导数在经济学中的应用
编号2010212044
学年论文
（2010 级本科）
题目：导数在经济学中的应用
二级学院：数学与统计学院
专业：数学与应用数学
作者姓名：石学存
指导教师：朱福国职称：副教授
完成日期：2012 年11 月18 日
二○一二年十二月
导数在经济学中的应用
石学存 指导老师：朱福国
（河西学院数学与应用数学专业2010级103班2010212044号, 甘肃张掖 734000）
摘 要 导数在经济领域中的应用非常广泛,运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边
际分析、弹性分析、优化分析,对企业定价策略有着非常重要的作用.
关键词 导数;边际;弹性;交叉弹性
中图分类号 O172.1
1 引言
随着市场经济的发展,应用导数定量分析经济领域中的问题,已成为经济学
中的一个重要组成部分.导数是微积分中一个重要概念,它是函数关于自变量的
变化率.在经济学中也存在变化率问题；如价格的变化必然会带动需求量的变化,
为了实现利润最大化,我们需要考虑,企业产品的需求价格边际问题、弹性、交叉
弹性问题,从微观和宏观把握经济的变化.
2 导数的经济学解释
)('x f 刻画了函数)(x f y =在0x 的变化率,当自变量0x 处有一个单位的变化,则
函数)(x f y =在)(0x f 处有)('0x f 个单位的变化.
假设市场上某种商品的需求函数)(x f f =其中x 为商品的价格,f 为市场上
该商品的需求量.)('0x f 表示当价格在0x 处有一个单位的变化,则该商品的需求
量将会有)('0x f 个单位的变化.同样对于供给函数、总成本函数、总收入函数、
总利润函数都可以对导数意义理解.
3 边际分析
在经济学中,所谓“边际”指当x 的改变量0→?x 时,y 的相应改变量y ?与
x ?比值x
y ??的变化.即当x 在某一给定值附近有微小的变化时y 的瞬时变化. 3.1边际成本]1[
边际成本在经济学中被定义为产量增加一个单位时所增加的成本.设某产品
的成本函数为)(q C C =,q 为产量.即边际成本为)()()1(q C q C q C ?=-+,当q
?变化很小时,dq q =?,)(')
()()(q C q d q dC q C ==(微积分定义).)('q C 为边际成本函数. 可见,边际成本约等于成本函数的变化率,在实际生产中：在每一产量水平上的边
际成本就是相应的总成本曲线在该点处切线的斜率,即总成本函数在该产量处的
导数值.因此,在经济决策分析中边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是
否合算.
例1某种产品的总成本C(万元)与产量q(万件)之间的函数关系式为
3201.02.04100)(q q q q C C +-+==.求当生产水平q=10(万件)时的边际成本,并从
降低成本角度看,继续提高产量是否合适？
解 10=q 时的总成本为
130)10(01.0)10(2.0104100)10(32=+-?+==C C ,
边际成本 203.04.04)('q q q C +-=
即
)/(31003.0104.04)10('2件元=?+?-=C .
因此在生产水品为10万件时,每增加一个产品总成本增加3元.这远低于当前
的单位成本,从降低成本的角度看,应该继续提高产量.
3.2 边际收入
边际收入指稍微增加一个单位的销量时所增加的销售收入.即假设某产品的
收入函数为)(q R R =,q 为产品的销售量,有边际收入
)(')()()1(q R q dR q R q R R =≈-+=?
因此,边际收入约等于收入函数的变化率.在实际中：每一销售水平上的边际收入
值就是相应的总收入曲线在该点处切线的斜率,即总收入曲线关于该销售量的导
数值.
3.3 边际利润
边际利润即边际收入与边际成本的差
设某产品德销售量为q 时的利润函数为)(q L L =,当)(q L 可导时,称)('q L 销
售量为q 时的边际利润,它近似等于销售量为q 时再多销售一个产品所增加的利
润.
由于利润为收入与成本的差,即利润函数为收入函数与成本函数之差,即
)()()(q C q R q L -=由导数的运算法知)(')(')('q C q R q L -=,即边际利润为边际收
入与边际成本之差.
例2 某餐店每月对某种菜的需求是由2000
6000)(q q P -=确定的,其中q 是需求量(盘),p 是价格(元),生产q 盘菜的成本为)5000(,56.0500)(≤≤+=q q q C ,试问当
产量是多少时,餐店才获得的利润最大？最大利润是多少？
解 总收入 2000
600020006000)()(2
q q q q q qP x R -=-?== 因 q q C 56.0500)(+ 56.0)('=q C
2000
26000)('q q R -=, 根据利润最大原则 )(')('q R q C =
即
244056.02000
26000=?=-q q , 所以q=2440(盘).
由于q=2440是函数)(q L 唯一的极值点,所以是函数的最大点,即当产量为
2440时有最大利润. 由利润
)56.0500(2000
6000)()()(2
q q q q C q R q L +--=-=, 最大利润
8.2476)244056.0500(2000
244024406000)2440()(2
max =?---?=q L , 所以当产量为2440时,餐店获得最大利润,最大利润为2476.8.
