高考理科数学级第二次模拟考试

理科数学试卷

一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1．设集合}0|{≥+=m x x M ，}082|{2<--=x x x N ，若U ＝R ，且

?=N M U

，则实数m

的取值范围是（）

A ．m ＜2

B ．m ≥2

C ．m ≤2

D ．m ≤2或m ≤-4 2．不等式1

0x x

>成立的充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x >- C ．1x <-或01x <<

D ． 1x >

3．α

ααα2cos cos 2cos 12sin 22

?+= （）

(A)tan a (B)tan2a (C)1 (D)2

4．圆8)2()1(22=+++y x 上与直线01=++y x 的距离等于2的点共有

A ．1个

B ．2个

C ．3 个

D ．4个 5．.设两个非零向量12,e e 不共线，若12ke e + 与12e ke +

也不共线，则实数k 的取值范围为（）．

A ．(,1)(1,1)(1,)-∞-?-?+∞

B ．(,1)(1,)-∞-?-+∞

C ．(,1)(1,)-∞?+∞

D ． (,)-∞+∞

6. 三棱锥D —ABC 的三个侧面分别与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角A —BC —D 的大小为

A ． 300

B ． 450

C ．600

D ．900

7. 等比数列{}n a 前n 项的积为n T ，若3618a a a 是一个确定的常数，那么数列10T ，13T ，17T ，25

T 中也是常数的项是（）

A ． 10T

B ． 13T

C ．17T

D ． 25T

8．如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之

比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（）

A. S 点

B.Q 点

C.R 点

D. P 点

二. 填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9．若ABC ?的内角A 满足2

sin 23

A =

,则sin cos A A +=_______ 10．已知函数=-'-'+=)3

(,)31(2)(2f x f x x f 则

11．一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，则此

球的表面积为

12. 若函数)()(3x x a x f --=的递减区间为（33-

，3

），则a 的取值范围是 13．实数,x y 满足(6)(6)014x y x y x -++-≥??≤≤?,则y

x 的最大值是

14．设函数)2

12,0)(sin()(π?πω?ω<<->+=x x f ,给出以下四个论断：

①()f x 的周期为π；

②()f x 在区间（-6

π,0）上是增函数；

③()f x 的图象关于点（3π,0）对称； ④()f x 的图象关于直线12π=x 对称.

以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ? （只需将命题的序号填在横线上）．

答题卷

9、 10、 11、 12、 13、 14、

三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

、（本小题满分12分）

已知集合},2

{π

≤

≤=x x A 函数A x x x x f ∈--+=,12cos 32)4

(

sin 4)(2π

（1）求)(x f 的最大值及最小值；

（2）若不等式A x m x f ∈<-在2|)(|上恒成立，求实数。的取值范围. （本小题满分13分）已知向量,a b 满足||1a b == ,且|||(0)ka b a kb k +-> ,令()f k a b =?

，

（Ⅰ）求()f k a b =?

（用k 表示）；

（Ⅱ）当0k >时，f(x)≥x 2-2tx-2

对任意的[1,1]t ∈-恒成立，求实数x 的取值范围。

17. (本小题满分14分) 如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的

中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45 ．

（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；

（Ⅱ）求二面角C BD A --的平面角的余弦值大小；

（Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．

A B D

A 1

B 1

18. （本小题满分14分）（本小题14分）设()ax

f x x a

+(0)a ≠，令11a =，1()n n a f a +=，又1+?=n n n a a b ，n N +∈．

（１）判断数列1n a ??

????

是等差数列还是等比数列并证明；（２）求数列{}n a 的通项公式；

（３）求数列{}n b 的前n 项和．

19、设O 为坐标原点,曲线016222=+-++y x y x 上有两点P 、Q 满足关于直线

04=++my x 对称，又以PQ 为直径的圆过O 点.

（1）求m 的值; （2）求直线PQ 的方程.

20.（本小题满分14分）已知函数()log a f x x =和()2log (22),(0,1,)a g x x t a a t R =+->≠∈ 的

图象在2x =处的切线互相平行. (Ⅰ) 求t 的值；

（Ⅱ）设)()()(x f x g x F -=，当[]1,4x ∈时，()2F x ≥恒成立，求a 的取值范围.

参考答案

一、选择题答题卡（共8个小题，每小题5分，共40分）。

9．sin cos A A +=

32 11. 9π 12. a ＞0

13. 7 14 ①④?②③ 或 ①③?②④

三、解答题：（本大题共2小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.解：解：（1）∵12cos 322sin 212cos 32)]22

