f ，而被积函数

2

11x

-可以由

x

+11的麦克劳林展

开式得到，然后逐项积分，得到()x f 的展开式。

解 在

n

n n

x n n x

!

)!2(!)!12()1(1111

--+=+∑∞

= ，(]1,1-中以2x -代x ，得

∑

∞

=-+=-1

22

!)!2(!)!12(111n n

x n n x ，(]1,1-

因此 dx x n n x x n n

?

∑

∞

=-+=

1

2]!)!2(!)!12(1[arcsin

++-++?++=+12531

21

!)!2(!)!12(54321321n x n n n x x x 1

当x ＝1时， ++-++??++

1

21

!)!2(!)!12(51432131211n n n 收敛。 同理，当x ＝－1时， -+---??-?-

-1

21

!)!2(!)!12(51432131211n n n 也收敛。

83

所以 ∑∞

=++-+

=112121

!)!

2(!)!12(arcsin n n x n n n x x 1≤x 说明 要证明1±=x 时级数收敛，只要用归纳法证明

1

21!

)!2(!

)!12(+<

-n n n 即可。

例17 将函数()?

?

?≤<≤≤-=ππx x x x f 0,sin 0,0

()()x f x f =+π2

展开成傅立叶级数。

解 ()n x d x x n x d x x f a n c o s s i n 1

c o s 1

?

?=

=

-

ππ

π

ππ

???

??

--=--+时，，＝当时，，＝当 42n ,)1(253n ,0)1()1(12

2

π

πn n n

式中1≠n ，故1a 要单独求出。

π

ππ2

sin 1

0=

=

?

xdx a ；0cos sin 1

1==

?

xdx x a ππ

nxdx x b n sin sin 1

?-=π

ππdx x n x n ])1cos()1cos([210

+--=?π

π0

=),3,2( =n ， 2

1

sin 1sin sin 10201===??dx x xdx x b ππππ 。

所以，()∑∞=--+=122cos 1

41

2sin 211

n hx k x x f ππ （+∞<<∞-x ）

因()x f 是连续函数，故上式对任意x 都成立。

例18 将()??

?≤<-≤<=3

2,321,1

x x x x f 展成以2为周期的傅立叶级数，并写出]3,1[上的

函数表达式。

解 将()x f 以2为周期进行延拓，1= 。

(),2

3)3(3

2

21

31

0=

-+==??

?dx x dx dx x f a ()dx x n x dx x n xdx n x f a n ???-+==32

2

1

31

cos )3(cos cos πππ

84

3

2223221)sin (cos 1sin 3sin 1x n x n x n n x n n x n n ππππππππ+-+=

.),3,2,1(,])1(1[1

22 =--=n n n π

()dx x n x dx x n xdx n x f b n ???-+==3

2

2

1

3

1

sin )3(sin sin πππ

3

2223221)cos (sin 1cos 3cos 1x n x n x n n x n n x n n ππππππππ----

= .),3,2,1(,)1(1 =-=n n n π ()∑∞

=-+--+122]sin )1(cos )1(1[43~n n

n

x n n x n n x f ππππ??

???=<<-≤<=.

3,1,2132,32

1,1x x x x

例19 设有方程01=-+nx x n

，其中n 为正整数，证明此方程存在唯一正实根n x ，并

证明当1>α时，级数

∑∞

=1

n n x α收敛.

证 记1)(-+=nx x x f n n .当0>x 时，0)(1>+='-n nx x f n n ，故)(x f n 在),0[+∞上单

调增加.

而 0)1(,01)0(>=<-=n f f n n ，由连续函数的介值定理知01=-+nx x n

存在

唯一正实根n x .

由01=-+nx x n

与0>n x 知

n

n x x n

n n 1

10<-=<

故当1>α时，αα

)1(0n x n <<，而正项级数α

∑∞

=1)1

(n n

收敛，所以当1>α时，级数

∑∞

=1

n n x α收敛.