例3 某公司总利润)(万元L 与日产量)(吨q 之间的函数关系式即利润函数为
150005.02)(2--==q q q L L （元/件）,试求每天生产150吨、200吨、350吨时
的边际利润,并说明其经济意义.
解 有利润函数 150005.02)(2--==q q q L L 得边际利润
q q L 01.02)('-=;
5.015001.02)150('=?-=L ;
020001.02)200('=?-=L ;
5.135001.02)350('-=?-=L .
从上面可以看出,当日产量在150吨时,每天增加1吨产量可增加总利润0.5
万元;当日产量在200吨时,再增加产量,总利润已经不会增加;而当日产量在350
时,每天产量再增加反而使总利润减少1.5万元,由此可见,该公司应该把日产量
定在200吨,此时总利润最大：
)(50150200005.02002)200(2万元=-?-?=L .
4 弹性问题
弹性概念是经济学中的一个重要概念,用来定量地描述一个经济变量对另一
个经济变量变化的敏感程度,其定义为:00/lim lim '/x x y y x y x y x x y x y
?→?→??==??为)(x f 在点x 处的点弹性,也是弹性系数.
设函数)(x f y =在点x 处可导,函数的相对改变量y y ?与x
x ?自变量的相对改变量之比,当0→?x 时的极限称为函数)(x f y =在点x 处的相对变化率,称弹性
函数,记为)(')(x f fx
x x E =. 4.1需求价格弹性[2]
经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性,记为
)(')
(p Q p Q p E d = 由于需求函数是价格的递减函数,所以需求函数d E 一般为负值.
故当1-=d E 时,称为单位弹性,即商品需求量的相对变化与价格的相对变化
基本相等. 当1>d E 时,称为富有弹性.即商品需求量的相对变化大于价格的需求变化,
此时价格的变化对需求量的影响较大.换句话说,适当降价会使需求量大幅度上
升,从而能够增加收入.相反,商品价格上升会导致需求量大大减少,从而导致总
收入减少. 当1 此时价格的相对变化对需求量的影响较小,在适当涨价（降价）不会使需求量有 太大的变化. 例4 某商品的需求函数为2 10p Q -=,Q 为需求量,p 为售价. (1)求)(p E d ;(2)计算)3(d E 并经济角度解释所得结果. 解 (1) 由 2 10p Q -= 得 2 1)('-=p Q , 因为)(') ()(p Q p Q p p E d = ,所以需求价格弹性为 20)21(2 10)(-=-?-=p p p p p E d . (2) 17 32033)3(-=-=d E . 其含义为当商品的售价为3元时,若单价每增加1元,则需求量将减少约18%,反之,若单价每降低1元,则销售量将提高18%. 4.2 收入价格弹性 把收入价格相对价格的相对变化率成为收入价格弹性. 设收入函数为)()(p pf xp p r ==,因此收入函数关于价格的变化 ))(1)(())(') (1)(()(')()('p E p f p f p f p p f p pf p f p r d +=+=+=, 收入价格的弹性为 )(1) ())(1)(()(')()(p E p pf p E p pf p r p r p p E d d r +=+==. 此时可发现,0)('>p r ,则价格的变动与收入的变化是同方向的;反之0)(' 例5 某生产公司经营某种电器的需求弹性在5.25.1-之间,如果公司决定将价格下降10%,问此种电器的销售量将会怎样变化？总收入怎样变化？ 解 由于需求弹性)(') (p Q p Q p E d =,Q 为商品需求量,p 为价格 p p p E Q Q d ??=?)(, )(1)(p E p p p E r r d r +=??=?, 当5.1-=d E 时,15.0)1.0()5.1(=-?-=?Q Q 05.0)1.0()5.01(=-?-=?r r 当5.2-=d E 时,25.0)1.0()5.2(=-?-=?Q Q 15.0)1.0()5.21(=-?-=?r r 由此可见,当价格下降10%时,该电器的销售量将会增加15%-25%,总收入将会增加5%-15%. 例6 已知某生产商生产某种家电的总成本函数为73108102.2)(+= q p C ,通过市场调查,可以预计这种家电的年需求量为p q 5010 1.35-=.其中p 价格(单位/元),q 是需求量,试求使利润最大的销量和销售价格. 解 有需求量 q p p q 02.010 2.650101.335-=?-=, 因此,当销售量为q 时总收入函数为 2302.010 2.6)(q q pq q R -== 利润函数为)10 8102.2(02.0102.6)()()(7323+--=-=q q q q C q R q L =72310 802.0104--q q q q L 04.010 4)('3-= 令0)('=p L 得唯一驻点510=q 由实际问题可知510=q 是利润函数为)(q L 的极大值点,也是最大值点,最大利润为 872553510 2.1108)10(02.010104)10(=-?-=L , 当510=q 时,销量为 )(42001002.010 2.653元=?-=p . 家电的年需求量为p q 5010 1.35-=,那么其边际需求为50'-=q ,需求弹性为p p q p q p p E d 50101.350)(')()(5 --==, 使利润最大的家电售价为4200元,需求弹性 1.242005010 1.350)4200(5-=?--=d E . 即当家电售价为4200时,其需求弹性为富有弹性,此时,适当降价不仅能增加销售量、扩大企业的家电市场上的占有成本,增加销售总收入,给企业带来经济效益. 5 偏导数在需求交叉弹性中的问题[3] 经济学中的一个重要概念是偏弹性,在经济活动中商品的需求量Q 受商品的价格1P ,消费者的收入M 以及相关商品的价格2P 等因素的影响. )2,,1(P M P f Q = 则(1)需求的直接价格偏弹性为 11110121 /lim /Qp P p Q Q p Q E p p Q p ?→??==???. (2)需求的交叉价格偏弹性为 22220222 /lim /Qp P p Q Q p Q E p p Q p ?→??==???, (3)需求收入价格偏弹性为 0/lim /QM M MQ Q M Q E M M Q M ?→??==???. 例7 已知某市场牛肉的需求函数为215.11.054850p M p Q ++-=,其中Q 为牛肉的需求量,1p 为牛肉价格2p 为相关商品猪肉的价格.