cos(

1[2)(+-=--+-=x x x x x f π

1)3

2sin(4+-

=π

x 又∵

≤

≤∴

≤

≤x x 即51)3

2sin(43≤+-

≤π

3)(,5)(min max ==∴x f x f

（2）∵2)(2)(2|)(|+<<-?<-x f m x f m x f

2)(2)(min max +<->?x f m x f m 且

53<<∴m

16．【解析】（Ⅰ）由题设得22||1a b == ，对|||ka b a kb +-

两边平方得

222

2223(2)k a ka b b a ka b k b +?+=-?+ …………………………………………………………2分

展开整理易得21

()(0)4k f k a b k k +=?=> ……………………………………………………5分（Ⅱ）2111

()4442

k k f k k k +==+≥，当且仅当k ＝1时取得等号. ……………………………7分欲使2

1()22f k x tx ≥--

对任意的[1,1]t ∈-恒成立，等价于2

11222

x tx ≥-- ……………9分即2()210g t xt x =-+≥在[1,1]-上恒成立，而()g t 在[1,1]-上为单调函数或常函数，

所以2

(1)210(1)210

g x x g x x ?=-+≥??-=--+≥?? ………………………………………………………………11分

故实数x

的取值范围为[11] ………………………………………………………14分

17．解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x

．取BC 中点E ，连AE ．

ABC ? 是正三角形，AE BC ∴⊥．

又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ．

AE ∴⊥侧面11BB C C ．

连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=

． ……………2分在AED Rt ?中，tan 45AE

= ，解得x = …………3分

∴此正三棱柱的侧棱长为 ……………………4分

注：也可用向量法求侧棱长．

（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，

⊥AE 侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．

AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角． ……………………………6分在BEF Rt ?中，sin EF BE EBF =∠，又

1,sin CD BE EBF BD =∠=

== ∴EF =．

又AE

∴在AEF Rt ?中，tan 3AE

AFE EF

∠=

=． …………………………8分故二面角C BD A --的大小为arctan 3． …………………………9分

解法2：（向量法，见后）

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为AF ，∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面ABD ． …………10分

在AEF Rt ?中，AE EF

EG AF

． …………12分 E 为BC 中点，∴点C 到平面ABD 的距离为210

EG =

． …………13分解法2：（思路）取AB 中点H ，连CH 和DH ，由,C A C B =D A D B =，易得平面ABD ⊥平面CHD ，

且交线为DH ．过点C 作CI DH ⊥于I ，则CI 的长为点C 到平面ABD 的距离．

B D

A 1

B 1

C E

F G H

解法3：（思路）等体积变换:由C ABD A BCD V V --=可求．解法4：（向量法，见后）题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系

则(0,1,0),(0,1,0),(A B C D -设1(,,)n x y z =

为平面ABD 的法向量．

由?????=?=?0,021n AB n 得0y y ?=?-+=取1().n =

…………6分

又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n =

…………7分

∴10

1)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-??--=

?>=

…………10分 ∴点C 到平面ABD 的距离d =2

221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---?-=＝

2．13分 18. 解：(1) 由1()n n a f a +=得: 1n

n n a a a a a

+?=

+,……（2分）

变形得: 11()n n n n a a a a a ?++=-即:

1111n n a a a

+-=, ………（４分） ∴数列1n a ??????是首项为1,公差为1

a 的等差数列. ………（5分）

(2) 由(1)得:

1(1)n n a a

=+-, ………（7分） 11n n a a a -+= , ∴1

n a

a n a =+-………（9分） (2) 由(1)知: 11()n n n n n

b a a a a a ++=?=- ………(11分）

∴11()(1)n n a S a a a a n a +=-=-

+na

n a

+………（1４分）． 19、20．解: (1) 曲线016222

=+-++y x y x

表示以)3,1(-为圆心,以3为半径的圆, 圆上两点P 、Q

满足关于直线04=++my x 对称,则圆心)3,1(-在直线04=++my x 上,代入解得

.1-=m -------------------------------------3分

(2)直线PQ 与直线4+=x y 垂直,所以设PQ 方程为

b x y +-=,),,(11y x P ),(22y x Q .

将直线b x y +-=与圆的方程联立得016)4(2222

=+-+-+b b x b x

由,0>?解得232232+<<-b .----------------------5分

6,422121+-=-=+b b x x b x x .

又以PQ 为直径的圆过O 点

OQ OP ⊥∴02121=+∴y y x x 解得1=b ).232,232(+-∈-----------------10分

故所求直线方程为.01=-+y x -----------------------------------------------------------12分

20．解：(Ⅰ) 14()log ,()log 22

a a f x e g x e x x t ''=

=+- ………………………3分 ∵函数()f x 和()g x 的图象在2x =处的切线互相平行

(2)(2)f g ''∴= …………………………………………………5分 14

log log 22

a a e e t ∴=+ 6t ∴= ………………………………………………………………6分（Ⅱ）6t =

()()()F x g x f x ∴=-2log (24)log a a x x =+－

[]2

(24)log ,1,4a x x x +=∈ …………………………………………7分

令[]2(24)16

()416,1,4x h x x x x x +=

=++∈ []22

164(2)(2)()4,1,4x x h x x x x -+'=-

=∈ ∴当12x ≤<时，()0h x '<,当24x <≤时，()0h x '>.

∴)(x h 在[)1,2是单调减函数，在(]2,4是单调增函数. …………………………9分

min ()(2)32h x h ∴==，()(1)(4)36max h x h h ∴===

∴当10<a 时，有min ()log 32a F x =. ∵当[]1,4x ∈时，()2F x ≥恒成立, ∴min ()2F x ≥ …………………………11分 ∴满足条件的a 的值满足下列不等式组

不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1a <≤综上所述，满足条件的a

的取值范围是：1a <≤ ……………………13分