拉氏变换与反变换 参考
2 机电控制工程数学基础
本章主要内容、基本要求、重点和难点 主要内容
(1) 复数及复数表示方法,复变函数概念。 (2) 初等函数定义,复变函数的导数。 (3) 复变函数积分,计算方法。 (4) 罗朗级数、留数定理。
(5) 拉氏变换定义、常用函数拉氏变换、拉氏变换性质、拉氏反变换。 基本要求
(1) 了解复变量的表示方法,复变函数的概念,会计算留数。
(2) 了解拉氏变换定义,并用定义求常用函数的拉氏变换,会查拉氏变换表。 (3) 了解拉氏变换性质及其应用。 (4) 会用部分分式法,求拉氏反变换。 重点:复变函数表示方法;拉氏变换的定义;用拉氏变换的定义求常用函数的拉氏变换;拉氏变换性质及应用,用部分分式法求拉氏反变换。
难点:
(1) 建立在复数域描述一个函数的概念。而初学者习惯于时间函数。通过拉氏变换这一数学工具将时间函数变为复域的函数,其优点是将微分方程变换为代数方程,使对系统的分析、综合方便。
(2) 拉氏变换性质的应用。
学习本章时,一般了解复变函数概念,复数表示方法;了解拉氏变换定义及其性质的推导过程,通过作习题,熟练掌握各性质的应用,为后继章节学习打下基础。
2.1 复变量及复变函数 (1) 复数的概念
在学习初等代数时,已经知道在实数范围内,方程
012=+x
是无解的,因为没有一个实数的平方等于–1。由于解方程的需要,人们引进一个新数j,称为虚单位,并规定
12-=j
从而j 是方程012
=+x 的一个根。 对于任意二实数x,y 我们称jy x z +=为复数,其中x,y 分别称为z 的实部和虚部,记
作
)()(z I y z R x m e ==
当x=0 时, jy z =称为纯虚数;当y=0时, j x z 0+=,这时z 就是实数。
要注意复数与实数有一些不同,如:两个复数相等,必须它们的实部和虚部分别相等。一般说来,任意两个复数不能比较大小。
(2) 复数的代数运算
两个复数111jy x z +=,222jy x z +=
1) 加减法的定义:
)()()()(21212211y y j x x jy x jy x ±+±=+±+
2) 乘法的定义
)()())((211221212211y x y x j y y x x jy x jy x ++-=++
3) 除法的定义
设 0222≠+=jy x z
2
2
222
212222*********y x y x y x j y x y y x x jy x jy x +-+++=++ 复数的运算和实数的情形一样,也满足交换律、结合律和分配律。
4) 共轭复数
实部相同而虚部正负号相反的两个复数称为共轭复数,与z 共轭的复数记作z 。如果jy x z +=则jy x z -=。
(3) 复数的几种表示法
1)点表示法,由于任一复数jy x z +=与一对实数x,y 成一一对应,所以对于平面上给定的直角坐标系,复数jy x z +=可以用坐标为(x,y)的点来表示,这是一个常用的表示法,x 轴称为实轴,y 轴称为虚轴,两轴所在的平面称为复平面或Z 平面,这样,复数与复平面上的点成一一对应。
2)向量表示法或极坐标表示法。向量表示法即用从坐标原点指向点(x,y)的向量表示,如图2-1-1所示。向量的长度称为Z 的模或绝对值,记作
图
22y x r z +=
=
在z ≠0的情况,向量与x 轴的夹角θ称为z 的相角,记作
θθ===∠-z Arg x
y tg z 或1
θ角逆时针为正,顺时针为负。
任何一个复数z ≠0有无穷多个相角,如果θ1是其中的一个,那么
为任意整数)Ak k
z rg (21πθ+=
就给出了z 的全部相角。在z ≠0的相角中,我们把满足–π<θ1≤π的θ1称Arg z 的主值。
3)三角表示法和指数表示法。复数的直角坐标与极坐标的关系如下: θθsin ,cos r y r x ==
复数z 可以表示为
该式称为复数的三角表示法。
再利用欧拉公式θθθ
sin cos j e
j +=,又可得
)exp(θθ
θj z z e z re z j j ===或者
这种形式称为复数的指数表示法
复数的各种表示法可以相互转换,以适应不同问题时的讨论。
例 将j z 212--=化为三角表示式和指数表示式。 解:
3
31224
412=
--===+==x y tg z r θ
由于z 在第三象限,所以 πθ6
5
-= z 的三角表示式是
)
6
5
sin 65(cos 4)65sin()65cos(4ππππj j z -=?
?????
-+-= z 的指数表示式是 π6
54j e
z -=
例 求复数j
z 211
+=
的实部、虚部、模值与相角。
解: j j j j j z 5
2
51)21)(21(21211-=-+-=+=
?
-=-=-
===
??
?
??-+??? ??=-
==--43.6325
152447.05552515
2
)(,51)(112
2tg tg r z I z R m e θ (4)关于模与相角定理
1)乘积:设有两个复数 21
2211,θθj j e r z e
r z ==
2121定理:两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的相角等于它们的相角的和。
推论 )
(212121n j n n e r r r z z z θθθ+++?=?