市场调查知消费者年收入平均10000,牛肉价格为10元,猪肉价格为8元,求当猪肉价格增加%10,牛肉价格不变的情况下,牛肉的市场需求量将如何变化？ 解 由已知条件 215.11.054850p M p Q ++-= 得到 25.1100001.01054850p Q +?+?-= 002.022=???=p Q Q p E Qp . 所以当相关商品猪肉的价格增加%10,而牛肉价格不变时,牛肉的市场需求量将增加%02.0. 6结语 对于企业来说,进行边际分析和弹性分析是非常重要的,企业如果离开边际分析盲目生产就会造成资源的巨大浪费.企业如果离开弹性分析就不可能达到利润的最大化的目标,导数作为边际分析和弹性分析的工具可以给决策者提供客观的数据,从而做出合理的决策,有了科学的经营决策依据.导数在经济中的应用,只是数学在经济中一小部分,其应用颇为广泛. 致谢 感谢本文在朱福国老师的精心指导下完成. 参 考 文 献 [1] 田婷.导数在经济学中的简单应用[J].林区教学,2009(4):98-99. [2] 李兰平.导数在企业定价策略方面的应用[J].企业管理,2010(11):72-73. [3] 吴素琴.谈导数及其经济分析中的若干应用[J].科学教育,2011(3):4-6. [4] 王青青.浅谈导数在经济中的应用[J].高校讲坛,2011(9):8. [5] 陈昆.导数在经济中“边际”和“弹性”方面的应用[J].考试周刊,2009(18):38-39. [6] 晋晓飞.导数在经济领域的简单应用[J].时代经贸,2009(5):25-28. [7] 顾静相.经济数学基础[M].北京:北京高等教育出版社,2009. [8] 李春萍.导数与积分在经济分析中的应用[J].商业视角,2010(2)：17-19. 引言 近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 2、经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数 需求函数指在特定的时间内，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸 多自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在 一一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数 一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期内在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。 例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。 解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成 导数与微分在经济中的简单应用 一、边际和弹性 （一）边际与边际分析 边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。 1、总成本、平均成本、边际成本 总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。用c(x)表示，其中x表示产品的产量，c(x)表示当产量为x时的总成本。 不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。 平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x0变化到，则： 称为c(x)在内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在内的平均变化率。 而称为平均成本函数，表示在产量为x时平均每单位产品的成本。 例1，设有某种商品的成本函数为： 其中x表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为： 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加=50吨时，相应地总成本增加量为：这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。 类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即=1时，总成本的变化为： 表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。 产量由400吨减少1吨，即=-1时，总成本的变化为： 表示产量在400吨时，减少1吨产量所减少的成本。 在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位产品时所增加或减少的总成本。即有如下定义： 定义1：设总成本函数c=c(x)，且其它条件不变，产量为x0时，增加（减少）1个单位产量所增加（减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本。即： 其中=1或=-1。 由例1的计算可知，在产量x0=400吨时，增加1吨的产量时，边际成本为13.7495；减少1吨的产量时，边际成本为13.7505。由此可见，按照上述边际成本的定义，在产量x0=400吨时的边际成本不是一个确定的数值。这在理论和应用上都是一个缺点，需要进一步的完善。 注意到总成本函数中自变量x的取值，按经济意义产品的产量通常是取正整数。如汽车的产量单位“辆”，机器的产量单位“台”，服装的产量单件“件”等，都是正整数。因此，产量x是一个离散的变量，若在经济学中，假定产量的单位是无限可分的，就可以把产量x 看作一个连续变量，从而可以引人极限的方法，用导数表示边际成本。 事实上，如果总成本函数c(x)是可导函数，则有： 由极限存在与无穷小量的关系可知： （1） 其中，当很小时有： （2） 产品的增加=1时，相对于产品的总产量而言，已经是很小的变化了，故当=1时（2）成立，其误差也满足实际问题的需要。这表明可以用总成本函数在x0处的导数近似地代替产量为x0时的边际成本。如在例1中，产量x0=400时的边际成本近似地为，即：误差为0.05，这在经济上是一个很小的数，完全可以忽略不计。而且函数在一点的导 导数在微观经济学中边际问题的应用 云南农业大学 关键词：导数；变化率；边际；边际分析。 前言：导数在现代经济领域中的应用非常广泛，特别是在微观经济学中有着很多具体的例子。掌握和应用导数的基本概念和经济中常见函数的概念非常重要。