【新人教】高考数学总复习《立体几何基础题三》2013
立体几何基础题
361. 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面? 解析：有5个暴露面.
如图所示，过V 作VS ′∥AB ，则四边形S ′ABV 为平行四边形，有∠S ′VA=∠VAB=60°，从而ΔS ′VA 为等边三角形，同理ΔS ′VD 也是等边三角形，从而ΔS ′AD 也是等边三角形，得到以ΔVAD 为底，以S ′与S 重合.
这表明ΔVAB 与ΔVSA 共面，ΔVCD 与ΔVSD 共面，故共有5个暴露面.
362. 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值)
解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.
排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.
由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.
对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD 的中点为M ，平面BCM 把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD ⊥面BCM ，且V A —BCM =V D —BCM ，所以
V ABCD =
3
1
S ΔBCM ·AD. CM=22DM CD -=2
2
)2
1(2-=
2
15
.设N 是BC 的中点，则MN ⊥BC ，MN=22CN CM -=
14
15-=
211，从而S ΔBCM =21×2×211=211
， 故V ABCD =
31×211×1=6
11
.
对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式
V=12
2
·)b a c )(a c b )(c b a (222222222-+-+-+， 不妨令a=b=2，c=1，则
V=
12
2
·)441)(414)(144(-+-+-+ =
122
·7=12
14. 363. 湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm 的空穴，求该球的半径.
解析：设球的半径为R ，依题意知截面圆的半径r ＝12,球心与截面的距离为d ＝R-8，由截
面性质得：r 2+d 2＝R 2,即122+(R-8)2＝R 2
. 得R ＝13 ∴该球半径为13cm.
364. 在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为3米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).
解析：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S ，垂直于光线的大圆面积为S ′，则Scos30°＝S ′,并且S ′＝9π，所以S ＝63π(米2
)
365. 设棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA ⊥AB ，如果ΔAMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
解析： ∵AB ⊥AD ，AB ⊥MA ， ∴AB ⊥平面MAD ， 由此，面MAD ⊥面AC. 记E 是AD 的中点， 从而ME ⊥AD.
∴ME ⊥平面AC ， ME ⊥EF
设球O 是与平面MAD 、AC 、平面MBC 都相切的球. 不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是ΔMEF 的内心. 设球O 的半径为r ，则r ＝MF
EM EF S MEF
++△2
设AD ＝EF ＝a,∵S ΔAMD ＝1. ∴ME ＝
a 2.MF ＝22
)2(a
a +, r ＝
22)2(22
a
a a a +++
≤
2
222
+＝2-1
当且仅当a ＝
a
2
，即a ＝2时，等号成立. ∴当AD ＝ME ＝2时，满足条件的球最大半径为2-1. 366. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，期棱长为a. (1)求证BD ⊥截面AB 1C ；
(2)求点B 到截面AB 1C 的距离；
(3)求BB 1与截面AB 1C 所成的角的余弦值。
()11
1:DD BD
AC
⊥??⊥?⊥?
证明面ABCD BD
AC
同理BD 1⊥AB 1.∴BD 1⊥面ACB 1.
(2)AB=BC=BB 1?G 为△AB 1C 的中心.AC=2a AG=
3
6323a 22=?? a ∴BG=2
22229
396)36(
a a a a a =-=-=33a (3)∠BB 1G 为所求
cos ∠BB 1G=3
63611==a a
BB GB 367. 已知Ｐ为ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
解析： 因M 为PB 的中点，连BD ∩AC 于O 后，可将PD 缩小平移到MO ，可见MO 为所求作的平行线．
证明 连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ， 则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，
∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ?平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ， ∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
368. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M ，N ，Ｅ，Ｆ分别是棱Ｂ1Ｃ1，A 1D 1，Ｄ1Ｄ，ＡＢ的中点．
（１）求证：Ａ1Ｅ⊥平面ＡＢＭＮ． （２）平面直线A 1E 与MF 所成的角． 解析：（１）要证A 1E ⊥平面ABMN ，只要在平面中找到两条相交直线与A 1E 都垂直，显然MN 与它垂直，这是因为MN ⊥平面A 1ADD 1，另一方面，AN 与A 1E 是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解决．（２）为（１）的应用． 证明 （１）∵AB ⊥平面A 1ADD 1， 而Ａ1Ｅ?平面A 1ADD 1，
∴AB ⊥Ａ1Ｅ．在平面A 1ADD 1中，A 1E ⊥AN ， ∵AN ∩AB ＝A ，∴A 1E ⊥平面ABMN ．
解 （２）由（１）知A 1E ⊥平面ABMN ，而MF ?平面ABMN ，∴A 1E ⊥MF ，
则A 1E 与MF 所成的角为９０°
369. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M 为棱C Ｃ1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD ．
解析：要证A 1O ⊥平面MBD ，只要在平面MBD 内找到两条相交直线与A 1O 都垂直，首先想到DB ，先观察 A 1O 垂直DB 吗？
方法１：发现A 1O 平分DB ，想到什么？（△A 1DB 是否为等腰三角形） ∵A 1D ＝A 1B ，DO ＝OB ，∴A 1O ⊥DB ．
方法２：A 1O ⊥DB 吗？即DB ⊥A 1O 吗？DB 垂直包含A 1O 的平面吗？（易见DB ⊥平面A 1ACC 1）
再观察A 1O 垂直何直线？DM ？BM ？因这两条直线与A 1O 均异面，故难以直接观察，平面MDB 中还有何直线？易想到MO ，因MO 与A 1O 相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察．
证明 取CC 1中点M ，连结MO ，∵DB ⊥A 1A ，DB ⊥AC ，A 1A ∩AC=A ，∴DB ⊥平面A 1ACC 1，而A 1O ?平面A 1ACC 1，∴A 1O ⊥DB ．在矩形A 1ACC 1中，∵tan ∠AA 1O=2
2
，tan ∠MOC=
2
2
，∴∠AA 1O=∠MOC ，则∠A 1OA ＋∠MOC ＝９０°，∴A 1O ⊥OM ，∵OM ∩DB ＝O ，∴A 1O ⊥平面MBD ．
370. 点P 在线段AB 上，且AP ∶PB ＝１∶２，若A ，B 到平面α的距离分别为a ，b
，求点
P 到平面α的距离． 解析：（１）A ，B 在平面α的同侧时，P 平面α的距离为
3
23132b
a b a +=
+； （２）A ，B 在平面α的异侧时，P 平面α的距离为3
2)(3
1
32b
a b a -=-+．
点评 一是画图时，只要画出如右上图的平面图形即可，无需画出空间图形；二是对第（２）种情形，若以平面为“水平面”，在其上方的点高度为正，在其下方的点高度为负，则第（２）种情形的结论，就是将（１）结论中的b 改为(－b)，而无需再画另一图形加以求解． 371. 若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面 （ ） （Ａ）有且只有一个 （Ｂ）可能存在也可能不存在
（Ｃ）有无数多个 （Ｄ）一定不存在 （Ｂ）
解析：若存在，则a ⊥b ，而由条件知，a 不一定与b 垂直．
372. 在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 （ ） （Ａ）AC （Ｂ）BD （Ｃ）A 1D （Ｄ）A 1D 1 解析：（Ｂ）
BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1，∴BD ⊥平面A 1ACC 1，∴BD ⊥CE ． 373. 定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 （ ） （Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个 解析：D
过P 作一个与AB ，AC 都平行的平面，则它符合要求；设边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，G ，则平面PEF 符合要求；同理平面PFG ，平面PGE 符合要求
374. P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，P 到B ，C ，D 三点的距离分别是5，17，13，则P 到A 点的距离是
（ ）
（Ａ）１
（Ｂ）２
（Ｃ）3
（Ｄ）４
解析：（A ）
设AB ＝a ，BC ＝b ，PA ＝h ，则a 2+h 2=5, b 2+h 2=13, a 2+b 2+h 2=17,∴h=1．
375. 线段AB 的两个端点A ，B 到平面α的距离分别为6cm, 9cm, P 在线段AB 上，AP ：PB ＝１：２，则P 到平面α的距离为 ． 解析：７cm 或１cm ．
分A ，B 在平面α的同侧与异侧两种情况．同侧时，P 到平面α的距离为31
9326?+?＝７（cm ），
异侧时，P 到平面α的距离为3
1
9326?-?＝１（cm ）．
376. △ABC 的三个顶点A ，B ，C 到平面α的距离分别为2cm, 3cm, 4cm ,
且它们在α的同一侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为 ． 解析：3cm ．
3
5
43++＝3cm ． 377. Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC ＝６，BC ＝８，EC ⊥平面ABC ，且EC ＝１２，则ED ＝ ． 解析：１３．
AB ＝１０，∴CD ＝５，则ED ＝22125+＝１３．
378. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，求：
（１）A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角；
（２）B 1B 在平面A 1C 1B 所成角的正切值．
解析： 求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影．
（１）先找到斜足A 1，再找出B 在平面A 1B 1CD 内的射影，即从B 向平面A 1B 1CD 作垂线，一定要证明它是平面A 1B 1CD 的垂线．
这里可证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，O 为垂足，
∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影．
（２）若将平面D 1D 1BB 竖直放置在正前方，则A 1C 1横放在正前方，估计B 1B 在平面A 1C 1B 内的射影应落在O 1B 上，这是因为A 1C 1⊥平面D 1DBB 1，∴故作B 1H ⊥O 1B 交于H 时，BH 1⊥A 1C 1，即H 为B 1在平面A 1C 1B 内的射影．另在求此角大小时，只要求∠B 1BO 1即可． 解析：（１）如图，连结BC 1，交B 1C 于O ，连A 1O ． ∵A 1B 1⊥平面B 1BCC 1，BC 1?平面B 1BCC 1，∴A 1B 1⊥BC 1．
又B 1C ⊥BC 1，A 1B 1∩B 1C ＝B 1， ∴BC 1⊥平面A 1B 1CD ，O 为垂足，
∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影， 则∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角． sin ∠BA 1O ＝
2
1
1=B A BO ，∴∠BA 1O ＝３０°． （２）连结A 1C 1交B 1D 1于O 1，连BO 1，
作B 1H ⊥BO 1于H ．∵A 1C 1⊥平面D 1DBB 1，∴A 1C 1⊥B 1H ． 又B 1H ⊥BO 1，A 1C 1∩BO 1＝O 1，∴B 1H ⊥平面A 1C 1B ， ∴∠B 1BO 1为B 1B 与平面A 1C 1B 所成的角， tan ∠B 1BO =
22111=B B O B ，即B 1B 与平面A 1C 1B 所成的角的正切值为2
2
． 379. Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，BC ＝３６，若平面ABC 外一点P 与平面A ，B ，C 三点等距
离，且P 到平面ABC 的距离为８０，M 为AC 的中点． （１）求证：PM ⊥AC ；
（２）求P 到直线AC 的距离；
（３）求PM 与平面ABC 所成角的正切值．
解析：点P 到△ABC 的三个顶点等距离，则P 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外心，而△ABC 为直角三角形，其外心为斜边的中点．
证明 （１）∵PA ＝PC ，M 是AC 中点，∴PM ⊥AC
解 （２）∵BC ＝３６，∴MH ＝１８，又PH ＝８０，
∴PM ＝8218802222=+=+MH PH ，即P 到直线AC 的距离为８２；
（３）∵PM=PB=PC ，∴P 在平面ABC 内的射线为△ABC 的外心， ∵∠C=90° ∴P 在平面ABC 内的射线为AB 的中点H 。 ∵PH ⊥平面ABC ，∴HM 为PM 在平面ABC 上的射影， 则∠PMH 为PM 与平面ABC 所成的角，∴tan ∠PMH ＝
9
40
1880=
=MH PH 380. 如图，在正四面体ABCD 中。各面都是全等的正三角形的四面体，M 为AD 的中点，求CM 与平面BCD 所成角的余弦值．
解析：要作出CM 在平面BCD 内的射影，关键是作出M 在平面BCD 内的射影，而M 为AD 的中点，故只需观察A 在平面BCD 内的射影，至此问题解法已明朗．
解 作AO ⊥平面BCD 于O ，连DO ，作MN ⊥平面BCD 于N ，则N ∈OD ． 设AD ＝a ，则OD ＝a a 33233
2
=?，∴AO ＝a OD AD 3
622=-，∴MN ＝
a 6
6
． 又∵CM ＝
a 2
3
，∴CN ＝a a MN CM 62112722==
-． ∴CM 与平面BCD 所成角的余弦值为
3
7=CM CN ． 381. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱A 1A 的中点，N 在AB 上，且AN ∶NB ＝１∶３，
求证：C 1M ⊥MN ．
解析：在空间中作出两条直线垂直相对较在平面内作两条直线垂直难．此题C 1M 与MN 是相交直线，一种方法可通过勾股定理来验证它是否垂直，另一方法为：因MN 是平面A 1ABB 1内的一条直线，可考虑MC 1在平面A 1ABB 1内的射影． 证明１ 设正方体的棱长为ａ，则MN ＝a 4
5
， C 1M ＝a a a a 2
3)2(222=
++，C 1N ＝a a a a 441
)43(222=
++， ∵MN ２
＋MC 1２
＝NC 1２
，∴C 1M ⊥MN ．
证明２ 连结B 1M ，∵C 1B 1⊥平面A 1ABB 1， ∴B 1M 为C 1M 在平面A 1ABB 1上的射影．
设棱长为a ，∵AN ＝a 41，AM ＝a 21，∴tan ∠AMN ＝2
1
，
又tan ∠A 1B 1M ＝
2
1
，则∠AMN ＝∠A 1B 1M ，∴B 1M ⊥MN ， 由三垂线定理知，C 1M ⊥MN ． 382. 如图，ABCD 为直角梯形，∠DAB ＝∠ABC ＝９０°，AB ＝BC ＝a ，AD ＝２a ，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝a ．
（１） 求证：PC ⊥CD ；
（２） 求点B 到直线PC 的距离．
解析：（１）要证PC 与CD 垂直，只要证明AC 与CD 垂直，可按实际情形画出底面图形进行证明．（２）从B 向直线PC 作垂直，可利用△PBC 求高，但需求出三边，并判断其形状（事实上，这里的∠PBC ＝９０°）；另一种重要的思想是：因PC 在平面PAC 中，而所作BH 为平
面PAC 的斜线，故关键在于找出B 在平面PAC 内的射影，因平面PAC 处于“竖直状态”，则只要从B 作“水平”的垂线，可见也只要从B 向AC 作垂线便可得其射影． 证明 （１）取AD 的中点E ，连AC ，CE ， 则ABCE 是正方形，△CED 为等腰直角三角形．
∴AC ⊥CD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 上的射影，∴PC ⊥CD ； 解 （２）连BE 交AC 于O ，则BE ⊥AC ， 又BE ⊥PA ，AC ∩PA ＝A ，∴BE ⊥平面PAC ． 过O 作OH ⊥PC 于H ，连BH ，则BH ⊥PC ．
∵PA ＝a ，AC ＝a 2，∴PC ＝a 3，则OH ＝a a
a a 66
3221=??
，
∵BO ＝
a 2
2
，∴BH ＝a OH BO 3622=+ 383. 四面体ABCD 的四个面中，是直角三角形的面至多有
（ ）
（Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个 解析：（D ）
设底面为直角三角形，从底面的一个锐角顶点作平面的垂线，则这样的四面体的每个面都是直角三角形．