2)商:设有两个复数21
2211,θθj j e r z e r z ==
当z 1≠0时,
)
(1
212121212θθθθ-==j j j e r r e r e r z z 2.1.1复变函数的概念
(1) 复变函数的定义
设G 是一个复数iy x z +=的集合,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于集合G 中的每一个复数z ,就有一个或几个复数jv u w +=与之对应,那未称复变数w 是复变数z 的函数简称复变函数,记作
)(z f w = (2) 复变函数的极限
极限运算法则:
设 B z g A
z f z z z z ==→→)(lim )(lim 0
和,那么
1)[]B A z g z f z g z f z z z z z z ±=±=±→→→)(lim )(lim )()(lim 0
;
2)[]B A z g z f z g z f z z z z z z ?==→→→)](lim )][(lim [)()(lim 0
;
3)当0)(lim 0≠→z g z z 时, B
A
z g z f z g z f z z z z z z ==→→→)(lim )
(lim )()(lim 0
00 。
2.1.2导数
例 求2
)(z z f =的导数 解:因为
z
z z z z z z z z f z z f z z z 2)2(lim )(lim )()(lim 0
2200=?+=?-?+=?-?+→?→?→? 所以 z z f 2)(='
例 问yj x z f 2)(+=是否可导? 解:这里
yj
x yj x z
yj
x j y y x x z z f z z f z z z ?+??+?=?--?++?+=?-?+→?→?→?2lim
2)(2)(lim )()(lim
000
设z z ?+沿着平行于x 轴的方向趋向于z (图2-1—2)
因而0=?y 。这时极限
1lim 2lim
00=??=?+??+?→?→?x
x
yj x yj x z z 设z z ?+沿着平行于y 轴的方向趋向于z , 因而0=?x 。这时极限 图 22lim 2lim
00=??=?+??+?→?→?yj
yj
yj x yj x z z
所以yj x z f 2)(+=的导数不存在。 (2) 求导法则,由于复变函数中导数的定义与实变函数中导数的定义在形式上完全相同,而且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中的一样,因而实变函数中的求导法则在复变函数中也都完全相同,而且证法也是相同的。现将几个求导公式与法则罗列于下:
1) 0)(='c ,其中c 为复常数。 2) 1
)(-='n n
nz z ,其中n 为正整数。
3) [])()()()(z g z f z g z f '±'='± 。
4)
[])()()()()()(z g z f z g z f z g z f '+'=
' 。
5) [])()()()()(1)()(2
z g z f z f z g z g z g z f '-'='??
????,0)(≠z g 。 6)
[]{})()()(z g w f z g f ''=
',其中)(z g w = 。
2.1.3 解析函数和调和函数
(1) 解析函数的概念
例 )s i n (c o s )(y j y e z f x
+= 解:因为 y e v y e u x x
s i n ,c o s
==
y e y
u
y e x u
x x sin ,cos -=??=??
y e y
v
y e x v
x x cos ,sin =??=?? 从上面可得:
x
v y u y
v x u ??-=????=??, 由于上面四个一阶偏导数都是连续的,所以f(z)在复平面上处处解析。
2.1.4 几个初等函数的定义 (1) 指数函数
由)sin (cos y j y e e e e
e x jy x jy
x z
+=?==+,所以
① x z
e e
=
),2,1,0(2 ±±=+=k k y Arge z
π
② z
e 在复平面上解析,且
z
z
e e =')( (参阅导数)
③ z
e 是以2πj 为周期的周期性,即
),2,1,0()2sin 2(cos 22 ±±==+=?=+k e k j k e e e e z
z j k z k j z 式中ππππ
④ 加法定理
2
12
1
2
121z z z z z z z z e
e e e e e -+==
例 求j
e w +=1的实部、虚部、模和相角。
解:因为)1sin 1(cos 1j e e
j
+=+,所以
e
e e e
I e e R j j
m j e ===+++1111sin )(1
cos )(
),2,1,0(21)(1 ±±=+=+k k e
Arg j
π
主值 1)a r g (1=+j
e
例 证明 z
z
e e =
证:因为)sin (cos y j y e e x z
+=,所以
z
jy
x x x z e
e
y j y e y j y e e ==-+-=-=-))sin()(cos()sin (cos
(2) 对数函数 性质
212
1
2
121)(Lnz Lnz z z Ln
Lnz Lnz z z Ln -=+=
但应注意,这些等式右端必须取适当的分支才能等于左端的某一分支。
例 求下列各式的值及其主值:
1))1(-Ln 2))2(j Ln +- 解:1)
π
ππ
j j In In k k j k j j In Ln =-+-=-±±=+=+-+-=-)1arg(1)1(),2,1,0()12(2)1arg(1)1(
2)
)
2
1
(5)2()
,2,1,0(21)12(52)2
1
(52)2arg(2)2(arctg j In j In k arctg k j In k j arctg j In k j j j j In j Ln -+=+-±±=?
????
?
-++=+-+=++-++-=+-πππ
ππ
(3) 幂函数 性质 ① ),,0(212
12
1是复常数αααααα
≠=+z z z
z
②α
z 的每一单值分支在相应的Lnz 的解析域内也解析,且 1)()(-=?
='='αααα
αα
z z
e e
z Lnz Lnz
按α取值又可分成如下几种情形:
a. 当n =α,n 是正整数时,n
z w =是复平面上的单值解析函数。
b. 当n
1
=α,n 是正整数时,n z w 1
=包含n 个单值分支,即
)
1,,2,1,0(2arg sin
2arg (cos
1)2arg (1
11-=+++===++n k n
k z j n k z z e
e
z n
k j z j z Ln n
Lnz n n π
ππ c. 当n
m
=α,n 是正整数,m 是整数时,n m
z w =仍包含n 个单值分支,即
)
1,,2,1,0()2(arg sin )2(arg cos -=?
??
??+++=n k k z n m j k z n m z z
n
m n
m ππ
d. 当α是无理数或虚数时,α
z w =包含无穷多个单值分支 (4) 三角函数
三角函数的性质
① z sin 和z cos 在复平上解析,且
z
z z
e e j e e z jz jz jz
jz sin )(cos cos 22)(sin -='=+=
'
???
? ?
?-='--
② 周期性 ??
?=+=+z k z z
k z cos )2cos(sin )2sin(ππ
③ 奇偶性 ?
?
?=--=-z z z
z cos )cos(sin )sin(
④ 加法定理 ??
?=±±=±2
121212
12121sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(z z z z z z z z z z z z
⑤ 平方关系 1cos sin 2
2
=+z z
注意:z z cos sin 和的模可以大于1,例如:
2
cos 1e
e i +=->1
只要Z 的虚部足够大,z z cos ,sin 的模可以大于任何正数,
也就是说,∞→y 时,z sin
和z cos 越趋于无穷大。
2.1.5复变函数积分定义及计算
积分存在的条件
若),(),()(y x jv y x u z f +=在光滑的简单曲线C 上连续,则)(z f 沿C 的积分存在,且
????++-=++=c
c
c
c
udy vdx j vdy udx jdy dx jv u dz z f ))(()(
所以复变函数的积分相当于两个实变函数的线积分。
性质。与实变函数中定积分的性质类似。
1)
??--=c
c dz z f dz z f 1
)()(
2)?