把经济学中很多现象进行分析和归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答对很多经营决策者起了非常重要的作用。 高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分，而导数又是微分学中的基本概念之一，所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要。导数的应用范围非常广泛，比如在物理学中的应用，在工程技术上的应用，在经济学中的应用等等，今天我就导数在经济中边际问题的应用略做讨论。 一、导数的概念 从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——变化率（瞬时变化率）。从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限问题。 二、经济学中常用的函数 导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数。 （一）价格函数 一般说来，价格是销售量的函数。生活中随处可见。例如：当购买的东西越多，消费者的消费额度就可以小些。 （二）成本函数 成本包括固定成本和变动成本两类. 固定成本是指厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等，记为X。变动成本是指原材料的费用、工人的工资等，记为Y。这两类成本的总和称为总成本，记为Z，即 Z=X+Y 假设固定成本不变（X为常数），变动成本Y是产量Q的函数（Y=C(Q)），则成本函数为Z=X+C(Q)。 （三）需求函数 作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等. 为了便于讨论，我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量Q仅受市场价格x的影响。即 第七节 导数在经济学中的应用 本节讨论导数概念在经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 边际函数 ★ 边际成本 ★ 例1 ★ 边际收入与边际利润 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 函数的弹性 ★ 需求弹性 ★ 例5 ★ 用需求弹性分析总收益的变化 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-7 ★ 返回 内容要点： 一、边际分析 在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y 对于另一个经济变量x 的变化. 平均概念表示在x 在某一范围内取值y 的变化. 边际概念表示当x 的改变量x ?趋于0时，y 的相应改变量y ?与x ?的比值的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时，y 的瞬时变化. 边际函数： 根据导数的定义, 导数)(0x f '表示)(x f 在点0x x =处的变化率, 在经济学中, 称其为)(x f 在点0x x =处的边际函数值. 边际成本：成本函数)(x C C =(x 是产量)的导数)(x C '称为边际成本函数. 边际收入与边际利润：在估计产品销售量x 时, 给产品所定的价格)(x P 称为价格函数, 可以期望)(x P 应是x 的递减函数. 于是， 收入函数 )()(x xP x R = 利润函数 )()()(x C x R x L -=()(x C 是成本函数) 收入函数的导数)(x R '称为边际收入函数; 利润函数的导数)(x L '称为边际利润函数. 二、 函数弹性 函数弹性的概念：在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下面定义. 定义1 设函数)(x f y =可导, 函数的相对改变量 龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/d215090479.html, 导数在经济学中的应用 作者：刘君泽 来源：《文理导航》2017年第23期 【摘要】作为高等数学的基础，在经济学中也有广泛重要的作用。本文借用典型例子以导数为基础，初步介绍其在边际分析、弹性分析方面的应用，详细讨论了导数在经济分析问题中的最优化应用。 【关键词】导数；经济学；边际分析 1.导数的概念 导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x 上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a 如果存在，a即为在x 处的导数，记作f′（x ）或df（x ）。 2.导数概念的经济学解释 f′（x ）实际上刻画了函数y=f（x）在x0的变化率，当自变量在x 处有一个单位的变化，则函数y=f（x）在f（x ）处有f′（x ）个单位的变化。 假设市场上某种商品的需求函数为d=d（P），其中P为商品的价格，d为市场上该商品的需求量。d′（P ）表示当价格在P 处有一个单位的变化，则该商品的需求量将会有d′（P ）个单位的变化。同样对于供给函数、总成本函数总收入函数、总利润函数等函数导数意义的理解，都可以仿照，这里就不一一展开说明了。下面以一例具体解释其意义。 3.分析 边际成本的定义是产量增加一个单位时所增加的总成本。现假设产品数量是连续变化的，于是单位产品可以无限细分。如果产量已经是x在此水平上若产量从x增至x+x，那么总成本c（x）相应的增量是△c=c（x+x）-c（x），它与△x的比为 = 。这表示在x和x+x之间总成本的平均变化率。若令，取极限就可以得到边际成 本c′（x）= 。显然，它近似地表示若已经生产了x个单位产品，再增加一个单位产品总 成本的增加量。同样道理我们可以利用导数定义边际收入、边际利润、边际需求等。 4.导数在最值问题上的应用 4.1最小平均成本问题 第四章 导数的应用 习题 4－1 1. 验证下列各函数在所给区间上是否满足罗尔定理，如果满足，试求出定理中的ξ． (1)()f x =3 x x -，[-1，1] (2)()f x =321x - [-1，1] 解 (1) 因为函数3 ()f x x x =-是多项式函数，所以()f x 在[-1，1]上 连续,在(-1,1)内可导, 且 (1)(1)0,f f -==故该函数在[-1，1]上满足罗尔定理条件,则至少存在一点(1,1)ξ∈-,使得 2'()310 f ξξ=-= 即 ξ= (2)不满足. 