2016届高三数学一轮总复习：专题3-函数及其性质(含解析)

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专题三、函数及其性质 抓住4个高考重点

重点 1 函数概念与表示法

1.函数与映射，构成函数的三要素

2.函数的表示方法：解析法、列表法、图象法

3.函数的定义域、值域 [高考常考角度]

角度1 （1

）已知1)f x =+则()f x =21,(1)x x -≥

（2）若22

11()5f x x x

x +=

+-，则()f x =2

7,||2x x -≥ （3）已知()f x 满足12()()31(0)f x f x x x +=-≠，则()f x =___11

23

x x --_____________

（4）已知()f x 为二次函数，若(0)0,f =且(1)()1,f x f x x +=++则()f x =__211

22

x x +_____

角度2若12

1

()log (21)

f x x =+，则()f x 的定义域为( C )

A.1

(,0)2- B.1(,)2-+∞ C.1(,0)(0,)2-+∞ D.1(,2)2

- 解析：121

log (21)0,210,211(,0)(0,)

2x x x x +≠∴+>+≠∴∈-+∞

角度3

函数y =的值域是（ C ）

A. [0,)+∞

B.[0,4]

C. [0,4)

D. (0,4)

解：[)40,0164160,4x

x

>∴≤-<

已知函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则

m

M

的值为（ C ） A.

14 B. 12

C.

重点 2 函数的单调性与奇偶性

1.函数的单调性

2.函数的奇偶性

3.单调性与奇偶性的关系 [高考常考角度]

角度1设函数()()f x x R ∈满足()(),f x f x -=(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图象可能是（ B ）

解析：根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图象具有这些性质．

由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；

由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合， 选项B 的图象的最小正周期是2，符合，故选B ．

角度2设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ D ）

A ．|()|()f x g x -是奇函数

B ．()f x |()|g x -是奇函数

C ．|()f x | +()g x 是偶函数

D ．()f x +|()g x |是偶函数

解析:因为()g x 是R 上的奇函数,所以|()g x |是R 上的偶函数,从而()f x |()|g x +|是偶函数,故选D 角度3设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则5()2

f -=（ A ）

A. 12-

B. 14

- C. 14 D. 12

解析：先利用周期性，再利用奇偶性得：5111

()()().2222

f f f -=-=-=-

角度4函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意x R ∈，()2f x '>，则42)(+>x x f 的解集为（ B ）

A ． (1,1)-

B ．(1,)-+∞

C ．(,1)-∞-

D ． (,)-∞+∞

解析：设()()24g x f x x =--，则()()20g x f x ''=->，所以函数()g x 在R 上单调递增.

又(1)(1)240g f -=-+-=，所以原不等式可化为()(1)1g x g x >-=>>-，即42)(+>x x f 的解集为(1,)-+∞

重点 3 二次函数

1.二次函数的性质

2.二次方程的根的分布 [高考常考角度]

角度1设0abc >，二次函数2

()f x ax bx c =++的图象可能( D )

A. B. C. D.

解析：当0a >时，b 、c 同号，(0)f c =，C 、D 两图中0c <，故0,02b

b a

<-

>，选项D 符合. 点评：根据二次函数图像开口向上或向下，分0a >或0a <两种情况分类考虑.另外还要注意c 值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.

角度2设*

n N ∈，一元二次方程2

40x x n -+=有整数．．根的充要条件是n = 3或4 ． 点评：直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．

解析：x =

2=因为x 是整数，即24n …，

又因为*

n N ∈，取1,2,3,4n =，验证可知3,4n =符合题意； 反之3,4n =时，可推出一元二次方程2

40x x n -+=有整数．．根． 重点 4 函数的零点

1.零点的概念：使得()0f a =的实数a 叫做函数()y f x =的零点

2.解函数零点存在性问题的常用的方法

（1）函数零点判定：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ?<，那么函数在区间(,)a b 内有零点，即存在0(,)x a b ∈使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根. （2）解方程()0f x =，求出的x 即为函数()y f x =的零点

（3）画出函数()y f x =图象，它与x 轴的交点即为函数()y f x =的零点 3. 函数()y f x =的零点个数的确定方法：通过方程根的个数或者图象分析 [高考常考角度]

角度1函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（ B ）

A.(2,1)--

B.(1,0)-

C.(0,1)

D.(1,2)

解析：本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。 由1

(1)30,(0)102

f f -=

-<=>及零点定理知()f x 的零点在区间(1,0)-上。 点评：函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。 角度2已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是____(,2ln 22]-∞-_______。 解析：由题得()2x f x e '=-，解()20x f x e '=->得ln 2x >；解20x

e -<得ln 2x <， 故()(ln 2)22ln 202ln 22

f x f a a ==-+≤?≤-极大值，故a 的取值范围是(,2ln 22]-∞-。

突破4个高考难点

难点1 闭区间上的二次函数的最值 主要方法：数形结合、分类讨论

典例1 设函数2

2,[2,]y x x x a =-∈-，若函数的最小值为()g a ，则()g a =_22,21

1,

1a a a a ?--<

解析：22

2(1)1y x x x =-=--， 作图分析可知

当21a -<<时，2

min ()()2f x f a a a ==-; 当1a ≥时，min

()(1)1f x f ==-综上，22,21

()1,

1a a a g a a ?--<<=?