?
=c
c
dz z f k dz z kf )()(,k 为常数。
3)
[]???±=±c
c
c
dz z g dz z f dz z g z f )()()()(
积分的计算
1) 化为两个二元实函数的线积分,即
???++-=c
c
c
udy vdx j vdy udx dz z f )(
2) 化为对实参量的定积分 设曲线C :,
)(,
)(t y t x x =(a ≤t ≤b )
则 b t a t jy t x t z ≤≤+=),()()(
?
?'=c
b
a
dt t z t z f dz z f )()]([)(
其中 )()()(t y j t x t z '+'='
例 计算?
c
zdz ,其中C 为从原点到点3+4j 的直线段,如图a 所示。
解:直线的方程可写作 ,4,3t y t x == 0≤t≤1
或 ,43t j t z += 0≤t≤1 在C 上,,43t j t z +=,,)43(dt j dz +=,于是
0 3 x 0 (1,0) x
图 a 图b
21
2
1
2
)43(2
1
)
43()43(j tdt j tdt j zdz c
+=
+=+=??? 例 求?
c dz z 。其中C 是从1到j 的直线段。如图b 所示。
解:因为C 的直线方程为 ,,1t y t x =-= 0≤t ≤1 即 jt t z +-=)1( ,又 jt t z dt j dz --=+-=)1(,)1(
所以
dt j jt t dz z c
)1]()1[(1
+---=??
j jt t t dt j t =+-=+-=?1
210
)()12(
例 求
?+-c
n z z dz
10)(,其中C 为以0z 为中心,r 为半径的正向(逆时针方向)圆周,n 为整数如图c 所示。 y r解:圆的参数方程为
θ
πθθsin 20,cos r b y r a x +=≤≤+=
因此圆的复数方程为
θ
θθπθθθj re z j r jb a r b j r a z +=+++=≤≤+++=0)sin (cos 20,)sin (cos
故 θθ
θj j re z z d jre dz 1
1,
0=-= 所以 ????-+++=?=?=-π
θ
π
θπ
θθ
θθθ20
2020)1(11
0)(d e r j
d e
r j d e r
jre z z dz
jn n jn n n j n j c n 当n=0时, ??==-c j d j z z dz
πθπ
2200 当n ≠0时,??=-=-+c n n d n j n r j
z z dz 0)sin (cos )
(20
1
0π
θθθ
所以
???≠==-?+0,00,2)
(10n n j z z dz
c n π 这个结果以后经常要用到,应记住。
例 求积分
?
-c
z z dz
,此处C 是不包围0z 点的任一闭曲线。 解:设 000jy x z +=,则积分为
?
?
?
??-+---+--+-+---+--=-+--+-=--=-c
c
c
c c y y x x x x
d y y y y d x x j y y x x y y d y y x x d x x y y j x x y y j x x d z z z z d z z dz 2
0200000202000000000000)()()()()()()()()()()()()
()()]()[()(
利用高等数学中格林公式可求得此积分为零。
2.1.6 柯西定理
例 求下列积分的值: 1)
?=4
sin 21z dz z z
j
π ; 2) ?
=-++4
)3
2
11(
z dz z z 解:1)由?-=
c
dz z z z f j z f 00)
(21)(π式可知:0,sin )(0==z z z f
00sin )sin()(00===z z f 所以
0)sin(sin 21
04
==?=z dz z z
j
z π 2)根据积分性质
j j j z dz
z dz
dz z z z z z πππ62212321)3
211(
4
44
=?+?=-++=-++???
=== 2.1.7 台劳级数和罗朗级数
例 计算积分dz z ze c z
?-1
2
,C 为正向圆周:|z|=2。 解:由于f(z)=1
2-z ze z
有两个极点+1,-1,而这两个极点都在圆周|z|=2内,所以
{}}1),([Re }1),([Re 212-+=-?z f s z f s j dz z ze c z
π, 21lim 1)1(lim ]1),([Re 121e
z ze z ze z z f s z z z z =+=--=→→
21lim 1
)1(lim ]1),([Re 1
121--→-→=
-=-+=-e z ze z ze z z f s z z z z 故 )(1
12-+=-?e e j dz z ze c z
π
例 计算积分dz z z e c z
?-2
)1(,C 为正向圆周:|z|=2。 解:z=0为被积函数的一阶极点,z=1为二阶极点,而
1)1(lim )1(lim ]0),([Re 2
020=-=-=→→z e z z ze z f s z
z z z
0)
1(lim )(lim
])1()1[(lim )!12(1]1),([Re 2
1122
1=-==---=→→→z z e z e dz d z z e z dz d z f s z
z z z z z
所以
{}j
j z f s z f s j dz z z e c z
πππ2)01(2]1),([Re ]0),([Re 2)1(2=+=+=-?
2.3 拉氏变换的定义及常用函数的拉氏变换 2.
3.1 拉普拉斯变换的定义
设函数f(t)定义在实轴上,假定它满足下列三个条件: 当t<0时,f(t)=0; 当t ≥0时,f(t)在任何有界区间上至多只有有限个间断点,即f(t)在任何有界区间上可积; 当t→ +∞ 时,f(t)具有有限增长性,即存在常数M>0及α≥0,使得t
Me t f α≤)(,0≤t <∞。
上述条件称为狄利赫利条件。
满足狄利赫利条件的函数f(t)的拉普拉斯变换为
[]?∞
-==0
)()()(dt e t f t f L s F st
其中ωσj s +=为复数。
F(s)称为f(t)的象函数,而f(t)为F(s)的原函数。
2.3.2常用函数的拉普拉斯变换
(1) 单位阶跃函数的拉普拉斯变换 单位阶跃函数为
??