因为'()f x =,所以()f x 在x =0处不可导,故函数在[-1,1]上不满足罗尔 定理的条件. 2．验证下列各函数在所给区间上是否满足拉格朗日中值定理．如果满足，试求出定理中的ξ． (1) 3 11)(-+=x x f [2，9] （2） 101()[0,3] 113x x f x x x -+≤≤?=? -<≤?，， 解 (1) 因为函数()1f x =+()f x 在[2,9]上连续, 在(2,9)内可导, 满足拉格朗日中值定理的条件, 则至少存在一点(2,9)ξ∈, 使得 (9)(2)'()(92)f f f ξ-=- 即 1ξ= + (负值舍去). (2) 因为()11f x x x =-=在处不可导,故不满足拉格朗日中值定理. 3. 验证柯西中值定理对函数3()2f x x x =++及2 ()1g x x =+在区间[0，1]上的正确性， 并求出相应的ξ值． 解 因为3()2f x x x =++及 2 ()1g x x =+是多项式函数，所以()f x 与 ()g x 在区间[0，1]上连续,在(0,1)内可导,且在(0,1)内,02)('≠=x x g 故满足柯西中值定理条件, 1 引言 对经济学家来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，而将数学作为分析工具，不仅可以给企业经营者提供客观、精确的数据，而且在分析的演绎和归纳过程中，可以给企业经营者提供新的思路和视角，也是数学应用性的具体体现[1]。因此，在当今国内外，越来越多地应用数学知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。 导数的概念是从良多现实的科学问题抽象而发生的,在经济剖析、经济抉择妄想、经济打点中,有着普遍的应用意义[2]。其作为数学剖析课程中最主要的根基概念之一,反映了一个变量对另一个变量的转变率。在经济学中，也存在转变率问题，如：边际问题和弹性问题。运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。导数在经济领域中的应用非常之泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重要概念，是经济分析的重要工具。把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用数学知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用。 数学在现代经济学中的作用越来越重要，导数作为高等数学中的一个重要概念，是经济学应用的一个重要工具[3]。导数在经济学中有许多应用，其中边际分析、弹性分析是导数在经济学中的两个重要应用。如今许多企业在判断一项经济活动对企业的利弊时，仅仅依据它的全部成本。而我认为还应当依据它所引起的边际收益与边际成本的比较。在讨论经济问题时绝对数分析问题常常被作为首要因素考虑。我认为应当进一步研究相对变化率。 总而言之，当代研究文学中分别研究了弹性和边际函数对经济的影响，缺乏从总体上深入研究经济过程中每个环节中导数的应用情况。在商品经济活动中进行编辑分析和弹性分析是非常重要的，导数作为边际分析与弹性分析的工具，可以为企业决策者做出合理的决策。 在此我想用导数作为分析工具，对每个经济环节进行定量分析。通过研究成本所引起的边际收益与边际成本的的比较，分析绝对数相对变化率的经济问题，特别具体分析因缺乏弹性的商品和富有弹性的商品的价格变动所产生的影响。同时将弹性分析与边际分析有机结合，衡量出如何确定最优的价格，获得最大的利润。从而帮助企业做出更精明的决策，为其提供精确的数值和创新思路。 导数的概念：设函数y=f （x ）在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在点0x 处取得增量x ?（点0x +x ?仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量y ?=f （0x +x ?）-f （0x ）；如果y ?与x ?之比当x ?→0时的极限存在，则称函数y=f （x ）在点0x 处可 导数在经济分析中的应用 一、 边际分析与弹性分析 1、边际分析 例1 某小型机械厂主要生产某种机器配件，其最大生产能力为每日100件，假设日产品的成本C （元）是日产量x （件）的函数 21()602050.4 C x x x =++ 求：（1）日产量为75件时的成本和平均成本； （2）当日产量由75件提高到90件时，成本的平均增量； （3）当日产量为75件时的平均成本。 例 2 设某糕点厂生产某种糕点的成本函数和收入函数分别是2()10020.02C x x x =++和2()70.01.R x x x =+ 求边际利润函数和当日产量分别为200公斤、250公斤和300公斤时的边际利润，并说明其经济意义。 2、弹性 例3 某日用消费品的需求量Q （件）与单价p （元）的函数关系为 31()()()2 p Q p a a =是常数， 求：（1）需求的价格弹性函数； （2）当单价为4元，5元时的需求弹性。 二、函数最值在经济中的应用 1、平均成本最小 例4 某工厂生产产量为x （件）时，生产成本函数（元）为 2()9000400.001,C x x x =++ 问该厂生产多少件产品时，平均成本达到最小？并求出最小平均成本和边际成本. 2、最大利润 例5 某商家销售某种商品的价格满足关系70.2(/)p x =-万元吨，且x 为销售量（单位：吨），该商品的成本函数为()31C x x =+（万元）。 （1） 若每销售1吨商品政府要征税t （万元），求该商家获得最大利润时的销售量； （2） t 为何值时，政府税收总额最大。 3、最佳批量和批数 例6 某厂年需某种零件8000个，需分期分批外购，然后均匀投入使用（此时平均库存量为批量的一半）。若每次订货的手续费为40元，每个零件的库存费为4元。试求最经济的订货批量和进货批数。 4、最佳时间决策 导数在经济生活中的应用 经济学算不上是一门古老的学问。人类经过漫长的自然经济时代，逐渐出现了专业化生产和分工，出现了交换和货币。在这个时候，社会的经济现象才被人注意，并开始成为研究的对象。如果将英国十六世纪关于东印度公司与重金主义之间的争论作为研究经济现象的开始，则经济学的历史到今还不到四百年；亚当·斯密出版他的不朽巨著《国富论》，从而为经济学的系统研究奠定基础，至今也刚满二百年。我们知道牛顿和莱布尼茨于一六七○年前后几乎同时发明了微积分，开创了一个自然科学飞速发展并取得灿烂成就的时代。经济学的进展似乎没有那么顺利，虽然出现过像亚当·斯密和卡尔·马克思这样的天才，但经济学中很多最基本的概念直到上个世纪末才逐渐确立起来。