-≥?

典例2 已知函数2

1sin sin 42a y x a x =-+-

+的最大值为2，则a =_2-_或10

3

_____ 解：令sin ,[1,1]t x t =∈-，则2

2211()(2)4224a a s t at t a a =-+-+=--+-+，对称轴为2

a t =，作出图象分析得：

当12a <-，即2a <-时，函数s 在[1,1]-单调递减，max max 1

(1)12242

a y s s a a ==-=---+==>=-（舍去） 当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2

max max 1(2)224y s a a a ==-+==>=-或3a =（舍去）

当12a >，即2a >时，函数s 在[1,1]-单调递增，max max 110(1)12423

a y s s a a ===-+-+==>= 综上，2a =-或10

3

a =

难点2 分段函数问题的求解

典例1 已知函数221,1

(),1

x x f x x ax x ?+

A.

12 B. 4

5

C. 2

D. 9 解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a =2

典例2定义在R 上的函数()f x 满足()f x =???>---≤-0

),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则(2009)f 的值为( C )

A. 1-

B. 0

C. 1

D. 2

解析：由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =, (1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,

(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=, (5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,

所以函数()f x 的值以6为周期重复性出现，所以(2009)(5)1f f ==,故选C. 难点3 函数图象的识别与应用

典例1 若函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠在(,)-∞+∞上既是奇函数，又是增函数，则)(log )(k x x g a +=的图象是（ C ）

A. B. C. D.

解析：()()0f x f x -+=，即：0x x x x ka a ka a ---+-=，∴(1)()0x x

k a a --+= ∵0x x a a -+≠，∴ 1k =，

∴()x x

f x a a -=-， ()lo

g (1)a g x x =+

∵()x x

f x a a -=-在(,)-∞+∞上为增函数，故1a >，

∴()log (1)a g x x =+在(1,)-+∞上为增函数，故选C ． 典例2 函数22x y x =-的图象大致是

( A )

A. B. C. D.

解析：因为当x=2或4时，2

20x

x -=，所以排除B 、C ；当2x =-时，2

2x

x -=1

4<04

-，故排除D ，所以选A 。 难点4 抽象函数问题

典例1已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足1

(2)()

f x f x +=-

，当23x ≤≤时，()f x x =，则(1

0.5)f =__2.5_

解析：11

(4)()1(2)()

f x f x f x f x +=-

=-=+-

，所以函数()f x 周期为4，又()f x 是偶函数

(105.5)(427 2.5)( 2.5)(2.5) 2.5f f f f ∴=?-=-==

典例2 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(,),(1)2,f x y f x f y xy x y R f +=++∈=则(3)f -=___6_____ 解：令0(0)0x y f ===>=，令1(2)(1)(1)26x y f f f ===>=++= 令2,1(3)(2)(1)412x y f f f ===>=++=

令3,3(0)(3)(3)180(3)6x y f f f f ==-=>=+--==>-=

典例3 ()f x 是定义在(0,)+∞上的单调增函数，满足()()(),(3)1,f xy f x f y f =+=当()(8)2f x f x +-≤时，x 的取值范围是（ B ）

A. (8,)+∞

B.(8,9]

C. [8,9]

D. (0,8)

解析：211(3)(3)(9)f f f =+=+= ，由()(8)2[(8)](9)f x f x f x x f +-≤=>-≤

又()f x 在(0,)+∞上单调递增00

80

889(8)919x x x x x x x x >>????

=>->=>>=><≤????-≤-≤≤??

，故选B

规避3个易失分点

易失分点1 忽略函数定义域

典例

函数y =的单调增区间是____[5,2]--___________

解析：由22

54045051x x x x x --≥=>+-≤=>-≤≤，函数的定义域为[5,1]-

又22()54(2)9g x x x x =--=-++在(,2]-∞-上为增函数，y =()g x 的增减性相同

故 函数y 的单调增区间是[5,2]-- 易失分点2 函数零点定理使用不当 典例 设函数1

()ln (0)3

f x x x x =

->，则()y f x =（ D ） A ．在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点 B ．在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点

C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点

D ．在区间1

(,1)e

内无零点，在区间(1,)e 内有零点

易失分提示：由零点存在定理，可知在区间(1,)e 有零点，但是在区间1

(,1)e

的零点状况，无法由零点存在定理作出判

断。

解析：由已知得113()(0)33x f x x x x

-'=

-=>， 由()03f x x '>=>>，由()003f x x '<=><<，由()03f x x '==>=

故函数在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,)+∞为增函数，在3x =处有极小值1ln 30-< 又 111

(1)0,()10,()10333e f f e f e e

=

>=-<=+>，故选D

易失分点3 函数单调性判断错误 典例 写出下列函数的单调区间：

（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++

解析：（1）2222

21,0(1)2,021,0(1)2,0

x x x x x y x x x x x ??-++≥--+≥?

?==??--+<-++

（2）22

22

23,13(1)4,13

23,13(1)4,13x x x x x y x x x x x x x ??-++-≤≤--+-≤≤??==??--<->--<->???

?或或，作图可知单调增区间为[1,1]-和(3,)+∞ 单调减区间为(,1)-∞-和[1,3]