?<≥=0
01)(t t t u
根据拉普拉斯变换的定义,单位阶跃函数的拉普拉斯变换为
[][]??∞
-∞-===0
)()(1dt e dt e t u t L s F st st
)0)((110
>=
-=∞
-s R s
e s
e st
(2) 单位脉冲函数的拉普拉斯变换 单位脉冲函数为
???
??
??=???=∞≠=?∞
∞-1)(000)(dt t t t t δδ 根据拉普拉斯变换的定义,单位脉冲函数的拉普拉斯变换为
[][]1)()()()()(0000000==+===????+
-
+
+
-
-
?-∞
--∞
-dt e t dt e t dt e t dt e t t L s F s st st st δδδδδ
(3) 单位斜坡函数的拉普拉斯变换 单位斜坡函数为
??
?≥<=0
00)(t t
t t u
根据拉普拉斯变换的定义,单位斜坡函数的拉普拉斯变换为
[][]?∞
-==0
dt te t L s F st 0)(1
12
00
>=+?-=?∞
-∞
-s R s
dt e s e s t
e st st
(4) 位抛物线函数的拉普拉斯变换
单位抛物线函数为
???
??≥<=0
2
100)(2
t t t t u
根据拉普拉斯变换的定义,单位抛物线函数的拉普拉斯变换为
[]0)(1
21]21[0
3
22>===?∞
-s R s dt e t t L s F e st
(5) 指数函数的拉普拉斯变换 指数函数:
???≥<=-0
00)(t e
t t u at
根据拉普拉斯变换的定义,指数函数at
e
-的拉普拉斯变换为
[]?∞
---?==0][dt e e e
L s F st at at
a
s e
a
s dt e
t
a s t
s a +=
+-==?∞
∞
+-+-1
10
)()( 同理可得 [][]a
s e
L s F at
-==1
(6) 幂函数)1(->n t n
的拉普拉斯变换。
[]
0)Re(!)
1(>=+s s n t L n n
2.4 拉氏变换的性质
(1) 线性性质
拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性。拉氏变换的齐次性是:一个时间函数乘以常数时,其拉氏变换为该时间函数的拉氏变换乘以该常数。 若 [])()(s F t f L =
则 [])()(s kF t kf L = 其中 k 为常数。
拉氏变换的叠加性是:两个时间函数)(1t f 与)(2t f 之和)(t f 的拉氏变换等于)(1t f 、)(2t f 的拉氏变换)(1s F 、)(2s F 之和。即
[])()(11s F t f L =;[])()(22s F t f L =
则 [][][])()()()()(2121s F s F t f L t f L t f L +=+= 例 求t ωcos 及t ωsin 的拉氏变换。 解:根据欧拉公式
t j t e t j ωωωsin cos +=
t j t e t j ωωωsin cos -=-
则 )(2
1c o s t j t
j e e t ωωω-+=
)(2
1s i n t j t
j e e j t ωωω--=
又根据拉普拉斯变换的线性性质,有 [][][]
t j t j e L e L t L ωωω-+=
2
1
21c o s []
)(1ωωj s e L t j -=
, []
ω
ωj s e L t
j +=
-1 所以 []2
222)(2)()()(21)(21cos ωωωωωωω+=+-++=++-=
s s
s j s j s j s j s t L 同理 []2
222)(22)(121)(121sin ωωωωωωω+=+=+?--?=
s s j j j s j j s j t L 例 已知t
e t
f 21)(--=,求)(t f 的拉氏变换。
解:应用线性性质,则 )
2(2
211)]([)(+=
+-==s s s s t f L s F (2)微分性质 若[])()(s F t f L =,则
)0()()(f s sF t f dt d L -=??
?
???
例 已知m
t t f =)(,m 为整数,求)(t f 的拉氏变换。 解:由于0)0()0()0()
1(==='=-m f f f ,且!)()(m t f m =,由拉氏变换微分性
质得
[][])()()(t f L s t f L m m = ,又因[]
[]s m m L t f L m !!)()(==
故 [][
]
1)
(!)()(+==m m m s m s t f
L t f L
(3) 积分性质 若[])()(s F t f L =,则
[]
)()()(=??+=t s
dt t f s s F dt t f L
例 已知?
=ktdt t f sin )(,k 为实数,求)(t f 的拉氏变换。 解:根据拉氏变换的积分性质得 [][]
?
=ktdt L t f L sin )(
=
s
1
L []kt sin )
(2
2
k s s k +=
(4) 延迟性质
如图2-4-1所示,原函数沿时间轴平移τ,
平移后的函数为f (t -τ)。该函数满足下述条件 t<0时,f (t)=0 t<τ时, f (t -τ)=0 若L[f(t)]= F(s),则 图2-4-1 L[f (t-τ)]=e -s τ F(s) ,)
(0≥τ
例 求函数 ??
?≥<=-τ
ττt t t u ,
1,
0)(的拉氏变换。
解:由延迟性质得:
[][]s e t L e
t u L s s ττ
τ--==-)(1)(
(5) 位移性质
若[])()(s F t f L =,则)()]([a s F t f e L at
+=-
例 求t e
at
ωsin -的拉氏变换。
解:因为 2
2][s i n ω
ω
ω+=s t L 故 2
2
)(]sin [ω
ω
ω++=
-a s t e
L at
例 求下面各图所示函数的拉氏变换。
2
T
图2-4-2 图2-4-3
解: 图2-4-2可表示成如下时间函数: )3(12)2(1
)()(1)(T t a T t T
T t T a t a t f -?----+
?= 利用延迟性质,求得f (t)的拉氏变换为 Ts Ts Ts e s a e Ts a e Ts a s a s F 32221
2)(-----+=
图2-4-3三角波可表示为 )(4
)2(84)(2
22T t T T t T
t T t f -+--=
利用延迟性质,求得f (t)的拉氏变换为
)21(4
484)(222222222Ts s T
Ts Ts e e s
T e s T e s T s T s F ----+-=+-=
(6) 时间尺度性质 若)()]([s F t f L =,则
01)]([>??