384. 直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外，C 在平面α内的射影为C 1，且C 1?AB ，则△C 1AB 为 （ ） （Ａ）锐角三角形 （Ｂ）直角三角形 （Ｃ）钝角三角形 （Ｄ）以上都不对 解析：（C ）
∵C 1A 2+C 1B 2 ＝AB, ∴∠AC 1B 为钝角，则△C 1AB 为钝角三角形． 385. △ABC 在平面α内，∠C ＝90°，点Ｐ?α，PA=PB=PC=7, AB=10, 则点P 到平面α的距离等于 解析：62． ∵PA ＝PB ＝PC,∴P 在平面α内的射影为△ABC 的外心Ｏ，∵∠C ＝90°，∴Ｏ为AB 的中点，∵AO ＝５，PA ＝７，∴PO ＝625722=- 386. P 是边长为a 的六边形ABCDEF 所成平面外一点，PA ⊥AB ，PA ⊥AF ，PA ＝a ，则点P 到边CD 的距离是 解析：2a ． PA ⊥平面ABCDEF ，A 到CD 的距离为a 3，∴P 到边CD 的距离是2a 387. 如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． （１） 求证：MN ⊥CD ； （２） 若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD ． 证明 （１）连AC ∩BD ＝O ，连NO ，MO ，则NO ∥PA ． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴NO ⊥平面ABCD ． ∵MO ⊥AB ，∴MN ⊥AB ，而CD ∥AB ，∴MN ⊥CD ； （２）∵∠PDA ＝45°，∴PA ＝AD ， 解析：如图，正四棱锥P —ABCD 的一个对角面△PAC 。设棱锥的底面边长为a ，高为h ，斜高为h ′，底面中心为O ，连PO ，则PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥AC ，在△PAC 中，AC=a 2，PO=h ， ∴ah PO AC S PAC 2 2 21=?=? P C D O E P A B C 在△PBC 中，h a S PBC '=?2 1 ° ∴2:6:22 1 :22:='='=??h h h a ah S S PBC PAC ∴h:h ′=2:3. 取BC 中点E ，连OE ，PE ，可证∠PEO 即为侧面与底面所成两面角的平面角。 在Rt △POE 中，sin ∠PEO=2 3 = '=h h PE PO ， ∴∠PEO= 3π，即侧面与底面所成的角为3 π . 394. 如右图，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1C 1⊥BC 1，AB ⊥AC ，AB=3，AC=2，侧棱与 底面成60°角。 （1）求证：AC ⊥面ABC 1； （2）求证：C 1点在平面ABC 上的射影H 在直线AB 上； （3）求此三棱柱体积的最小值。 解析：（1）由棱柱性质，可知A 1C 1//AC ∵A 1C 1⊥BC 1， ∴AC ⊥BC 1，又∵AC ⊥AB ，∴AC ⊥平面ABC 1 （2）由（1）知AC ⊥平面ABC 1，又AC ?平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ABC 1 在平面ABC 1内，过C 1作C 1H ⊥AB 于H ，则C 1H ⊥平面ABC ，故点C 1在平面ABC 上 的射影H 在直线AB 上。 （3）连结HC ，由（2）知C 1H ⊥平面ABC ， ∴∠C 1CH 就是侧棱CC 1与底面所成的角， ∴∠C 1CH=60°，C 1H=CH ·tan60°=CH 3 V 棱柱=CH CH H C AC AB H C S ABC 333232 1 2111=???=??= ?? ∵CA ⊥AB ，∴CH 2=≥AC ，所以棱柱体积最小值33362=?。 395. 已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=900 ，∠BAC=300 ，BC=1，AA 1=6，M 为CC 1中点， 求证：AB 1⊥A 1M 。 解析：因结论是线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理 ∵ ∠ACB=900 ∴ ∠A 1C 1B 1=900 即B 1C 1⊥C 1A 1 又由CC 1⊥平面A 1B 1C 1得：CC 1⊥B 1C 1 ∴ B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ∴ AC 1为AB 1在平面AA 1C 1C 的射影 由三垂线定理，下证AC 1⊥A 1M 即可 在矩形AA 1C 1C 中，AC=A 1C 1=3，AA 1=CC 1=6 ∵ 22 326 A C MC 111= =，2263A A C A 1 11== ∴ A A C A A C MC 11 1111= ∴ Rt △A 1C 1M ∽Rt △AA 1C 1 ∴ ∠1=∠2 又∠2+∠3=900 ∴ ∠1+∠3=900 ∴ AC 1⊥A 1M ∴ AB 1⊥A 1M 评注：利用三垂线定理的关键是找到基本面后找平面的垂线 396. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ，在侧棱BB 1上截取BD=2 a ，在侧棱CC 1上截取CE=a ，过A 、D 、E 作棱柱的截面ADE （1）求△ADE 的面积；（2）求证：平面ADE ⊥平面ACC 1A 1。 解析：分别在三个侧面内求出△ADE 的边长 AE=2a ，AD= 25a ，DE=a 2 5 )2a (a )BD EC (BC 2222= +=-+ ∴ 截面ADE 为等腰三角形 S= 222a 46)a 22()a 25(a 221h AE 21=-??=? （2）∵ 底面ABC ⊥侧面AA 1C 1C ∴ △ABC 边AC 上的高BM ⊥侧面AA 1C 1C 下设法把BM 平移到平面AED 中去 取AE 中点N ，连MN 、DN ∵ MN //==21EC ，BD //==21EC ∴ MN //= =BD ∴ DN ∥BM ∴ DN ⊥平面AA 1C 1C ∴ 平面ADE ⊥平面AA 1C 1C 397. 斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是边长为4cm 的正三角形，侧棱AA 1与底面两边AB 、AC 均成600 的角，AA 1=7 （1）求证：AA 1⊥BC ；（2）求斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的全面积；（3）求斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积；（4）求AA 1到侧面BB 1C 1C 的距离。 解析：设A 1在平面ABC 上的射影为0 ∵ ∠A 1AB=∠A 1AC ∴ O 在∠BAC 的平行线AM 上 ∵ △ABC 为正三角形 ∴ AM ⊥BC 又AM 为A 1A 在平面ABC 上的射影 ∴ A 1A ⊥BC （2） 3142 3 74AB A sin AA AB S S 11B B AA C C AA 1111=? ?=∠?== ∵ B 1B ∥A 1A ∴ B 1B ⊥BC ，即侧面BB 1C 1C 为矩形 ∴ 2874S C C BB 11=?= 又3444 3 S S 2ABC C B A 111=?= =?? ∴ S 全=)cm (336282342823142+=?++? （3）∵ cos ∠A 1AB=cos ∠A 1AO ·cos ∠OAB ∴ cos ∠A 1AO=33 30cos 60cos OAB cos AB A cos 001==∠∠ ∴ sin ∠A 1AO= 3 6 ∴ A 1O=A 1Asin ∠A 1AO= 637 ∴ )cm (22863 7443O A S V 321ABC =??=?=? （4）把线A 1A 到侧面BB 1C 1C 的距离转化为点A 或A 1到平面BB 1C 1C 的距离 为了找到A 1在侧面BB 1C 1C 上的射影，首先要找到侧面BB 1C 1C 的垂面 设平面AA 1M 交侧面BB 1C 1C 于MM 1 ∵ BC ⊥AM ，BC ⊥A 1A ∴ BC ⊥平面AA 1M 1M ∴ 平面AA 1M 1M ⊥侧面BCC 1B 1 在平行四边形AA 1M 1M 中 过A 1作A 1H ⊥M 1M ，H 为垂足 则A 1H ⊥侧面BB 1C 1C ∴ 线段A 1H 长度就是A 1A 到侧面BB 1C 1C 的距离 ∴ )cm (223 6 32AM A sin M A H M A sin M A H A 11111111=? =∠=∠= 398. 平面α内有半径为R 的⊙O ，过直径AB 的端点A 作PA ⊥α，PA=a ，C 是⊙O 上一点，∠ CAB=600 ，求三棱锥P —OBC 的侧面积。 解析：三棱锥P —OBC 的侧面由△POB 、△POC 、△PBC 三个三角形组成 在求出边长元素后，求三角形面积时，应注意分析三角形的形状，简化计算 ∵ PA ⊥平面ABC ∴ PA ⊥AO ，AC 为PC 在平面ABC 上的射影 ∵ BC ⊥AC ∴ BC ⊥PC △ POB 中， 2POB a 2 1 PA OB 21S =?=? △ PBC 中，BC=ABsin600 =2a a 32 3 =? ∴ AC=a ∴ PC=a 2 ∴ 2POB a 2 6BC PC 21S =?=? △ POC 中，PO=PC=a 2，OC=a ∴ 222POC a 4 7)OC 21(PO OC 21S =-?= ? ∴ S 侧=2 222a 4 7622a 47a 26a 21++=++ 399. 