任何一门科学都要用到抽象和逻辑的思维方法，但经济学应用抽象和逻辑却比起一般的自然科学格外困难。在上个世纪以前，经济学虽然普遍地使用归纳、比较和分析的方法，但基本上没有脱离以对历史现象的陈述和对规律的推测为主的论述。或者说，它一直不具备我们一般称之为科学形态的形式。直到大约一百年以前，因为自然科学思维方法的巨大成就的影响，经济学开始转变了。十九世纪七十年代初期，英国的杰文斯、奥地利的门格尔和瑞士的瓦尔拉独立地将微分方法导入经济学，引起了经济学的边际革命。最近一百年来，数学和推理的方法持续渗入经济学，形成了作为经济理论基础的数理经济学。一向被认为属于社会科学的经济学，在数学工具的应用上，在其理论框架的条理化、逻辑化上，在其假定前提的简单明了上，越来越多地带上了传统上被认为只有自然科学才具有的特色。这种自然科学与社会科学的融合，或许能够看作是人类理解史上一个重要的转折。偏导数、全导数、全微分公式在数理经济学中是一些最基本的手段，当这些表达一旦被赋予经济学的含义时，复杂的事物就变得如此之清晰可辨，以致用不着任何多余的文字说明。尤其是数学规划理论能够说就是为了经济学而创立的。它研究在满足一系列约束之下能够获得极值的条件。经济学的基本任务也正是在遵守资源约束、生产技术约束的条件下，求得消费者使用价值的极大化。经济学之应用数学，有两个不同的领域：研究经济量之间的关系和确定经济量的数值。前者是一门定性的科学，称为数理经济学，后者则是一门定量的科学，称为计量经济学。研究此量与彼量之间的消长关系，确定在达到最佳经济效果时必须满足什么条件，这些是数理经济学最经常的任务。计量经济学则以数理经济学的理论为指导，应用统计学的方法对各种经济量实行测算，这在制订经济政策，评价过去某一经济政策的效果，乃至检验数理经济的理论是否准确，都是经常用得到的。 导数在经济学中的一些简单的应用 摘要：数学的理论知识在各个领域都有很多的应用，在经济学中的应用也非常广泛，本文主要介绍导数在经济学中的一些简单的应用。首先，介绍了导数在弹性方面的应用;其次，介绍了导数在边际量方面的应用；最后，介绍了导数在生产领域中的应用。本文还列举了一些具体的例子，通过这些例子使我们更深刻的理解导数在经济学中的应用，同时还总结了一些常用的计算公式和解决经济问题时所需要的具体步骤。 关键词:导数极大值拉格朗日乘数偏导数 Derivative in Economics of Some Simple Application Abstract:Mathematical theory knowledge in various fields has lots of applications.The application in economics is very extensive.This paper mainly introduces some of the economics derivative simple application.Firstly,Introduces the application in the elastic derivative.Secondly,Introduced the derivative application in marginal quantity.Finally,Introduces the application in production field derivative.Through these examples make us more profound understanding of derivative, and the application in economics also summarized some common calculation formula and solve an economic problem need concrete steps. Key words:Derivative Maximum value Lagrange's multiplier Partial derivative 1.导数在弹性方面的应用 在物理学中，如果我们知道两个变量路程和时间的函数关系，运用导数的概念就可以求出速度和时间的关系。同理，在经济学中如果知道两个经济变量之间的函数关系，我们就可以通过导数这一数学工具来推导出弹性在这方面的应用。 1.1 弹性的定义 如果给了我们两个经济变量之间的函数关系为) T ，则点弹性公式为： f (I 广东商学院数学与计算科学学院导数在经济学中的应用 1引言 对经济学家来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，而将数学作为分析 工具，不仅可以给企业经营者提供客观、精确的数据，而且在分析的演绎和归纳过程 中，可以给企业经营者提供新的思路和视角，也是数学应用性的具体体现[1] 。因此，在 当今国内外，越来越多地应用数学知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。 导数的概念是从良多现实的科学问题抽象而发生的,在经济剖析、经济抉择妄想、 经济打点中 ,有着普遍的应用意义[2]。其作为数学剖析课程中最主要的根基概念之一,反 映了一个变量对另一个变量的转变率。在经济学中，也存在转变率问题，如：边际问 题和弹性问题。运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析 和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。导数在经济领域中的应用非 常之泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念。随着市场经济 的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重 要概念，是经济分析的重要工具。把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用数学 知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用。 数学在现代经济学中的作用越来越重要，导数作为高等数学中的一个重要概念， 是经济学应用的一个重要工具[3]。导数在经济学中有许多应用，其中边际分析、弹性分 析是导数在经济学中的两个重要应用。如今许多企业在判断一项经济活动对企业的利 弊时，仅仅依据它的全部成本。而我认为还应当依据它所引起的边际收益与边际成本 的比较。在讨论经济问题时绝对数分析问题常常被作为首要因素考虑。我认为应当进 一步研究相对变化率。 总而言之，当代研究文学中分别研究了弹性和边际函数对经济的影响，缺乏从总 体上深入研究经济过程中每个环节中导数的应用情况。