????=
a a s F a at f L
(7) 初值定理
若L[f(t)]= F(s),且)(lim s sF s ∞
→存在,则
)(lim )(lim )0(0
s sF t f f s t ∞
→→==
(8) 终值定理
若L[f(t)]= F(s),且)(lim t f t ∞
→存在,则
)(lim )(lim )(0
s sF t f f s t →∞
→==∞
例 已知F(s)=
a
s +1
,求f(0)和f (∞)。 解:由初值定理和终值定理可得 )(lim )0(s sF f s ∞
→==a s s
s +∞
→1
lim =1 ==∞→)(lim )(0
s sF f s a
s s
s +→1
lim 0
=0 例 已知F(s)=
2
21
a
s +,求f(0)和f (∞)。 解:由初值定理得
0lim
)0(2
2=+=∞→a s s
f S
由于ja s ±=是)(s sF 的奇点,位于虚轴上,不能应用终值定理,既)(∞f 不存在。
例
(1) 拉氏变换的数学表达式为( )。
①
dt e t f st
-∞
∞
-?
)( ;②
dt e
t f t
j ω-∞
∞
-?
)( ;③ dt e t f st
?∞0
)( ;④ dt e t f st -∞
?0
)( 。
答:④ 。
(2) 已知误差函数)
12(1
)(2
+++=
s s s s s E ,则由终值定理可知其稳定误差==∞
→)(lim t e e t ss ( )。
① 1 ;② ∞ ;③ 0 。
答:1)
12(1
lim )(lim 2
=+++?
==→∞
→s s s s s t e e s t ss ,所以选择 ① 。 (3) 已知函数t
te t f 52)(--=的拉氏变换为( )。
①
2)5(12+-s s ;② s e s s 52
12--;③ 2)5(12--s s ;④ 5
11++s s 。 答:依据线性性质和位移性质选择 ① 。
(4) 图2-4-4所示函数的拉氏变换为( )。
图2-4-4 ①
s a ;② s e s τ-1;③ s e s a τ-;④ s e s
a
τ。 答:因为)()(τ-=t a t x ,依据延迟性质,)(t x 的拉氏变换为s
e s
a τ-。所以选择 ③ 。 (5) 已知5
41
)(2
++=
s s s F ,其原函数)(t f 为( )。 ① t e t sin 2-;② t e t sin 2; ③ t e t 2sin -; ④ t e t cos 2 。
答:由于1
)2(1541)(2
2++=++=
s s s s F ,其原函数为t e t f t
sin )(2-=所以选择①。 2.5 拉氏反变换 。 2.5.1 拉氏反变换的定义 部分分式法
例 已知2
33
)(2
+++=
s s s s F ,求?)(=t f
解:因)(21),2)(1(23)(2
s F s s s s s s s D 是和-=-=++=++=的一阶极点,可得 2
1)(21+++=
s C
s C s F 式中 21)1()2)(1(3
1=-=++++=
s s s s s C
12
)2()2)(1(3
2-=-=++++=s s s s s C
所以 )0(2)(2>-=--t e e t f t
t
。
例 求)
3()2(1
)(3++=
s s s s F 的原函数。
解:32)2()2()(3213212
311++++++++=s C s
C s C s C s C s F
4
1
)3()32(])3(1[])2()([2
1)
3(1
)2()(2
2
2
223122
2
311=
++-=+=+=
-
=+=+=-=-=-=-=-=s s s s s s s s s s ds d s s F ds d C s s s s F C 83
)3(])32()3([221])3()32([!21]
)3(1[!21])2()([!212
3
42
2222
2223
2213-=++-+?-=++--
=+=+=-=-=-=-=s s s s s s s s s s s s s ds d s s ds d s s F ds d C
241)
3()2(1
)(0
302=
++=
?===s s s s s s F C 3
1)2(1)3()(3
3
33=+=
+?=-=-=s s s s s s F C (提示: 2
v v u v u v u '-'='
??
?
??) 所以,331241283)
2(41)2(21)(2
3++++-+++-
=s s s s s s F
查表可得
24
131)5.1(4131241834141)(32222222++-+-=++-+-=------t t t
t t t e e t t e
e te e t t
f 例 已知)
1(10
)(+=
s s s F 。
(1) 用终值定理,求∞→t 时的f(t)的值。
(2) 通过取F (s )的拉氏反变换,求∞→t 时f(t)的值。 解:方法1,由终值定理知:
方法2,利用部分分式法将)(s F 改写成
1
10
10)1(10)(+-+
=+=
s s s s s F 则可知)(s F 的拉氏反变换为
t e t f --=1010)(
则 1010lim 10)(lim =-=-∞
→∞
→t
t t e t f
例 已知 2
)
2(1
)(+=
s s F 。 (1)利用初值定理求)0(f 和)0(f
的值。 (2)通过取F(s)的拉氏反变换求)(t f ,并求)(t f
及)0(f 和)0(f 。 解:(1) 0)2(lim
)(lim )(lim )0(2
=+=?==∞→∞
→→s s
s F s t f f s s t
因为 [])0()()0()0()()()(220
f s F s f f s s F s dt e
t f t f L st
'-='-?-=?=-∞
?
两边取极限s →∞,0)0()(lim )(lim 2
0='-=??