四棱锥V —ABCD 底面是边长为4的菱形，∠BAD=1200 ，VA ⊥底面ABCD ，VA=3，AC 与BD 交于O ，（1）求点V 到CD 的距离；（2）求点V 到BD 的距离；（3）作OF ⊥VC ，垂足为F ，证明OF 是BD 与VC 的公垂线段；（4）求异面直线BD 与VC 间的距离。 解析：用三垂线定理作点到线的垂线 在平面ABCD 内作AE ⊥CD ，E 为垂足 ∵ VA ⊥平面ABCD ∴ AE 为VE 在平面ABCD 上的射影 ∴ VE ⊥CD ∴ 线段VE 长为点V 到直线CD 的距离 ∵ ∠BAD=1200 ∴ ∠ADC=600 ∴ △ACD 为正三角形 ∴ E 为CD 中点，AE= 3242 3 =? ∴ VE=21AE V A 22=+ （2）∵ AO ⊥BD ∴ 由三垂线定理VO ⊥BD ∴ VO 长度为V 到直线BD 距离 VO=13AO V A 22=+ （3）只需证OF ⊥BD ∵ BD ⊥HC ，BD ⊥VA ∴ BD ⊥平面VAC ∴ BD ⊥OF ∴ OF 为异面直线BD 与VC 的公垂线 （4）求出OF 长度即可 在Rt △VAC 中 OC=2 1 AC=2，VC=5AC V A 22=+ ∴ OF=OC ·sin ∠ACF=OC ·5 6 532VC VA =?= 400. 斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A 1到A 、B 、C 三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。 解析：∵A 1A=A 1B=A 1C ∴ 点A 1在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心，在∠BAC 平分线AD 上 ∵ AB=AC ∴ AD ⊥BC ∵ AD 为A 1A 在平面ABC 上的射影 ∴ BC ⊥AA 1 ∴ BC ⊥BB 1 ∴ BB 1C 1C 为矩形，S=BB 1×BC=156 取AB 中点E ，连A 1E ∵ A 1A=A 1B ∴ A 1E ⊥AB ∴ 12)2 AB ( AA E A 2 2 11=-= ∴ 20S S B B A A C C A A 1111== ∴ S 侧=396 401. 如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a,AC ＝b,D 是斜边AB 上的点，以CD 为棱把它折成直二面角A —CD —B 后，D 在怎样的位置时，AB 为最小，最小值是多少? 解析： 设∠ACD ＝θ，则∠BCD ＝90°-θ，作AM ⊥CD 于M ，BN ⊥CD 于N ，于是AM ＝bsin θ,CN ＝asin θ. ∴MN ＝｜asin θ-bcos θ｜，因为A —CD —B 是直二面角，AM ⊥CD ，BN ⊥CD ，∴AM 与BN 成90° 的角，于是AB ＝2 2222)cos sin (cos sin θθθθb a a b -++＝θ222sin ab b a -+≥ ab b a -+22. ∴当θ＝45°即CD 是∠ACB 的平分线时，AB 有最小值，最小值为ab b a -+22. 402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补. 已知：从二面角α—AB —β内一点P ，向面α和β分别引垂线PC 和PD ，它们的垂足是C 和D.求证：∠CPD 和二面角的平面角互补. 证：设过PC 和PD 的平面PCD 与棱AB 交于点E ， ∵PC ⊥α，PD ⊥β ∴PC ⊥AB ，PD ⊥AB ∴CE ⊥AB ，DE ⊥AB 又∵CE ?α，DE ?β，∴∠CED 是二面角α—AB —β的平面角. 在四边形PCED 内：∠C ＝90°，∠D ＝90° ∴∠CPD 和二面角α—AB —β的平面∠CBD 互补. 403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数. 已知：二面角α—ED —β，平面γ过ED ，A ∈γ，AB ⊥α，垂足是B.AC ⊥β，垂足是C. 求证：AB ∶AC ＝k(k 为常数) 证明：过AB 、AC 的平面与棱DE 交于点F ，连结AF 、BF 、CF. ∵AB ⊥α，AC ⊥β.∴AB ⊥DE ，AC ⊥DE. ∴DE ⊥平面ABC.∴BF ⊥DE ，AF ⊥DE ，CF ⊥DE. ∠BFA ，∠AFC 分别为二面角α—DE —γ，γ—DE —β的平面角，它们为定值. 在Rt ΔABF 中，AB ＝AF ·sin ∠AFB. 在Rt ΔAFC 中，AC ＝AF ·sin ∠AFC ，得： AC AB ＝AFC AF AFB AF ∠∠sin sin ＝定值. 404. 如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足l ＝β∩γ，l ∥α,m ?α和m ⊥γ.那么必有( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ 解析：∵m ?α,m ⊥γ. ∴α⊥γ. 又∵m ⊥γ,β∩γ＝l. ∴m ⊥l. ∴应选A. 说明 本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力. 405. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝ 2π，AB ＝a,AD ＝3a,且∠ADC ＝arcsin 5 5，又PA ⊥平面ABCD ，AP ＝a.求：(1)二面角P —CD —A 的大小(用反三角函数表示)；(2)点A 到平面PBC 的距离. 解析：(1)作CD ′⊥AD 于D ′，∴ABCD ′为矩形，CD ′＝AB ＝a ，在Rt ΔCD ′D 中. ∵∠ADC ＝arcsin 55,即⊥D ′DC ＝arcsin 5 5， ∴sin ∠CDD ′＝ CD D C '＝5 5 ∴CD ＝5a ∴D ′D ＝2a ∵AD ＝3a,∴AD ′＝a ＝BC 又在Rt ΔABC 中，AC ＝ 22BC AB +＝2a, ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，PA ⊥AD ，PA ⊥AB. 在Rt ΔPAB 中，可得PB ＝2a. 在Rt ΔPAC 中，可得PC ＝22AC PA +＝3a. 在Rt ΔPAD 中，PD ＝2 2)3(a a +＝10a. ∵PC 2 +CD 2 ＝(3a)2 +(5a)＝8a 2 ＜(10a)2 ∴cos ∠PCD ＜0，则∠PCD ＞90° ∴作PE ⊥CD 于E ，E 在DC 延长线上，连AE ，由三垂线定理的逆定理得AE ⊥CD ，∠AEP 为二面角P —CD —A 的平面角. 在Rt ΔAED 中∠ADE ＝arcsin 5 5 ，AD ＝3a. ∴AE ＝AD ·sin ∠ADE ＝3a · 5 5＝553 a. 在Rt ΔPAE 中，tan ∠PEA ＝ AE PA ＝a a 55 3＝35. ∴∠AEP ＝arctan 35，即二面角P —CD —A 的大小为arctan 3 5. (2)∵AD ⊥PA ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面PAB. ∵BC ∥AD ，∴BC ⊥平面PAB. ∴平面PBC ⊥平面PAB ，作AH ⊥PB 于H ，∴AH ⊥平面PBC. AH 为点A 到平面PBC 的距离. 在Rt ΔPAB 中，AH ＝ PB AB PA ?＝a a a 2?＝22 a. 即A 到平面PBC 的距离为 2 2 a. 说明 (1)中辅助线AE 的具体位置可以不确定在DC 延长线上，而直接作AE ⊥CD 于E ，得PE ⊥CD ，从而∠PEA 为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求. 406. 如图，在二面角α—l —β中，A 、B ∈α，C 、D ∈l ，ABCD 为矩形，P ∈β，PA ⊥α，且PA ＝AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点. (1)求二面角α—l —β的大小； (2)求证：MN ⊥AB ； (3)求异面直线PA 与MN 所成角的大小. 解析：(1)连PD ，∵ABCD 为矩形，∴AD ⊥DC ，即AD ⊥l.又PA ⊥l ，∴PD ⊥l. ∵P 、D ∈β，则∠PDA 为二面角α—l —β的平面角. ∵PA ⊥AD ，PA ＝AD ，∴ΔPAD 是等腰直角三角形，∴∠PDA ＝45°，即二面角α—l —β的大小为45°. (2)过M 作ME ∥AD ，交CD 于E ，连结NE ，则ME ⊥CD ，NE ⊥CD ，因此，CD ⊥平面MNE ，∴CD ⊥MN.∵AB ∥CD ，∴MN ⊥AB (3)过N 作NF ∥CD ，交PD 于F ，则F 为PD 的中点.连结AF ，则AF 为∠PAD 的角平线，∴∠FAD ＝45°，而AF ∥MN ，∴异面直线PA 与MN 所成的45°角. 407. 如图，在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，四边形A ′ABB ′是菱形，四边形BCC ′B ′是矩形，C ′B ′⊥AB. (1)求证：平面CA ′B ⊥平面A ′AB ； (2)若C ′B ′＝2，AB ＝4，∠ABB ′＝60°，求AC ′与平面BCC ′B ′所成角的大小.(用反三角函数表示) 解析：(1)∵在三棱柱ABC —A ′B ′C 中，C ′B ′∥CB ，∴CB ⊥AB.∵CB ⊥BB ′，AB ∩BB ′＝B ，∴CB ⊥平面A ′AB.∵CB 平面CA ′B ，∴平面CA ′B ⊥平面A ′AB (2)由四边形A ′ABB ′是菱形，∠ABB ′＝60°，连AB ′，可知ΔABB ′是正三角形.取 B B ′中点H ，连结AH ，则AH ⊥BB ′.又由C ′B ′⊥平面A ′AB ，得平面A ′ABB ′⊥平面 C ′B ′BC ，而AH 垂直于两平面交线BB ′，∴AH ⊥平面C ′B ′BC.