在商品经济活动中进行编辑分 析和弹性分析是非常重要的，导数作为边际分析与弹性分析的工具，可以为企业决策 者做出合理的决策。 在此我想用导数作为分析工具，对每个经济环节进行定量分析。通过研究成本所 引起的边际收益与边际成本的的比较，分析绝对数相对变化率的经济问题，特别具体 分析因缺乏弹性的商品和富有弹性的商品的价格变动所产生的影响。同时将弹性分析 与边际分析有机结合，衡量出如何确定最优的价格，获得最大的利润。从而帮助企业 做出更精明的决策，为其提供精确的数值和创新思路。 导数的概念：设函数 y=f （x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量 x 在点x 0处 取得增量 x （点x0 + x 仍在该邻域内）时，相应地函数 y 取得增量y =f（ x 0+x ） §8.2 偏导数及其经济应用 教学目的：理解并掌握偏导数概念，能正确求出所给函数的 偏导数和高阶偏导数．了解偏导数的几何意义．了解偏导数在经济分析中的应用． 重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数． 难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求函数 的偏导数． 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： 一、偏导数的定义及其计算方法 1.二元函数(,)z f x y =的全增量（全改变量） (,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-. 二元函数对x 的偏增量（偏改变量） (,)(,)x z f x x y f x y ?=+?-. 二元函数对y 的偏增量 (,)(,)y z f x y y f x y ?=+?-. 2.二元函数偏导数的定义 【定义8.4】设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内有定义，若一元函数0(,)f x y 在0x x =处存在导数 00(,)x f x y ',则称00(,)x f x y '为(,)f x y 在点00(,)x y 处对 x 的偏导数，并记作 00 x x y y z x ==??， 00 x x y y f x ==??，00 x x x y y z ==或00(,)x f x y '. 其中 00(,)x f x y '= 000000(,)(,)lim lim x x x f x x y f x y z x x ?→?→+?-?=??. (2) 类似可定义函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数: 00 x x y y z y ==??=00(,)y f x y '= 定积分在经济学中的应用 摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。 关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余 引言 积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。 1 利用定积分求原经济函数问题 在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。 设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有 dx x u u x u x )()0()(0?'+= 例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。 解 总成本函数 dx x c c x c x ?'+='0)()0()( =dx x x x )100143(1000002+-+? =x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+ 2 利用定积分由变化率求总量问题 如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。 解 所求的总产量为 dt t Q Q ?'=0 5)( 650)150200()600400(|)640()1220(105210 5=+-+=+=+=?t t dt t (件) 3 用定积分求经济函数的最大值和最小值 例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为 1000 0=c 元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售, 引言 近年来，随着市场经济得不断发展、经济得不断繁荣，经济活动中得实际问题也愈加复杂，简单得分析已经不足以满足企业管理者对经济分析得需求。因此，有必要将高等数学应用于简单得数学函数所不能解决得实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中得重要概念，同样也就是解决经济问题得一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数得单调性，求函数得最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析得工具，广泛地应用到经济研究与企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确得方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面得应用。 1、导数得概念 早在法国数学家费马探究极值问题时就将导数得思想引入了，但导数思想就是在英国数学家牛顿研究力学与德国数学家莱布尼茨研究几何学得过程中正式 2、经济分析中常用得函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现得一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中得一些常用得函数具有一定得了解，以便更好得理解与使用它们。经济分析中常用得函数主要有以下四类： 2、1需求函数 需求函数指在特定得时间内，各种可能得价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品得数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数得诸 多自变量中除价格外其她均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品得价格，Q d 为商品得需求量。