????''∞
→-∞∞→?f s F s dt e t f s st s
所以 1)2(lim
)(lim )0(2
2
2
=+=='∞→∞→s s s F s f s s 10
)
1(10
lim )(lim )(lim 0
=+==→→∞
→s s s
s sF t f s s t
拉氏变换和z变换表
附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.拉氏变换的基本性质 附表A-1 拉氏变换的基本性质 1()([n n k f t dt s s -+= +∑?个
2.常用函数的拉氏变换和z变换表 附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式,即 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中,系数n n a a a a ,,...,,110-和011,, ,,m m b b b b -都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理 可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 (1)0)(=s A 无重根:这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式,即 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根;i c 为待定常数,称为()F s 在i s 处的留数,可按下列两式计算:lim()()i i i s s c s s F s →=- (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3)
式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数为 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=1 i n s t i i c e =∑ (F-4) (2)0)(=s A 有重根:设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…,n s 为F(s)的n r -个单根;其中,1+r c ,…,n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算,r c ,1-r c ,…,1c 则按下式计算: )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ 11lim [()()]i r r s s d c s s F s ds -→=- )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) )()(lim )!1(11)1() 1(11s F s s ds d r c r r r s s --=--→ 原函数)(t f 为 [])()(1 s F L t f -= ??????-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11 111 1111)()() ( t s n r i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+?? ????+++-+-=112211 1 )!2()!1( (F-6)
拉氏变换与反变换
拉氏变换与反变换 机电控制工程所涉及的数学问题较多,经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦,如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程,可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算,又能够单独地表明初始条件的影响,并有变换表可查找,因而是一种较为简便的工程数学方法。 拉普拉斯变换的定义 如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数 ()t f ,它的定义域是 0≥t ,那么 ()t f 的拉普拉斯变换定义为 ()()()0e d st F s L f t f t t ∞ -=?????? 式中, s 是复变数, ωσj +=s (σ、ω均为实数), ?∞ -0 e st 称为拉 普拉斯积分; )(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换,它是一个复变函数,通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数,而称 )(t f 为 )(s F 的原函数;L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式()表明:拉氏变换是这样一种变换,即在一定条件下,它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。 几种典型函数的拉氏变换
1.单位阶跃函数 )(1t 的拉氏变换 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一,常以它作为评价系统性能的标准输入,这一函数定义为 ?? ?≥)0(1 )0(0 )(1t t t 单位阶跃函数如图所示,它表示在 0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。 单位阶跃函数的拉氏变换式为 0e 1 d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-?st st s t t t L s F 当 0)Re(>s ,则 0 e lim →-∞→st t 。 所以 []s s s t L st 1)1(00e 1)(1= ??????--=∞-=-()
拉氏变换与反变换
2.5 拉氏变换与反变换 机电控制工程所涉及的数学问题较多,经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦,如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程,可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算,又能够单独地表明初始条件的影响,并有变换表可查找,因而是一种较为简便的工程数学方法。 2.5.1 拉普拉斯变换的定义 如果有一个以时间为自变量的实变函数,它的定义域是,那么的拉普拉斯变 换定义为 (2.10) 式中,是复变数,(σ、ω均为实数),称为拉普拉斯积分;是函数 的拉普拉斯变换,它是一个复变函数,通常也称为的象函数,而称 为的原函数;L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式(2.10)表明:拉氏变换是这样一种变换,即在一定条件下,它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 。 2.5.2 几种典型函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数 的拉氏变换 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一,常以它作为评价系统性能的标准输入,这一函数定义为 单位阶跃函数如图2.7所示,它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。 单位阶跃函数的拉氏变换式为 当,则。 所以 t ()t f 0≥t ()t f ()()()0 e d st F s L f t f t t ∞ -=??????s ωσj +=s ?∞ -0 e st )(s F )(t f )(s F )(t f )(t f )(s F )(s F )(1t ?? ?≥)0(1 )0(0)(1t t t 0=t 0e 1 d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-?st st s t t t L s F 0)Re(>s 0 e lim →-∞ →st t
拉普拉斯变换和逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法,而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。 第一节 拉普拉斯变换 在代数中,直接计算 32 8 .95781 2028.6?? =N 5 3) 164.1(? 是很复杂的,而引用对数后,可先把上式变换为 164 .1lg 53 )20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N 然后通过查常用对数表和反对数表,就可算得原来要求的数N 。 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法,而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。 一、拉氏变换的基本概念 定义 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分 ()pt f t e dt +∞ -? 在P 的某一区域内收 敛,则此积分就确定了一个参量为P 的函数,记作()F P ,即 dt e t f P F pt ? ∞ +-= )()( () 称()式为函数()f t 的拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为()f t 的 拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数) ,记作 )()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。 关于拉氏变换的定义,在这里做两点说明: (1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。 (2)在较为深入的讨论中,拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。 (3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,它是一种积分变换。一般来说,在科学技术中遇到的函数,它的拉氏变换总是存在的。 例 求斜坡函数()f t at = (0t ≥,a 为常数)的拉氏变换。 解:00 00[]()[]pt pt pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞ +∞+∞---+∞-= =- =-+? ?? 2020 ][0p a e p a dt e p a pt pt =-=+ =∞ +-∞+-? ) 0(>p
拉氏变换与反变换.
拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换 自动控制系统所涉及的数学问题较多,经常要结算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦,如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程,可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算,又能够单独地表明初始条件的影响,并有变换表可查找,因而是一种较为简便的工程数学方法。 1、拉普拉斯变换(简称拉氏变换)的定义 如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数()f t ,它的定义域是 0t ≥,那么 ()f t \的拉普拉斯变换定义为 ()[()] ()st F s L f t f t e dt ∞ -=? (1) 式中, s 是复变数, s j σω=+(σ、ω均为实数),0 st e ∞-?称为拉普拉斯积分; ()F s 是函数()f t 的拉普拉斯变换,它是一个复变函数,通常也称()F s 为()f t 的象函数,而称()f t 为()F s 的原函数;L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式(1)表明:拉氏变换是这样一种变换,即在一定条件下,它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数()F s 。所以,拉氏变换得到的是复数域内的数学模型。 2、几种典型外作用函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数1()t 的拉氏变换 (0)1() 1 () t t t ?≥? 拉氏变换得 001 ()[1()]1()st st F s L t t e dt e s ∞ --∞ ===-? 当Re()0s >,则lim 0st t e -→∞ →。所以 1 11 [1()][0()]st L t e s s s -∞=-=--=
(2)单位脉冲函数()t δ的拉氏变换 [()]1L t δ= (3)单位斜坡函数t 的拉氏变换 0(0)()(0) t f t t t =? ≥? 拉氏变换式0 ()st F s te dt ∞ -=? 利用分部积分法 []0 udv uv vdu ∞ ∞ =-? ? 令 ,st t u e dt dv -== 则 1, st dt du v e s -==- 所以 001()st st t F s e e dt s s ∞ ∞--???? =--- ??????? ? 当Re()0s >时,lim 0st t e -→∞ →,则 2011()0st F s e dt s s ∞-=+=?