连结C ′H ，则∠AC ′H 为 AC ′与平面BCC ′B ′所成的角，AB ′＝4，AH ＝23，于是直角三角形C ′B ′A 中，A ′C ＝5，在Rt ΔAHC ′中，sin ∠AC ′H ＝ 5 3 2∴∠AC ′H ＝arcsin 523,∴直线AC ′与平面 BCC ′B ′所成的角是arcsin 5 2 3. 408. 已知四棱锥P —ABCD ，它的底面是边长为a 的菱形，且∠ABC ＝120°，PC ⊥平面ABCD ，又PC ＝a ，E 为PA 的中点. (1)求证：平面EBD ⊥平面ABCD ； (2)求点E 到平面PBC 的距离； (3)求二面角A —BE —D 的大小. (1)证明: 在四棱锥P —ABCD 中，底面是菱形，连结AC 、BD ，交于F ，则F 为AC 的中点. 又E 为AD 的中点，∴EF ∥PC 又∵PC ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD.EF ?平面EBD. ∴平面EBD ⊥平面ABCD. (2)∵EF ∥PC ，∴EF ∥平面PBC ∴E 到平面PBC 的距离即是EF 到平面PBC 的距离 过F 作FH ⊥BC 交BC 于H ， ∵PC ⊥平面ABCD ，FH ?平面ABCD ∴PC ⊥FH. 又BC ⊥FH ，∴FH ⊥平面PBC ，则FH 是F 到平面PBC 的距离，也是E 到平面PBC 的距离. ∵∠FCH ＝30°，CF ＝ 2 3a. ∴FH ＝ 21CF ＝4 3a. (3)取BE 的中点G ，连接FG 、AG 由(1)的结论，平面BDE ⊥平面ABCD ，AF ⊥BD ， ∴AF ⊥平面BDC. ∵BF ＝EF ＝ 2 a ，∴FG ⊥BE ，由三垂线定理得，AG ⊥BE ， ∴∠FGA 为二面角D —BE —A 的平面角. FG ＝ 2a ×22＝42a,AF ＝2 3a. ∴tg ∠FGA ＝ FG AF ＝6,∠FAG ＝arctg 6 即二面角A —BE —D 的大小为arctg 6 409. 若ΔABC 所在的平面和ΔA 1B 1C 1所在平面相交，并且直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，求证： (1)AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内； (2)如果AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别相交，那么交点在同一直线上(如图). (1)证明：∵AA1∩BB1＝O, ∴AA1、BB1确定平面BAO， ∵A、A1、B、B1都在平面ABO内， ∴AB?平面ABO；A1B1?平面ABO. 同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内. (2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上. 证明：如图，设AB∩A1B1＝P； AC∩A1C1＝R； ∴面ABC∩面A1B1C1＝PR. ∵ BC?面ABC；B1C1?面A1B1C1， 且 BC∩B1C1＝Q ∴ Q∈PR, 即 P、R、Q在同一直线上. 410.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线. 解析：证明点共线的基本方法是利用公理2，证明这些点是两个平面的公共点. 证明∵P、Q、R三点不共线，∴P、Q、R三点可以确定一个平面α. ∵ X∈PQ，PQ?α，∴X∈α，又X∈BC，BC?面BCD，∴X∈平面BCD. ∴点X是平面α和平面BCD的公共点.同理可证，点Y、Z都是这两个平面的公共点，即点X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交线上. 411.直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面. 解析：证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个 新课标第一网系列资料 https://www.360docs.net/doc/d515135683.html, 2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学（理工类） 【34】（A ，湖北，理1）在复平面内，复数2i 1i z =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 考点名称 数系的扩充与复数的概念 【34】（A ，湖北，理1）D 解析：i 1i)i(1i 1i 2+=-=+= z ，则i 1-=z 【1】（A ，湖北，理2）已知全集为R ，集合1 {()2A x = B = A ．{0}x x ≤ B ．{ C ．{024}x x x ≤<>或 D ．{考点名称 集合 【1】（A ，湖北，理2）C 解析：∵x 0≥?x ，∴A B =R e{024}x x x ≤<>或. 【2】（A p 是“甲降落在指定范围”，q A ．(? ．()p ?∧()q ? D ．p ∨q 考点名称 【2】（A 解析：因为”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙 ”可表示为()p ?∨()q ? . 【6】（B ，湖北，理4文6）将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ． π 12 B ． π 6 C ． π 3 D ． 5π6 考点名称 三角函数及其图象与性质 【6】（B ，湖北，理4文6）B 新课标第一网系列资料 https://www.360docs.net/doc/d515135683.html, 解析： 因为sin ()y x x x +∈R 可化为)6 cos(2π - =x y （x ∈R ），将它向左平移π 6 个单位得 x x y cos 26)6(cos 2=????? ? -+=ππ，其图像关于y 轴对称. 【17】（B ，湖北，文2理5）已知π 04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：22222 1sin sin tan y x θθθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C 考点名称 圆锥曲线及其标准方程 【17】（B ，湖北，文2理5）D 解析：对于双曲线C1，有1sin cos 2 2 2 =+=θθc ，e θθθθθ222222tan sec sin )tan 1(sin =?=+=c ，= a c e . 【7】（B ，湖北，理6文7）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、 影为 A D ．【7】 22 32 55152=?+?. 【3125 ()731v t t t =-++（t m ）是 A ．125ln 5+ B ．11 825ln 3 + C ．425ln 5+ D ．450ln 2+ 考点名称 定积分与微积分基本定理 【31】（C ，湖北，理7）C 解析：令25 ()731v t t t =-+ +=0，解得t ＝4或t ＝3 8-（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3!11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工类） 本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题，满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1. 方程 2 x +6x +13 =0的一个根是 A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i 2 命题“?x 0∈C R Q ， 3 0x ∈Q ”的否定是 A ?x 0?C R Q ，30x ∈Q B ?x 0∈ C R Q ，30x ?Q C ?x 0?C R Q ， 30x ∈Q D ?x 0∈C R Q ，30x ?Q 3 已知二次函数y =f(x)的图像如图所示 ，则它与X 轴所围图形的面积为 A. 25π B.43 C.32 D.2 π 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为 A. 83π B.3π C. 103 π D.6π 5.设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512012+a 能被13整除，则a= A.0 B.1 C.11 D.12 6.设a,b,c,x,y,z 是正数，且a 2+b 2+c 2=10,x 2+y 2+z 2=40,ax+by+cz=20,则 a b c x y z ++=++ A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D, 3 4 7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下 函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |。 则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A. B. C. D. 9.函数f（x）=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式 。人们还用过一些类似的近似公式。