这个函数表示一种商品得需求量与价格之间存在 一一对应得关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）得需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫得件数Q 与价格P 就是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫得件数与价格得函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2、2供给函数 一种商品得供给函数，就是指单个生产者在一定时期内在各种可能得价格下，愿意且能够提供出售得该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外得其她因素瞧成常量以达到化简问题得目得。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品得价格，Q S 为商品得供给量。可以瞧出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）得价格与供给量之间成同方向变动得关系。 例2：已知大蒜得收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0、5元，每星期可收购2500千克，求大蒜得供给函数。 解：设大蒜得线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2、3成本函数 产品成本一般情况下就是用货币得形式来表现得企业生产与出售产品得所用度支出。成本函数所表示得就是企业成本总额与产出总量之间关系得公式。产 第七节导数在经济中的应用 §7.1 经济中常用的一些函数 一、成本函数 某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的 全部经济资源投入(劳动力，原料，设备等)的价格或 费用的总额。它由固定成本与可变成本组成，平均成 本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本。 设产品数量为q，成本为c，若产品生产的越多， 成本越高，所以C是增函数，对多数产品来说，如杯 子、彩电等，q只能是整数，所以c的图象如图7－１。 ３－１7 成本函数，３－１８ 成本函数， q取值为正整数 q取值为正数 但我们通常将C有图象看成一条通过这些点的连续，对于研究问题更利，如图所示3-18，成本函数通常所具有的一般形状如图3-18，(也有特殊的情形)，c轴上的截距表示固定成本，它是 即使不生产也要支出的费用(例如厂房、设备等)成本函数最初增长很快，然后就渐渐慢下来，因为生产产品的数量较大时，要比生产数量较少时的效率更高，这称为规模经济，当产量保持较高水平时，随着资源的逐渐匮乏，成本函数再次开始较快增长，当不得不更新厂房、设备时，成本函数会急速增长，因此，c(q)开始时是下凹的，后来变成上凹。 设C１为固定成本，C2为可变成本，C为平均成本， 则C＝C１＋C2(q)，C (q)＝ q )q(C = q a ＋ q )q( C 2 二、收益函数 总收益是企业出售一定量产品所得到的全部收入。平均收益是企业出售一定量产品，平均每出售单产品所得到的收入，即单位产品的价格，用p表示，p与q 有关，因此，p ＝p(q)，设总收益为R ，则 R ＝qp=qp(q) 三、利润函数 设利润为L ，则利润＝收入－成本，即 L ＝Ｒ－Ｃ 四、需求函数 “需求”指的是顾客的购买同种商品在不同价格水平的商品的数量。一般来说，价格的上涨导致购买量的下降。 设p 表示商品价格，q 表示需求量，需由多种因素决定的，这里略去价格以外的其它因素，只讨论需求与价格的关系，则q=f(p)是单调减少函数，称为需求函数。 若q=f(p)存在反函数，则p=f －１ (q)也是单调 减少函数，也称为需求函数。 根据市场调查，可得到一些价格与需求的数据 (p,q)，常用下列一些简单初等函数来拟合需求函数， 建2 7经验曲线，有 q=b-qp a ＞0，b ＞0 q=p k k ＞0,p ≠0 导数的经济意义及在经济分析中的应用 【摘要】导数在经济领域中的应用非常广泛,运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、弹性分析和优化分析,从而为企业经营者进行科学决策提供量化依据。 【关键词】导数边际分析弹性分析最优化分析 一个企业或者一个商店最关心的是如何以最小成本达到利润最大。经济学中常用到边际概念分析一个变量y关于另一个变量x的变化情况。边际概念是当x 在某一给定值的附近发生微小变化时y的变化情况,它发映了y的瞬间的变化,而刻画这种瞬间微小变化的数学工具便是导数。 一、导数的概念 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在点x0处取得增量Δx(点x0+Δx仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δ)-f(x0);如果Δy 与Δx之比当Δx→0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f’(x0),即 f’(x0)==。 若函数y=f(x)在某区间内每一点都可导,则称y=f(x)在该区间内可导,记f’(x)为y=f(x)在该区间内的可导函数(简称导数)。 二、经济分析中常用的函数 1、需求函数与供给函数 (1)需求函数。设Q表示某种商品的需求量,P表示此种商品的价格,则用Q=f(P)表示对某种商品的需求函数。一般来说,对某种商品的需求量Q随价格减少而增加,随价格增加而减少,所以需求函数是单调减少的函数。 (2)供给函数。站在卖方的立场上,设Q表示对某种商品的供给量,P表示此种商品的价格,则用Q=F(P)表示某种商品的供给函数。一般来说,作为卖方,对某种商品的供给量Q是随价格P的增加而增加,随价格P的减少而减少,所以供给函数是单调增加的函数。 2、成本函数与平均成本函数 (1)成本函数。产品的成本一般有两类:一类随产品的数量变化,如需要的劳动力,消耗的原料等;这种生产成本称为可变成本。另一类成本无论生产水平如何都固定不变,如房屋、设备的折旧费、保险费等,称为固定成本。设Q为某种产品导数在经济学中的应用
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