拉氏变换与反变换
机电控制工程所涉及的数学问题较多,经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦,如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程,可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算,又能够单独地表明初始条件的影响,并有变换表可查找,因而是一种较为简便的工程数学方法。 拉普拉斯变换的定义 如果有一个以时间为自变量的实变函数,它的定义域是,那么的拉普拉斯变换定义为 式中,是复变数,(σ、ω均为实数),称为拉普拉斯积分;是函数的拉普拉斯变换,它是一个复变函数,通常也称为的象函数,而称为的原函数;L是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式()表明:拉氏变换是这样一种变换,即在一定条件下,它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数。 几种典型函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数的拉氏变换 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一,常以它作为评价系统性能的标准输入,这一函数定义为 单位阶跃函数如图所示,它表示在时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。单位阶跃函数的拉氏变换式为 当,则。 所以 () 图单位阶跃函数 2.指数函数的拉氏变换 指数函数也是控制理论中经常用到的函数,其中是常数。 令
则与求单位阶跃函数同理,就可求得 () 3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设,,则 由欧拉公式,有 所以 )同理 )4.单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换 单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。其幅值和作用时间的乘积等于1,即。如图所示。 图单位脉冲函数 单位脉冲函数的数学表达式为 其拉氏变换式为 此处因为时,,故积分限变为。 5.单位速度函数的拉氏变换 单位速度函数,又称单位斜坡函数,其数学表达式为 见图所示。 图单位速度函数 单位速度函数的拉氏变换式为 利用分部积分法 令 则
常用的拉氏变换表
精选资料,欢迎下载 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 拉氏变换E(s) 时间函数e(t) Z 变换E(z) 1 1 δ(t) 1 2 Ts e --11 ∑∞ =-=0)()(n T nT t t δδ 1 -z z 3 s 1 )(1t 1 -z z 4 21s t 2 )1(-z Tz 5 3 1s 2 2t 3 2 )1(2)1(-+z z z T 6 1 1+n s !n t n )(!)1(lim 0aT n n n a e z z a n -→-??- 7 a s +1 at e - aT e z z -- 8 2 )(1a s + at te - 2 )(aT aT e z Tze --- 9 )(a s s a + at e --1 ) )(1()1(aT aT e z z z e ----- 10 ) )((b s a s a b ++- bt at e e --- bT aT e z z e z z ---- - 11 22ω ω +s t ωsin 1 cos 2sin 2+-T z z T z ωω 12 2 2ω+s s t ωcos 1 cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω 13 22)(ω ω++a s t e at ωsin - aT aT aT e T ze z T ze 22cos 2sin ---+-ωω 14 2 2)(ω+++a s a s t e at ωcos - aT aT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω 15 a T s ln )/1(1- T t a / a z z -
典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换
成绩评定表
课程设计任务书
目录 1.Matlab介绍.............. 错误!未定义书签。 2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5) 2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5) 2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7) 2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8) 3.总结 (14) 4.参考文献 (15)
1.Matlab介绍 MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件;它起源于矩阵运算,现已发展成一种高度集成的计算机语言;它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境,以及与其他程序和语言便捷接口的功能。 经过多年的开发运用和改进,MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面: 1)数学计算; 2)新算法研究开发; 3)建模、仿真及样机开发; 4)数据分析、探索及可视化; 5)科技与工程的图形功能; 6)友好图形界面的应用程序开发。 1.1Matlab入门 Matlab7.0介绍 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。 在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大,适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算,复数运算,高次方程求根,插值与数值微商运算,数值积分运算,常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等,即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算,均可用Matlab来解决。 MATLAB7.0提供了丰富的库函数(称为M文件),既有常用的基本库函数,又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时,这些库函数都可以被直接调用。无疑,这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵,所以在MATLAB环境下,数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且,MATLAB7.0界面友好,用户使用方便。首先,MATLAB具有友好的用户
(完整word版)常用函数的拉氏变换
附录A 拉普拉斯变换及反变换 419
420
421 3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ (F-1) 式中,n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可 按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;
(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==----ΛΛ (m n >) 式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -,m 1 m 1 b ,b ,b ,b -Λ都是实常数;n m ,是正整数。按 代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中,Sn 2S 1S ,,,Λ是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []t s n 1 i i n 1i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为
拉氏变换常用公式
附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质
表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设 )(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 1 1 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;
Laplace拉氏变换公式表
拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 1
2
3 3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将 )(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根; 其中,1+r c ,…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算,r c ,1-r c ,…, 1c 则按下式计算:
拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质
2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +
拉氏变换定义、计算、公式及常用拉氏变换反变换
****拉普拉斯变换及反变换**** 定义:如果定义: ? 是一个关于的函数,使得当时候, ; ? 是一个复变量; ? 是一个运算符号,它代表对其对象进行拉普拉斯积分;是 的拉普拉斯变换结果。 则的拉普拉斯变换由下列式子给出:
2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1)
式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []? ?????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根; 其中,1+r c ,…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算,r c ,1-r c ,…, 1c 则按下式计算: )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ )]()([lim 111 s F s s ds d c r s s r -=→- )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) )()(lim )!1(11)1() 1(11s F s s ds d r c r r r s s --=--→