根据 =3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是 二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题 ．． 卡对应题号 ．．．．．的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 （一）必考题（11-14题） 11.设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c。若（a+b-c）（a+b+c）=ab， 则角C=______________。 12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=___________. 2011年江苏省高考数学试卷 2011年江苏省高考数学试卷 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）（2011?江苏）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=_________． 2．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是_________． 3．（5分）（2011?江苏）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是_________． 4．（5分）（2011?江苏）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为_________． 5．（5分）（2011?江苏）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 _________． 6．（5分）（2011?江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2= _________． 7．（5分）（2011?江苏）已知，则的值为_________． 8．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两 点，则线段PQ长的最小值是_________． 9．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=Asin（ωx+?），（A，ω，?是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （0）=_________． 10．（5分）（2011?江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若?=0，则 实数k的值为_________． 11．（5分）（2011?江苏）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 _________． 12．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________． 13．（5分）（2011?江苏）设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________． 14．（5分）（2011?江苏）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠?，则实数m的取值范围是_________． 二、解答题（共9小题，满分120分） 15．（14分）（2011?江苏）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c （1）若，求A的值； （2）若，求sinC的值． 16．（14分）（2011?江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点求证： （1）直线EF∥平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD． 17．（14分）（2011?江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）． （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 2013年湖北省理科数学高考试题WORD 解析版 一、选择题 1、在复平面内，复数21i z i = +（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【解析与答案】211i z i i = =++，1z i ∴=-。 故选D 【相关知识点】复数的运算 2、已知全集为R ，集合112x A x ???? ??=≤?? ??????? ，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B = （ ） A.{}|0x x ≤ B. C. {}|024x x x ≤<>或 D.{}|024x x x <≤≥或 【解析与答案】[)0,A =+∞，[]2,4B =，[)()0,24,R A C B ∴=+∞ 。 故选C 【相关知识点】不等式的求解，集合的运算 3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A.()()p q ?∨? B. ()p q ∨? C. ()()p q ?∧? D.p q ∨ 【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围” 即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。 故选A 。 【相关知识点】命题及逻辑连接词 4、将函数()3cos sin y x x x R = +∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的 图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A. 12 π B. 6 π C. 3 π D. 56 π 【解析与答案】2cos 6y x π?? =- ?? ? 的图像向左平移()0m m >个长度单位后变成2cos 6y x m π?? =-+ ??? ，所以m 的最小值是6π。故选B 。 【相关知识点】三角函数图象及其变换 2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。 参考公式： 样本数据12,, ,n x x x 的方差2 2 11()n i i s x x n ==-∑，其中1 1n i i x x n ==∑。 棱锥的体积公式：1 3 V Sh = ，其中S 是锥体的底面积，h 为高。 棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．。 6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下： 若DE AB AC λλ=+(λ、5,0) (5,)+∞ 、在平面直角坐标系xoy 12n n a a a a ++>的最大正整数二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分） 已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααβββαπ==<<<。 （1）若||2a b -=，求证：a b ⊥； （2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值。 （2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值。 [解析] 本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系式、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力。满分14分。 （1）证明：（方法一）由||2a b -=，得：22||()2a b a b -=-=，即2 2 22a a b b -?+=。 又222 2||||1 a b a b ====，所以222a b -?=，0a b ?=，故a b ⊥。 （方法二）(cos cos ,sin sin ),a b αβαβ-=-- 由||2a b -=，得：22||()2a b a b -=-=，即：2 2 (cos cos )(sin sin )2αβαβ-+-=， 化简，得：2(cos cos sin sin )0αβαβ+-=， 学案37 合情推理与演绎推理 导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 自主梳理 自我检测 1．(2010·)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x) 等于( ) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 2．(2010·质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)： ①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”； ②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”； ③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”．