常用拉普拉斯变换及反变换
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 419
2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 420
421 3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =????L L (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110?,m m b b b b ,,,110?L 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=?=?++?++?+?=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(L L (F-1) 式中,n s s s ,,,21L 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i ?=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c =′= )() ( (F-3) 式中,)(s A ′为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []???????==∑=??n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c ?=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ???= +L = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c ?++?++?+?++?+?++??L L L 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;
拉氏变换与反变换 参考
2 机电控制工程数学基础 本章主要内容、基本要求、重点和难点 主要内容 (1) 复数及复数表示方法,复变函数概念。 (2) 初等函数定义,复变函数的导数。 (3) 复变函数积分,计算方法。 (4) 罗朗级数、留数定理。 (5) 拉氏变换定义、常用函数拉氏变换、拉氏变换性质、拉氏反变换。 基本要求 (1) 了解复变量的表示方法,复变函数的概念,会计算留数。 (2) 了解拉氏变换定义,并用定义求常用函数的拉氏变换,会查拉氏变换表。 (3) 了解拉氏变换性质及其应用。 (4) 会用部分分式法,求拉氏反变换。 重点:复变函数表示方法;拉氏变换的定义;用拉氏变换的定义求常用函数的拉氏变换;拉氏变换性质及应用,用部分分式法求拉氏反变换。 难点: (1) 建立在复数域描述一个函数的概念。而初学者习惯于时间函数。通过拉氏变换这一数学工具将时间函数变为复域的函数,其优点是将微分方程变换为代数方程,使对系统的分析、综合方便。 (2) 拉氏变换性质的应用。 学习本章时,一般了解复变函数概念,复数表示方法;了解拉氏变换定义及其性质的推导过程,通过作习题,熟练掌握各性质的应用,为后继章节学习打下基础。 2.1 复变量及复变函数 (1) 复数的概念 在学习初等代数时,已经知道在实数范围内,方程 012=+x 是无解的,因为没有一个实数的平方等于–1。由于解方程的需要,人们引进一个新数j,称为虚单位,并规定 12-=j 从而j 是方程012 =+x 的一个根。 对于任意二实数x,y 我们称jy x z +=为复数,其中x,y 分别称为z 的实部和虚部,记 作 )()(z I y z R x m e == 当x=0 时, jy z =称为纯虚数;当y=0时, j x z 0+=,这时z 就是实数。 要注意复数与实数有一些不同,如:两个复数相等,必须它们的实部和虚部分别相等。一般说来,任意两个复数不能比较大小。 (2) 复数的代数运算 两个复数111jy x z +=,222jy x z +=
拉氏逆变换性质
复习:1.拉氏变换的性质. 2. 拉氏变换的公式. 讲授新课 课题引入: 在实际工作中经常会遇到这样问题,已知象函数F(s),求它的象原函数f(t),这时则称f(t)是F(s)的拉氏逆变换,可以记为 L -1[F(s)]=f(t) 在求象原函数,要结合拉氏逆变换性质,通过查表10-1解得结果. 拉氏逆变换性质 设 )()]([11s F t f L =, )()]([22s F t f L = )()]([s F t f L = 1. 线性性质 )()()]()([21211t bf t af s bF s aF L +=+- (a ,b 为常数) 2.平移性质 )()]([)]([11t f e s F L e a s F L at at ==--- 3.延滞性质 )()()]([1a t u a t f s F e L at -?-=- 例1 求下列函数的拉氏逆变换:
(1) 31)(+= s s F ; (2) 2)3(1)(-=s s F ; (3)252)(s s s F -= ; (4) 434)(2+-= s s s F 。 解 (1)由表10-1中的4,取3-=a 。 得 t e s L t f 31]3 1[)(--=+= (2)由表10-1中的4,取1,3==n a 。 得 t te s L t f 31 11])3(1[)(=-=+- (3)由性质1及表10-1中公式2、3得 ]1[5]1[2]52[)(21121s L s L s s L t f ---+=-= (4) 由性质1及表10-1中7、8得 t t s L s s L s s L t f 2sin 2 32cos 4]42[23]4[4]434[)(212121-=+-+=+-=--- 练习: 习题10.3 (1) 说明: 在应用拉氏变换解决实际问题时,经常遇到的函数是有理式,一般先将其分解为部分分式之和,然后再
拉氏变换和z变换表
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质
2.常用函数的拉氏变换和z变换表
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式,即 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ (m n >) 式中,系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b -L 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 (1)0)(=s A 无重根:这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式,即 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ (F-1) 式中,n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)=0的根;i c 为待定常数,称为()F s 在i s 处的留数, 可按下列两式计算:lim()()i i i s s c s s F s →=- (F-2) 或 i s s i s A s B c ='= )() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数为 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=1 i n s t i i c e =∑ (F-4) (2)0)(=s A 有重根:设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为
拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其逆变 换表 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
拉普拉斯变换及其反变换表 2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 n 1n n n 0 11m 1m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- (m n >) 式中系数n 1n 10a ,a ,...,a ,a -,m 1m 10b ,b ,b ,b - 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2211s s c s s c s s c s s c s s c )s (F 式中,Sn 2S 1S ,,, 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: 或 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 =n n i i 1r 1r 111 r 11r r 1r s s c s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根; 其中,1+r c ,…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算,r c ,1-r c ,…, 1c 则按下式计算: 原函数)(t f 为 t s n 1r i i t s 122r 1r 1r r 1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+??????+++-+-= (F-6)
双边拉普拉斯变换及反变换
主讲人:陈后金电子信息工程学院
双边拉普拉斯变换及反变换 双边拉普拉斯变换的定义 双边拉普拉斯变换的性质 双边拉普拉斯反变换
双边拉普拉斯(Laplace)变换: 拉普拉斯正变换:()e (d )st t X s x t ∞ --∞ =? j j e 1()d 2πj ()st x s s X t σσ+∞-∞ =?拉普拉斯反变换:
?若x (t )的双边拉普拉斯变换存在,上式积分需收敛。 因此,双边拉普拉斯变换存在的充要条件为: |()e |d |()e |d ,Re() st t x t t x t t C s σσ∞ ∞ ---∞ -∞ ===? ??上式成立的σ的取值范围称为Laplace 变换的收敛域, 简称为ROC (Region Of Convergence)。 ()()e d st X s x t t ∞ --∞ =?
(1)有限长信号 例:试求连续信号的双边拉氏变换及其收敛域。(2)(2)u t u t +--解:Re()s >-∞ 收敛域为s 全平面,即:221(e e )s s s -=-()[(2)(2)]e d st X s u t u t t ∞ --∞ =+--?2 2 2 21e d e |st st t s ----==-?j ω 收敛域σ
(2)右边信号 例:试求连续信号的双边拉氏变换及其收敛域。 2e ()t u t -解:收敛域:2()e ()e d t st X s u t t ∞ ---∞ =?(2)01e |2s t s -+∞=-+12s =+Re()2 s >-j ω -2 收敛域 σ 20 e e d t st t ∞ --=??0