其中类比结论正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．(2009·)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．4．(2010·)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________． 5．(2011·月考)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________． 探究点一归纳推理 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A ． 11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率 是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) 的离心率为2，则C 的渐近线方程 为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝1 2x ± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3 ＝1－x 2 ，则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q 6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ．Sn ＝2an －1 B ．Sn ＝3an －2 C ．Sn ＝4－3an D ．Sn ＝3－2an 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2 ＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF | ＝POF 的面积为( )． A ．2 B ． ．．4 9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )． 10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )． A ．10 B ．9 C ．8 D ．5 2013年湖北高考数学试卷（理科）WORD 版 绝密 ★ 启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学（理科） 4．将函数3cos sin ()y x x x R = +∈的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的 图像关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ． 12πB ．6πC ．3 πD ．56π 5．已知04 π θ<< ，则双曲线2222 1222222 :1:1cos sin sin sin tan x y y x C C θθθθθ-=-=与的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 6．已知点A （-1,1）、B （1,2）、C （-2,1）、D （3,4），则向量AB u u u r 和CD uuu r 方向上的投影为 A ． 322 B ．3152 C ．322 D ．315 2 7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 25 ()73(,/)1v t t t s v m s t =-+ +的单位：的单位：行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是 A ．1+25ln5 B ．11 8+25ln 3 C ．4+25ln5 D ．4+50ln 2 8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为1234V V V V ，，，，这四个几何体为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有 1243.AV V V V <<< 1324.BV V V V <<< 2134.C V V V V <<< 2314.DV V V V <<< 9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)= A ． 126125 B ．65 C ．168125 D ．7 5 11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示。 （1）直方图中x 的值为___________； （2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为___________。 12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=___________。 2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 ． 6 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 【答案】7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ． 63 20 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为 1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．1：24 9．抛物线2 x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ．[—2，1 2 ] 10．设E D ，分别是ABC ?的边BC AB ，上的点，AB AD 21= ，BC BE 3 2 =， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ．1 2 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时，x x x f 4)(2 -=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示 为 ．(﹣5，0) ∪(5，﹢∞) 12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为 F ， 右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d = ，则椭圆C 的离心率为 ． 3 3 13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数x y 1 = （0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所值为 ．1或10 14．在正项等比数列}{n a 中，2 1 5= a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ．12 A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )． 解析 在同一坐标系中作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象可知，当x ∈(－∞，m )∪(2,4)，y <0，；当x ∈(m,2)∪(4，＋∞)时，y >0，(其中m <0)，故选A. 答案 A 2．(2012·合肥模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 010)＋f (2 011)的值为( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－2 010)＝f (2 010)． ∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (－2 010)＋f (2 011)＝f (2 010)＋f (2 011) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝0＋1＝1. 答案 C 3．(2012·人大附中月考) 设函数y ＝x 3与y ＝????12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析 (数形结合法)如图所示． 由1 4．(2011·四川)函数y ＝????12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )． 解析 函数y ＝????12x ＋1的图象如图；作其关于直线y ＝x 的对称图象，可知选A. 答案 A 5．(2010·辽宁)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )． A.10 B ．10 C ．20 D ．100 解析 由已知条件a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1 b ＝2，则log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2， 解得m ＝10. 答案 A 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 解析 (数形结合法) 由图象可知0＜2a ＜1，∴0＜a ＜1 2. 答案 ??? ?0，12 7．若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 ∵3－ 1＝13，30＝1，13＜0.618<1，∴k ＝－1. 答案 －1 8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I) 理科数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B?A D．A?B 2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )． A．－4 B． 4 5 - C．4 D． 4 5 3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )． A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0)的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x ± B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ± D．y＝±x 5．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )． A ． 500π3cm 3 B ．866π3 cm 3 C ． 1372π3cm 3 D ．2048π3 cm 3 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． 2013年湖北省理科数学高考试题 一．选择题 1．在复平面内，复数21i z i = +（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．已知全集为R ，集合112x A x ??? ???=≤?? ?????? ? ，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B = （ ） A.{}|0x x ≤ B.{}|24x x ≤≤ C. {}|024x x x ≤<>或 D.{}|024x x x <≤≥或 3．在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A.()()p q ?∨? B. ()p q ∨? C. ()()p q ?∧? D.p q ∨ 4．将函数()sin y x x x R = +∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴 对称，则m 的最小值是（ ） A. 12 π B. 6 π C. 3 π D. 56 π 5．已知04 π θ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与22 2222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ） A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等 6．已知点()1,1A -．()1,2B ．()2,1C --．()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A. C. - D.7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25 731v t t t =-+ +（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（ ） A. 125ln 5+ B. 11 825ln 3 + C. 425ln 5+ D. 450ln 2+ 8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. 1243V V V V <<< B. 1324V V V V <<< C. 2134V V V V <<< D. 2314V V V V <<< 数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________ 2012年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析 2012年湖北省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（2012?湖北）方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i 2．（2012?湖北）命题“?x 0∈C R Q，∈Q”的否定是（）A．?x 0?C R Q，∈Q B．?x0∈C R Q，?Q C． ?x 0?C R Q，∈Q D．?x0∈C R Q，?Q 3．（2012?湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为（） A．B．C．D． 4．（2012?湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为（） 8．（2012?湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（） A．1﹣ B．﹣C．D． 9．（2012?湖北）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（2012?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据x=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（） A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈ 二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答 选修4经典回顾 主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师 开篇语 选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力 开心自测 题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________． 题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23a PD = ，30OAP ∠=?，则CP ＝_________． 考点梳理 选修4—1几何证明选讲部分： 1．垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． D 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角． 4．圆内接四边形的判定定理： 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 5．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 7．相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 选修4—4中的坐标系与参数方程部分： 1. 极坐标与直角坐标的关系 设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ， 则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ?? 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷) 数 学(理科) 一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的一项。 1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=? B 、A ∪B=R C 、B ?A D 、A ?B 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B. 2、若复数z 满足错误！未找到引用源。 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A 、－4 （B ）－4 5 错误！未找到引用源。 （C ）4 （D ）45 【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题. 【解析】由题知z =|43|34i i +- ==3455i +，故z 的虚部为4 5，故选D. 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样错误！未找到引用源。 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题. 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C. 4、已知双曲线C ：22 22 1x y a b -=（0,0a b >> ）的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A . 14y x =± B .13y x =± C .1 2y x =± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.2013年湖北高考理科数学试卷答案解析
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